中考函数动点的最值问题

中考函数动点的最值问题
一、教材与学情分析
从历年中考来看，函数及其图像上的动点问题是新课标中考第五大题的热点题型，一般多种函数交叉出现求面积最值，关联着丰富的几何知识，命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查。

从知识的基础上看，学生已经掌握了初中阶段所学的一次函数、二次函数、几何等知识，能利用二次函数的性质求最值。

从个性品质上看，所教学生具有一定的分析理解能力和自主探究热情。

二、教学目标的确定
【知识与技能】
1、掌握函数上动点的表示方法。

2、结合函数图像特点表示出线段长度、三角形、四边形的面积，从而将几何问
题转化为二次函数问题，并利用二次函数性质求解。

【过程与方法】
通过实践探索，掌握表示函数动点的方法，发展合理的推理能力，形成解决函数动点求面积最值问题的一些基本策略和方法。

【情感态度与价值观】
对各知识点的整合形成知识网络，为第二轮复习进一步指明目标和方向，培养学生逻辑思维的核心素养，提升学生的综合能力。

【重点】
掌握函数图像上动点的表示方法，能结合图像特点列出二次函数求面积，利用其性质求解。

【难点】
利用图像特点将动点的几何问题转化为二次函数问题。

三、教学方法的选择
本节是一节复习提升课，为了突出重点、详解难点，在本节的教学中我决定采用引导---发现、碰壁---点拨与自主探究相结合的教学方法，在整个教学过程中贯穿五字要领“引—疏—点—激—导”，体现以学生为主导的新课程教学理念，启发点拨学生把握知识间的内在联系，加强知识与技能的综合运用，培养学生数
学抽象建模的核心素养，帮助学生建立良好的知识体系。

四、教学过程的设计
同学们，如果已知一点的横坐标和函数解析式，你能得到它的坐标吗？若这是一动点，假如用x 表示横坐标，那纵坐标可以用什么来表示呢？下面就让我们一起来探讨函数中动点的最值问题。

1、小试牛刀
（2007玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在轴y 上
（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E ，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
【点拨】
（1）易求m=1，抛物线的解析式为y=122+-x x
（2）下面重点探讨本题中动点线段的最值
∵点P 在函数y= x+1上，点E 在函数y=122+-x x 上且PE ⊥x 轴
∴设P(x, x+1)E(x, 122+-x x )
h = PE =（x+1）-（122+-x x ）= -x x 32+（0<x<3）
【设计意图】
此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，数形结合，难度较低，有利于学生直观感受函数上动点到线段的表示方式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

2、例题示范
（2014.涉县）如图，已知抛物线y=c bx ax ++2经过A （-3，0），B （1，0）， C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S 。

①求S 与m 的函数关系式；
② S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由。

【点拨】
（1）函数图象经过三点，用待定系数法确定二次函数的解析式为：y=322+--x x （２）分步骤引导学生理解题意：
1、引导学生观察出EF ∥y 轴，不妨设点E 、点F 的横坐标同为m ，点E 在直线AD 上，待定系数法由AD 两点坐标可得直线AD 解析式为y=2x+6，点F 在抛物
线y=322+--x x 上，根据图像上点的特征可得E （m ，2m+6），F （m ，322+--m m ）
2、引导学生观察图形特征，没有一边平行于x 轴或y 轴，无法根据定义直接求出△ADF 的面积，结合图形可分为△DEF 和△AEF ，且有同底EF,两个三角形的高的和为不变量“水平宽”线段AH ，变量“铅垂高”线段EF 的表示方式为EF=342---m m ，实现最值转化，得出△ADF 的面积S = 342---m m ，最终通过二次函数的性质求最值。

过程如下：
①∵抛物线y=322+--x x 顶点D 的坐标为（-1，4）
又∵A （-3，0）
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m
∴E （m ，2m+6），F （m ，322+--m m ）
∴EF=322+--m m -（2m+6）=342---m m
∴S = DEF S ∆ + AEF S ∆ =21EF •GH+2
1EF •AG =2
1EF •AH =2
1（342---m m ）×2 =342---m m
②S = 342---m m =1)2(2++-m ；
∴当m=-2时，S 最大，最大值为1
此时点E 的坐标为（-2，2）．
【设计意图】
本题旨在引导学生找出图形中的不变量“水平宽”，通过不变量建立相关．．．．．．．．．模型实现最值的转化．．．．．．．．．
，关键在于“铅垂高”线段EF 的表示方式，得出S 与m 的函数关系式，从而利用二次函数的性质求最值．．．．．．．．．．．．。

3、巩固练习
（2016四川攀枝花）如图，抛物线y=c bx x ++2与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐
标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积。

【点拨】
（1）易求得抛物线解析式y=322--x x
（2）连接BC ，则△ABC 的面积是不变的，过P 作PH ∥y 轴
交BC 于点M,设出点P 的坐标，即可表示出PM 的长，
当PM 取最大值时，△PBC 的面积最大，利用二次函数
的性质可求出点P 的坐标及四边形ABPC 的最大面积
【设计意图】
本题为二次函数的综合应用，考查学生学会分析题目的不变量．．．．．．．．△．ABC ．．．的面积，．．．．在（2）中确定出线段PM 的最值是求四边形ABPC 的面积最大的解题关键。

实现．．最值转化．．．．，利用二次函数性质求最值，．．．．．．．．．．．．
进一步深化此类题目的解题方法和思路。

4、拓展训练
（2016．深圳）如图，抛物线322-+=x ax y 与x 轴交于A 、B 两点，且B （1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；
（2）已知直线9
432-=x y 分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线
段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

【点拨】
（1）易求得抛物线解析式y=322-+x x ，A(-3,0)
（2）存在，过Q 作QH ⊥DE 于点H ，由直线CF 的
解析式可求得点C 、F 的坐标，结合条件可求得
tan ∠QDH ，可分别用DQ 表示出QH 和DH 的长，
分DQ=DE 和DQ=QE 两种情况，得出当DQ=QE 时△QDE 的面积最大，分别用DQ 的长表示出△QDE 的面积，再设出点Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE 的面积的最大值。

【设计意图】
本题考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角形的面积、三角函数、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中找出．．不变的量．．．．∠．QDH=．．．．∠．MFD=．．．．∠．OFC ．．．，利用．．DQ ．．表示出．．．△．QDE ．．．的面积．．．实现最值转化．．．．．．是解题的关键．考查知识点较多，综合性较强，计算量大，拓展学生的思维，全面提升和培养学生分析解决问题的能力。

【课堂小结】
函数动点的最值问题，多为求面积，在解决本类题型时我们要学会动中觅静，即要分析总结图形中那些隐含的、在运动变化中的不变量或不变关系．关键在于通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型实现最值转化，最终通过二次函数的性质求最值。

【布置作业】
1、复习本节的函数动点求面积方法。

2、完成课后配套练习。

五、教学反思
本节通过精心设计、挑选中考真题范例，从点→线段→三角形→四边形感受函数动点的表达方式，再到分类讨论的动点求面积，由浅入深层层推进，在无声的思维中感受知识的碰撞，突出重点，分散难点，从横向到纵向提升难度，多层次、多角度的变式与发散，实现学习的迁移和知识的实际运用，启发学生把握知M
识间的内在联系，加强知识和技能的综合运用，培养学生数学抽象建模的核心素养。

逐步提升学生的综合素质能力。

六、命题预测
1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的相互整合渗透；
2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注重了初、高中知识的衔接；
3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其他相关问题。