2018届高考数学一轮复习第二章函数第七节函数的图象学案文

第七节函数的图象1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．2．掌握图象的作法：描点法和图象变换．3．会运用函数的图象理解和研究函数的性质．知识点一利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数________；③讨论函数的性质(______________________)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．答案②解析式③奇偶性、单调性、周期性知识点二利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于____对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以____为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于____的对称性，作出x<0时的图象．3．伸缩变换(1)y ＝Af(x)(A>0)的图象，可将y ＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为__________，________不变而得到．(2)y ＝f(ax)(a>0)的图象，可将y ＝f(x)图象上所有点的横坐标变为__________，________不变而得到．答案1．(1)左 右 a 个 (2)上 下 b 个2．(1)y 轴 (2)x 轴 (3)原点 (4)x 轴 (5)y 轴 3．(1)原来的A 倍 横坐标 (2)原来的1a倍 纵坐标1．(必修①P 112A 组第4题改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故第一段是直线段，途中停留时距离不变，最后一段加速，最后的直线段比第一段下降得快，故应选C .答案：C2．函数y ＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是( )答案：D3．将函数f(x)＝(2x ＋1)2的图象向左平移一个单位长度后，所得图象的函数解析式为________．解析：f(x)的图象向左平移一个单位长度后得到的是y ＝[2(x ＋1)＋1]2＝(2x ＋3)2的图象．答案：y ＝(2x ＋3)24．把函数f(x)＝ln x 图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的函数解析式是________．解析：根据伸缩变换方法可得新函数的解析式为y ＝ln 12x.答案：y ＝ln 12x5．若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系中，画出函数y ＝|x|和函数y ＝－x ＋a 的图象，即可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a －x 只有一个解．答案：(0，＋∞)热点一 作函数的图象 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝e ln x；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝a |x|(0<a<1)； (4)y ＝2x －1x －1.【解】 (1)因为函数的定义域为{x|x>0}，且y ＝e ln x＝x(x>0)， 所以其图象如图(1)所示．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(2)所示．(3)因为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x，x<0(0<a<1)．所以只需作出0<a<1时函数y ＝a x(x≥0)和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (x<0)的图象，合起来即得函数y ＝a |x|(0<a<1)的图象．如图(3)所示．(4)因为y ＝2＋1x －1，所以函数图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示. 【总结反思】 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．作出下列函数的图象： (1)y ＝2－xx ＋1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|； (3)y ＝|log 2x －1|.解：(1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1， 因此由y ＝3x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图(1)所示．(2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图(2)所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图(3)所示．热点二 函数图象的识别【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )【解析】 特殊值验证法，取x ＝2，则y ＝2×4－e 2≈8－2.7182≈0.6∈(0,1)，排除A 、B ；当0<x <2时，y ＝2x 2－e x ，则y ′＝4x －e x ，由函数零点的判定可知，y ′＝4x －e x在(0,2)内存在零点，即函数y ＝2x 2－e x在(0,2)内有极值点，排除C ，故选D.【答案】 D 【总结反思】对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.(1)(2017·唐山模拟)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )(2)(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x－x 2－1B ．y ＝2xsin x4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x解析：因为x －1x>0，解得x >1或－1<x <0，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)． 所以选项A ，C 不正确．当x ∈(－1,0)时，g (x )＝x －1x是增函数，因为y ＝ln x 是增函数，所以函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 是增函数．所以D 不正确，B 正确．(2)A 中，∵y ＝2x －x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x 2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x －x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，∵y ＝sin x 是周期函数，∴函数y ＝2xsin x4x ＋1的图象是在x 轴附近的波浪线，∴B 中的函数不符合；D 中，y ＝xln x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.答案：(1)B (2)C 热点三 函数图象的应用 考向1 利用图象研究函数性质【例3】 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．【答案】 C考向2 利用图象研究方程的根【例4】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．【解析】 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.【答案】 5考向3 利用图象解不等式【例5】 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f xcos x<0的解集为______.【解析】 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x <0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f xcos x为偶函数， 所以f x cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2考向4 利用图象求参数取值范围【例6】 (2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，其顶点为(m,4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )．①当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m －m 2≥m ，即0<m ≤3时，函数f (x )的图象如图1所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎪⎨⎪⎧4m －m 2<m ，m >0，即m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2<b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．【答案】 (3，＋∞) 【总结反思】 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.(1)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f x －1，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________． 解析：(1)g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．(2)当x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1<x ≤2时，－1<x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图，欲使方程f(x)＝x＋a有两解，即函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，则a的取值范围是(－∞，1)．答案：(1)C (2)(－∞，1)1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围)．“形似神异”的图象变换规律在函数图象变换中，与对数函数图象相关的变换，有许多结构形式类似，稍不注意，就会出现差错．常用的几个变换如下：(1)y＝log a x→y＝|log a(x－m)|＋n(其中m>0，n>0)：把x轴下方的图象翻折上去y＝log a x――――――――――――――――――――→图象向右平移m个单位长度y＝|log a x|――――――――――――――――――――→图象向上平移n个单位长度y＝|log a(x－m)|――――――――――――――――――――→y＝|log a(x－m)|＋n；(2)y＝log a x→y＝log a|x－m|＋n：去掉y轴左侧的图象，右侧的图象作关于y轴对称y＝log a x――――――――――――――――――――→图象向右平移m个单位长度y＝log a|x|――――――――――――――――――――→图象向上平移n个单位长度y＝log a|x－m|――――――――――――――――――――→y＝log a|x－m|＋n；(3)y＝log a x→y＝log a(|x－m|＋n)：y＝log a x图象向左平移n个单位长度,y＝log a(x＋n)去掉y轴左侧的图象，右侧的图象作关于y轴对称――――――――――――――――――――→图象向右平移m个单位长度y＝log a(|x|＋n)――――――――――――――――――――→y＝log a(|x－m|＋n)；(4)y＝log a x→y＝|log a|x－m||：把x轴下方的图象翻折上去y＝log a x――――――――――――――――――――→去掉左侧图象，作y轴右侧的对称图象y＝|log a x|――――――――――――――――――――→图象向右平移m个单位长度y＝|log a|x||――――――――――――――――――――→y＝|log a|x－m||.【例】对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的有________个( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；图象向左平移1个单位长度因为y＝lg x――――――――――――――→去掉y轴左侧的图象，右侧的图象作关于y轴对称y＝lg(x＋1)――――――――――――――→图象向右平移2个单位长度y＝lg(|x|＋1)――――――――――――――→y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.【答案】 B。