08函
专题08 函数的周期性(原卷版)
专题08 函数的周期性专项突破一 周期函数的定义与求解1．有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（ ）．A ．①②都正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①②都错误2．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ）A ．2()(1)f x x =-B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛= ⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭3．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足：对于每一个实数x ，都有122f x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．32π 4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（ ） A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数6．已知函数()21f x +的最小正周期为3，则函数()f x 的最小正周期为______．7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，则()f x 的周期为__________． 8．若定义在R 上的非零函数()f x ，对任意实数x ，存在常数λ，使得()()f x f x λλ+=恒成立，则称()y f x =是一个“f λ。
函数”，试写出一个“ l f 。
黑龙江省人民政府法制办公室关于对黑人防函[2008]20号的复函
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黑龙江省人民政府法制办公室关于对黑人防函[2008]20号的复函文章属性•【制定机关】黑龙江省人民政府法制办公室•【公布日期】2008.10.08•【字号】黑政法函[2008]157号•【施行日期】2008.10.08•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】失效•【主题分类】机关工作正文黑龙江省人民政府法制办公室关于对黑人防函[2008]20号的复函（黑政法函[2008]157号）省人防办：《黑龙江省人民防空办公室关于人防工程安全生产监督管理问题的函》收悉，经我办认真研究，现函复如下：一、《中华人民共和国建筑法》第八十四条规定：“军用房屋建筑工程建筑活动的具体管理办法，由国务院、中央军事委员会依据本法制定。
”据此，国务院颁发的《建设工程安全生产管理条例》第七十条规定：“军事建设工程的安全生产管理，按照中央军事委员会的有关规定执行。
”依据《中华人民共和国军事设施保护法》的界定，地面和地下指挥工程、作战工程属于军事设施。
对此，国务院法制办《建设工程安全生产管理条例释义》中已作了具体的注明，军事建设工程指的是直接用于国防作战相关的军事设施建设工程，不包括军队的普通房屋建筑工程。
人防工程作为地下军事设施，即使在和平时期，其用途也是平战结合，适时利用，其根本性质没有变化，还是军事工程。
军事工程由于具有保密性、专用性、危险性、区域性等特点，与一般工业和民用建筑性质不一样，所以这类工程的安全生产管理，应当按照中央军事委员会的有关规定执行。
二、国务院安委办函{2006}45号文件，关于建设主管部门的“房屋建筑和市政基础设施”的安全生产监督管理职责范围中，并未包括人防工程。
为此，建设主管部门的安全生产控制考核指标也不包括人防工程。
另外，《建设部、国家安全生产监督管理总局关于加强建设工程安全生产工作的紧急通知》（建质{2005}135号）中也明确：“要遵循行政许可法规定，强化项目审批许可后的动态监管，按照谁颁发施工许可证（或开工报告）、谁履行安全生产监管职责、谁负责安全生产指标控制的原则，明确监管职责，落实监管职责。
国税函[2008]875号文件解读
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国税函[2008]875号文件解读企业所得税是我国税收体系的主要税种之一，其重要性不言而喻。
但长期以来，企业所得税的重要概念的定义和原则几乎都是依赖会计制度的规定，这主要是原来财税合一的体制造成的。
随着我国会计改革的深入，逐步建立了以企业为主体的会计制度，会计与税法的差异越来越大，企业所得税依赖会计制度的局面已经无法适应所得税征管工作的需要了，尤其是在《企业所得税法》及其实施细则的颁布后，尽快明确企业所得税收入的确认原则已经成为紧迫的工作。
因此，08年11月国家税务总局颁布了《关于确认企业所得税收入若干问题的通知》(国税函[2008]875号，以下简称“875号文件”)，终于对企业所得税收入的确认原则做出明确规定。
一、基本确认原则的理解875号文件规定“企业销售收入的确认，必须遵循权责发生制原则和实质重于形式原则。
”确立了企业所得税收入确认的基本原则为权责发生制原则和实质重于形式原则，权责发生制原则很容易理解，这也是会计准则和会计制度确认收入的基本原则之一。
例如某企业开具08年6月1日到09年5月31日的出租房屋租金发票一张，根据权责发生制的原则，企业在08年只能确认6月到12月这部分金额为所得税的收入，而09年1月到5月这部分的金额则不能确认为08年的收入。
实质重于形式原则在会计理论上公认是强调以经济实质作为判断是否确认收入的标准，而不是以表面的法律形式为标准。
以此推论企业所得税收入的确认也应该以经济实质为标准，而不能单纯以税务发票为标准。
例如某企业根据销售合同给批发商提供一批货物，到08年底尚未开具税务发票，根据所得税收入确认的实质重于形式原则，该项业务虽然缺乏必要的税务发票作为法律形式，但是根据其经济实质，在符合其他收入确认原则的前提下，企业虽未开具税务发票也需要确认为企业所得税收入。
二、销售商品业务的收入确认875号文件规定了企业所得税销售商品业务收入确认的四个条件，具体如下：企业销售商品同时满足下列条件的，应确认收入的实现：1.商品销售合同已经签订，企业已将商品所有权相关的主要风险和报酬转移给购货方;2.企业对已售出的商品既没有保留通常与所有权相联系的继续管理权，也没有实施有效控制;3.收入的金额能够可靠地计量;4.已发生或将发生的销售方的成本能够可靠地核算。
专题08 二次函数与幂函数(解析版)
2023高考一轮复习讲与练08 二次函数与幂函数练高考 明方向1．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【答案】1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 2．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--； ③当012a<-<，此时2()24a a m f b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．3．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，，则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <【答案】C【解析】对A ：由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x-=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a， 只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确，对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较 ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误 4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟【答案】B【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-=20.2( 3.75)0.8125t --+， ∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．5．(2013广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是奇函数的为与，故选C ．讲典例 备高考O 5430.80.70.5t p R 3y x =2x y =21y x =+2sin y x =43213y x =2sin y x =二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义 函数的对称性 奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断 周期性的应用类型一、幂函数的定义 基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1【答案】C【详解】根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．（幂函数的判断）给出下列函数：①31y x =；②32y x =-；③42y x x =+；④35y x=；⑤()21y x =-；⑥0.3xy =，其中是幂函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数，则可知①331y x x -==和④5353y x x ==是幂函数.类型二、幂函数的图象 基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知(),1,m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数()nmf x x =的图像为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得：26log log 2log 6log 13m n m n n m n m +=+=，令()log 01m t n t =<<，则6213t t+=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =，即21mn =，所以()2m n f x x =的图像即为()f x x =的图像．2．（根据图象确定解析式）图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3 D ．1-、12、3 【答案】D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，2310C C C ααα>>>，所以解析式中指数α的值依次可以是11,,32-， 3．（利用图象比较大小）对于幂函数()45f x x =，若120x x <<，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，()()122f x f x +的大小关系是（ ）A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭D ．无法确定【答案】A【解析】幂函数()45f x x =在0,上是增函数，大致图象如图所示.设()1,0A x ，()2,0C x ，其中120x x <<，则AC 的中点E 的坐标为12,02x x +⎛⎫⎪⎝⎭，且()1AB f x =，()2CD f x =，122x x EF f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.()12EF AB CD >+，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭.4．（利用图象比较大小）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 【答案】A【解析】由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________． ①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点()1,1；③当0a =时，函数a y x =的图象是一条直线；④当0a <时，函数a y x =在定义域内是严格减函数； ⑤过点()1,1-的幂函数图象关于y 轴对称． 【答案】3【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，1的任何指数幂均为1，所以幂函数的图象都经过点()1,1，故正确；对于③，当0a =时，函数a y x =的定义域为{}0x x ≠，其a y x =图象是两条射线，故错误；对于④，当1a =-时，1y x=在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点()1,1-时，()11a-=得a 为偶数，故幂函数图象关于y 轴对称，故正确.类型三、幂函数的性质 基础知识：1、五个常见幂函数的性质1．（幂函数单调性）已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，设,(ln ),a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】D【解析】由已知得82n =，解得：3n =，所以3()f x x =1<1<，ln ln 1e π>=， 又0-==<，所以ln π<<，由3()f x x =在R 上递增，可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1【详解】因为()()22322n nf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=. 3．（幂函数的奇偶性）设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ）A ．1,3-B ．1,1-C ．1,3D ．1,1,3-【答案】C【详解】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2yx ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意.类型四、二次函数的解析式 基础知识：二次函数解析式的三种形式基本题型：1．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 【答案】12x 2－32x ＋2【解析】因为f (x )是二次函数且f (0)＝2，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)．又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－(ax 2＋bx ＋2)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.2．已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2＋2x .【解析】法一：设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 法二：由二次函数f (x )与x 轴交于(0,0)，(－2,0)，知f (x )的图象关于x ＝－1对称．设f (x )＝a (x ＋1)2－1(a >0)，又f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x .3．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象经过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质 基础知识：函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a，＋∞上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．b ＝－2aB ．a ＋b ＋c <0C ．a －b ＋c >0D ．abc <0 【答案】AD【解析】根据对称轴x ＝－b2a＝1得到b ＝－2a ，A 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c <0，C 错误；函数图象开口向下，所以a <0，b ＝－2a >0，当x ＝0时，y ＝c >0，故abc <0，D 正确．2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1和函数g (x )＝ax ＋1的图象可能是( )【答案】ABD【解析】若a ＝0，则f (x )＝x ＋1，g (x )＝1，A 符合；若a <0，则f (x )的图象开口向下，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a <－1a ，B 符合；若0<a <14， 则f (x )的图象开口向上，与x 轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a，g (x )的图象过 点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，C 不符合；若a >14，则f (x )的图象开口向上，与x 轴没有交点， 过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，D 符合． 基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 类型四、二次函数给定区间上最值问题 基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则f (x )的最小值是________． 【答案】－1【解析】∵函数f (x )＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴f (x )min ＝2－6＋3＝－1.2、（轴动区间定）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，则实数a 的值为________． 【答案】－1或2【解析】易知y ＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈R)的图象的对称轴为直线x ＝a .当a <0时，函数f (x )的图象如图①中实线部分所示，当x ＝0时，y max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，即a ＝－1. 当0≤a ≤1时，函数f (x )的图象如图②中实线部分所示，当x ＝a 时，y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52不满足题意．当a >1时，函数f (x )的图象如图③中实线部分所示，当x ＝1时，y max ＝f (1)＝a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a 的值为－1或2.3、（轴定区间动）设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1；当0<t <1时，f (x )min ＝1；当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.新预测 破高考1．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在定义域上是单调递增函数C ．()f x 的值域为RD ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B【详解】设()f x x α=，则42α=，解得12α=，()12f x x ∴==()f x 的定义域为[)0,+∞，故A 错误；可得()f x 在定义域上是单调递增函数，故B 正确；值域为[)0,+∞，故C 错误；故()f x 在定义域内没有最大值，故D 错误.2．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）.A ．幂函数的图象都过(0,0)点B ．幂函数的图象不经过第四象限C ．幂函数为奇函数或偶函数D ．幂函数在其定义域内都有反函数【答案】B【解析】幂函数1y x -=不过点(0,0)，则A 错误；当()0,x ∈+∞时，0a x >，则幂函数的图象不经过第四象限，则B 正确；12y x =的定义域为[0,)+∞，不关于原点或y 轴对称，则C 错误；2y x 在(,)-∞+∞内无反函数，则D 错误；3．已知函数：①2xy =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③1y x -=；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②【答案】D【详解】①：函数2xy =是实数集上的增函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合；②：函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第四个图象符合；③：函数1y x-=在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数12y x =在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，4．(多选)函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1与g (x )＝x a 在同一坐标系中的图象可能为( )【答案】ACD【详解】当a <0时，g (x )＝x a 为奇函数，定义域为{x |x ≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1a >0，f (0)＝1，故A 符合；当a ＝2n (n ∈N *)时，g (x )＝x a 为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a <0，其图象和x 轴没有交点，故D 符合；当a ＝12n (n ∈N *)时，函数g (x )＝x a 的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a >0，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．B 明显不符合题意，故选A 、C 、D. 5．若幂函数()222333m m y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-【答案】A【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.6．若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα，故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.7．幂函数()0y xαα=≠，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点1,0A ，()0,1B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数m y x =，n y x =的图象三等分，即有BM MN NA ==，则mn 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】A【解析】由题1,0A ，()0,1B ，BM MN NA ==，所以12,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233m ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2133n⎛⎫= ⎪⎝⎭，11213333mmnn m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1mn ∴=.8．幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】∵幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m ＜53.又∵m∈N， ∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m ＝0时，f(x)＝x －5是奇函数；当m ＝1时， f(x)＝x －2是偶函数．∴m ＝1,故选B.9．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A．(0,1])⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ．)⋃+∞ D ．[3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥. 10．已知幂函数()()22644m m f x m m x--=-+，()m R ∈，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()f π的大小关系是（ ）A ．()()()π31f f f <-<-B ．()()()13πf f f -<-<C ．()()()31πf f f -<-<D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【详解】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调减，又()f x 是幂函数，知：2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x是偶函数，∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)()f f f π>>，即(1)(3)()f f f π->->， 11．已知点⎝⎛⎭⎫2，18在幂函数f (x )＝x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】C【解析】因为点⎝⎛⎭⎫2，18在函数f (x )的图象上，所以18＝2n ，解得n ＝－3，所以f (x )＝x －3，易知当x >0时，f (x )单调递减．因为33<22<1，ln π>ln e ＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫33>f ⎝⎛⎭⎫22>f (ln π)，即a >c >b ，故选C. 12．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【答案】ACD【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4. 当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．13．已知幂函数()223mm y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.则()f x 在[]0,4x ∈的值域为__________. 【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256。
专题08 函数的极值(解析版)
专题08函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数y ＝f (x )的极值(1)y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标为x 0，可得函数y ＝f (x )的可能极值点x 0；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )≤0，右侧f ′(x )≥0，那么f (x 0)是极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点答案 C 解析 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4．当x ＜x 1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C ．(2)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0．由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．故选D ．(3)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，x 1，x 2是函数y ＝f (x )的两个极值点，则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289答案 C 解析 因为函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0．又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2．由题意知x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169，故选C (4)已知函数y ＝f ′(x )x的图象如图所示(其中f ′(x )是定义域为R 的函数f (x )的导函数)，则以下说法错误的是( )A ．f ′(1)＝f ′(－1)＝0B ．当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值C ．方程xf ′(x )＝0与f (x )＝0均有三个实数根D ．当x ＝1时，函数f (x )取得极小值答案 C 解析 由图象可知f ′(1)＝f ′(－1)＝0，A 说法正确．当x <－1时，f ′(x )x<0，此时f ′(x )>0；当－1<x <0时，f ′(x )x >0，此时f ′(x )<0，故当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值，B 说法正确．当0<x <1时，f ′(x )x<0，此时f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )x>0，此时f ′(x )>0，故当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，D 说法正确．故选C ． (5)(多选)函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值答案 ABD 解析 由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1，5取得极小值，在x ＝3取得极大值，C 错误．故选A 、B 、D ．(6) (2018·全国Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案D解析当x＝0时，y＝2，排除A，B．由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D．【对点训练】1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．41．答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值2．答案BC解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x) >0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0．∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x22等于()A ．23B ．43C ．83D ．1633．答案 C 解析 由题中图象可知f (x )的图象经过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83． 4．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′(0)f ′(1)＝________．4．答案 1 解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由图象知，方程f ′(x )＝0的两根为－1和2，则有⎩⎨⎧ －2b 3a ＝－1＋2，c 3a ＝－1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，6a ＋c ＝0，∴f ′(0)f ′(1)＝c 3a ＋2b ＋c ＝c c ＝1． 5．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3，1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零5．答案 BD 解析 根据导函数的图象可知当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，＋∞)时，f ′(x )≥0，∴函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y ＝f (x )的极值点，∵函数y ＝f (x )在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y ＝f (x )的最小值点，∵函数y ＝f (x )在x ＝0处的导数大于0，∴y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零．故错误的命题为BD ．考点二 求已知函数的极值【方法总结】求函数的极值或极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________．答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2．(2)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则f (x )的极大值点为( ) A ．1eB ．1C ．eD ．2e 答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)·(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析 因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( ) A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增 B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12答案 ABC 解析 由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln x x，设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln x x，由g ′(x )＞0得x ＞1，由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12．故选ABC ． [例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．解析 (1)∵f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ，∴f ′(x )＝a ＋3cos x ＋sin x ，∴f ″(x )＝－3sin x ＋cos x ，∵f ″(x 0)＝0，∴－3sin x 0＋cos x 0＝0．而f (x 0)＝ax 0＋3sin x 0－cos x 0＝ax 0．∴点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上．(2)令f ′(x )＝0，得a ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 作出函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，2π)与函数y ＝a 的草图如下所示：由图可知，当a ≥2或a ≤－2时，f (x )无极值点；当a ＝－3时，f (x )有一个极值点；当－2<a <－3或－3<a <2时，f (x )有两个极值点．[例3] (2021·天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ·e x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．解析 (1)因为f (0)＝0，f ′(x )＝a －(x ＋1)e x ，所以f ′(0)＝a －1，所以函数在(0，f (0))处的切线方程为(a －1)·x －y ＝0．(2)若证明f (x )仅有一个极值点，即证f ′(x )＝a －(x ＋1)e x ＝0，只有一个解，即证a ＝(x ＋1)e x 只有一个解，令g (x )＝(x ＋1)e x ，只需证g (x )＝(x ＋1)e x 的图象与直线y ＝a (a ＞0)仅有一个交点，g ′(x )＝(x ＋2)e x ， 当x ＝－2时，g ′(x )＝0，当x ＜－2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ＞－2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＝－2时，g (－2)＝－e －2＜0．当x →＋∞时，g (x )→＋∞，当x →－∞时，g (x )→0－，画出函数g (x )＝(x ＋1)e x 的图象大致如下，因为a ＞0，所以g (x )＝(x ＋1)e x 的图象与直线y ＝a (a ＞0)仅有一个交点．即f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 2 1．答案 C 解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，当f ′(x )＞0时，解得0＜x ＜e ；当f ′(x )＜0时，解得x ＞e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e ．故选C ．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．答案 C 解析 f ′(x )＝2(x 2－1)·2x ＝4x (x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1．3．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数3．答案 A 解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋1x －2＝x 2－2x ＋1x ＝(x －1)2x≥0，即f (x )在定义 域上单调递增，无极值点．4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．4．答案 1或－2 5e 2解析 由已知得f ′(x )＝(x 2－x －1＋2x －1)e x ＝(x 2＋x －2)e x ＝(x ＋2)(x －1)e x ，因为e x ＞0，令f ′(x )＝0，可得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(－2，1)上单调递减；当x ＞1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故f (x )的极值点为－2或1，且极大值为f (－2)＝5e2． 5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．45．答案 D 解析 f ′(x )＝3ax 2－b ＝0，由题意，知该方程有两个根，设该方程的两个根分别为x 1，x 2，故f (x )在x 1，x 2处取到极值，M ＋m ＝ax 31－bx 1＋2＋ax 32－bx 2＋2＝－b (x 1＋x 2)＋a (x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋4，又x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－b 3a，所以M ＋m ＝4，故选D ．6．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( ) A ．－113 B ．－16 C ．16 D ．1736．答案 B 解析 由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ． 7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 7．答案 B 解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得 a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52． 8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1eD ．f (x )在定义域内无极值 8．答案 BC 解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 9．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x＝－(x ＋1)(x －2)e x，当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B正确．又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确．10．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．10．答案 －23 解析 因为函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，且f (1)＝0，所以f (－5)＝0，f (－2)＝0，所以x ＝－2，x ＝－5是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．由根与系数的关系可得，a ＝7，b ＝10，所以f (x )＝(1－x )(x 2＋7x ＋10)，所以f ′(x )＝－(x 2＋7x ＋10)＋(1－x )(2x ＋7)＝－3(x 2＋4x ＋1)．又因为x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，所以x 1，x 2是x 2＋4x ＋1＝0的两个根，且x 1>x 2．解方程可得，x 1＝－2＋3，x 2＝－2－3，所以x 2－x 1＝－23．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0． (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．11．解析 (1)因为f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，所以f ′(x )＝x e x －x e a ．所以f (0)＝－1，f ′(0)＝0． 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－1．(2)f ′(x )＝x e x －x e a ＝x (e x －e a )，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．f (x )与f ′(x )在R 上的变化情况如表： x(－∞，a ) a (a ，0) 0 (0，＋∞) f ′(x )＋ 0 － 0 ＋f (x )由表可知，当x ＝0时，f (x )有极小值f (0)＝－1．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x． (1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．12．解析 (1)因为f ′(x )＝e x (x －1)－2x 2，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝－2． 又因为f (1)＝e ＋2，所以切线方程为y －(e ＋2)＝－2(x －1)，即2x ＋y －e －4＝0．(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ·x ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0， x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0， 所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0， 所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点． 考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围) 【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x －1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________． 答案 11 解析f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． 答案 1 解析 因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x ．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；答案 (－∞，－1] 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax ，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x 有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln xx (x >0)，∴φ′(x )＝－ln xx 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021·全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( ) A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2 D ．ab >a 2答案 D 解析 法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．法二(数形结合法)当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a．图3当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b．图4综上，可知必有ab>a2成立．故选D．[例2]已知曲线f(x)＝x e x－23ax3－ax2，a∈R．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数y＝f(x)有三个极值点，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，f(x)＝x e x⇒f′(x)＝e x＋x e x⇒f′(1)＝2e，又f(1)＝e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，化简得y＝2e x－e．(2)因为f′(x)＝e x(x＋1)－2ax(x＋1)＝(x＋1)(e x－2ax)，所以令f′(x)＝0⇒(x＋1)(e x－2ax)＝0⇒x＋1＝0或e x－2ax＝0，由于函数y＝f(x)有三个极值点，所以方程e x－2ax＝0必有两个不同的实根，设g(x)＝e x－2ax，则g′(x)＝e x－2a，易知a≤0时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，不合题意，故a>0，所以g(x)的两个零点必为正数．令g′(x)＝0⇒e x－2a＝0⇒x＝ln(2a)，所以在x∈(－∞，ln(2a))时，g′(x)<0，g(x)单调递减；在x∈(ln(2a)，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．依题意，要使得函数g(x)＝e x－2ax有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，则g(x)min＝g(ln(2a))<0，于是e ln(2a)－2a ln(2a)<0⇒2a－2a ln(2a)<0⇒1－ln(2a)<0⇒a>e2．所以当a >e2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e2，＋∞． 【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ． 2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x ＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的 极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析 由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋ 3＝－2b 3a ，－2×3＝c3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32．所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析 由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点， 又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞) 6．答案 B 解析 令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选B ．7．已知函数f (x )＝xln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14D ．0，147．答案 B 解析 f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ，设g (x )＝ln x －1(ln x )2＝1ln x －1(ln x )2，因为函数f (x )在(1，＋∞)上有极值，所以f ′(x )＝g (x )－a 有正有负．令1ln x ＝t ，由x >1可得ln x >0，即t >0，得到y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14≤14．所以a <14，故选B ．8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．8．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，18 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x ，由题意知y ＝f ′(x )有 变号零点，令2x 2－x ＋a ＝0，即a ＝－2x 2＋x (x >0)，令φ(x )＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18(x >0)，其图象如图所示，故a <18．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．9．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯 一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________． 10．答案 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 解析 f (x )＝x ln x ＋m e x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x(x >0)，令f ′(x )＝0，得－m ＝ln x ＋1e x， 设g (x )＝ln x ＋1e x ，则g ′(x )＝1x －ln x －1e x(x >0)，令h (x )＝1x －ln x －1，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0(x >0)，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0，∴当x ∈(0，1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0，1]上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1e ，而当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，若f (x )有两极值点，只要y ＝－m 和g (x )的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m <1e ，故－1e<m <0．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x 的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln xx 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e2．12．已知函数f (x )＝xex －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－xe x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表： x (－∞，1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 －f (x )极大值若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e ．故选C ．。
国税函[2008]875号文件解读
国税函[2008]875号文件解读企业所得税是我国税收体系的主要税种之一，其重要性不言而喻。
但长期以来，企业所得税的重要概念的定义和原则几乎都是依赖会计制度的规定，这主要是原来财税合一的体制造成的。
随着我国会计改革的深入，逐步建立了以企业为主体的会计制度，会计与税法的差异越来越大，企业所得税依赖会计制度的局面已经无法适应所得税征管工作的需要了，尤其是在《企业所得税法》及其实施细则的颁布后，尽快明确企业所得税收入的确认原则已经成为紧迫的工作。
因此，08年11月国家税务总局颁布了《关于确认企业所得税收入若干问题的通知》(国税函[2008]875号，以下简称“875号文件”)，终于对企业所得税收入的确认原则做出明确规定。
一、基本确认原则的理解875号文件规定“企业销售收入的确认，必须遵循权责发生制原则和实质重于形式原则。
”确立了企业所得税收入确认的基本原则为权责发生制原则和实质重于形式原则，权责发生制原则很容易理解，这也是会计准则和会计制度确认收入的基本原则之一。
例如某企业开具08年6月1日到09年5月31日的出租房屋租金发票一张，根据权责发生制的原则，企业在08年只能确认6月到12月这部分金额为所得税的收入，而09年1月到5月这部分的金额则不能确认为08年的收入。
实质重于形式原则在会计理论上公认是强调以经济实质作为判断是否确认收入的标准，而不是以表面的法律形式为标准。
以此推论企业所得税收入的确认也应该以经济实质为标准，而不能单纯以税务发票为标准。
例如某企业根据销售合同给批发商提供一批货物，到08年底尚未开具税务发票，根据所得税收入确认的实质重于形式原则，该项业务虽然缺乏必要的税务发票作为法律形式，但是根据其经济实质，在符合其他收入确认原则的前提下，企业虽未开具税务发票也需要确认为企业所得税收入。
二、销售商品业务的收入确认875号文件规定了企业所得税销售商品业务收入确认的四个条件，具体如下：企业销售商品同时满足下列条件的，应确认收入的实现：1.商品销售合同已经签订，企业已将商品所有权相关的主要风险和报酬转移给购货方;2.企业对已售出的商品既没有保留通常与所有权相联系的继续管理权，也没有实施有效控制;3.收入的金额能够可靠地计量;4.已发生或将发生的销售方的成本能够可靠地核算。
专题08 一次函数【考点精讲】
边在第一象限作正方形 ABCD ，则对角线 BD 所在直线的解析式为（ A ）
A．
y
1 7
x
4
B．
y
1 4
x
4
C．
y
1 2
x
4
D． y 4
2．（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数 y＝kx+b，现画出了它的图象
为直线 l，如图．而某同学为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b
3．一次函数的图象与性质
函数 系数取值 大致图象
k>0 y=kx (k≠0)
k<0
k>0b>0
y=kx+b (k≠0)
k>0b<0 k<0b>0
k<0b<0
经过的象限 一、三 二、四
一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
函数性质 y随x增大而增大 y随x增大而减小 y随x增大而增大
y随x增大而减小
【例 1】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数 y kx k 过点1,4 ，则下列结论
正确的是（ C ）
A．y 随 x 增大而增大
C．直线过点 1,0
B． k 2
D．与坐标轴围成的三角形面积为 2
【例 2】（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数 y＝ax+a（a≠0）的图象过点 P（1，2）
B． x 4
C． x 2 D． x 4 或 x 2
【例 5】（2021·广西贺州市·中考真题）直线 y ax b （ a 0 ）过点 A0,1 ， B2,0 ，
则关于 x 的方程 ax b 0 的解为（ C ）
A． x 0 B． x 1 C． x 2 D． x 3
08多元函数微分法
x, x,
y y
0 0
x, y0
得x , y及λ,则 (x , y) 是 f(x , y) 在条件
x,y0 下的可能极值点。
2020/3/25
［例6］ 设生产某种产品的数量与 所用的两种原料A，B的数量x，y间 的关系式 f (x , y )= 0.00 5x2 y ，欲用150 元购料，已知A，B原料的单价分别 为1元，2元，问购进两种原料各多少， 可使生产数量最多？
当x=1,y=2,z=3
>> syms x y z
>> z=x^4+y^4-4*x^2*y^2;
>> zxx=diff(z,x,2)
>> zyy=diff(z,y,2)
>> zxy=diff(diff(z,x),y) >> x=1;y=2; >> eval(zxy)
2020/3/25
zxx =12*x^2-8*y^2 zyy =12*y^2-8*x^2 zxy =-16*x*y
法线方程为：
F xx x 0 ,y x 0 0 ,z0F yx y 0 ,y y 0 0 ,z0F zx z0 ,y z0 0 ,z0
2020/3/25
[例8]求曲面 ez-z+xy=3 在点 ( 2, 1, 0) 处的切平面及法线方程。
>> syms x y z >> F=exp(z)-z+x*y-3; >> n=[diff(F,x) diff(F,y) diff(F,z)]; %求曲 面的法向量 >> x=2; y=1; z=0; >> n0=eval(n)
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函数的解析式(原卷版)高中数学函数精讲精练 专题08
专题08函数的解析式主要考查：换元法，配凑法，待定系数法，方程组法求函数的解析式一、单选题1．已知函数()2123f x x x -=+-，则()f x =（）A ．24x x +B ．24x +C ．246x x +-D ．241x x --2．已知函数()f x 满足()cos 1cos 21f x x -=-，则()f x 的解析式为（）A ．()()22420f x x x x =+-≤≤B ．()()224f x x x x R =+∈C ．()()2120f x x x =--≤≤D ．()()21f x x x R =-∈3．若()2x x e f x e =+，则()f x 的表达式为（）A ．()()2ln f x x x x R =+∈B ．()()2ln 0f x x x x =+>C ．()()2ln f x x x x R =+∈D ．()()2ln 0f x x x x =+>4．已知)1f x =+，则函数()f x 的解析式为（）A ．()()210f x x x =-≥B ．()()211f x x x =-≥C ．()()20f x x x =≥D ．()()21f x x x =≥5．已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，则()f x 的解析式为（）A ．1()23f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =+或()21f x x =--C ．()21f x x =-或1()23f x x =-+D ．()21f x x =+或()21f x x =-6．已知()f x 是二次函数，且(0)1f =-，(1)()22f x f x x +=-+，则()f x 的解析式为（）A ．2()31f x x x =-+-B ．23()12f x x x =---C ．213()222f x x x =-+D ．21()222f x x x =-+7．若()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=+，则()f x ＝（）A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋38．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x =（）A()203x +>B()103x >C．()10x +>D()10x >二、多选题9．已知函数()f x 是一次函数，满足(())98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（）A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()32f x x =-+D ．()34f x x =--10．若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()241(0)(1)f x x x =-≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）11．已知()f x 满足()2(-)21f x f x x -=-，则（）A ．(3)3f =B ．(3)3f =-C ．()()2f x f x +-=D ．()()-2f x f x +-=12．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（）A ．()1f x x x =-B ．()1f x x x=+C ．(),010,11,1x x f x x x x ⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩D ．(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪>⎩三、填空题13．设()2f x x a =+，()21()34g x x =+，且()()21g f x x x =-+，则a 的值为________.14．已知1x f x +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝221x x+＋1x ，则f （x ）的解析式为________．15．已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数(3)f =______．16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有()32415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则217log sin 6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.四、解答题17．已知()f x 满足()1212x f x f x x ⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭，求函数()f x 的解析式.18．根据条件，求函数解析式()f x .（1）()2132f x x x +=-+；（2）)223f x -=+；（3）2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（4）已知()f x 是一元二次函数，且满足()00f =；()()11f x f x x +=++.19．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x .（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x .（3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x .20．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立21．已知定义域为R 的函数()f x 和()g x ，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()2x f x g x ++=．（1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）解不等式：2()()f x g x ≥；（3）若关于x 的方程()()10f x g x λ-+=有实根，求正实数．．．λ的取值范围．22．在①2(23)46f x x x -=-，②2()2()33f x f x x x +-=-，③对任意实数x ，y ，均有+=22f x y f y()2()++-+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数x xy y x y233()f x的解析式.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.f x满足_________，求()。
离散数学08 函数与集合的势
第八章 函数与集合的势8.1 N 是自然集，R 是实数集，以下给出的关系中，哪些能构成函数关系？（1）}10,,|),{(212121<+∈x x N x x x x（2）},,|),{(2122121y y R y y y y =∈（3）},,|),{(1222121y y R y y y y =∈解（1）不是函数，因为1x 有多个2x 与其对应。
（2）是函数，因为对于任意一个R y ∈1，存在唯一的212y y =与之对应。
（3）不是函数，因为对于R y ∈-=41，不存在元素R y ∈2与之对应。
8.2 A ，B 是两个任意集合，且f X B A ，，⊆是集合X 到集合Y 的映射。
证明：（1）)B (f )A (f )B A (f =（2）)B (f )A (f )B A (f ⊆，并说明等号在什么时候成立，即给出等号成立的充分必要条件，并证明之。
证明（1）对于)(B A f y ∈∀，则存在一个B A x ∈，使得y x f =)(，即A x ∈或B x ∈。
若A x ∈，根据映射的定义知，)()(A f x f y ∈=，因此)()(B f A f y ∈，从而有)()()(B f A f B A f ⊆；若B x ∈，根据映射的定义知，)()(B f x f y ∈=，因此)()(B f A f y ∈，从而有)()()(B f A f B A f ⊆。
总之，有)()()(B f A f B A f ⊆。
反之，对于)()(B f A f y ∈∀，则有)(A f y ∈或)(B f y ∈。
若)(A f y ∈，则存在唯一的A x ∈使得y x f =)(。
由A x ∈知，B A x ⋃∈，因此)()(B A f x f y ⋃∈=，从而有)()()(B A f B f A f ⊆；若)(B f y ∈，则存在唯一的B x ∈使得y x f =)(。
由B x ∈知，B A x ⋃∈，因此)()(B A f x f y ⋃∈=，从而有)()()(B f A f B A f ⊆。
08对数函数的图像和性质
2
( ,1) ( 0 ,1) (1, )
x
log 3 ( x 1)
lo g 0 .6 x 1 2x 1
[0, )
1 3 (0, ) ( , ] 2 2 5 1
例2:比较大小
(1) lo g 4 5 _ _ _ _ lo g 4 8
应用
1.函数y＝x＋a与y＝logax 的图象可能是( C )
y
y
1
1
O 1 （A） y
1 O 1 （C）
x
O 1 （B）
y 1
x
x
O
1
x
（D）
例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=log0.5(4x-3)
B. a>c>b C. c>a>b
8 . 已 知 l o g a (3 a 1) 恒 为 正 数 , 求 a 的 取 值 范 围 .
1 2 a的 取 值 范 围 是 a | a 1或 a 的定义 •对数函数图象作法 •对数函数性质
对数函数y=logax的性质分析
函 数
y = loga x （a>1) y = loga x (0<a<1)
图
象
定义域
(0,+∞)
(0,+∞)
值
域
R
R
单调性 过定点 奇偶性
减函数 增函数 （1，0）即x=1时，y=0
非奇非偶
1
2
4.函数
2 y lg 1 的图像关于（ C 1 x
）
08 二次函数解析式的三种形式(九年级数学精品课件)
林在离门脚 B 点 1 m 远的 C 处垂直立起一根 1.7 m 长的
木杆, 其顶点恰好在门上 D 处. 根据这些条件, 小林说,
他可以求出大门的高度 h. 你看, 行吗?
y
h
D
1.7 m
A
O
C Bx
18 m
1m
解: 建立如图所示直角坐标系, 根据题意
A(-9, 0)、B(9, 0)、D(8, 1.7).
注意: 不是所有的二次函数
y
都有交点式. 如右图所示的二次
函数.
O
x
1 已知抛物线通过三点(1, 2), (0, -2), (2, 8). 求此
抛物线的解析式.
解: 设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c. 条件: 三个点
∵ 抛物线通过三点(1, 2), (0, -2), (2, 8),
二次函数解析式的 三种形式
1 我们知道, 一次函数的解析式为 y = kx + b(k ≠ 0, k, b 为常数).
由两个条件——两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标 可以确定
一次函数, 即可以求出这个一次函数 的解析式 y = kx + b.
2 二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0, a, b, c 为常数), 确定二次函数 的解析式需要几个条件?
c = 1, ∴ a + b + c = 2,
4a + 2b + c = 1.
解得
a = -1, b = 2, c = 1.
∴ 抛物线的解析式为 y = -x2 + 2x + 1.
A(0, 1), B(1, 2), C(2, 1).
考点08 一次函数的图象与性质-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象二．一次函数图象的画法1．下列函数：①y ＝4x ；②y ＝﹣；③y ＝；④y ＝﹣4x +1，其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【解答】解：y ＝﹣4x ，y ＝﹣，y ＝﹣4x +1都符合一次函数的定义，属于一次函数；y ＝是反比例函数，综上所述，其中y 是x 的一次函数的个数有3个．故选：C．一次函数的图象是经过点和点的一条直线2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵y＝k（x﹣1）（k＞0），∴一次函数图象过点（1，0），y随x的增大而增大，故选项B符合题意．故选：B．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a＝，故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2，同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 （1，0） ．【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，当y＝0时，则x＝1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．故答案为：（1，0）．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＜0，b1＜0，k2＜0，b2＞0，然后逐一判断即可解答．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过四、二、三象限，∴k1＜0，b1＜0，∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、二、四象限，∴k2＜0，b2＞0，∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；B、k1+k2＜0，故B符合题意；C、b1﹣b2＜0，故C不符合题意；D、b1•b2＜0，故D不符合题意；故选：B．考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（ ）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限【分析】利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：∵y＝﹣3x+1，∴k＜0，b＞0，故直线经过第一、二、四象限．故选：A．2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定【分析】利用偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜﹣1，可得出y1＜y2．【解答】解：∵m2≥0，∴k＝m2+1＞0，∴y随x的增大而增大．又∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，且﹣3＜﹣1，∴y1＜y2．故选：B．3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（ ）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1【分析】由“当x1＜x2时，y1＜y2”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而增大，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，∴m的取值范围是m＞1．故选：C．4．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、四象限B ．图象与y 轴的交点坐标为（1，0）C ．y 随x 的增大而减小D ．图象与坐标轴调成三角形的面积为【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A ．∵k ＝﹣2＜0，b ＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；B ．当x ＝0时，y ＝1，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，1），错误，符合题意；C ．∵k ＝﹣2＜0，∴y 的值随着x 增大而减小，正确，不符合题意；D ．令y ＝0可得y ＝1，∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×1×＝，故D 正确，不符合题意．故选：B ．5．已知点（﹣2，y 1），（2，y 2）都在直线y ＝2x ﹣3上，则y 1 ＜ y 2．（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】由k ＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，再结合﹣2＜2即可得出y 1＜y 2．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大，又∵﹣2＜2，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（ ）A．B．C．D．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．根据题意得：﹣2k＝3．解得：k＝﹣．故函数的解析式是：y＝﹣x．故选：A．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（ ）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m的值不存在【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝1，y ＝2且x＝3，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝1，y＝6且x＝3，y＝2；最后利用待定系数法求解即可．【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，故选：B．3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝ ．【分析】设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入，求出k得到函数解析式，把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．【解答】解：根据题意，设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入得：﹣3＝2k，解得：k＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，把x＝﹣代入y＝﹣x，得y＝﹣×（﹣）＝，故答案为：．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣x+4，∴当x＝﹣1时，y＝5≠6，∴点（﹣1，6）不一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD 的解析式．【分析】（1）把C （0，6）代入函数解析式，可得答案．（2）先求D 的坐标，再利用待定系数法求解AD 的解析式．【解答】解：（1）直线y ＝﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴﹣2×0+a ＝6，∴a ＝6，∴直线的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）点D （﹣1，n ）在y ＝﹣2x +6上，∴n ＝﹣2×（﹣1）+6＝8，∴D （﹣1，8），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （﹣3，0）和D （﹣1，8）代入得，解得，∴直线AD 的解析式为y ＝4x +12．考向四：一次函数与方程不等式间的关系的交点坐标由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：1．已知方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解是x ＝1，则直线y ＝2x ﹣1和y ＝﹣3x +4的交点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（1，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，1）【分析】把x ＝1代入直线解析式y ＝2x ﹣1求出y 的值即可得到交点坐标．【解答】解：∵x ＝1是方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解，∴把x ＝1代入y ＝2x ﹣1，得y ＝2×1﹣1＝1．∴交点坐标为（1，1）．故选：B ．2．如图，直线y ＝ax +b （a ≠0）过点A （0，1），B （2，0），则关于x 的方程ax +b ＝0的解为 x ＝2 ．【分析】所求方程的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax +b ＝0的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点的横坐标，∵直线y ＝ax +b 过B （2，0），∴方程ax +b ＝0的解是x ＝2，故答案为：x ＝2．3．如图，一次函数y ＝2x +1的图象与y ＝kx +b 的图象相交于点A ，则方程组的解是（ ）A．B．C．D．【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1，所以A点坐标为（1，3），所以方程组的解是．故选：B．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝ 3 ．【分析】根据由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），即可确定二元一次方程组的解，进一步求值即可．【解答】解：由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），∴二元一次方程组的解为，∴x+y＝1+2＝3，故答案为：3．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据新定义，逐项判断即可．【解答】解：（﹣1）@（﹣2）＝﹣1﹣（﹣2）+3＝4，故①正确；∵x@（x+2）＝x+（x+2）﹣3＝2x﹣1，∴x@（x+2）＝5即是2x﹣1＝5，解得x＝3，故②正确；当x＜2x，即x＞0时，∵x@2x＝3，∴x+2x﹣3＝3，解得x＝2；当x≥2x，即x≤0时，∵x@2x＝3，∴x﹣2x+3＝3，解得x＝0，∴x@2x＝3的解是x＝2或x＝0，故③错误；∵x2+1≥1，∴y＝（x2+1）@1＝x2+1﹣1+3＝x2+3，令y＝0得x2+3＝0，方程无实数解，∴函数y＝（x2+1）@1与x轴无交点，故④错误；∴正确的有①②，共2个，故选：C．6．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 1 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜1 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 x＞1 ．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝ 0 ，n＝ ﹣1 ．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大 ．（3）当时，x的取值范围为 x≤﹣1或x≥2 ．【分析】（1）把x＝﹣1和x＝4分别代入解析式即可得到m、n的值；（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；（3）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把x＝﹣1代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|﹣1﹣1|＝0，∴m＝0；把x＝4代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|4﹣1|＝﹣1，∴n＝﹣1；故答案为：0，﹣1；（2）画出函数的图象如图：观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；（3）画出一次函数y＝x+的图象，观察图象可知：当时，x的取值范围为x≤﹣1或x≥2，故答案为：x≤﹣1或x≥2．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳1.一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律与x轴交点坐标（，0）故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；当k、b异号时，直线交于x轴正半轴对于直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点坐标（0，b）故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴；当b＜0时，直线交于y轴负半轴2.求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标；3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
【人教版】必修一数学：08-函数的单调性：知识讲解和巩固练习-函数的单调性-基础(基础版,含答案)
函数的单调性【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。
【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。
高考数学母题题源解密(山东、海南专版)专题08 函数的性质
高考数学母题题源解密（山东、海南专版）专题08 函数的性质【母题题文】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-【答案】D【试题解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D. 【命题意图】（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值求函数值或参数的取值范围，试题难度中等偏上． 【答题模板】1．判断函数单调性的方法（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出1()f x 与2()f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性．2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．3．利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．4．利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f f h x x g >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．5．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[],a b 上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[],a b 上是减函数，则()f x 在[],a b 上的最小值为()f b ，最大值为()f a ． 6．判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）图象法：（2）定义法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 7．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式．已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数．在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠．若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数．此为函数单调性定义的等价形式． 2．函数单调性的常用结论（1）若(),()x f g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()x f g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数0()(())y f f x x =>在公共定义域内与()y x f =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数0()(())y f f x x =≥在公共定义域内与y =的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性 ①1y x x =+的单调性：在(,1]-∞-和[1,)+∞上单调递增，在(1,0)-和(0,1)上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在(,-∞和)+∞上单调递增，在(和上单调递减． 3．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 4．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 5．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 6．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 7．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）． 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期． 8．函数周期性的常用结论设函数()y f x =，0x a ∈>R ，．①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a ． 9．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有()(2)x f a x f =-或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则()y f x =关于点(,0)b 中心对称．1．（2021·湖南湘潭·高三月考）已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()23=-+f x x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．|()|2f x ≥B ．当0x <时，2()23f x x x =---C ．1x =是()f x 图象的一条对称轴D ．()f x 在(,1)-∞-上单调递增2．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值3．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21xf x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-B ．(2019)1f =C ．()y f x =的图像关于点(2,0)对称D ．函数2()()log g x f x x =-有3个零点4．（2020·山东日照·月考）已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-．若()11f = ，则下列判断正确的是（ ） A ．()31f =B ．4是()f x 的一个周期C ．()()()2018201920201f f f ++=-D ．()f x 必存在最大值5．（2021·宁夏银川二十四中高三月考）下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是（ ） A ．2yxB ．2x y =C ．21log y x= D ．sin y x =6．（2020·甘肃武威·高三月考）下列函数中，既是偶函数又在0,上是单调递增的是（ ） A ．cos y x =B ．xy e-=C ．ln y x =D ．3y x =7．（2020·辽宁高三月考）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ）A ．(0)(2020)(2019)f f f >>B ．(0)(2019)(2020)f f f >>C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>8．（2020·辽宁高三月考）已知()()()cos ,011,(0)x x f x f x x π⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．19．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知函数()ln(1f x x =+，若正实数 a b ,满足(4)(1)2f a f b +-=，则11a b+的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．9D ．1310．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知函数()f x 对任意x y R ∈,，都有()()()f x y f x f y +=，且1(1)2f =，则01()ni f i ==∑（ ） A ．112n -B ．122n -C ．21n -D ．121n +-11．（2020·宁夏大学附属中学月考（理））函数()21x xe ef x x --=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2020·河南信阳·高三月考（理））已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，满足()11f =，函数()1f x +的图象关于点()1,0-中心对称，对于任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()201920191122120x f x x f x x x ->-成立.则()20191x f x ≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．][(),11,-∞-⋃+∞C ．]]((,10,1-∞-⋃D ．()2019,2019-13．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，21()f x x x=-，则(2)f =（ ）A ．2-B ．92-C ．2D ．9214．（2020·天津南开中学高三月考）定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()3x f x =，则()3log 54=f （ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．3215．（2020·四川武侯·成都七中高三月考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,eD ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,16．（2020·山东高三月考）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是奇函数，()1f x +为偶函数，当11x -≤≤，则以下各项中最小的是（ ）.A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f17．（2020·山东高三月考）函数()22()ln xx f x ee x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．（2020·山东潍坊·高三月考）已知函数()()()310,log 20,x ax f x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩若()()16f f -=，那么实数a 的值是（ ） A ．4B ．2CD20．（2020·河南高三月考（文））若函数()()249942922x x f x x x m --=--+有且仅有一个零点，则m =（ ）A ．94-B ．94C ．8116-D ．811621．（2020·河南高三月考（文））已知函数()f x 的定义域为R ，(1)y f x =+为奇函数，当1x >时，()223f x x mx =-++，若函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],12-∞B ．(],4-∞C ．(],6-∞D ．(],8-∞22．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31x f x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞23．（2020·江苏淮安·高三月考）已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()23a f log =，132b f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>24．（2020·山东高三月考）已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =-B ．()ln f x x x =-C ．()22ln f x x x =-D ．()2ln f x x x =-25．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））已知函数()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则()()8f f -=____________．26．（2021·宁夏银川二十四中高三月考（理））函数()f x =___________.27．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数2()log (23f x x =++，当[]2,2x ∈-时，则函数()f x 的最大值与最小值之和是__．28．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x的取值范围是__．29．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[)2,2x ∈-时，()143xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=______．30．（2020·湖北高三月考）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当q x p =(,p q 为正整数，qp是既约真分数)时1()R x p =，当0,1x =或[0,1]上的无理数时()0R x =，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则108lg 35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.31．（2020·河南高三月考（理））已知函数()()()24sin 2x x x f x ax =--+(a ∈R )在区间[]2,2ππ-+上的最大值与最小值的和为8，则a =______.32．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数1222,[0,)()2,(,0)x m x f x x mx x +⎧+∈+∞=⎨-∈-∞⎩的最小值为2m ，则实数m 的值为__．33．（2020·江苏南通·高三月考）已知函数222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩在区间[]1,2a --上单调递增，则实数a 的取值范围为_________________.34．（2021·浙江嘉兴·高三月考）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24xf x =-，则()1f -=________；不等式()0f x <的解集为________．35．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当0x ≥时，()33f x x x =+.若0x <，则()f x =__________；若实数a 满足()()3log 1f a f <，则a 的取值范围是__________．36．（2021·甘谷县第四中学高三月考（理））已知函数2()2x x af x a-=+，若()f x 为定义在R 上的奇函数，则（1）求证：()f x 在R 上为增函数；（2）若m 为实数，解关于x 的不等式：(1)(lg )f f m x >37．（2020·辽宁高三月考）设函数()xxf x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．（1）若2a =，12b =且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值； （2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最小值，求实数m 的取值范围；（3）() 0,1a ∈， 1b >，解关于x 的不等式()0f x >．38．（2020·湖北高三月考）已知函数()()4log 41xf x mx =+-是偶函数，函数()42x xn g x +=是奇函数． （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意4log 3x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数2()21xf x a =--（a R ∈）为奇函数． （1）求a 的值；（2）解不等式2(log )3f x ≥；（3）若不等式()0f x m ->对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．专题08 函数的性质【母题题文】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-【答案】D【试题解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D. 【命题意图】（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值求函数值或参数的取值范围，试题难度中等偏上． 【答题模板】1．判断函数单调性的方法（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出1()f x 与2()f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性．2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．3．利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．4．利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f f h x x g >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．5．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[],a b 上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[],a b 上是减函数，则()f x 在[],a b 上的最小值为()f b ，最大值为()f a ． 6．判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）图象法：（2）定义法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 7．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式．已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数．在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】 1．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠．若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数．此为函数单调性定义的等价形式． 2．函数单调性的常用结论（1）若(),()x f g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()x f g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数0()(())y f f x x =>在公共定义域内与()y x f =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数0()(())y f f x x =≥在公共定义域内与y =的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性①1y x x =+的单调性：在(,1]-∞-和[1,)+∞上单调递增，在(1,0)-和(0,1)上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在(,-∞和)+∞上单调递增，在(和上单调递减． 3．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 4．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x-也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 5．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 6．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 7．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）． 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期． 8．函数周期性的常用结论设函数()y f x =，0x a ∈>R ，．①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a ． 9．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()(2)x f a x f =-或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则()y f x =关于点(,0)b 中心对称．1．（2021·湖南湘潭·高三月考）已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()23=-+f x x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．|()|2f x ≥B ．当0x <时，2()23f x x x =---C ．1x =是()f x 图象的一条对称轴D ．()f x 在(,1)-∞-上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意先求解出0x <时，()f x 的解析式，然后根据已知条件作出()f x 的图象，根据图象即可判断出1x =是否为对称轴以及()f x 在(),1-∞-上是否单调递增.【详解】当0x <时，0x ->，所以()()()223f x x x f x -=-++=-，所以()223f x x x =---，所以()2223,023,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨---<⎩，作出()f x 图象如下图所示：由图象可知：()(][),22,f x ∈-∞-+∞，所以()2f x ≥，故A 正确；当0x <时，()223,f x x x =---故B 正确；由图象可知1x =显然不是()f x 的对称轴，故C 错误； 由图象可知()f x 在(),1-∞-上单调递增，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学生综合分析问题的能力，难度一般.2．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x xg x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据()e e xxf x -=-与()e e xxg x -=+的单调性逐个判定即可.【详解】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x xf x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误.对C, 当因为()e e x xf x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.3．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21xf x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=- B ．(2019)1f =C ．()y f x =的图像关于点(2,0)对称D ．函数2()()log g x f x x =-有3个零点【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性判定AB 正确，结合图象可得D 正确，利用反例推翻C 选项，或者作图得C 选项错误. 【详解】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4，由题：[0,2]x ∈时，()21xf x =-，当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21xf x f x -=-=-，所以A 选项正确；()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确； ()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到， 函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确. 故选：ABD【点睛】此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题. 4．（2020·山东日照·月考）已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-．若()11f = ，则下列判断正确的是（ ） A ．()31f =B ．4是()f x 的一个周期C ．()()()2018201920201f f f ++=-D ．()f x 必存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设条件可得()f x 是周期为4的周期函数，从而可利用()()11,00f f ==可逐项判断A 、B 、C 的正误，对于D ，可以用反例来说明其不正确，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()2f x f x =-且()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数， 所以()()2f x f x =--，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 为周期函数且周期为4，故B 正确. 又()()()1311f f f -==-=-，故A 错.又()()()()()()()20182019202021011f f f f f f f ++=+-+=-=-，故C 正确.设[]1,1x ∈-时，()[)(]1,1,00,10,0x f x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩，且()()2f x f x =-， 则()f x 的图象如图所示，()f x 为R 上的奇函数，但()f x 没有最大值， 故选：BC.【点睛】本题考查函数的奇偶性、图象的对称性以及函数的周期性，注意根据图象的对称性得出函数的周期性，本题属于中档题.5．（2021·宁夏银川二十四中高三月考）下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是（ ） A ．2yx B ．2x y =C ．21log y x= D ．sin y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的性质逐—判断得出结论. 【详解】对于A ，由二次函数性质可知，函数又在(),0-∞上单调递减，故排除A ； 对于B ，由在(),0-∞上知1()2xy =，得函数在(),0-∞上单调递减，故排除B ；对于C ，当x ∈ (),0-∞时，21log ()y x=-，由复合函数的单调性可知，函数在(),0-∞上单调递增，且由偶函数的定义可知函数为偶函数，故正确；对于D ，由正弦函数的性质可知为奇函数，故排除D.故选：C【点睛】本题主要考查了学生对基本初等函数的单调性、奇偶性的掌握运用能力，可用排除法，属于中档题.6．（2020·甘肃武威·高三月考）下列函数中，既是偶函数又在0,上是单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．x y e -= C ．ln y x =D ．3y x =【答案】C 【解析】 【分析】结合选项和函数单调性奇偶性进行判断. 【详解】选项D 为奇函数，不合题意, D 不正确；当0x >时，cos y x =是周期函数，不是单调函数，不合题意，A 不正确； 当0x >时，=xx y ee --=是减函数，不合题意,B 不正确；当0x >时，ln =ln y x x =是增函数，符合题意,C 正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合基本函数解析式的特征可求性质，属于基础题型.7．（2020·辽宁高三月考）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ）A ．(0)(2020)(2019)f f f >>B ．(0)(2019)(2020)f f f >>C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>【答案】B 【解析】 【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小. 【详解】(1)f x +是偶函数,得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，。
02-08确认函、告知函[模板]含回执
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确认函C O N F I R M A T I O N致送 TO：抄报COPY:发出FROM :抄送COPY:日期DATE编号NO：2011（年）-XX（月）-01（序号）主题SUBJECT :□紧急URGENT□请审阅REVIEW□请批注NOTION□请答复ANSWER:要点说明：1、页面设置：页边距：上：2.54㎝；下：2.5㎝；左：2.5㎝；右：2.5㎝，装订线位置：左版式：页眉和页脚：距边界：页眉：1.1㎝；页脚：0.48㎝;2、页眉和页脚:页眉LOGO大小：高度：2.28㎝，宽度2.62㎝；缩放：高度70%；宽度70%；页眉字体：中英文位于同一行，根据文件类型进行选择；中文：楷体_GB2312，四号，加粗；字符间距：加宽4.3 磅英文：Times New Roman，小三，加粗; 字符间距：加宽8.7磅；页眉段落：行距：单倍行距；文字前后各空一行；页眉下边框线：线型：单实线；宽度：3磅3、表头与表尾：字体：主题：黑体，小四；其余中文：仿宋_GB2312，小四,字符间距：标准；英文：Times New Roman，五号；字符间距：缩放80%段落：行距1.5倍下划线：线型：单实线，粗细：0.75磅；长度：16㎝（作捆绑组合）4、正文：字体：中文：仿宋_GB2312，英文：Times New Roman,五号～三号之间（根据正文总体字数可适当调整）；段落：单倍行距～2倍行距之间（根据正文总体字数可适当调整）；称谓：左起顶格。
回执：字体同页眉；段落：段前12段，1.5倍行距致送会签ISSUED：撰文DRAFTED：审核REVIEW：批准APPROVED：告知函N O T I F I C A T I O N致送 TO：抄报COPY:发出FROM :抄送COPY:日期DATE编号NO：2011（年）-XX（月）-01（序号）主题SUBJECT :□紧急URGENT□请审阅REVIEW□请批注NOTION□请答复ANSWER:要点说明：1、页面设置：页边距：上：2.54㎝；下：2.5㎝；左：2.5㎝；右：2.5㎝，装订线位置：左版式：页眉和页脚：距边界：页眉：1.1㎝；页脚：0.48㎝;2、页眉和页脚:页眉LOGO大小：高度：2.28㎝，宽度2.62㎝；缩放：高度70%；宽度70%；页眉字体：中英文位于同一行，根据文件类型进行选择；中文：楷体_GB2312，四号，加粗；字符间距：加宽4.3 磅英文：Times New Roman，小三，加粗; 字符间距：加宽8.7磅；页眉段落：行距：单倍行距；文字前后各空一行；页眉下边框线：线型：单实线；宽度：3磅3、表头与表尾：字体：主题：黑体，小四；其余中文：仿宋_GB2312，小四,字符间距：标准；英文：Times New Roman，五号；字符间距：缩放80%段落：行距1.5倍下划线：线型：单实线，粗细：0.75磅；长度：16㎝（作捆绑组合）4、正文：字体：中文：仿宋_GB2312，英文：Times New Roman,五号～三号之间（根据正文总体字数可适当调整）；段落：单倍行距～2倍行距之间（根据正文总体字数可适当调整）；称谓：左起顶格。
人教A版数学必修一第一章 08 分段函数
必修1第一章08分段函数班级 学号 姓名 .【单点理解】1．已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=>-=)0(12)0(2)0(43)(22x x x x x x f ，则)3(-f = ；=)2(f ；=)0(f ． 2．函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<<-≥=)1(2)21()2(2)(2x x x xx x x f ，若3)(=x f ，则x 的值为 ． 3．某商品销售时，一次购买不超过10件，按每件10元售出，超过10件，超过部分每件打九折销售，现某人购买这种商品x 件，付款)(x f 元，则)(x f 的解析式为（） （A ）*,9)(N x x x f ∈=（B ）*,)10(9)(N x x x f ∈-=（C ）⎩⎨⎧∈>-∈≤<=N x x x N x x x x f ,10,)10(9,100,10)(（D ）⎩⎨⎧∈>-+∈≤<=N x x x Nx x x x f ,10,)10(9100,100,10)(4．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0,)1(0,)1()(2x x x x x f ，则=])2([f f （）（A ）4（B ）1（C ）0（D ）－1 5．函数xx x x f +=)(的图象是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 【组合掌握】6．已知函数)(x f 的图象如图所示，求)(x f 的解析式，并指出其定义域和值域．7．作出函数11)(-++=x x x f 的图象．8．法律规定：公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加计算： 某人一月份应交纳税款26.8，求他当月的工资．9．已知函数)(x f y =的图象如图，求函数)1(-x f 的解析式．【综合运用】10．某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到150千米远处的B 地，在B 地停留1小时后，再以50千米/小时的速度返回A 地.把汽车离开A 地的路程y （千米）表示为时间t （小时）（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图象．11．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，动点P 从A 点出发，沿着矩形的边按A →B →C →D →A 的顺序运动到A ，设点P 到对角线AC 的距离为y ，点P 所经过的路程为x ，将y 表示成x 的函数，并画出此函数的图象．12．设]3,3[,3)(-∈+=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=)(0)30(5)(2其他x xx x g ，求)()()x g x f x F +=（的解析式，并求)(x F 的定义域和值域．必修1第一章08分段函数 1．－17；8；2； 2．3； 3．D ； 4．A ； 5．C ；6．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=)20(,121)01(,2)(x x x x x f ；7．8．2118；9．⎩⎨⎧>≤-=1,11,1)(x x x f ； 10．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+<<≤≤=)5.65.3()5.3(50150)5.35.2(150)5.20(60x t x t ty ；11．⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈-∈-∈-∈=]14,11(,)14(54]11,7(,)7(53]7,4(,)7(54]4,0[,53)(x x x x x x x x x f ；12．⎩⎨⎧<≤-+≤≤+-=)03(3)30(34)(2x x x x x x F ；[-3，3]；[-1，3]．。
衔接教材08 分段函数(解析版)
衔接教材08 分段函数知识点讲解一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。
它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。
但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。
本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。
分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。
求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。
判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。
经典例题解析例1 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,940,80]320(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．x (克)y (分) O图2.2－920 40 60 80 100 400 320 240 160 80例2如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔPAC 的面积为y ． （1）求函数y 的解析式； （2）画出函数y 的图像； （3）求函数y 的取值范围．分析：要对点P 所在的位置进行分类讨论． 解：（1）①当点P 在线段AB 上移动，即0＜x ≤2时，y ＝＝x ； ②当点P 在线段BC 上移动，即2＜x ＜4时， y ＝12PC AB ⋅＝1(4)22x -⋅＝4－x ； ③当点P 在线段CD 上移动，即4＜x ≤6时，y ＝12PC AD ⋅＝1(4)22x -⋅＝x －4；④当点P 在线段DA 上移动，即6＜x ＜8时，实时训练1．把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像： （1）|1|y x =-； （2）|23|1y x =+-.【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞，图像见解析；（2）定义域为R ，值域为[1,)-+∞，图像见解析. 【分析】（1）化简得到1,11,1x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩，再计算定义域和值域，画出图像得到答案. （2）化简得到322,2342,2x x y x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，再计算定义域和值域，画出图像得到答案.【详解】（1）1,111,1x x y x x x -⎧=-=⎨-<⎩，定义域为R ，值域为[0,)+∞，图像如图所示：12AP BC ⋅AC BDP图2.2－10（2）322,2=231342,2x x y x x x ⎧+≥-⎪⎪+-=⎨⎪--<-⎪⎩定义域为R ，值域为[1,)-+∞.图像如图所示：【点睛】本题考查了分段函数的图像，定义域，值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 2．已知函数y =|x +1|+|1﹣x |.（1）用分段函数形式写出函数的解析式； （2）画出该函数的大致图象.【答案】（1）y =2,12,112,1x x x x x -<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩；（2）答案见解析.【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号可得分段函数解析式；（2）分段作出函数图象，得折线即函数图象． 【详解】（1）函数y =|x +1|+|1﹣x |=2,12,112,1x x x x x -<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩．（2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示：【点睛】本题考查含绝对值的函数，考查分段函数的表达式及函数的图象，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得分段函数解析式．分段作出函数图象即可．3．依法纳税是每个公民应尽的义务，规定：公民全月工资薪金所得不超过3500元的免征个人所得税；超过3500元的部分．．为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算.（1）若应纳税额为()f x .试用分段函数表示1～3级纳税额()f x 的解析式； （2）某人一月份应交纳此项税款303元，那么他当月的工资薪金所得是多少？【答案】（1）y = 0.030.11050.2555xx x ⎧⎪-⎨⎪-⎩,01500,15004500,45009000x x x <≤<≤<≤；（2）7580元.【详解】试题分析：（1）根据题中表格，可以将自变量范围分为3段，从而可得分段函数； （2）由（1）知0.1x -455=303，可得结论． 试题解析：（Ⅰ）由题意及图表得全月应纳税所得额为x 元时，应纳税额()f x 的解析式为：y = ()()()3%,0150015003%150010%,1500450015003%4500150010%9000450020%,45009000x x x x x ⎧⋅<≤⎪⨯+-⨯<≤⎨⎪⨯+-⨯+-⨯<≤⎩即y = 0.030.11050.2555xx x ⎧⎪-⎨⎪-⎩,01500,15004500,45009000x x x <≤<≤<≤（Ⅰ）当303y =元时，符合2级纳税额公式，即0.1105303x -= 4080x ∴=∴该人当月的工资薪金所得是：408035007580+=（元）4．依法纳税是每个公民应尽的义务，规定:公民全月工资薪金所得不超过5000元的免征个人所超过5000元的部分为全月应纳税所得额，设全月应纳税所得额为x ，此项税款按下表分段累计计算.（1)若某人一月份工资收入为15800元，求某人该月要交多少税款?（2）若应纳税额为()f x .试用分段函数表示1~3级纳税额()f x 的解析式；【答案】（1）870（2）()0.03150500080000.17108000170000.224101700030000x x f x x x x x -<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，，， 【分析】（1）应交税款=不超过3000元的部分3%⨯+超过3000元，不超过12000元的部分10%⨯+超过12000元，不超过25000元的部分15%⨯，依此列式计算即可求解； 【详解】（1）若某人一月份工资收入为15800元，应交税款=()30003%158003000500010%=870⨯+--⨯（元）（2）根据题意有：05000x <≤时，0y =；50008000x <≤时，()0.0350000.03150y x x =-=-； 800017000x <≤时，()900.180000.1710y x x =+-=-； 1700030000x <≤时，()9900.2170000.22410y x x =+-=-，Ⅰ()0.03150500080000.17108000170000.224101700030000x x f x x x x x -<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，，，. 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，确定函数模型是关键，属于中档题.5．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数()211(1)x y xx x ⎧-≤-⎪=⎨⎪->-⎩的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()15,A y -，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值2y =时，求自变量x 的值；③在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【分析】（1）描点连线即可；（2）①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y =2代入y =|x -1|进行求解即可；③由图可知13x -≤≤时，点关于x =1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 （1）如图所示：（2）①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在2y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<； 15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x ， C 与D 在|1|y x =-上，且|1|y x =-在[1,)+∞单调递增，∴12x x <， 故答案为<，<； ②当2y =时，22x=-，1x ∴=-，当2y =时，21x =-，3x ∴=或1x =-（舍去）； 综上：当2y =时，3x ∴=或1x =-； ③()33,P x y ，()44,Q x y 在1x =-的右侧，13x ∴-≤≤时，点关于1x =对称，34y y =，342x x ∴+=；④由图象可知，02a <<. 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．6．目前，某市出租车的计价标准是：路程2km 以内（含2km ）按起步价8元收取，超过2km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10km 后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9(150%) 2.85⨯+=元/km ） （1）若020x <≤，将乘客搭乘一次出租车的费用()f x （单位：元）表示为行程x （单位：km ）的分段函数；（2）某乘客行程为16km ，他准备先乘一辆出租车行驶8km ，然后再换乘另一辆出租车完成余下路程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱？【答案】（1）8(02)4.2 1.9(210)2.85 5.3(1020)x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-<≤⎩（2）换乘更省钱【分析】（1）仔细审题，由题意即可列出乘客搭乘一次出租车的费用f （x ）（元）表示为行程x 的分段函数．（2）求出只乘一辆车的车费，换乘2辆车的车费，通过比较即可得到结论. 【详解】解：（1）由题意得车费()f x 关于路程x 的函数为：()()8(02)8 1.92(210)8 1.98 2.8510(1020)x y x x x x ⎧<≤⎪=+-<≤⎨⎪+⨯+⨯-<≤⎩8(02)4.2 1.9(210)2.85 5.3(1020)x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-<≤⎩（2）只乘一辆车的车费为： 2.87516 5.340.3(y 元）=⨯-= 换乘2辆车的车费为：()24.2 1.9838.8（元）+⨯= 40.3＞38.8∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．【点睛】本题考查分段函数在生产实际中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。
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五、指错改错题 ××学校关于解决进修教师住宿的函 ××大学校长： 首先，让我们以校方的名义向贵校表示衷心 的感谢。感谢你们为我校办学给予的大力帮助。 目前，我校又面临一个很难解决的问题。 事情原来是这样的：我校开办不久，师资力 量很差。最近，我校为了培养师资，决定选派五 名教师到××学院进修一年。我校与贵校有关部 门多次商量，但因该院基建工程尚未完工，学校 住宿紧张，我校几位进修教师的住宿问题至今也 没有得到解决。在进退维谷的情况下，我们情急 生智，深晓贵校府高庭阔，物实人济，且具宽大 为怀、救人之危之美之德。因此，我们抱一线希
例文三：(商洽函) 东风电机厂 关于商请黎晓芸离岗护理其夫的函
江南化工公司：
贵公司工程师黎晓芸系我厂第一车间主任张 先扬的妻子。今年4月17日，张先扬同志在出差途 中因车祸受了重伤。经住院治疗现已脱离危险， 但他生活尚不能自理。另外，他们年仅5岁的小孩 也需人照管。自张先扬同志住院以来，我厂请专 人予以照顾，但许多问题仍难以解决。经与张先
3. 正文 其基本组成部分为发函缘由、事项和结语三项。 （1）致函缘由 发函，简要说明发函原因，或说明根据上级 的有关部署、指示精神，或简要陈述本地区、本 部门的实际困难和需要，或扼要说明事情的经过 和基本情况。 复函，要写明复函引据，即引述对方来函的 标题和发文字号。写作的模式是：“你×（公司、 厂、部门等单位类别）《关于××××的函》 （×函〔 2005〕×号）收悉，经研究，现函复如 下：”
例文五：(复函) 国务院办公厅关于同意宁波海关 升格为正厅（局）级直属海关问题的复函 浙江省人民政府、海关总署： 浙江省人民政府《关于宁波海关升格正厅级 直属海关的函》（浙政函„2001‟27号）收悉。经 国务院领导同志同意，现函复如下： 同意宁波海关升格为正厅（局）级机构，隶 属于海关总署，不增加人员编制。 其他有关事宜，请你们与有关方面协商办理。 国务院办公厅（公章） 二○○二年四月十八日
（2）致函事项 发函应将商洽、询问、告知或者请求批准的 事项予以具体、简洁的陈述，用语应庄重有礼而 不恭维逢迎。 复函须强调针对性。 （3）结语 发函：专此函达，请予函复；特此函达，并 希见复；特此函告，谨请函复；如无不妥请予批 准；望早日函复；盼复；可否，请速函复。 复函：专此函复；特此函复；专此函告。
二、单项选择题 1.按行文方向分类，函主要是属于（）。 A、上行文 B、平行文 C、下行文 D、多向行文 2. ××大学向×市税务局了解纳税的有关情况，行 文应用（）。 A、商洽函 B、申请书 C、请批函 D、询答函 3. ××集团公司向××学校联系借用该校运动场举 办职工运动会，行文应用（）。 A、商洽函 B、申请书 C、请批函 D、询答函 4. ××小学向县国土局请求用校内土地建房，行文 应用（）。 A、商洽函 B、申请书 C、请批函 D、询答函
题得到解决。住宿费用由我校统一支付， 其它相
关事宜，按贵校有关规定办理。
特此函请，望予支持。
XX学校（印） 二○○六年七月五日
3.函的种类有（）。 A、商洽函 B、询答函 C、请批函 D、告知函 E、说明函 4.函的主要特点是（）。 A、简明直白 B、简便灵活 C、制作简便 D、使用方便 E、自由发送 四、改正下列标题的错误 1. ×市交通局关于解决修路所需经费给市财政局的 请示 2. ×县电业公司关于拟调减供电指标给×厂的通知 3. ×市教育局关于调整×县职业教育结构给×县政 府的批复
常用公文 写作
函
本节学习重点:
1.识记函的适用范围、分类及发文字号编写要求 2.了解函的特点、写作注意事项
3.熟悉函的写法及相关的写作要求，能正确拟写函
一、函的适用范围
函是平行文。
《条例》表述为：“用于机关之间商洽工作， 询问和答复问题，向无隶属关系的有关主管部门 请求批准等”。
“不相隶属”或“无隶属关系”，其外延包括： 同一组织系统内的平级机关（或部门）之间的关 系，上级机关所属部门和下级机关之间的关系， 不同组织系统的任何机关、部门、单位、团体之 间的关系。这说明，除有上下级隶属关系外的一 切组织之间的商洽、询答、请批事项，均可用函 行文。 “有关主管部门”，指的是职能部门，即某项 工作、业务的专管部门。任何社会组织办理无权 自作主张的事涉及某部门主管范围内的公务，均 须征得该主管部门的同意或支持，即应行文向其 请求批准。但由于双方“无隶属关系”，故只能 发函而不能使用请示这种上行文。相应地，主管 部门也只能用批答函回复，不能用批复作答。
扬同志商量，觉得让其妻黎晓芸离岗护理其夫、 照顾孩子最为理想。为此，特致函贵公司商议此 事。如贵公司同意，由我厂承担黎晓芸离岗期间 的工资和奖金。护理期暂定为半年，如需延长， 届时再致函商量。 专此致函，请复。
东风电机厂（公章） 二○○五年十月六日
例文四：(复函) 国务院办公厅关于扬州 雕版印刷博物馆冠名问题的复函 江苏省人民政府： 你省《关于请批准将扬州雕版印刷博物馆冠 名为中国雕版印刷博物馆的函》（苏政函„2003‟ 34号）收悉。经商有关部门并报国务院领导同志 同意，现函复如下： 同意“扬州雕版印刷博物馆”冠名为“扬州 中国雕版印刷博物馆”。 国务院办公厅（公章） 二○○五年十月六日
例文二：(询答函) ××县委办公室关 于询问×中学违规收费情况的函 县教育局： 据《××晚报》2005年5月3日第二版报道，我县××中 学连续两年违规收取“建校费”达120万元。此事经媒体披 露后，在群众中引起强烈反响。但据了解，自报道刊发至今， 已逾半月，该校始终未向媒体做出任何解释，你局也未派人 进行深入调查及公布相关情况，导致众多家长联名写信向主 管县长反映。 根据县政府领导同志指示，特函告你局迅速处理此事， 并将有关情况及时上报。 中共××县委员会办公室（公章） 二○○五年十月六日
二、函的特点与种类
1.函的特点
（1）简明直白
（2）简便灵活
2.函的种类 （1）商洽函 （2）询答函 （3）请批函 （4）告知函
三、函的写法
1. 制作格式及发文字号 机关代字+函+年份+顺序号，即在机关代字 后要写一“函”字，表明其序号按“函”字系列 排序，不按机关发文大序号排序。 2. 标题 发文机关+（关于）事由+文种 （关于）事由+文种 （关于）商洽（商请、请求）事由+文种 发文机关+（关于）事由+复函 发文机关+事由+受文机关+复函
修改为：
××学校关于请求 帮助解决进修教师住宿问题的函 ××大学：
首先，感谢贵校对我校办学给予的大力支持。
现又有一困难希望贵校帮助解决：为提高我校青年
教师的教学水平，选派了五名教师（其中女教师两
名）到××学院进修一年，但因该院学生宿舍基建 工程尚未完工，我校进修教师的住宿难以安排。为
此，特与贵校商洽恳请贵校提供帮助，使这一问
4. 文尾 发文机关印章、成文日期。 请批函应该在成文日期之下作出“附注”， 置圆括号标注联系人姓名和电话。
四、函写作的注意事项
1. 2. 3. 4. 正确选用文种 必须一函一事 行文语气谦和 事简可用便函 公函是正式公文，便函用于商洽一般性事务， 形式简便灵活，可用机关单位的稿笺纸书写，可 不编文号，加盖办公部门的印章即可。
望，冒昧地向贵校求援，请求贵校救人之危，伸 出援助之手，为我校进修教师的住宿提供方便。 为此，我们将不胜感激！关于住宿费用，我们不 会赖帐。
以上区区小事，不值得惊扰贵校，实为无奈， 望能谅解。最后，再次恳请予以关照！
××学校 二○○五年七月八日
参考答案：
1.标题不当。事由部分应用请求或商洽语气。 2.主送机关不当。公文一般不能直接送给领导者个 人，应改为“××大学”或“××大学校长办公 室”。 3.未做到开门见山，直叙其事；语言罗嗦，也欠得 体（如“贵校府高庭阔„„”等语言风格与前后 文不一致，还有逢迎或嘲讽之嫌。） 4.商洽的事项不具体，如进修教师的性别、住宿经 费的支付方式等均应表明。 5.无印章。
思考与练习题：
一、判断题 函是平行文，不可上行，一般也不下行。 （） 2.不相隶属机关之间商洽、询问、答复问题可用函 行文。 （） 3.函的格式没有明确的制作规范。 （） 4.复函标题的文种前应写上“复”字。 （） 5.复函的致函缘由应引述来函的标题和发文字号。 （） 6.函的发文字号中机关代字后一般应加“函”字。 （）
函用于询问和答复问题时，也应遵循平行的 规则。
如果需要向上级询问有关问题，有两种行文 形式：一种是以请示行文；
一种是向上级办公部门发函询问，因下级 机关与上级办公部门无上下级的隶属关系，完全 符合函在使用范围上的要求。
同样，上级机关如需要向下级询问、答复 有关事宜，应由本级机关的办公部门向下级机关 发函。
例文一：(请批函) 关于××电厂建设问题的函
国家计划委员会： ××电厂的建设，今年国家已经列为预备项目。 目前，该电厂建设的前期工作已全部完成，初步设 计水电部已审批。为使××电厂建设与××煤田开 发同步进行，请批准将电厂建设转为正式项目，以 利抓紧施工。 关于电厂投资问题，按每千瓦850元包干建设， 不足部分由我省筹集解决。 专此致函，请复。 ××省人民政府（公章） 二○○九年十月六日 （联系人：×× 联系电话： ××××）
5. 请求有关主管部门批准某事项，应用（）行文。 A、商洽函 B、申请书 C、请批函 D、请示 三、多项选择题 1.《条例》规定，函适用于不相隶属机关之间（）。 A、询问和答复问题 B、商洽工作 C、发布文件 D、批评错误 E、请求批准和答复审批事项 2.（）可以用函行文。 A、不同的团体之间 B、不同的政党之间 C、不同组织系统的机关之间 D、领导与被领导机关之间