实验五 方程求解

实验五 方程求解
实验目的
会正确使用Solve 和FindRoot 函数进行方程的求解。

与本实验相关的理论
1．牛顿切线法
设有一个函数y=f(x)。

方程f(x)=0在x=r 处有一个根，如图4﹣1所示。

对于此根，我们可以先估计一个初始值0x 。

然后用以下方法得到下一个更好的初始值1x 。

在点B())(,00x f x 作曲线的切线
y ﹣f())(()00/0x x x f x -=
交x 轴于1x （令y=0），即
)
()(0/001x f x f x x -= 同理，在点())(,11x f x 处作曲线的另一条切线，交x 轴于2x 即 )
(')(1112x f x f x x -= 一般地，设f(x)在[a, b]上满足条件：
(1) f(a).f(b)﹤0, (2) )(),(///x f x f 连续且不变号， (3) f()().//0x f x ﹥0
则由迭代公式
)
()(/1n n n n x f x f x x -=+ )((/n x f ≠0, n=0, 1, 2,…) 得到的序列单调收剑于
2．弦截法
设一个函数y=f(x)方程f(x)=0在区间[a, b]内有唯一根r ，如4﹣2所示。

在曲线y=f(x)上取两点A(a, f(a)) B)b, f(b))作弦，其方程为
y=),()()()(a x a
b a f b f a f ---+ 此弦与x 轴的交点横坐标为
)()
()(1a f a f b f a b a x ---= 将1x 作为方程的根r 的第一个近似值
如果，0)(1=x f 那么r x =1否则，再过两点B(b, ))(b f ())(,11x f x 作弦，该弦与x 轴的交点横坐标为
),()
()(11112x f x f b f x b x x ---= 将2x 作为方程的根r 的第二个近似值。

一般地，设f(x)满足条件：
(1) f(a).f(b)﹤0, (2) )()`(///x f x f 在[a, b]上连续且不变号，
(3) )(.///x f f ﹥0,)().)(///0x f x f a x =﹤0
取a 为固定点，),0b x =
则由迭代公式
)()
()(1n n n n n x f x f b f x b x x ---=+ (n=0, 1, 2, …), 得到的序列{}n x 单调于r
实 验 步 骤
一、代数方程
用函数Solve 可以求代数方程、方程组的精确或数值解，其中包括复值解。

其格式为
Solve[{f1= =0, f2= =0, …}, {x1, x2, …}]
其中表{f1= =0, f2= =0, …}中方程的等号必须是双等号，表{x1, x2, …}是方程组中未知量的集合。

例如：（*含有字母系数的方程*）
Clear[a, b, x]
Solve[a*x+b= =0, x] （*复数解*）
Clear[x]
Solve[∧x 2+x+1= =0, x] （*代数解，数值解*）
Clear[a, x]
a=Solve[=+--∧∧∧12*634x x x =0,x]
N[a] （*方程组*）
Clear[a, b]
a=(1+2*x 3)∧
b=(3+2*x+y 4)∧
Solve[{a= =0, b= =0}, {x, y}]
我们知道四次以上的多项式方程没有求代数解的一般方法，系统也求不出那些不能分解因式的四次以上的多项式方程的精确解，例如对方程：016235=+--x x x 系统求不出方程的精确解，这时可直接用函数NSolve 求出它的数值解。

其格式为
Nsolve[{f1= =0, f2= =0, …}, {x1, x2, …}, n]
其中的n 表示要求方程的解精确到小数点以后位。

例如：
Clear[a, x]
a=Nsolve[=+--∧∧∧12635x x x =0, x, 20]
说明：
为了说明某一程序或某一命令行的功能和作用，可以在程序的任何位置加以说明，其格式如下：
（*说明字符串*）
其中“说明字符串”可以是字母、数字和中文，语句“（*说明字符串*）”只起到对程序的说明作用，在程序执行时该语句将被忽略，因而该语句的加入对程序的执行结果没有任何影响。

二、一般方程的求解
对于更复杂的方程，用函数Solve或NSolve求不出根。

对于这样的方程可利用函数FindRoot求数值根，其格式分别为：
FindRoot[f1= =0, {x, 初值}]
和FindRoot[f1= =0, {x, 初值1，初值2}]，
它们分别用牛顿切线法和弦截法来解方程。

由于函数FindRoot是采用牛顿切线法和弦截法求解的，因此必须找到包含方程的根r的区间[a, b]，并且找到根的一个近似值作为初始值。

要解决这个问题，可以先作出函数f(x)的图象，从而找出方程f(x)=0的初值。

例如：
Clear[b, y, x]
b=Sin[x]Exp[2x]﹣Cos[x]
Plot[b, {x, ﹣2, 1}]
FindRoot[b= =0, {x, 0.5}]
运行结果为（如图4﹣3）
{x→0.412 804}.
此例用弦解法求解如下
Clear[b, y, x]
b=Sin[x]Exp[2x] ﹣Cos[x]
Plot[b, {x, ﹣2, 1}]
FindRoot[b= =0, {x, 0, 1}]
说明无论是牛顿切线法还是弦截法，当方程有重根或两个根非常接近或根与曲线的拐点非常接近时，可能会出现问题。

此时，可用下述格式：
FindRoot[f1= =0, {x, 初值}, 参数1，参数2]
和FindRoot[f1= =0, {x, 初值1，初值2}，参数1，参数2] 通过加大参数的值加以改善。

其中参数1和参数2为
MaxIterations→n和WorkingPrecision→n
它们分别表示指定迭代的次数和求根的精度n。

如果还不行，则需改用其他方法。

限于篇幅，不再详述。

三、微分方程
微分方程可以用函数DSolve求解，其格式为：
DSolve[{微分方程表达式，初始条件}，未知函数名称，未知函数的自变量名称]
例如：
Clear[y, t, a]
Dsolve[/y [t] ﹣a*t+1= =0, y[t], t]
执行结果：
{{y[t]→﹣t+22
1at +C[1]}} 又如：计算微分方程的初值解
Dsikve[{/y [t]﹣at+1= =0, y[1]= =2}, y[t], t]
实 验 报 告
实验名称：方程求解
实验日期： 年月日
指导教师：
实验人：
一、简述Solve 函数的使用格式是什么？
二、简述FindRoot 函数的使用格式是什么？使用时应注意什么？
三、简述DSolve 函数的使用格式是什么？
四、求解下列问题
1．解下列方程：
(1) 2x +x+1=0; (2) 3x ﹣1=0; (3) 026234=+--x x x (4)⎩
⎨⎧=-=-;1,022y x y x （5）求方程xlgx=1在区间[1, 3]内的近似解 2．解下列微分方程：
(1) ;1322///+=-+t y y (2),cos 12///t y y =+- ,21/
==x y。