概率论2.1~2

采用高等数学的方法描述、研究随机现象。
看第一节.
随机变量
Random Variable
一、基本思想
将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果. 直接用数值来表示试验结果:例2.1-2.3 随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量 化:例2.4-2.5



目标是将基本事件对应为实数
简记为r.v.
分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由 观测值的平均值求出。
例 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从 的 4 泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接 到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率.
解 P( X k )

3
k
k!
e

4, k 3
4 4 P( X 3) e 0.19563 3!
PX xk pk
xk 的概率为 pk
称此式为X的分布律或概率分布（Probability distribution)。 列表,几何表示,解析式
2.性质： 1). pi 0;
2). pk 1.
例 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽
到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布 律。 解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
n n
2).特点:单峰(先增后减) p 达到最大值 k k0 [(n 1) p ] 当 k0 (n 1) p, (n 1) p 1 当
(n 1) p N (n 1) p N
3).适用情形:在n重贝努里试验中,若以X表示事件 A发生的次数,A发生的概率为p,则X可能的取值为
n = 4 的 Bernoulli 试验
设B={恰好有2次取到次品},A={取到次品}， 则 A ＝｛取到正品｝, Ａi={第i次抽样抽到次品}.
p P( A) 5%
q P( A) 1 P( A) 1 p 95%
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) 5%
2 C4 p 2 q 4 2 6 0.05 2 0.95 2 0.0135
例 从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回 地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率. 解 有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, n=5 p=1/4
真正关心的是实验结果对应的值,如灯泡的寿命.
二、随机变量的定义
1.定义2.1 设随机试验的样本空间为Ω，如果对 于每一个样本点 ，均有唯一的实数 X ( ) 与之对应，称 X X ( ) 为样本空间Ω上的一 维随机变量，简记为 X 。不必为一一对应，单的 就可以了。定义域为基本事件空间，值域为实数 域子集。用X , Y , Z , , , 等表示，表现为实数 轴上的随机点。比如某一天上海市的最高温度， 火车站发送旅客数量等。 2.特征: a.知道取值范围，b.实验前不知道取值， c.随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事 件。
例
设X的分布律为
X
P
-1
1/3
1
1/2
2
1/6
求 P(0<X≤2) 解
P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3
例、设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽 取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的 分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解：X的可能取值为 0，1，2 P{X=0} P{X=1} P{X=2}
因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互独立，所以
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
0.05 2 0.95 2 p 2 q 42 P( B) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) L P( A1 A2 A3 A4 )
3.用随机变量表示事件 例2.2 ,随机变量的范围 { X 10} 在10次以内击中 目标.
{ X x} { | X ( ) x}; { X B} { | X ( ) B},
B为实数轴上的点集,如区间. 4.分类 离散型:随机变量的所有取值是有限个或可列个 非离散型:随即变量的取值有无穷多个，且 不可列. 其中连续型随机变量是一种重要类型
三、二维随机变量
1.定义2.2
2.例 X , Y 分别表示上海市的年出生人数和死亡人数。
X Y 表示人口增长数，而
( X , Y ) 就是一个二维随机变量
第二节 一维离散型随机变量及其分布律
一、分布律 1.定义2.3 设离散型随机变量 X 的所有可能取值是
x1 , x2 ,..., xn ,... ，而取值
8 (1)P(X=8)= C10 0.98 0.12 0.1937
(2) P ( x 8)
8 10 8
P X 8 P X 9 P ( X 10)
2 9 10 9 10 10 10
C 0.9 0.1 C 0.9 0.1 C 0.9 0.9298
试确定常数b.
解
2 b 2 k 3 P ( X k ) b( 3 ) 2 k 1 k 1 1 3
由分布律的性质,有
3 2b 1 b 1 3
2
1 b . 2
二、常见的离散型分布律
1.贝努里（Bernoulli）分布/0-1分布/二点分布)
△定义： 若随机变量X的分布律为: {0,1}
2 C17 136 2 C 20 190
=P(抽得的两件全为正品)
1 1 C 3 C17 51 =P(只有一件为次品) 2 C 20 190
2 C3 3 2 =P(抽得的两件全为次品) C 20 190
故X的分布律为
X
pk
0
136 190
1
51 190
2
3 190
而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}{X=2}
验(Bernoulli trials).
贝努利定理
定理 设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p (0<p<1), 则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生k次的概率为
Pn (k ) C p q
k n k
nk
( k＝ 0，1，2，...，n )
其中
q 1 p
例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个， 检验后放回，再取一个， 连取 4 次．求 4 次中 恰有 2 次取到次品的概率． 分析

2).特点:单峰,先增后减
N , pk 在 k [ ] 处取得最大值 N , pk 在 k , 1 处取得最大值
3).适用范围:对应二项分布中n很大,p 很小的情形. 实际问题中,服从或近似服从Poisson分布的若干随 机变量.
服务台在某时间段内接待的服务次数； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) 95%
四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情 况有
A A2 A3 A4 , A A2 A3 A4 , A A2 A3 A4 , 1 1 1
2 C4 6
A A2 A3 A4 , A A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 1 1
第二章
随机变量及其概率分布
1.随机变量的概念 2.一维离散型随机变量及其分布律 3.二维离散型随机变量及其分布律 4.离散型随机变量函数的分布律
第一节 随机变量的概念
将基本事件用 数表示
在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表
示事件，并视之为样本空间Ω的子集；针对古典 概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概 率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便
0,1,2,3,„,n.最大值结果表明在n重贝努里A发生 k0 次数最可能发生 k 0次,其可能性为 pk . n
贝努利试验
相互独立的试验
Bernoulli trials
将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不 影响,则称这n次试验是相互独立的. 贝努利试验 设随机试验E只有两种可能的结果: A 及 A ,且 P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验, 则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努利试
k P{ X k } Cn p k (1 p ) n k
k 0,1, 2..., n; 其中0< p <1, 则称X服从参数为n, p的二项 分布(也称Bernoulli 分布）.
p C k p k (1 p )n k ( p 1 p)n 1 k k 0 n k 0
{ X k} A1 A2 L Ak 1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…，于是
P{ X k} P( A1 A2 ... Ak 1 Ak ) P( A1 ) P( A2 )...P( Ak 1 ) P( Ak ) (1 p) k 1 p , k 1, 2,
记X为共抽到的次品数，则
1 X ~ B( 5, ) 4
1 1 P{ X 2} C 1 4 4
2 5
2
52

例 一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播 种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小 于8粒发芽的概率。
解 X～B（10, 0.9）
注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！