218考研数学一真题和答案及解析

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2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)

2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。

A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。

2018年数学一真题与解析

2018 数一真题与解析（1）下列函数不可导的是：A. y = x sin x . B. y = x sin x .C. y = cos x .D. y = cosx .（2）过点（1，0，0，）与（0，1，0）且与 z = x 2 + y 2 相切的平面方程为A. z = 0与x + y - z = 1 B. z = 0与2x + 2y - z = 2C. y - x 与x + y - z =1 D. y - x 与2x + 2y - z = 2∞n(2n +1)!=2n + 3（3） ∑(-1)n =0A.sin1+cos1 C.sin1+cos1B.2sin1+cos1 D.3sin1+2cos1⎰⎰⎰--π（4） M =1+ x dx , N =-π2π2π22e x 222dx , K = 2 (1+π (1+ x )2π 1+ x 2, 则 M , N , K 的大小关系为A. M > N > K .C. K > M > N .（5）⎝⎭下列矩阵中，与矩阵 0 1 ⎪ 0⎛ 1110 B. M > K > N .D. K > N > M .⎫1 ⎪⎪ 相似的为A. ⎪ 00 1 ⎪1 1 ⎪.⎛ 11-1⎫0 B. ⎪ 00 1 ⎪1 1 ⎪.⎛ 10-1⎫0C. ⎪ 0⎝⎛ 1 0110 ⎪.0⎭-1⎫⎝⎭⎝⎭D. ⎪1 ⎪ 0 1 ⎪⎝⎛ 1 0010 ⎪.0⎭-1⎫（6）设 A , B 为 n 阶矩阵，记r ( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X ?Y ) 表示分块矩阵，则A. r (A |AB ) = r (A ). B. r (A |BA ) = r (A ).C. r ( A |B ) = max {r (A ), r (B )}.D. r (A |B ) = r (A T|B T ).⎰2（ 7 ）设 f (x ) 为某分部的概率密度函数， f (1+ x ) = f (1- x ) ，f (x )dx = 0.6 ，则⎪（9） lim= e ,则k =x →0 ⎝ 1+ tan x ⎭⎛ 1- tan x ⎫sin k xp {x >0} =.A.0.2B.03C.0.4D.0.6（8）给定总体 X N (μ,σ 2 ),σ 2 已知，给定样本 X , X ,…，X , 对总体均值 μ 进行检验，12n令 H 0 : μ = μ0 , H 1 : μ ≠ μ0 , 则A.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ，则 a = 0.01时也拒绝 H 0 .B.若显著性水平a = 0.05 时接受 H 0 ，则 a = 0.01时也拒绝 H 0 .C.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ，则 a = 0.01时接受绝 H 0 .D.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ，则 a = 0.01时也接受 H 0 .1x⎰'（10） y = f (x )的图像过（0，0),且与y = a 相切与（1，2），求xf (x )dx =1（11） F (x , y , z ) = xy ε + yz η + xzk , 求 rot F (1,1, 0) =.（12）曲线 s 由 x 2 + y 2 + z 2 = 1与 x + y + z = 0 相交而成，求 ⎰xydS =（ 13 ）二阶矩阵 A 有两个不同特征值， a 1, a 2 是 A 的线性无关的特征向量，A 2 ( a + a ) = ( a + a ) 则,A12122411（14） A , B 独立， A ,C 独立，BC ≠ φ, P ( A ) = P (B ) =, P ( A C AB C ) =, 则 P (C ) =15求不定积分⎰e 2 x arctan e x -1dx16一根绳长 2m，截成三段，依次折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。

2018考研数学真题及答案(一)

18年考研数学真题（一）、19考研全程复习规划指南【扫码免费上课】2018年研究生入学统一考试数学（一）真题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列函数中，在0x =处不可导的是()().||sin ||A f x x x =().||sin ||B f x x x =().cos ||C f x x =().cos ||D f x x =2.过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面22z x y =+相切的平面为：.0A z =与1x y z +-=.0B z =与222x y z +-=.C x y =与1x y z +-=.D x y =与222x y z +-=3.()()023121!n n n n ∞=+-=+∑.sin1cos1..2sin1cos1..2sin12cos1..2sin13cos1.A B C D ++++4..设(),=,(cos .x x x M dx N dx K =x dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰222221111则()A..M N K >> B..M K N >>C..K M N >> D..K N M >>5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为()111101.011011001001111101010010001001A B C D --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则()()()()()()()(){}()()...max ,.T T A r A AB r A B r B BA r A C r A B r A r B D r A B r A B ====7.设随机变量X 的概率密度()f x 满足()()11,f x f x +=-且()200.6,f x dx =⎰则{}0P X <=.0.2.0.3.0.4.0.5A B C D 8.设总体X 服从正态分布()2123,.,,,,n N X X X X μσ 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检验假设：0010:,:.H H μμμμ=≠则：.A 如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ..B 如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H ..C 如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ..D 如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H .二、填空题：914 小题，每小题4分，共24分.9.若101tan lim ,1tan x x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则______.k =10.设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()y f x =过点()0,0且与曲线2x y =在点(1,2)处相切，则()______.x f x dx ''=⎰1011.设(,,),x y z xy yz xz =-+F i j k 求(1,1,0)______.rot =F 12.设L 为球面x y z ++=2221与平面x y z ++=0的交线，则______.L xyds =⎰ 13.设二阶矩阵A 有两个不同特征值，,αα12是A 的线性无关的特征向量，且满足(),______.A A αααα+=+=21212则14.设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，.BC ≠∅若11()(),(|)24P A P B P AC AB C === ,则()______.P C =三、简单题：1523 小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分x x e arc e dx -⎰2116.（本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.17.设∑是曲面x y z =--22133的前侧，计算曲面积分3(2).I xdydz y dxdz z dxdy ∑=+++⎰⎰318.（本题满分10分）已知微分方程()y y f x '+=，其中()f x 是R 上的连续函数.（1）若()f x x =，求方程的通解。

2018年考研数学一真题完整版

全国硕士研究生入学统一考试备考资料2018年全国硕士研究生入学考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1、下列函数中，在0=x 处不可导的是（）(A)x x x f sin )(=(B)xx x f sin )(=(C)xx f cos )(=(D)x x f cos)(=2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与22y x z +=相切的平面方程为（）(A)1 0=-+=z y x z 与。

(B)222 0=-+=z y x z 与。

(D)222 x =-+=z y x y 与。

3、)!12(32)(0++-∑∞=n n n n=（）(A)1cos 1sin +(B)1cos 1sin 2+(C)1cos 1sin 3+(D)1cos 21sin 3+4、设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx exN x ⎰-+=221ππ，dx x K )cos (122⎰-+=ππ，则（）(A)K N M >>(B)N K M >>(C)N M K >>(D)MN K >>5、下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为()(A)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11(B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01(C)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000101-11(D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000101-016、设A ,B 为n 阶矩阵，记)(X r 为矩阵X 的秩,()Y X 表示分块矩阵，则（）(A))() (A r AB A r =(B))() (A r BA A r =(C){})(),(max ) (B r A r B A r =(D))() (T T B A r B A r =7、设)(x f 为某分布的概率密度函数，)-1()1(x f x f =+，⎰=206.0)(dx x f ，则{}0<X p =（）(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.68、给定总体()2,~σμN X ，2σ已知，给定样本n X X X ,,21，对总体均值μ进行检验，令0100:,:μμμμ==H H ，则（）(A)若显著性水平α=0.05时拒绝0H ，则α=0.01时也拒绝0H 。

2018年考研数学一试题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数中,在0x =处不可导是（）()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与（D ）22y x x y z =+-=与2【答案】B （3）23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B（4）设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,221x xN dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为（A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】C 【解析】（5）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学自强不息(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）()()T T r A B r A B =【答案】A（7）设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且2()0.6,f x dx =⎰则{0}P X <=（）（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.5【答案】 A 【解析】（8）设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据样本检测：假设：0010:,:H H μμμμ=≠则（）(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭则k=___-2____(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()f x 过点（0,0）且与曲线2xy =在点（1，2）处相切，则1()xf x dx ''=⎰_____【答案】2ln22-(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____【答案】(1,0,1)-(12)曲线S 由2221x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求Sxyds ⎰【答案】0（13）设2阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()A αααα+=+则A =【答案】-1.（14）设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，BC =∅，若11()(),()24P A P B P AC AB C ==⋃=，则()P C = ．【答案】1/4三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分21x xe e dx -⎰（16）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]下列函数在x=0处不可导的是（）．A.f(x)=|x|sin|x|B.f(x)=|x|sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：2 [单选题]过点(1，0，0)与(0，1，0)且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为（）．A.z=0与x+y-z=1B.z=0与2x+2y-z=2C.y=x与x+y-z=1D.y=x与2x+2y-z=2正确答案：B参考解析：已知平面过A(1，0，0)，B(0，1，0)两点，则x≠y是存在的，故排除C、D项，可得平面内一向量n1==(1，-1，0)，曲面z=x2+y2的切平面的法向量为n2=(2x，2y，-1)，由n1n2=2x-2y=0，即切点处x=y．3 [单选题]A.sin1+cos1B.2sin1+cos1C.2sin1+2cos1D.2sin1+3cos1正确答案：B参考解析：4 [单选题]，则M，N，K的大小关系为（）．A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：5 [单选题] A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：6 [单选题]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则（）．A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(A T，B T)正确答案：A参考解析：使用反证法．7 [单选题]设f(x)为某随机变量X的概率密度函数，则P{X<0}=（）．A.0．2B.0．3C.0．4D.0．5正确答案：A参考解析：8 [单选题]设总体X～N(μ，σ2)，σ2已知，给定样本X1，X2，…，X n，对总体均值μ进行检验，令H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，则（）．A.若显著性水平α=0．05下拒绝H0，则α=0．01下必拒绝H0B.若显著性水平α=0．05下接受H0，则α=0．01下必拒绝H0C.若显著性水平α=0．05下拒绝H0，则α=0．01下接受H0D.若显著性水平α=0．05下接受H0，则α=0．01下也接受H0正确答案：D参考解析：9 [填空题]参考解析：-2【解析】10 [填空题]设函数f(x)具有二阶连续导函数，若y=f(x)过点(0，0)，且与曲线y=2x相切于点 (1，2)，则参考解析：【解析】11 [填空题]已知F(x，y，z)=xyi一yzj+xzk，则rotF(1，1，0)=_______.参考解析：【解析】12 [填空题]曲线L由x2+y2+z2=1与x+y+z=0相交而成，则参考解析：【解析】13 [填空题]二阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且A2(α1+α2)=α1+α2，则|A|=_______.参考解析：-1【解析】14 [填空题]随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=∅，P(A)=P(B)=，P(AC|AB∪c)=，则P(C)=_______.参考解析：【解析】15 [简答题]参考解析：16 [简答题]一根绳长2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小?并求该最小值．参考解析：设圆的周长为x，正三角形的周长为y，正方形的周长为z，由题设知x+y+z=2．则目标函数为17 [简答题]参考解析：18 [简答题]已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解；(Ⅱ)当f(x)周期为T的函数时，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．参考解析：(I)(Ⅱ)设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．19 [简答题]参考解析：设f(x)=e x-1-x，x>0，则有20 [简答题]设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．参考解析：解：(I)由f(x1，x2，x3)=0，得21 [简答题](Ⅰ)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．参考解析：(I)A与B等价，则r(a)=r(B)．22 [简答题]随机变量X，Y相互独立，P{X=1}=，P{X=-1}=，Y服从参数为λ的泊松分布，令Z=XY.(I)求Cov(X，Z)；(II)求Z的概率分布．参考解析：(I)23 [简答题](I)求σ的极大似然估计；(II)参考解析：解：(I)由条件可知，似然函数为(Ⅱ)。

2018考研数学一参考答案

) 1 1 − tan x sin(kx) = e, 则 k = 9. lim x →0 1 + tan x 【解析】原极限为 1∞ 型, 故恒等变形为
.
−2 tan x lim 1 + x →0 1 + tan x
(
1+tan x )− 2 tan x
−2 tan x (1+tan x ) sin(kx )
−2 tan x = exp lim x →0 (1 + tan x ) sin ( kx )
(
)
=e
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本科院校目标院校目标专业姓名 .....................................装.......................................订.......................................线.......................................
.
L
xyds =
L
( xy + yz + xz) ds =
)] ( 1 ( x + y + z )2 − x 2 + y2 + z2 ds = 6
L
( −1) ds = −
π 3
13. 设二阶矩阵 A 有两个不同的特征值, α1 , α2 是 A 的线性无关的特征向量, A2 (α1 + α2 ) = α1 + α2 , 则 | A| =
A. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H0 , 则 α = 0.01 时必拒绝 H0 B. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.01 时必拒绝 H0 C. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H0 , 则 α = 0.01 时必接受 H0 D. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.01 时必接受 H0 【解析】α 越小, 显著性差异越小, 越容易接受 H0 , 若 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.051 时显著性变弱, 更加容易接受 H0 , 选 D. 评卷人二、 ( 得分填空题（每题 4 分, 共 24 分）

2018考研数一真题答案及详细解析

故应选 A.
0
0
) ,B= (
0
1
0
) ,则 r (A
0
B)=2 #- r (AT
矿），排除 D.
(7) A
解由 J(l+x) = J(l-x)可知，J(x)关千x = l对称，所以f�J(x)dx =厂J(x)dx = 0. 5.
r。 r 又已知，J:!<x)dx = O. 6,则 J (x)dx = (x)dx = O. 3.
罕
dr
了
(1 +3r 2)rdx
气f rCl+3尸）了37dr.
✓ 设 1 -3r2 =t,则
气。亨
21rf r0+3尸）二37dr =
3
(2- t2汒dt
14冗
45
JI又
xdy dz
+
(y 3
+2)dzdx+z3 dxdy = 0,所以
I
14 穴 =百·
:El
08) 解 C I)当 f(x)=x 时，方程化为 y '+y =x,其通解为
假设 O<x,.+1 <立，则
e石t-2
工
e
n+I
=
-1
=e�(0
<
r;
<
X n+l),
X n +l
所以 0 < Xn+2 < Xn+l•
故 {xn} 是单调减少的数列，且有下界，从而 {x九｝收敛．
设
limx n-=
n
=a,得
aea =ea
— 1.
易知
a =O为其解

数1--18真题答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．（1）【答案】D.【解答】选项A 和C ，函数sin sin x x x x =，cos cos x x =，可导；B 选项，00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==，可导；对于D选项，由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−；112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠，所以不可导. 故选D. （2）【答案】B.【解答】设切点的坐标为220000(,,)x y x y +. 由题设可知切平面的法向量为00{2,2,1}x y =−n ，则切平面的方程为220000002()2()[()]0x x x y y y z x y −+−−−+=，即 22000022()0x x y y z x y +−−+=.将点(1,0,0)与(0,1,0)代入上式22000220002()0,2()0,x x y y x y ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩解得000x y ==或001x y ==，将00,x y 代入方程，得0z =或222x y z +−=. 故选B. （3）【答案】B.【解答】因为，00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n ∞∞∞===++−=−+−+++∑∑∑00(1)(1)2(2)!(21)!n nn n n n ∞∞==−−=++∑∑，而，21200(1)(1)sin ,cos (),(21)!(2)!n n n nn n x x x x x n n +∞∞==−−==−∞<<+∞+∑∑ 所以，23(1)cos12sin1(21)!nn n n ∞=+−=++∑，故选B.（4）【答案】C. 【解答】因为，πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰，11cos x + 所以，K M >. 设()e 1xf x x =−−，则()e 1xf x '=−，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x 时，()0f x '，()f x 单调递增，故(0)0f =是其最小值，即11exx +. 所以M N >，即N M K <<，故选C. （5）【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M ，所以特征值为1231λλλ===，且()()2r r λ−=−=E M E M ；对于A 选项：记矩阵为A ，解得特征值均为1，且()()2r r λ−=−=E A E A ；同理对于B 、C 、D 选项：分别记矩阵为,,B C D ，计算可得其特征值均为1，而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似，则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似，故秩相等. 由此可以排除选项B ，C ，D ，故选A. （6）【答案】A.【解答】选项A ，易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法，可知()()=A AB A E B ，因此()min{(),()}r r r A AB A E B ，从而 ()()r r A AB A ，所以 ()()r r =A AB A ，则选项A 正确. B 选项，令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()1,()2r r ==A A BA ； C 选项，令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()()1,()2r r r ===A B A B ；D 选项，令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则T T()1,()2r r ==A B A B ；故选A. （7）【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−，所以()f x 的图像关于1x =对称，因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰，所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=，从而{0}0.2P X =，故选A. （8）【答案】D.【解答】如右图所示，/2Z α表示标准正态分布的上2α分位数，即图中阴影部分的面积为2α.区间/2/2(,)Z Z αα−是在显著性水平α下的接受域.若显著性水平0.05α=时接受0H ，即表示检验统计量0/X Z nμσ−=的观察值落在接受域0.0250.025(,)Z Z −内. 区间0.0050.005(,)Z Z −包含0.0250.025(,)Z Z −，因此其观察值也落在区间0.0050.005(,)Z Z −内，即落在接受域内，所以选项D 正确，B 错误；0.05α=时拒绝0H ，即Z 的观察值落在拒绝域0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞内；但区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞包含于0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞，因此无法判断观察值是否落在区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞内，选项A ，C 无法确定；故选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．（9）【答案】2−.【解答】2tan 11tan sin (1tan )sin 2tan 001tan 2tan lim()lim{[1()}1tan 1tan xx kx x kx x x x x x x x−++−→→−−=+++022lim 1=e e x x kx k →−−⋅=，所以21k−=，解得2k =−. （10）【答案】2ln 22−.【解答】由题意可知，(0)0,(1)2,(1)2ln 2f f f '===，因此111100()d d ()()()d xf x x x f x xf x f x x '''''==−⎰⎰⎰10[()()]2ln 22xf x f x '=−=−.（11）【答案】(1,0,1)−.【解答】旋度(,,)(,,)x y z y z x x y z x y z PQ R xy yz xz∂∂∂∂∂∂===−−∂∂∂∂∂∂−rot ij k i jk F ，所以(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,0,1)y z x =−−=−rot F .（12）【答案】3π−. 【解答】由曲线2221:0x y z l x y z ⎧++=⎨++=⎩的表达式可知，,,x y z 有轮换对称性，所以1d ()d 3llxy s xy yz zx s =++⎰⎰.又222211[()()]22xy yz zx x y z x y z ++=++−++=−，交线l 是半径为1的圆弧，所以111d ()d 23263ll xy s s π=−=−⋅π=−⎰⎰. （13）【答案】1−.【解答】由21212()()+=+A αααα可知212()()−+=0A E αα.12,αα线性无关，因此方程2()−=0A E x 有非零解，从而20−=A E ，所以特征值λ满足方程210λ−=，即1λ=或1λ=−.又A 有两个不同的特征值，所以1(1)1=⋅−=−A . （14）【答案】14. 【解答】由条件可知，()()(),()()(),()0P AB P A P B P AC P A P C P BC ===. 由条件概率的定义可得，(()())()(())()()()()P AC AB C P ACAB ACC P AC AB C P AB C P AB P C P ABC ==+− 1()()1211()()()4()22P C P AC P A P B P C P C ===+⋅+，解得1()4P C =. 三、解答题：15～23小题，共94分．（15）【解】利用分部积分，2e arctan x x ⎰21arctan 2x =⎰2211e e 22xx x x =−⎰2211e arctan 24x x x =211e 24x x x =11222e 1[(e 1)(e 1)]d(e 1)24x x x x −=−−+−−⎰31222e 12[(e 1)2(e 1)]243x x xC =−−+−+ 31222e 11(e 1)(e 1)262x x xC =−−−−+. （16）【解】设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数2222221π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造拉格朗日函数222(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−，对参数求导并令导函数为零，则0,20,3620,1620.x yzx L L z L L x y z λλπλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x =y =，z =此时面积和有最小值为2)S =.（17）【解】记33,,P x Q y z R z ==+=；构造平面22331,:0,y z x ∑⎧+'⎨=⎩取后侧，∑'与∑所围区域2{(,,)|013x y z x y Ω=−.由高斯公式可得，+d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑∑''++=++−++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z yz x y z ΩΩ'''=++−=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)dy z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z yz y z +=++⎰⎰220d 3)dr r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(−+−2232)d(13)3r r π=−−−31222223)2(13)]d(13)3r r rπ=−−−−51222224[(13)(13)353r rπ=−−−1445π=.（18）（Ⅰ）【解】由题可知方程为一阶线性微分方程.当()f x x=时，由公式可得通解为，1d1d()e(e d)x xy x x x C−⎰⎰=+⎰=e(e d)x xx x C−+⎰=e[(1)e]x xx C−−+=(1)e xx C−−+，（C为任意常数）.（Ⅱ）【证】由条件课得通解为，1d1d()e[()e d]x xy x f x x C−⎰⎰=+⎰()e()e dx xf x x C−=+⎰，（C为任意常数）.因为()f x为周期函数，不妨设周期为T，则()()f x T f x+=.而()()()e()e d ex T x T x Ty x T f x T x C−++−++=++⎰()e e()e e dT x x Tf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e e e()e dT x T xf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e()e dx xf x x C−=+⎰.欲使()y x为周期函数，即()()y x y x T=+，只需1e TC C−=⋅，再由e0T−>，故0C=.从而()e()e dx xy x f x x−=⎰为方程对应的解，且为周期函数.（19）【证】设()e1,0xf x x x=−−>，则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>，从而1221e1e1,0xx xx−=>>.猜想0n x >，现用数学归纳法证明:1n =时，10x >，成立；假设(1,2,)n k k ==时，有0k x >，则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>；因此0n x >，有下界. 再证单调性，1e 1e 1ln ln e lne n n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−，0x >时，()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<，所以()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即有e 1e xxx −<，因此1e 1ln ln10e n nx n n x n x x x +−−=<=，即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=，则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =，所以0A =，即lim 0n n x →∞=.（20）【解】（Ⅰ）由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，所以，当2a ≠时，()3r =A ，方程组有唯一解，1230x x x ===.当2a =时，()2r =A ，方程组有无穷解，21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. （Ⅱ）当2a ≠时，令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换，此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时，2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+，此时规范形为2212y y +.（21）【解】（Ⅰ）由题设条件可知矩阵A 与B 等价，则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ，所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ，因此 2a =.（Ⅱ）设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，对增广矩阵作初等变换可得， 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ，解得，11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆，因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P ，即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ，其中123,,k k k 为任意常数，且23k k ≠.（22）【解】（Ⅰ）因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=，所以，2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为，Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===，所以，()E Y λ=.因为，2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−，且X 与Y 相互独立，所以，(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. （Ⅱ）利用全概率公式有，{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−，再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时，{0}{0}e P Z P Y λ−====；当k 为正整数时，1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅；当k 为负整数时，1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述，有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩（23）【解】（Ⅰ）似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏，取对数： 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑，求导： 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑，解得 1nii xnσ==∑，所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.（Ⅱ） 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰；2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。

2018年考研数学一真题及解析

Z 0 或者 2 X 2Y Z 2 。
因此选择（B）
3、 (1)n
2n 3
（
n0
(2n 1)!
）
（A） sin1 cos1 （C） 3sin1 cos1
【答案】：（B）
（B） 2 sin1 cos1 （D） 3sin1 2 cos1
【分析】 (1)n
2n 3
(1)n 2n 1 2
（C） f (x) cos | x |
（D） f (x) cos | x |
【答案】：（D）【分析】因为
对选项（A）， lim f (x) f (0) lim | x | sin | x | lim | x | 2 lim x 2 lim x 0 f (0)
x0
x
x0
x
x0 x
x x0
1 x ex
dx
，因为 ex
1
x
1 x
，所以
ex
1 ，故
N
M
对于 K
2
(1
cos x )dx ，因为1
cos x 1 ，故 K M
2
因此 K M N
因此选择（C）
1 1 0
5、下列矩阵中，与矩阵
0 0
1 0
1 1
相似的为（
）
2
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
1 1 1
2x( X x) 2 y(Y y) (Z z) 0 ，因为平面过点 (1, 0, 0) 与 (0,1, 0) ，故法向量与向量
{1, 1, 0} 垂直，因此有 2x 2 y 0 ，即 y x …………………………………………①
将 y x 带入 z x2 y2 中，有 z 2x2 …………………………………………………②

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求
求的概率密度。
【答案】
【解析】
（1）当，而，则
（2）当即时，
（3）当时，
（4）当时，
（5）当时，
所以综上
所以
（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计。
【答案】B
【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则
，当时满足，故选C.
（5）设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）
【答案】A
【解析】选项A,由得有非零解，故。即不可逆。选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
【解析】或，只有C选项满足且满足，所以选C。
（3）函数在点处沿向量的方向导数为（）
【答案】D
【解析】
选D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（）
求在平面上的投影曲线的方程；
求的质量。
【答案】64
【解析】
（1）由题设条件知，的方程为
则在平面的方程为
（2）
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。
证明；
若，求方程组的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由可得，即线性相关，
因此，，即A的特征值必有0。
那么在上连续，由根据零点定理得：
至少存在一点，使，即得证
（II）由（1）可知，，令，则
由罗尔定理，则，
对在分别使用罗尔定理：
且，使得，即
在至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为
。记圆锥面与柱面的交线为
【答案】2
【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故
再由得
（14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则 _________
【答案】2
【解析】，故
。令，则 =
因此 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
2017年考研数学一真题及答案解析
跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数在处连续，则（）
【答案】A
【解析】在处连续选A.
（2）设函数可导，且，则（）
【答案】C
求的概率密度；
利用一阶矩求的矩估计量
【答案】
【解析】
当
当
当时，
综上
令Байду номын сангаас
由此可得的矩估计量
对总体的个样本，则相交的绝对误差的样本令其样本值为
则对应的似然函数
两边取对数，当时
令
所以，为所求的最大似然估计。
【答案】，（为任意常数）
【解析】齐次特征方程为
故通解为
(11)若曲线积分在区域内与路径无关，则
__________
【答案】
【解析】由积分与路径无关知
(12)幂级数在区间内的和函数 ________
【答案】
【解析】
（13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为_________
（8）设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)已知函数，则 =__________
【答案】
【解析】
(10)微分方程的通解为 _________
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
∴
（II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量，
由可得，则的基础解系为，
又，即，则的一个特解为，
综上，的通解为
（21）（本题满分11分）设二次型
在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵
【答案】
【解析】
，其中
由于经正交变换后，得到的标准形为，
故，
将代入，满足，因此符合题意，此时，则
，
由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；
由，可得A的属于特征值6的特征向量为
由，可得A的属于特征值0的特征向量为
令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，
则，
（22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为
（6）设矩阵 ,则（）
【答案】B
【解析】由可知A的特征值为2,2,1
因为，∴A可相似对角化，且
由可知B特征值为2,2,1.
因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，
∴ ，且B不相似于C
（7）设为随机概率，若，则的充分必要条件是（）
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
设函数具有2阶连续偏导数，，求，
【答案】
【解析】
结论：
（16）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（17）（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求的极值
【答案】极大值为，极小值为
【解析】
两边求导得：
（1）
令得
对（1）式两边关于x求导得（2）
将代入原题给的等式中，得，
将代入（2）得
将代入（2）得
故为极大值点，；为极小值点，
（18）（本题满分10分）
设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：
方程在区间内至少存在一个实根；
方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I）二阶导数，
解：1）由于，根据极限的保号性得
有，即
进而
又由于二阶可导，所以在上必连续