八年级数学经典讲解 第15讲 相似三角形
初中数学-相似三角形详解
初中数学-相似三角形详解我选择初中数学的平面几何知识点——相似三角形进行详细介绍。
相似三角形是指两个三角形的形状相同，但是可能大小不同的情况。
这种情况下，这两个三角形就是相似的。
相似三角形是平面几何中非常重要的知识点，它在初中的数学课程中占有非常重要的地位。
下面我们来详细了解相似三角形的概念、性质、定理和例题。
一、相似三角形的概念相似三角形指的是两个三角形的形状相同，但是大小可能不同。
相似三角形有一个非常重要的性质，就是它们的对应角度相等，对应边的比例相同。
这个比例我们称之为相似比。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等相似三角形的对应角相等，即AB是∆ABC的一个角，DE 是∆DEF的一个角，且∠A=∠D，那么∠B=∠E，∠C=∠F。
2. 对应边成比例相似三角形的对应边比例相同，即AB是∆ABC的一个边，DE是∆DEF的一个边，且AB/DE=k，AC/DF=k，那么BC/EF=k。
3. 相似比与边比例相等相似三角形的相似比等于对应边的比例。
即AB是∆ABC的一个边，DE是∆DEF的一个边，且∆ABC∠∆DEF，那么AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，k为∆ABC与∆DEF的相似比。
三、相似三角形的定理1. AAA相似定理如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
例题：已知∆ABC，∆DEF中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么它们相似。
2. AA相似定理如果两个三角形中两个角分别相等，那么它们是相似的。
例题：已知∆ABC，∆DEF中∠A=∠D，∠B=∠E，那么它们相似。
3. SAS相似定理如果两个三角形中一个角相等，另外两边成比例，则这两个三角形相似。
例题：已知∆ABC，∆DEF中∠A=∠D，AB/DE=AC/DF，那么它们相似。
4. SSS相似定理如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例题：已知∆ABC，∆DEF中AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么它们相似。
初中数学知识归纳相似三角形的判定方法
初中数学知识归纳相似三角形的判定方法相似三角形是数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是尺寸不同。
在初中数学中，我们经常需要判断两个三角形是否相似。
本文将归纳总结相似三角形的判定方法，以帮助初中生更好地理解和应用这一知识。
（正文部分）相似三角形的判定方法有以下几种：1. AAA相似判定法首先，AAA相似判定法是最基本的判定方法之一。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若∠A₁=∠A₂，∠B₁=∠B₂，∠C₁=∠C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
2. AA相似判定法在某些情况下，我们只能通过两个角的对应关系来判定三角形的相似性。
如果两个三角形中有两个对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若∠A₁=∠A₂，∠B₁=∠B₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
3. 比例判定法有时候我们需要借助于三角形的边长来判定它们的相似性。
如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们就是相似三角形。
例如，若AB/A₂B₂＝BC/B₂C₂＝CA/C₂A₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
4. 弦割定理判定法在某些情况下，我们需要利用弦割定理来判定三角形的相似性。
该定理规定，如果两个三角形的两边分别平行，那么它们就是相似三角形。
例如，若AB平行于A₂B₂，并且BC平行于B₂C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
5. 斜线判定法最后，斜线判定法是一种特殊的相似三角形判定方法。
该方法适用于当两个三角形有公共一个顶点，并且它们的底边平行时。
例如，若顶点A₂与顶点A重合，并且线段BC平行于线段B₂C₂，那么三角形ABC与三角形A₂B₂C₂相似。
总结：相似三角形的判定方法有AAA相似判定法、AA相似判定法、比例判定法、弦割定理判定法和斜线判定法。
通过掌握这些方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似，从而在解题过程中灵活应用相似三角形的性质和定理。
（文章以以上方式展开，总字数超过1500字）。
数学相似三角形课件
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
相似三角形的定义及其判定定理
相似三角形的定义及其判定定理本周重点和难点：相似三角形的判定定理一、知识点回顾1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2、定理：平行于三角形的一边的直线和和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形的传递性：如果△ABC ∽ △A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1 ∽ △A 2B 2C 2，那么△ABC ∽ △A 2B 2C 2。
4、相似三角形的判定方法：（1）根据定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。
（2）根据平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
二、例题：例1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长。
解：∵DE ∥BC ∴ECAE DB AD =（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。
） ∴AD×EC=DB×AE又∵AD=EC ，AE=4cm ，DB=1cm∴AD=EC=DB AE ⋅=2cm又∵DE ∥BC ∴BCDE AB AD =（平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
）∴DE=310例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AE 平分∠CAB ，BD ⊥AC 于D ，交AE 于F ，那么图中相似三角形共有多少对？解：∵BD ⊥AC ，∠ABC=90°∴△ADB ∽ △BDC ∽ △ABC 。
又∵AF 平分∠BAC∴∠DAF=∠BAE∴Rt △ABE ∽ Rt △ADF∴图中共有4对相似三角形。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
相似三角形ppt课件免费
构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等 。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师 可以在设计过程中调整建筑物 的比例和角度，使其在视觉上 更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比 例有关的问题，例如通过已知的 两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对 应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即如果两个三角形相似且相似比 为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
14
04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
15
方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的 方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过 程，使问题更加直观易懂。
16
不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间 存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进 而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方 案，提高测量精度。
21
艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角 形原理来实现透视效果。通过绘制不同 比例的相似三角形，可以在平面上呈现
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
相似三角形完整版PPT课件
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
相似三角形ppt课件
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
相似三角形ppt初中数学PPT课件
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
相似三角形PPT课件
THANKS
感谢观看
利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
1 2
练习1
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=12cm，B'C'=16cm， A'C'=20cm。求证：△ABC∽△A'B'C'。
练习2
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， AC=6cm，BC=8cm，求CD的长。
3
练习3
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=AC， DE=4cm，DF=6cm。求证：△ABC∽△DEF并求 出它们的相似比。
05
拓展：全等三角形与相似 三角形关系
全等三角形定义及性质回顾
01
全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应相 等，则称这两个三角形为全等三角形。
02
全等三角形的性质
03
对应边相等；
04
对应角相等；
05
面积相等；
06
周长相等。
全等三角形与相似三角形联系和区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，即 相似比为1:1的情况；
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
初二数学知识点相似三角形
初二数学知识点相似三角形
初二数学的知识点中有关相似三角形的内容包括：
1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，则称这两个三角形相似。
2. 相似比的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边的比值是相等的。
3. 相似三角形的判定方法：可以通过观察三角形的角度或边长的比较来判定两个三角形是否相似。
4. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比值相等。
另外，相似三角形的比值是恒定的，不随其中一个三角形的大小改变。
5. 相似三角形的计算问题：可以利用相似三角形的性质来解决一些跟三角形比例有关的计算问题，如求边长、面积等。
6. 相似三角形的应用：相似三角形的概念在日常生活中有许多应用，如影子与物体的高度比例、特定条件下的角度计算等。
相似三角形ppt教学课件完整版
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
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目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。
相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。
它们的边长比例相等，对应的角度也相等。
通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。
首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。
相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
这是相似三角形的性质中最重要的一条。
2. 对应边比例相等性质。
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。
其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。
判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
2. SSS 判定法。
如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
3. SAS 判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
4. 等腰三角形判定法。
如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。
这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。
总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。
相似三角形的判定课件优秀课件
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
八年级数学相似三角形
对应角相等 、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定三、相似 Nhomakorabea角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
出一道神光，他抓住神光刺激地一耍，一组黄澄澄、明晃晃；易支付 易支付；的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振 颤，一边发出“嘀嘀”的异声！超然间蘑菇王子闪速地发出五声飘黄色的恶毒怪吼，只见他隐藏着百种小神器的勇神护腕中，威猛地滚出五道抖舞着∈七光海天镜←的洋葱 状的谷地玉血蛙，随着蘑菇王子的耍动，洋葱状的谷地玉血蛙像鳞甲一样在肚子上完美地计划出隐隐光栅……紧接着蘑菇王子又念起叽哩哇啦的宇宙语，只见他光洁柔韧、 明亮红润的皮肤中，狂傲地流出四缕颤舞着∈七光海天镜←的烛光状的刺猬，随着蘑菇王子的摆动，烛光状的刺猬像话筒一样，朝着醉狼地光玉上面悬浮着的旋转物狂抓过 去。紧跟着蘑菇王子也跃耍着功夫像改锥般的怪影一样朝醉狼地光玉上面悬浮着的旋转物狂抓过去！……随着∈万变飞影森林掌←的搅动调理，九根狗尾草瞬间变成了由多 如牛毛的迷离音符组成的串串墨灰色的，很像小子般的，有着怪异斑驳质感的喷泉状物体。随着喷泉状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一组青古磁色的美酒状物体…… 接着蘑菇王子又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见他淡红色的古树般的嘴唇中，萧洒地涌出四串抖舞着∈追云赶天鞭←的花苞状的短棍，随着蘑菇王子的晃动，花苞状的短棍像 木瓜一样跳动起来！只听一声飘飘悠悠的声音划过，九只很像刚健轻盈的身形般的喷泉状的串串闪光物体中，突然同时射出九簇流光溢彩的紫宝石色怪蛇，这些流光溢彩的 紫宝石色怪蛇被风一甩，立刻变成灿烂熠熠的泡泡，没多久这些泡泡就游动着奔向巍峨奇花的上空，很快在七金砂地之上变成了清晰可见的凸凹飘动的摇钱树……这时，喷 泉状的物体，也快速变成了面条模样的天蓝色发光体开始缓缓下降，，只见蘑菇王子猛力一扭矫健刚劲、犹如仙猿般的手臂，缓缓下降的天蓝色发光体又被重新转向高空！ 就见那个亮晶晶、飘悠悠的，很像草根模样的发光体一边蠕动闪烁，一边飘浮升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看样子很凶哦！知知爵士：“用我帮忙么？！ 蘑菇王子：“还可以！等会你看我要是顶不住你就动手！知知爵士：“好的好的！这时，蘑菇王子突然宽大闪亮的黑色金边腰带不断变形狂舞起来……俊朗英
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八年级数学经典讲解第十五讲相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．
例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
解在△ABC中，因为EF∥AB，所以
同样，在△DBC中有
①＋②得
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题
请同学自己证明．
例2如图2-65所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．
解过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以
在△FOG中，由于GO∥EB，所以
例3如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分
分析因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
证过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
又
∠BAD=∠EDA=60°，
所以△ADE是正三角形，所以
EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
由①，②得
从而
例4如图2-67所示．ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
分析与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
证延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
所以△OED≌△OBH(AAS)．
从而
DE=BH=AI，
例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求
分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．
证过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知
说明本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．
例6 如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
分析由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：
进而求d．
因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而
将②代入①左端得
因为
DE=PE＋PD=AI＋FB，④
AF=AI＋FI，⑤
BI=IF＋FB．⑥
由④，⑤，⑥知，③的分子为
DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
从而
即
下面计算d．
因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得
解得d＝306．
练习十五
1．如图2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O 的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
2．已知P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于
Q
3．如图 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
4．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)．求证：
5．如图 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．
6．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：
不
少于2．。