数字信号处理复习题

二、离散信号和抽样定理
1、常见离散信号
x 定义： {x(n)} n ， 于n的非整数点,x(n)没有定义。 常见序列： 1 n 0 (n) ⑴ 单位取样序列： 0 n 0
⑵
1 u(n) 单位阶跃序列： 0
1 RN (n) 0
三角交函数集
cos(nt), sin(n t) （t0 , t0 T）
n 0,1,2, ,
指数函数集
e （t , t
j nt 0
0
T）
n 0,1, 2, ,
f(t)=f(t +T )可用在( t0，t0 +T )内完备正交函数集表示。
周期信号傅立叶级数展开
1、离散Fourier变换
1 x( n ) = IDFT [ X ( k )] = N
N 1 2π kn N
∑X ( k )e
k =0
j
1 N
X (k )W
k 0
N 1
kn N
,0 n N 1
=
0，others
X ( k ) = DFT [ x( n )] = ∑ ( n ) e x
稳定系统是指如果输入信号x(t)是有限的，那么输出信号y(t) 也是有限的系统 。系统具有有界输入有界输出（BIBO）稳定 性。
n0
系统的时间响应函数h(n)在n<0时应等于零，即
定理1
x(n)
n
h(n)


y(n) h(n) x(n)
3、系统的组合----串联、并联、反馈
注意：n为整数，对
n0 n0
⑶ 矩形序列：
0 n N 1 其它
x(n) a n ⑷ 实指数序列：
⑸ 复指数序列和正弦序列：
x(n) A sin(n )
x(n) e( j ) n e n cos(n) je n sin(n)
任意序列表示 周期序列
d n x( t ) 时域微分性 ⇒(i 2πf )n X ( f ) n dt
dnX( f ) 频域微分性 ( -i2πt ) x( t ) ⇒ df n
n
5、常见题型
（1）根据已知条件，画出信号波形，或写出信号函数表达 式。 （2）将已知波形展开成傅立叶级数。 （3）利用傅氏变换性质，求频谱，或傅氏反变换。
X( t ) ⇒x( - f )
1 f x( at ) ⇒ X ( ) a a
时域卷积定理
时频展缩性 时移性 频移性
x( t ±t0 )⇒X( f )e ±i 2πft0
x( t )e ±i 2πf0t ⇒X ( f f0 )
x1 ( t )* x2 ( t ) ⇒X 1 ( f ) X 2 ( f )
4、有理系统及其时间响应函数
有理系统常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 P( z ) X ( z) Q( z )
5、差分方程的单边Z变换解法
a y (n k ) b x (n k )
k 0 k k 0 k
N
N
差分方程解=稳态解+暂态解
五、有限离散傅立叶变换
n 1

其中： A b 0 0
An a b
2 n
2 n
bn n tg a n
1
an An sin n
bn An cos n
周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。
指数形式傅立叶级数
e
n
i 2nf 0 t
n 0,1,2
线性时不变因果稳定系统
1 ( n) 单位脉冲序列δ（克罗内克函数） 0
时间响应函数
n0 n0
线性时不变系统T的时间响应函数（滤波因子）
h(n) T (n)
n
H（Z） =
h ∑ ( n )Z
n= ∞
+∞
H（）
n
h ( n )e

in
2、系统的因果性和稳定性 因果性的充分必要条件是： h(n) 0 稳定系统
串联
y(t) = y1 (t) h2 (t) = x(t) h1 (t) h2 (t) = x( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
H( Z ) = Y( Z) = H1 ( Z )H 2 ( Z ) X( Z )
并联 y( t ) = x( t ) h1 ( t ) + x( t ) h2 ( t )
在( t0，t0 +T )为完备正交函数集。对于周期信号f(t)=f(t+nT) ， 当其满足狄氏条件时，可展成：
x( t )
其中：
cn e i 2nf 0 t
1 t0 T i 2nf 0 t cn x( t )e dt T t0
离散相位谱 rgc n A
离散振幅谱 cn
2、傅立叶变换对
三、滤波与褶积、Z变换
1、连续信号的滤波与褶积 2、离散信号的滤波与褶积 3、连续、离散信号的能量谱、能量等式、功率谱、平均功 率等式 4、离散信号频谱的简化表示 5、离散信号Z变换及性质
四、线性时不变滤波器与系统
1、线性时不变系统及其时间响应函数
y( n ) = T [ x( n )] 系统 系统性质：线性、时不变性、因果性、稳定性
sin 2πδf = 2δSa( 2πδf ) （1）方波 S( f ) = πf
（2）单边指数衰减波 ( 0冲激函数
S( f ) = 1
1 （4）单位阶跃波 S ( f ) ( f ) 2if
（5）直流信号 S f 2E f
X 3 (k) DFT[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (k) bX 2 (k) X (k) DFT[x(n)]
2.复共轭序列的DFT
* 设 x（n)是
x(n)的复共轭序列，长度为N，其DFT
变换为：DFT[x* (n)] X * (N k),0 k N 1
Y(Z) Y1 (Z)+ Y2 (Z) H(Z)= = = H 1 (Z)+ H 2 (Z) X(Z) X(Z)
反馈
y( t ) = x( t ) h1 ( t ) y( t ) h2 ( t )
Y( Z) H1 ( Z ) H( Z ) = = X ( Z ) 1 + H1 ( Z )H 2 ( Z )
， 2
N
为整数；
3N / 4
d．几个特殊值：
W
kN N
1,W N 1,W N
j ,W N j
N /4
2、离散傅立叶变换的性质
设x1(n)和x2(n)的长度均为N，且它们对应的DFT
为：
DFT[x1 (n)] X1 (k) DFT[x2 (n)] X 2 (k)
1.线性：设x3 (n) ax1 (n) bx2 (n) ，a，b均为常数， 则：
x( t )dt
直流分量

t0
2 an To 2 bn To

t o T
to t o T
x( t ) sin2nf 0 tdt x( t ) cos2nf 0 tdt
正弦分量幅度 余弦分量幅度

to
正弦形式
x( t ) A0 An sin( nf 0 t n ) 2
X 频域表示： p ( ) 1 N
X ( k )
k 0 s
N 1
k
序列恢复： 抽样与内插
离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。例如，对 于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与 xa(t)的关系如下：
2 w
⑶
2 为无理数时，序列是非周期的。 w
2、连续时间信号的离散化
① 理想抽样
② 频谱周期延拓
1 X a ( j) X a ( j jrs ) T r
③ ④
奈奎斯特抽样定理 s 20 频率归一化
j
1 X (e ) | T T
⑤信号重建

x(n) xa (nT )
然而，并不是所有的离散时间信号都是这样获得的。一些信号可以认为是自然产生 的离散时间序列，如每日股票市场价格、 人口统计数和仓库存量等。
时域抽样定理： 一个限带模拟信号，若其频谱的最高频率 为，对它进行等间隔抽样而得，抽样周期 为T，或抽样频率为； 只有在抽样频率时，才可由准确恢复。
数字信号处理复习
数字信号处理主要包括如下几个部分：
1、连续信号的频谱和傅立叶变换 2、离散时间信号与系统的基本概念、基本理 论和基本方法，信号的频谱分析 3、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 4、数字滤波器的设计
一、连续信号的频谱和傅立叶变换
1、有限区间上连续信号的傅立叶级数和离散频谱 常用完备正交函数集
n=0
N 1
2π j kn N
x(n)W
=
n 0
N 1
kn N
,0 k N 1
0，others
旋转因子的性质：
k N a．对称性： (WN )* WN k k k b．周期性： WN mN WN
；
k /2
c．换底：
W
k N
W mN W N / 2
mk
k
2
N /2
x(n)
k
x(k ) (n k )
为整数，则称序列 x(n) 为周期

x(n) x(n N ) N
序列，且最小周期为 N ，记为 x(n) 。
对于 0 的复指数序列和正弦序列