备战高考数学一轮复习第5单元解三角形单元训练A卷理含解析

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浙江专用2021届高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形5.4解三角形及其综合应用试题含解析

§5.4解三角形及其综合应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若sin A=3sin B,c=√5,且cos C=56,则a=（）A.2√2B。

3 C.3√2D。

4答案B2.若△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于（）A。

32B。

43C.√2D.√3答案D3。

在△ABC中,三内角A，B,C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-√3bc=a2,bc=√3a2，则角C的大小是（)A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6答案A4。

若△ABC的面积为√34（a2+c2—b2),且∠C为钝角,则∠B=;ca的取值范围是.答案π3;(2，+∞)5.在△ABC中，a,b，c分别为内角A，B，C的对边,且2asin A=(2b+c）sin B+（2c+b）·sin C.（1）求A的大小;（2）若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.解析(1）由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc。

又a2=b2+c2-2bccos A，所以bc=-2bccos A,即cos A=-12。

由于A为三角形的内角,所以A=2π3.（2)已知2asin A=（2b+c)sin B+(2c+b）sin C，结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+（2sin C+sin B）sin C，即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin22π3=34 .又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1，解得sin B=sin C=12,因为0〈B<π,0<C<π，0〈B+C〈π,所以B=C=π6，所以△ABC是等腰三角形.考点二解三角形及其综合应用6.在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为(）A。

2022版高考数学一轮复习第5章第6讲正弦定理余弦定理及解三角形训练含解析

第五章第6讲[A 级基础达标]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若a ＝3b ，A ＝120°，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A2．(2019年某某模拟)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝2b sin A ，则a ＝( )A ．2B ．22 C ．1 D ．2 2【答案】B3．(2019年某某模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π 【答案】C4．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋C2＝b sin A ，则角B ＝( )A ．π6或5π6B ．π3或2π3C ．π6D ．π3【答案】D5．a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若a 2＋b 2＝2 021c 2，则2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝( )A ．1 010B ．2 019C ．2 020D ．2 021【答案】C 【解析】由a 2＋b 2＝2 021c 2，得a 2＋b 2－c 2＝2 020c 2，即2 020c 2＝2ab cos C ，得cos C ＝1 010c 2ab .所以2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ·sin (A ＋B )cos A cos B ＝2sin A sin B cos C sin 2C ＝2ab cos Cc 2＝2ab ·1 010c 2ab c 2＝2 020.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.【答案】30° 【解析】将sin C ＝23sin B 利用正弦定理化简得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，可得a 2＝7b 2，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32.因为A为三角形的内角，所以A ＝30°.7．(2019年某某期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D ＝________.【答案】277【解析】因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB＝32AC ．由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，S 四边形ABCD ＝S △ACD＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D －332cos D ＝9＋274sin(D ＋φ)＋1383，其中tan φ＝－32.当φ＋D ＝π2时，S 四边形ABCD 最大，此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277. 8．(2019年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ．又因为b ＝6，a ＝2c ，B＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，所以c ＝23，a ＝43，故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3. 9．已知△ABC 中，sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ． (1)求角A 的大小；(2)若AB ＝2AC ，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，AD ＝2＋2，求AB ．解：(1)由sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ，得sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋22sin C ，即cos A sin C ＝22sin C ．因为0＜C ＜π，所以cos A ＝22，解得A ＝π4. (2)如图，设AC ＝t ，则AB ＝2t .在AB 上取一点E ，使得BE ＝2EA ，连接DE ，则DE ∥AC ．在△ADE 中，∠AED ＝π－∠BAC ＝3π4，AE ＝13AB ＝2t 3，ED ＝23AC ＝2t 3.由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2·AE ·DE cos ∠AED ，即2＋2＝4t 29＋4t 29－2×2t 3×2t 3×⎝⎛⎭⎫－22，解得t ＝32.所以AB ＝2t ＝3.10．(2020年某某模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2c ＝a ＋2b cos A ．(1)求角B ；(2)若a ＋c ＝5，b ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由题知2sin C ＝sin A ＋2sin B cos A ，则2sin ()A ＋B ＝sin A ＋2sin B cos A ，则2sin A cos B ＝sin A ．在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，则B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋c 2－ac ＝()a ＋c 2－3ac . 又a ＋c ＝5，所以ac ＝163.所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝433.[B 级能力提升]11．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝6，A ＝π6，若该三角形有两解，则a 的取值X 围是( )A ．(3,6)B ．(0,3)C ．(32，6)D ．(32，＋∞)【答案】A 【解析】因为在△ABC 中，b ＝6，A ＝π6，所以由正弦定理得sin B ＝b ·sin Aa ＝6×12a ＝3a .因为A ＝π6，所以0＜B ＜5π6.要使三角形有两解，则π6＜B ＜5π6，且B ≠π2，即12＜sinB ＜1，所以12＜3a＜1，解得3＜a ＜6.12．(2020年抚州模拟)平面内不共线的三点O ，A ，B 满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，若|OC →|＝32，则∠AOB ＝( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】C 【解析】延长OC 到D ，使得CD ＝OC ＝32，连接AD ，BD ，则四边形OADB 为平行四边形．所以OD ＝ 3.所以cos ∠OBD ＝12＋22－(3)22×1×2＝12.所以∠OBD ＝π3.所以∠AOB ＝π－∠OBD ＝π－π3＝2π3.13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．【答案】27【解析】由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.14．(一题两空)(2020年梅河口模拟)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知2a －3b cos B ＝3c cos C ，则C ＝________，a 2＋c 2－b 2ac的取值X 围是________．【答案】π6 (－3，0)∪(0,2) 【解析】因为2a －3b cos B ＝3c cos C ，所以(2a －3b )cos C ＝3c cos B (cos B cos C ≠0)，所以(2sin A －3sin B )cos C ＝3sin C cos B ，即2sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ．又sin A ＞0，所以cos C ＝32，则C ＝π6.因为cos B ≠0，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，5π6.而a 2＋c 2－b 2ac ＝2cos B ，故a 2＋c 2－b 2ac∈(－3，0)∪(0,2)．15．(2020年池州月考)设函数f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1． (1)求f (x )的单调增区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1 ＝cos 2x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝cos 2x －12cos 2x ＋32sin 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫2×A 2＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1．因为A 是锐角，所以A ＋π6＝π2，得A ＝π3.因为a ＝1，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . 所以bc ≤1，当且仅当b ＝c 时取等号，则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×1×32＝34，即△ABC 面积的最大值为34. [C 级创新突破]16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ．圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】由正弦定理可知sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sinA ⇔a 2c ＋4c ＝4ac .因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ac ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，得a ＝BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ，所以S △OBC ＝12BC ·O D ．又S △OBC ＝33，BC ＝2，所以OD ＝33.在Rt △BOD中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝ 3.又0°＜∠BOD ＜180°，所以∠BOD ＝60°，所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°.因为O 在△ABC 内部，所以∠A ＝12∠BOC ＝60°.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，得4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc .又b ＋c ＝4，所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2，所以△ABC 为等边三角形．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆的半径是1，且满足2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sinB ．(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，所以sin A ＝a 2，sin B ＝b 2，sin C ＝c2.又2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，所以2⎝⎛⎭⎫a 24－c 24＝(2a －b )·b 2，即a 2＋b 2－c 2＝2ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)因为C ＝π4，所以A ＋B ＝3π4，即B ＝3π4－A ．因为a sin A ＝bsin B ＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2sin A sin B sin π4＝2sin A sin B ＝2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A＝sin A cos A ＋sin 2A ＝12sin 2A ＋12 (1－cos 2A )＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2A －22cos 2A ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12. 当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，△ABC 的面积取得最大值22＋12.。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案一、三角函数与解三角形多选题1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确；对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误；对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >，根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7cR C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=，整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.4．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2xf x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=，则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.7．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.8．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确；对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确；对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.9．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【分析】化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+>⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确；对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.10．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω= B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.。

(完整版)必修5-解三角形单元测试题---(含答案)(20210206030015)

32 专题：正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理应用的常见题型： ⑴ 已知两角与一边，解三角形，有一解。

⑵ 已知两边及其中一边的对角，解三角形，可能有两解、一解或无解（如右图）。

⑶ 已知三边，解三角形，有一解。

⑷ 已知两边及夹角，解三角形，有一解。

|1.在厶 ABC 中，已知 A=30°, B=45°, a=1，贝U b=() A. .22..3B.3C.D.222.在厶ABC 中，已知 C= - , b=4, ABC 的面积为2・._3，则 3 c=() A. ,7 B.2 、.2C.2、、3D.273.已知在△ ABC 中，sinA : sinB : sinC=3 : 5 :7,那么这个三角形的最大角是（）A.90 °B.120°C.135°D.150o4.已知在△ABC中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、 C 的对边，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 那么 A=( A.30 °B.60°C.120°D.150o)5.在厶ABC 中，角 A ， B 的对边分别为B.6.在厶 ABC 中, 3 5a=、2 , b= . 3 , C.4 aa 、b 且A=2B sinB= ，则旦的值是（5 b85D. nA.— 6B. C. 7. △ ABC 的内角 A 、 A.1B.2C.8.在厶ABC 中，内角 2 A. 2B. 9.在厶ABC 中，角 1 A. 一B.3nB=—, 3 则A 等于（D.C 的对边分别是 a 、 b 、c ，右 B=2A, a=1, b= 3，则 c=（ D.1B C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若 bsinA- 3 acosB=0,且 b =ac ,贝UC.2D. 4A 、B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、 nc , sinC+sin(A-B)=3sin2B.若 C=—, 则-=() bC.D.3310. 在厶ABC中，如果a+c=2b, B=30°,^ ABC的面积为？，那么b等于( )21+ 3 2+ 3A. B. 1+ 3 C. D. 2+ 32 211. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别是a、b、c,且a= 5，b=3，c=2 . 2，则角A= .112. 在厶ABC中，内角A、B C所对的边分别是a、b、c已知b-c= —a，2sinB=3sinC，贝U cosA的值为____________413. 在厶ABC中，a、b、c 分别是角A B C 的对边，若a2-c 2=2b，且sinB=6cosA?sinC，贝U b= .2 2 214. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别为a、b、c,若c <a +b +2abcos2C，贝U C的取值范围为15. 设_圧「的内角:-所对的边分别为.,且“一- • .■' o9(1)求的值；⑵求：i' I：的值;16. 在_把匚中，角1.「厂所对的边分别为..'「，且，「」’I： : ■ I -(1)求广.的值；(2)若』—［：,〉；-［,求二角形ABC的面积.B17. —•工二的内角的对边分别为“二…，已知二1一1三一」-二二.(I)求I：：：)J Ji ;(n)若n = f，二一上二的面积为】，求二.18. △三二中，角丄］打一所对的边分别为，: 'TI ■ (1)求r-;sin jd + sin.fi cos J4-HCOS⑵若△一匸1:-的面积-- ■：I ,求二匚参考答案1. 答案为：A；2. 答案为：C;3. 答案为：B;4. 答案为：B;5. 答案为：A;6. 答案为：B;7. 答案为：B;8. 答案为：C;9. 答案为：C;10. 答案为：B;11. 答案为：45 ° ;12. 答案为：-0.25 ;13. 答案为：3;n14. 答案为：(0,—);315. 解：⑴由込T希玄定理得，,+亠4諾口又十=6,解得—=3字与正弦走理得"上容十g所以sin （上一百）二sin ^cos B -cos 日sin 疗二耳*16. 解:(1)由已知及正弦罡理可得min厘亡凶C* +血Ccos^4 = 2 sin B亡心営丄由两角和的正菠公式得地〔丿十2沏Bees A由三角形的內角和可得血启二2血占匚oM因为sin 0,所^COSJ4=-2(2)由余弦定理得：弓6 =护斗J — 2尿x占=0 + u)" —3bc= 64—3b^ t\ be =£J由⑴知I+所以"《争字半17. 解:(1> 因为sin(^ + C) = sin(7T-^) = sin-5,siii3— = -~~ 』所sin.fi = 4(1- cos B).又因为或f?爲4"/F =1,所^16(1-002 5)2 + 00£25=1,展幵，得17COS3F-32COS5+15-04解得cosi = l 皓去》或co S5 = ^|<2> 由cos 5 = —j 得sin £ = J1- 匚;『E 故=—flesinS = —acY117 2 17又％= 则处=耳.由余弓玄定理51空+广=6」17 32得方2 二疋十百2 一2accos£= (a +c)2 - 2血(1 十ex 召)二36- 2x —x—二 4 ,所以占=2.18. 解:<、!—.. 严sin jl + sin 5 nri sin C sin + sin B(1)因为tanC =----------- ,即------ - ------------ ,cos J4+COS^匚os(7 cos」十cos 卫所以sinCcosj4 + sin Ceos B■= cosCsin^4+ cos C7sin 5』即sin Ceos J-cosCsin J!=COS C sin sin Ceos 5 j 得sin(C- ZJ = sin(3 - C). 所V.C-A = ^-C S或U-人=咒一(8-6(不成立).即2C = A^3t ^C = -7所以，占 +山=2" 3又因环H1 迢一QkwU 二，JDJ£-Z = y2 6 ⑵= —<se sin =亲七 -3+ 远?2 LI 冶去用上討5JTV2。

湘教版高考数学一轮总复习课后习题第五章三角函数、解三角形课时规范练23

课时规范练23《素养分级练》P307基础巩固组1.函数y=2cos 2x+π6的部分图象大致是( )答案:A解析:由y=2cos 2x+π6可知,函数的最大值为2,排除D;因为函数图象过点π6,0,排除B;又因为函数图象过点-π12,2,排除C,故选A.2.将函数y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=cos 2x+π6的图象,则φ的值可以是 ( )A.π12B.π6C.π3D.2π3答案:D解析:y=cos2x+π6=sin2x+π6+π2=sin2x+2π3,将函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ)的图象,由题意可得2π3=2kπ-2φ(k∈Z),可得φ=kπ-π3(k∈Z),当k=1时,φ=2π3,故选D.3.(黑龙江大庆高三期末)某智能降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加抵消掉噪音,如图所示,若噪音的声波曲线的解析式为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为π2,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )A.y=sin πxB.y=-cos πxC.y=-sin πxD.y=cos πx答案:B解析:由题意知,A=1,ω=π,φ=π2,噪音的声波曲线的解析式为y=sinπx+π2,而降噪声波曲线可以看成将噪音声波曲线向左平移半个周期得到的曲线,故降噪声波曲线的解析式为y=sinπx+π+π2=-cosπx,故选B.4.(四川内江高三模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2,将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得到函数g(x)的部分图象如图所示,则fπ3=( )A.12B.-12C.√32D.-√32答案:A解析:平移不改变振幅和周期,所以由图象可知A=1,2πω×34=π6--7π12=3π4,解得ω=2,函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得g(x)=cos 2x+3π4+φ.当x=π6时,2×π6+3π2+φ=3π2+2kπ,k∈Z,且|φ|<π2,得φ=-π3,所以f(x)=cos 2x-π3,fπ3=cos π3=12.故选A.5.(陕西咸阳高三二模)如图,A,B 是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象与x 轴的两个交点,若|OB|-|OA|=4π3,则ω=( )A.1B.12C.2D.23答案:B解析:由图象可知,点(0,1)在函数图象上,所以2sinφ=1,因为|φ|<π2,所以φ=π6,f(x)=2sin ωx+π6.令2sin ωx+π6=0,解得ωx+π6=kπ,k∈Z,x=kπ-π6ω,k ∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,解得x A =-π6ω,当k=1时,x B =5π6ω,所以|OB|-|OA|=5π6ω−π6ω=4π3,解得ω=12,故选B.6.(多选)(海南海口高三月考)将函数f(x)=√3cos ωx+π3-1的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象与f(x)图象重合,则ω的值可以为( ) A.-4 B.8 C.12 D.16答案:BD解析:由题意得g(x)=√3cos ωx+π4+π3-1=√3cos ωx+ωπ4+π3-1,由于函数g(x)的图象与f(x)图象重合,故ωπ4=2kπ(k∈Z),ω=8k(k∈Z).当k=1时,ω=8;当k=2时,ω=16.由于k 取整数,故ω=8k 不会取到-4或12.故选BD.7.(多选)(福建宁德高三期中)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )A.ω=3B.函数f(x)在3π5,14π5上单调递增C.φ=6π5D.函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ3−π15(k ∈Z)答案:AD解析:由图象知函数的周期T=2×13π30−π10=2π3=2πω,解得ω=3,所以A 正确;由题图得3×π10+φ=2kπ+π2(k ∈Z),因为0≤φ<2π,所以φ=π5,所以C 错误;f(x)=cos 3x+π5,当2kπ≤3x+π5≤2kπ+π(k∈Z)时,函数f(x)单调递减,取k=1,得f(x)的一个单调递减区间为3π5,14π15,所以B 错误;函数f(x)图象的对称轴为直线3x+π5=kπ(k∈Z),即x=kπ3−π15(k ∈Z),所以D 正确.故选AD.8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象经过A-5π18,0,B -π9,-1,Cπ9,0,D2π9,1这四个点中的三个点,则φ= . 答案:-π6解析:因为-π9--5π18=122π9--π9=π6,所以f(x)在一个周期内的图象不可能经过点C,则T=π6×4=2πω,解得ω=3.因为f2π9=1,所以2π9×3+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=-π6+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,所以φ=-π6.9.(山东济南高三月考)已知函数f(x)=cos 2x+sin 2x-π2,将函数f(x)的图象先向右平移π12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的对称轴为直线 . 答案:x=kπ2+π12(k ∈Z)解析:f(x)=cos 2x+sin 2x-π2=2cos 2x=1+cos2x,由题意可得g(x)=cos2x-π12=cos 2x-π6,令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).综合提升组10.(山东东营高三期中)将函数y=asin x+bcos x 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12,然后将所得图象向左平移π6个单位长度,可得函数y=2cos 2x+π6的图象,则a+b=( )A.2B.0C.√3+1D.1-√3答案:C解析:先将y=2cos 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度,得y=2cos 2x-π6+π6=2cos 2x-π6,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得y=2cosx-π6=2√32cosx+12sinx =sinx+√3cosx,故a=1,b=√3,所以a+b=1+√3,故选C.11.(多选)(河北保定高三模拟)已知P(1,2√3)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2图象的一个最高点,B,C 是与P 相邻的两个最低点.若△PBC 为等边三角形,则下列说法正确的是( ) A.A=2B.f(x)的最小正周期为8C.φ=π4D.将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,(2,0)是g(x)图象的一个对称中心答案:BC解析:设BC 的中点为D,与P 相邻且函数f(x)的图象与x 轴的交点为E,F,即E,F 为函数f(x)图象的两个对称中心,连接PD,则由题意知A=2√3,故选项A 错误;易知|PD|=4√3,∠BPD=π6,所以|BD|=4,|PB|=|BC|=8,则f(x)的最小正周期为8,故选项B 正确;因为ω=2π8=π4,则π4×1+φ=π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π4,故选项C 正确;因为f(x)=2√3sin π4x+π4,则将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)=2√3sin π4x 的图象,易知(2,0)不是g(x)图象的对称中心,故选项D 错误.故选BC.12.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A(1,-√3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2.若当t ∈[0,m)时,函数f(t)恰有2个极大值,则m 的取值范围是 .答案:172,292解析:根据点A 的坐标(1,-√3)可得圆周的半径R=√1+3=2.又旋转一周用时6秒,即周期T=6,从而得ω=2πT=π3,∴f(t)=2sinπ3t+φ.又当t=0时,在函数图象上y=-√3,∴f(0)=2sin π3×0+φ=-√3,即sinφ=-√32. 又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴f(t)=2sinπ3t-π3.根据三角函数的性质,f(t)在[0,m)内恰有两个极大值时,有5π2<π3m-π3≤9π2,解得172<m≤292.创新应用组13.(浙江金华高三月考)已知函数f(x)=cos 2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)的图象.若对于任意的,n],使得f(-n|的最小值为 . 答案:π3解析:函数f(x)=cos2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cos 2x-π6的图象.因为x 1∈-π3,π6,所以2x 1∈-2π3,π3,所以f(x 1)=cos2x 1∈-12,1.因为对于任意的,n],使得f(x 1)=g(x 2),所以g(-n|取最小值,只需函数g(x)在x ∈[m,n]上单调且值域为-12,1即可.由2kπ-2π3≤2x -π6≤2kπ(k∈Z)可得kπ-π4≤-n|的最小值为-π4−π12=π3.。

2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第五章三角函数(含解析)

6
63
6 3 23
2
不符合条件.
当 7 时， f (x) sin(7 x π ) ，当 x [π, 2π] 时， 7 x π [3π , 8π ] ， f (x) [1,1] ，
6
63
6 3 23
不符合条件.
综上，当 1 时， f (x) sin(x π ) ，符合条件，故 B 错误;
6
2
（纵坐标不变），得到函数 g x 的图象，则下列关于函数 g x 的说法中正确的是( )
A.在
π 6
,
5π 12
上单调递增
B.当
x
π 2
,
π
时，函数
g
x
的值域是
2,1
C.其图象关于直线 x 5π 对称 6
D.直线 y 2 3x 1为曲线 y g x 的切线
10．已知函数
f
x
sin
y
sin
2x
π 4
的图象的是(
)
A.先将 y cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 3π 个单位长度
2
8
B.先将 y sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 π 个单位长度
2
8
C.先将 y sin x 的图象向右平移 π 个单位长度,再将各点的横坐标缩小为原来的 1
与单位圆
O
交于点
P
2 10
,
y
,则(
)
A. sin 7 2 10
B. tan 5
C. cos 2 24 25
D.
sin
2
π 4
17 2 50
1．答案：AD

(完整word版)高一必修五解三角形复习题及答案

解三角形广州市第四中学文U 运科、选择题•本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.△ ABC 的内角 A B, C 的对边分别为a,b, c ，若c 、、2, b ..6，B 120o ，则a等于【】C .3C . .3 1A . 135oB . 90oC . 45°D . 30°4. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3, BC 7,贝U BAC 的大小为【】253A .B .C .D .—3 64 35. △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c ,若a b c 成等比数列，且c 2a ,则 cosB【】132A . 4B .4C .4D . 36.△ABC中,已知tan A 1 ,tan B1 则角C 等于【】32 'A135oB.120oC . 45oD . 30(一 uuu umr7.在AB C中，AB=3,AC=2 , BC=. 10，则 AB AC 【】3 2 2 3A . -B . —C .D .-2 3 3 28.若厶ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 a cosA bcosB ,则【2.在△ ABC 中，角 A 、、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A —, a3b 1，则 c3.已知△ ABC 中，a 2 , b 3 , B 60o ，那么角A 等于【B . △ ABC 为直角三角形D . △ABC 为等腰三角形或直角三角形】二、填空题：本大题共 4小题.11.在厶ABC 中，三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a 3,b 4,c 6,则bccosA cacosB abcosC 的值为 ________________ .112•在△ ABC 中，若 tan A - , C 150o , BC 1，则 AB.313. 在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若,3b c cos A acosC ,贝H cosA _____________ 。

2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形加强练五三角函数解三角形含解析

加强练(五）三角函数、解三角形一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角α的终边经过点(m，错误!）,若α＝错误!，则m的值为（)A。

27 B。

127C。

9 D.错误!解析由正切函数的定义可得tan 错误!＝错误!，即m错误!－错误!＝错误!，则m－错误!＝错误!,所以m＝(3错误!）－6＝3－3＝错误!，故选B。

答案B2.（2019·镇海中学模拟)若y＝f(x）·sin x是周期为π的奇函数，则f（x)可以是（）A。

sin x B。

cos x C。

sin 2x D。

cos 2x解析因为函数sin x cos x＝错误!sin 2x是周期为π的奇函数,所以可知f(x）＝cos x，故选B。

答案B3.已知sin α＋cos α＝13，则sin2错误!＝()A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!解析对sin α＋cos α＝错误!平方得1＋sin 2α＝错误!，∴sin 2α＝－错误!，∴sin2错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

答案B4。

在△ABC中,若sin A＝错误!，cos B＝错误!，则cos C的值是() A。

错误!B。

错误!C。

错误!或错误!D。

以上都不对解析cos B＝错误!>0，∴B为锐角，sin B＝错误!,又sin A＝错误!〈sin B,由正弦定理得0<A<B<错误!,cos A＝错误!,cos C＝cos错误!＝－cos（A ＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

答案B5。

（2020·浙江十校联盟适考）将函数f(x）＝错误!sin 2x－2cos2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变),再向右平移错误!个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（) A。

错误!B。

2025年高考数学一轮复习-三角函数、解三角形(基础巩固卷)【含答案】

三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。

必修5解三角形知识点和练习题(含答案)

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的海面上有一走私船正以
20．
21．。

高考理科数学一轮复习专题训练：解三角形(含详细答案解析)

第五单元解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===，故角π3C =，故答案为B ．3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（） A ．63 B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯，所以243sin 1sin C A -，所以1143sin 736322S ab C ==⨯⨯=．故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---92a b cp ++==，所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形，故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（） A．2BC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C ，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒Q ，45BDC ∠=︒，120CBD \??，由正弦定理得302sin 45BC =，302sin 45203BC °\==， 3tan3020320AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC △的面积为（） A ．23 B ．3C ．3 D ．33【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin BCD ∠=，所以113si 3n 23223BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==．所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒．所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（） A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（）A ．5B ．27C ．29D ．42【答案】C【解析】∵向量AB u u u r 在AC u u u r 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABCS =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ，∴||sin 2AB A =u u u r ．②由①②得tan 1A =-，∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==u u u r ．在ABC △中，由余弦定理得 222223π22cos(22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =A =________．【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒=== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒，本题正确结果75︒．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____．【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒．在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒．在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin60sin6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c = 则ABC △面积的最大值为______．【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B ⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥Q ，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号，max 113sin 43222S ab C ∴==⨯⨯=，本题正确结果3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值；（2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=．（2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．【答案】（1）52；（2）3257．【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =，又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==．（2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ===⨯=． 19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3D =；（2）【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -． ∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =．（2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．（2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =．设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-，所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =．所以3b =，ABC △的周长为47+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积．【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=．【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ，因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒，所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262++ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)430BF BF -+，解得2BF =，23BF =（舍去）．因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△，所以2(31)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值．【答案】（1）13BD =；（2）1698．【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠．（2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当135BC DC ==第五单元解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，若2BC =，2AC =，45B =︒，则角A 等于（） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B ==1sin 2A =，因BC AC <，所以45AB <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（） A ．14-B ．14 C ．23-D ．23【答案】A【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161cos 2124b ac C ab +-+-===-，故答案为A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b =，120A =︒，则△ABC 的面积为（）A ．2BC ．4D ．【答案】D【解析】因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，所以△ABC 的面积为1sin 2bc A =．故选D ．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】△ABC 中，60B =︒，2b ac =，()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ．5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（）A ．)B ．()2,3C ．)D ．【答案】A【解析】因为钝角△ABC ，所以222cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<，c >，又因为3c a b <+=，3c <<，故选A ．6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（）A．2 B ．36 C ．33 D ．32【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(27)1cos 2C +-==，60C \=?，sin sin AB AC C BQ =，得到36sin 236sin 2C AC AB B ××===，故选B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（）A ．()24031m B ．()18021m C ．()3031mD ．)12031m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，6060120sin sin30AC C ∴===︒，由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC =∠∠，得()sin 120sin 4560212031sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒===∠︒，即河流的宽度)12031m ，本题正确选项D ．8．已知ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，则角A 的大小为（） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒【答案】D【解析】cos AB AC c b A ⋅=⋅u u u r u u u r Q ，又ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，13sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅，则3tan A =，又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】2sin 2sin a C A =Q ，22a c a ∴=，2ac =，因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △=，故选A ．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π4B =，AD =2BD =，则b =（）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，2sin sin 4BAD =∠，解得1sin 2BAD ∠=，又由π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，又因为5π12ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（）A ．(0,6)B ．(2⎤⎦C ．(4,6]D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===变形得到sin ,sin ,2sin sin 3333b Bc C l B C ===++，因为2π3B C +=， 2π2sin sin π223sin 2cos 24sin 3633l B B B B B ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，(]4,6l ∴∈，故答案为C ．12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（） A ．()2,6B ．()22,62++C ．()2,62+D ．()62,62-+【答案】D 【解析】由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°，若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ，当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BCECB BEC=∠∠，算得62AB =，∴62AB <，若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ，当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°，根据正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠，算得62AB =，∴62AB >，综上所述，AB 6262AB <．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______．【答案】23【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，所以由余弦定理可得22212cos60164242122c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=，所以23c =，故答案为23． 14．在ABC △中，π3A =，1b =，3a =，则ABC △的面积为______．【答案】3 【解析】π3A =Q ，1b =，3a =， ∴由正弦定理可得31sin 3B =，解得1sin 2B =，b a <Q ，B A ∴<，π6B ∴=，可得ππ2C A B =--=， 11π3sin 31sin 222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△，本题正确结果3． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°，由正弦定理得(80sin1504062sin1562AC ︒==︒-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°，由正弦定理，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，所以()sin 80sin15160sin1540621sin 2CD BDC BC CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠，△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅()()()()1160084316008432160062622=++-+⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯，解得805AB =，则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为_______．【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=，又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C +=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+-，即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-，因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当32a b ==时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V 中，45,10B AC ∠=︒=25cos C =．（1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长．【答案】（1）32；（2）13．【解析】（1）(0,π)C ∈Q ，25sin 1cos C C ∴=-=， 310sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中：sin 32sin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒==．（2）由余弦定理可知： 22252cos 10182103225AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD △中，由余弦定理可知：2222cos 1812321132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=． 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =．（1）若2a b ==，求cos B ；（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积．【答案】（1）14；（2）2．【解析】2sin 2sin sin B A C =Q ，由正弦定理可得22b ac =，（1）21a b c ==∴=Q ，，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．（2）90B ∠=︒Q ，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，1122222ABC S ac ∴==⋅⋅=△．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（1）6；（2）1BC =．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠．因为60,3,6A AD BD ∠=︒==，所以36sin sin sin 606AD ABD A BD ∠=⨯∠=⨯︒=．（2）由（1）可知，6sin ABD ∠=，因为90ABC ∠=︒，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=．在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．因为2,6CD BD ==，所以264626BC BC =+-⨯⨯，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．（1）求sin sin A C 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长．【答案】（1）3sin sin 4A C?；（2）ABC V 的周长为32．【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，sin ,sin sin A B C Q ，成等比数列，2233sin sin sin 4A CB 骣琪\?==琪桫．（2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =，由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?，化简得2()0a c -=，即2a c ==，2b ac ==， 32a b c \++=，因此ABC V 的周长为32．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为28π3万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）12或17．【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，，在和中分别使用余弦定理得：，得1cos 7θ=， ∴43sin sin 7ADC θ∠==， ∴四边形的面积()1sin 2ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=⋅+⋅△△ ()14326448327=⨯+⨯⨯=．（2）∵圆形广场的面积为28π3，∴圆形广场的半径2213R =，在中由正弦定理知：4212sin sin 3AC R θθ==，在中由余弦定理知：，∴2421sin 4024cos θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，化简得，解得1cos 2θ=或1cos 7θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，3b ，22ac +-1sin sin tan 12A CB =．（1）求内角B 的大小；（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．【答案】（1）π6B =（2【解析】（1）b =Q 221sin sin tan 12a c A C B +-=，222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B∴=，由正弦定理得222tan cos sin b BBB =，即222cos sin tan b B B B =，231cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=，变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2B =， π02B <<Q ，∴π6B =．（2）b =Q π6B =，∴由余弦定理得22π12cos 612a c ac +-=，化简得22112a c +=，21()(212a c ac ∴+-+=，2()4a c ac +≤Q ，(2ac ∴-≥，2()(2a c ac ∴+-，112≤，2()a c ∴+，22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤a c =时等号成立，∴(2)(2)a c b a c b +++-。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭，当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确；对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误；对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确；对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确，故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ，故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >，根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =，函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=，当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<，56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=，则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点；对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；8．在ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.二、数列多选题9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列【答案】AB【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a = 则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．故选：AB【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10．将()23n n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221n S n n =+- 【答案】ACD【分析】由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D.【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确； ()666735132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n n n n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.。

陕西省五校2025年高三一轮复习：三角函数与解三角形检测试题含答案含解析

陕西省五校2025年高三一轮复习：三角函数与解三角形检测试题含答案注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、汽车在平直公路上以108km/h 的速度匀速行驶，司机看到前面有突发情况，紧急利车，从看到突发情况到刹车的反应时间内汽车做匀速运动，刹车后汽车做匀减速直线运动，从看到突发情况到汽车停下，汽车行驶的距离为90m ，所花时间为5.5s ，则汽车匀减速过程中所受阻力约为汽车所受重力的（）A ．0.3倍B ．0.5倍C ．0.6倍D ．0.8倍2、如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h ，在圆筒侧壁开一个小孔P ，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x ，小孔P 到水面的距离为y 。

短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g ，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是（）A ．水从小孔P 射出的速度大小为gyB ．y 越小，则x 越大C ．x 与小孔的位置无关D ．当y = 2h ，时，x 最大，最大值为h 3、如图所示，轻质弹簧一端固定在竖直墙面上，另一端拴接一质量为m 的小滑块。

刚开始时弹簧处于原长状态，现给小滑块上施加一水平力F ，使之沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中弹簧未超出弹性限度。

下列关于水平力F 随位移x 变化的图像正确的是（）A ．B ．C ．D ．4、如图所示，倾角为α的斜面体A 置于粗糙水平面上，物块B 置于斜面上，已知A 、B 的质量分别为M 、m ，它们之间的动摩擦因数为tan μα=。

高考数学一轮复习第5单元解三角形单元训练(A卷,理,含解析)-人教版高三全册数学试题

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第5单元解三角形注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（）A ．B ．C ．D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．在ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（） A ．63B ．212C ．28D ．124．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（） A ．()3,5B ．(3，5)C ．()3,5D ．()5,36．在ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，13AD =，4AC =，3DC =，则AB 的长为（） A ．522B ．362C ．33D ．267．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+，则ABC △的面积为（）A ．23B ．3C ．32D ．3329．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（）A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦11．在ABC △中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（）A ．5B ．27C ．29D ．4212．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =，则A =________．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c ，则ABC △面积的最大值为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值；（2）求sin C ．18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，)3,cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，7BC =，sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第5单元解三角形答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒．故选D ．2．【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===，故角π3C =，故答案为B ．3．【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯，所以243sin 1sin 7C A =-=，所以1143sin 7363227S ab C ==⨯⨯⨯=．故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---，其中92a b cp ++==，所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC 为直角三角形，故选B ． 5．【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即222214021403540a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩，故答案为A ． 6．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则3sin 2C =，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B=，即43222AB =，据此可得26AB =，故选D ． 7．【答案】D【解析】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，120CBD ，由正弦定理得302sin120sin 45BC ，302sin 45203sin120BC，3tan30203203AB BC ，故选D ．8．【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin 2BCD ∠=，所以113si 3n 2322232BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==．所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒．所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <．故选A ．11．【答案】C【解析】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-．① ∵3ABC S =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==，∴||sin 2AB A =．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==．在ABC △中，由余弦定理得222223π22cos (22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒，本题正确结果75︒． 14．【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒．在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒．在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin 60sin 6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号， max 113sin 4322S ab C ∴==⨯=3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=．（2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．【答案】（1）52；（2）3257．【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =，又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==．（2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ====19．【答案】（1）π3D =；（2）163．【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -．∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =．（2）由（1）得2ππ3π3B =-=，∴11sin sin 22ABCD ACD ABC S S S AD CD D AB BC B=+=⋅+⋅13137753322=⨯⨯+⨯⨯=． 20．【答案】（1）π；（2）47 【解析】（1）()23113sin cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．（2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =．设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-，所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =．所以3b =，ABC △的周长为47+21．【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=．【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ，因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒，所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262+=+ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)30BF BF -+=，解得2BF =，23BF =（舍去）．因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯△△，所以1)CBF DAG S S S Ω=+=△△． 22．【答案】（1）13BD =；（2）1698．【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠．（2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当BC DC ==。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)及解析

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题2．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =，设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-，故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈，即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确；由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确；令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点；对于D ：利用“左加右减”判断.由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立 D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 21f t =+，令2sin 24t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值21+，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；5．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.6．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()3sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误；由7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭知D 正确，故选：BD . 【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()3sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()3sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3(0,)2M ，23(,)32N ，∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径6r ==，则圆的面积为3136π；综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（） A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=，所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错.又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.10．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（） A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11p q p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r -，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa r S pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11nn q S q-=-，11p q =-，1n n a q +=知， 1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中，因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解； 2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.。

必修5解三角形综合测试题及解析

必修5第一章《解三角形》综合测试题（A ）及解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o 45和o 60，假设o 45角所对的边长是6，那么o60角所对的边长是【 A 】A ．B ．C ．D ．答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =应选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，那么B 等于【 D 】A ．o 105B ．o 60C ．o15 D ．o 105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C=，得sin sin 2c A C a ==，那么o 45C =或o135C =.故当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.应选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，那么AB BC ⋅的值等于【 D 】 A ．19 B ．14- C ．18- D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅=||AB ⋅||cos(BC π)B -= 1975()1935⨯⨯-=-.应选D . 4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，那么【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确信答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a bR A B==，得sin 2a A R =，sin 2b B R =，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .应选A .5.ABC ∆知足以下条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =，6c =，o60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是【 B 】 A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin 60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.应选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，那么ABC ∆的面积是【 A 】A B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin A =1242S =⨯⨯=.应选A .7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，那么a 的取值范围为【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .应选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 别离是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++tan A B =⋅，那么ABC ∆的面积为【 C 】A ．32 B ． C ．2 D ．52答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即tan()A B +=A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，那么o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.应选C .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos B =1a =，那么b =_________.解析：由cos B =，得sin B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA⨯==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c，假设c =b =，o 120B =，那么a =______.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a -0=，解得a =(舍去负值).11.若是ABC ∆的面积是222S =，那么C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan 3C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，假设o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.答案：3. 解析：由o 11sin sin6022S bc A c ===，得4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =.故osin sin sin 3sin 60a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++13.一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捉到一只小虫，然后向右转o105，爬行10cm 捉到另一只小虫，这时它向右转o135爬行回它的起点，那么x =____________.解析：由题意作出示用意如下图，那么ABC ∠=ooo18010575-=，BCA ∠=ooo18013545-=，10BC =，故ooo1807545A =--=xABCo135o105o 60，由正弦定理得o o10sin 45sin 60x =，解得x =cm ). 14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，向量(3,1)m =-，(cos ,sin )n A A =，假设m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，那么B =____________. 答案：6π或o30. 解析：由m n ⊥得0m n ⋅=sin 0A A-=，即sin 0A A =，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin a B b A c C +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，总分值80分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤） 15.（此题总分值12分）在ABC ∆中，已知2a=，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=o 60C ∠=或o120. 当o 60C ∠=时，oo180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+，那么1b =+.当o 120C ∠=时，oo180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯⨯=-1b =.故1b =+，o 60C ∠=，o 75B∠=或1b =-，o 120C ∠=，o 15B ∠=.16.（此题总分值12分）如图，在四边形ABCD 中，已知BA AD ⊥，10AB =，BC =o 60BAC ∠=，o 135ADC ∠=，求CD 的长.解：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BACBCA BC⋅∠∠=o2==，因>BC AB ，故>CAB BCA ∠∠，故o 45BCA ∠=，故o75B =，由正弦定理，得o o10sin 751)sin 45AC ==+，在ACD ∆中，因o o9030CAD BAC ∠=-∠=，由正弦定理，得o o sin 30sin135AC CD ==答：CD .17.（此题总分值14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，假设4a =， 5b =，S =c .BCDAA解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=，得sin C =，那么1cos 2C =或1cos 2C =-. （1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =；（2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =.综上可知c .18.（此题总分值14分）在ABC ∆中，sin sin cos B A C =，其中A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且ABC ∆最大边是12，最小角的正弦值是13. （1）判定ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积.解：（1）由sin sin cos B A C =依照正弦定理和余弦定理，得2222a b c b a ab+-=⋅，得222b c a +=，故ABC ∆是直角三角形.（2）由（1）知12a =，设最小角为α，那么1sin 3α=，故cos α=，故ABC S ∆=1111sin cos 121222233bc a a αα=⋅=⋅⋅⋅⋅=. 19.（此题总分值14分）海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东o75，距离为海里；在A处看灯塔C 在货轮的北偏西o30，距离为由A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东o120.求（1）A 处与D 处之间的距离；（2）灯塔C 与D 处之间的距离. 解：由题意画出示用意，如下图.（1）ABD ∆中，由题意得o 60ADB ∠=，o45B ∠=，由正弦定理得oosin 45sin 60AD =24= (海里).（2）在ABD ∆中，由余弦定理，得2222CD AD AC AD AC =+-⋅ocos302224=+-224⨯⨯，故CD =海里).答：A 处与D 处之间的距离为24海里，灯塔C 与D 处之间的距离为.● 以下两题任选一题作答20.（此题总分值14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 知足2sin()A B +0=，解答以下问题：（1）求C 的度数；（2）求边c 的长度；（3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==122⨯=. 20.（此题总分值14分）ABC ∆中，a 、b 、c 别离是三内角A 、B 、C 的对边，假设AB AC BA BC ⋅=⋅1=.解答以下问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）假设||6AB AC +=，求ABC ∆的面积.证：（1）因AB AC BA BC ⋅=⋅，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =.由正弦定理，得 sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为<<A B ππ--，故0A B -=，故 A B =.解：（2）因1AB AC ⋅=，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-⋅=，即222b c a +-= 2；又由（1）得a b =，故22c =，故2c =.解：（3）由||6AB AC +=22||||2||6AB AC AB AC ++⋅=，即2226c b ++=，故22c b +4=，因22c =，故b =ABC ∆是正三角形，故面积2ABC S ∆==.。

浙江省高考数学一轮复习第五章三角函数、解三角形第6节三角函数的图象与性质(含解析)-人教版高

第6节三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋无[常用结论与易错提醒]1.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期.( )(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z ).(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(3)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.关于周期函数，下列说法错误的是( ) A.函数f (x )＝sin x 不是周期函数B.函数f (x )＝sin 1x不是周期函数C.函数f (x )＝sin|x |不是周期函数D.函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π 解析 f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π2.答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.故选B. 答案 B4.若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2. 答案 C5.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )6.设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0，x ∈R )，最小正周期T ＝π，则实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为________.解析由T ＝2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π12(k ∈Z )，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )考点一三角函数的定义域及三角不等式【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由正切函数的定义域得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎥⎤13π6，8规律方法 (1)三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z (2)(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. 解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z .(2)法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 考点二三角函数的值域【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(一题多解)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1 C.35D.15(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)由正弦曲线知y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x－1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2，1].(2)法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)D (2)A (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3(2)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.(3)(2020·绍兴一中模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 有关D.与a 无关，且与b 无关解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178. 因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )有最小值－4.(3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＋b ＝－sin 2x ＋a sin x ＋b ＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝sin x ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24＋b ＋1.因为t ∈[0，1]，所以函数的对称轴t ＝a 2的位置对函数在给定区间的最值有影响.所以最大值M 与最小值m 的差M －m 的值与a 有关，但与b 无关，故选B. 答案 (1)A (2)－4 (3)B 考点三三角函数的性质多维探究角度1 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则f (x )的最小正周期为________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(2)(2020·杭州四中仿真)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，则f (x )的奇偶性( ) A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关 C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关解析 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为T ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π4＝tan 2π3－tanπ41＋tan 2π3×ta nπ4＝2＋ 3.(2)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝k π，k ∈Z ；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，但与φ有关，故选D. 答案 (1)π22＋ 3 (2)D规律方法 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.角度2 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. (2)(一题多解)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)法一由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ).因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. 法二因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3，ω>0.所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.法三因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T4，2π3≤T 4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.角度3 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.(2)函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1的对称轴为________，最小值为________.解析 (1)由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.(2)由x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π－π3(k ∈Z )，即函数f (x )的对称轴为x ＝k π－π3(k ∈Z )；因为2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－2，2]，所以2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1∈[－3，1]，所以函数f (x )的最小值为－3. 答案 (1)－π6 (2)x ＝k π－π3(k ∈Z ) －3规律方法 (1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________，该函数的最小正周期为________.(2)(角度2)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 (3)(角度3)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值是________.解析 (1)法一 f (x )＝1＋cos 2x 2－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32cosπ2＝0，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 法二注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α－β)sin(α＋β)＝sin 2α－sin 2β，则f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3sin π3＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32cos π2＝0，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. (3)因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又因为－π2<φ<π2，则－π3<π6＋φ<2π3，即π6＋φ＝0，解得φ＝－π6.答案 (1)0 π (2)D (3)－π6基础巩固题组一、选择题1.(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A.2B.32 C.1D.12解析由题意及函数y ＝sin ωx 的图象和性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A. 答案 A2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B3.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D5.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，则ω的最大值是( ) A.12 B.11 C.10D.9解析由x ＝－π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的零点，x ＝π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴得－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z )，则ω＝2(k 2－k 1)＋1(k 1，k 2∈Z )①，又因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，所以12·2πω≥π3－π4，即ω≤12②，结合①②得ω的最大值为11，故选B.答案 B6.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f (x )取最大值时，x 的取值集合为________.解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.由f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x (x ∈R )，∴当2x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π4，k ∈Z 时，f (x )得最大值1.答案 5π6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π4，k ∈Z 8.函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________. 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 9.若x ＝π6是函数f ()x ＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f ()x 的最小正周期是________；函数f ()x 的最大值是________.解析 ∵f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋θ)(tan θ＝a )，又x ＝π6是函数的一条对称轴，∴2×π6＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π6＋k π，k ∈Z .则f (x )＝1＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋k π，k ∈Z .T ＝2π2＝π；由a ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π＝tan π6＝33，得1＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233.∴函数f (x )的最大值是233.答案 π23310.(一题多解)若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.解析法一由题意得ω>0，ωx ∈[0，2ωπ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以0<2ωπ≤π2⇒0<ω≤14. 法二由题意得ω>0，∵y ＝sin ωx 在[0，2π]上单调递增，说明该函数至少14T 的图象在[0，2π]上，则其周期至少为8π，即2πω≥8π，即ω≤14，故0<ω≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14三、解答题11.(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域.解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. 12.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)(一题多解)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值.解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)法一在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x )).由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 法二区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值. 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6.因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32. 能力提升题组13.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为( ) A.23 B.32 C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B14.设x 1，x 2，x 3，x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则( )A.在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足sin(x －y )>12B.在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足cos(x －y )≥32C.在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足tan(x －y )<33 D.在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足sin(x －y )≥33解析将区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2平均分为三个区间，则每个区间的长度为π6.因为x 1，x 2，x 3，x 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以在x 1，x 2，x 3，x 4中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为x ，y ，则|x －y |≤π6，所以cos(x －y )≥32，故选B. 答案 B15.函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (a ≠0，b ≠0，ω≠0)，则f (x )( ) A.是非奇非偶函数 B.奇偶性与a ，b 有关 C.奇偶性与ω有关D.奇偶性与a ，b 无关解析 f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)，其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2，要使函数f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝a 2＋b 2sin φ＝0，因为a ≠0，b ≠0，所以a 2＋b 2≠0，又因为sin φ＝b a 2＋b2≠0，所以f (0)＝a 2＋b 2sin φ≠0，所以函数f (x )不是奇函数.若函数f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝a 2＋b 2sin φ＝±a 2＋b 2，则sin φ＝±1，cos φ＝0，因为a ≠0，所以cos φ＝aa 2＋b 2≠0，所以f (0)＝a 2＋b 2sin φ≠±a 2＋b 2，所以函数f (x )不是偶函数，故选A. 答案 A16.函数f (x )＝2cos 2x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，则函数的最小正周期为________，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的一条对称轴方程是________.解析 f (x )＝1＋cos 2x ＋12cos 2x －32sin 2x －1＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝－π12＋k π2，k ∈Z .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝512π.答案 π x ＝5π1217.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －3cos x )＋3，x ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x ＋α)为偶函数，求|α|的最小值. 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －3cos x )＋ 3 ＝2sin x cos x －3(2cos 2x －1) ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)由题意得g (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3，因为函数g (x )为偶函数，所以2α－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝－1时，|α|的最小值为π12.18.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ).(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

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（1）求的度数；
（2）设图中阴影部分为区域，求区域的面积．
22．（12分）如图，在平面四边形中，，，．
（1）求对角线的长；
（2）若四边形是圆的内接四边形，求面积的最大值．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第5单元解三角形答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
所以，即，
因为，故，故，所以，为直角三角形，
故选B．
5．【答案】A
【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则保证2所对应的角和a所对应的角均为锐角即可，
即，故答案为A．
6．【答案】D
【解析】由题意，在△ADC中，由余弦定理可得，则，
在中，由正弦定理可得，即，
据此可得，故选D．
A． B． C． D．
11．在中，，向量在上的投影的数量为，，则（）
A．5B． C． D．
12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．的内角，，的对边分别是，，．已知，，，则 ________．
13．【答案】
【解析】由正弦定理，得，
又，则，，，
本题正确结果．
14．【答案】
【解析】由正弦定理得，即，，，
又，，，
由，得，
，即，，本题正确结果．
15．【答案】60
【解析】由题意可知：，，由三角形内角和定理可知．
在中，．
在中，由正弦定理可知：，
在中，．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且，，，则（）
1．【答案】D
【解析】，，，
由正弦定理，可得．故选D．
2．【答案】B
【解析】角A，B，C的对边分别为a，b，c，故得到，
故角，故答案为B．
3．【答案】A
【解析】方法一：由余弦定理，得，
所以，所以．
故选A．
方法二：海伦-秦九韶公式，其中，
所以，故选A．
4．【答案】B
【解析】因为，所以，
16．【答案】
【解析】
，
由余弦定理可知，
，，
当且仅当时取等号，
备战高考数学一轮复习第5单元解三角形单元训练A卷理含解析
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第5单元解三角形
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B． C． D．
2．若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则C=（）
A． B． C． D．
3．在中，若，，，则其面积等于（）
A． B． C．28D．12
4．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形
（1）求的值；
（2）若，且，求的面积．
19．（12分）如图：在平面四边形中，已知，且，，．
（1）求；
（2）求四边形的面积．
20．（12分）已知向量，，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，，，若，求的周长．
21．（12分）如图，在等腰梯形中，，，，，梯形的高为，是的中点，分别以，为圆心，，为半径作两条圆弧，交于，两点．
11．【答案】C
【解析】∵向量在上的投影的数量为，∴ ．①
∵ ，∴ ，∴ ．②
由①②得，
∵ 为的内角，∴ ，∴ ．
在中，由余弦定理得
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∴ ．故选C．
12．【答案】A
【解析】，，
，，
，，
三角形为锐角三角形，，，
，，，
，
所以，
因为，，所以．故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
A． B． C．60 mD．20 m
8．在中，，，，为所在平面内一点，且，则的面积为（）
A． B． C． D．
9．若满足，则为（）
A．等边三角形B．有一个内角为的直角三角形
C．等腰直角三角形D．有一个内角为的等腰三角形
10．在中，已知，，，如果有两组解，则的取值范围是（）
5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（）
A． B．(3，5)C． D．
6．在中，，是边上一点，，，，则的长为（）
A． B． C． D．
7．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（）
14．已知的边，，的对角分别为，，，若且，则角的大小为_____．
15．如图，一栋建筑物AB高 m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．
7．【答案】D
【解析】，，，
由正弦定理得，，
，故选D．
8．【答案】D
【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知，则，则，
所以，故选D．
9．【答案】C
【解析】由正弦定理可知，
又，所以，，有．
所以．所以．
所以为等腰直角三角形．故选C．
10．【答案】A
【解析】由已知可得，则，解得．故选A．
16．的内角，，的对边分别为，，，已知，，
则面积的最大值为______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，
（1）求的值；
（2）求．
18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．

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