超松弛迭代法及其松弛因子的选取

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线性代数方程组的数值解法讨论

线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。

直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。

而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。

迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。

小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。

讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。

1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述：步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。

步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。

步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。

步骤5 输出12,,n y y y 。

雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。

超松弛迭代法中松弛因子ω的选取方法

超松弛迭代法中松弛因子ω的选取方法一、超松弛迭代算法基本概念超松弛迭代法简称为SOR(Successive Over -- Relaxation)法，是求解线性代数方程组的一种迭代加速方法，它是在高斯--塞德尔迭代法的基础上进行加速的，将前一步的结果x k i )(与高斯--塞德尔迭代方法的迭代值x k i )1(+适当的加权平均，期望获得更好的近似值x k i )1(+。

其迭代公式如下：x k i )1(+=（1--ω）x k i )(+a iiw （b i --x a k j i j ij )1(11+-=∑--x a j n i j ij (k)∑=） i =1,2,…,n;k =0,1,2,…(1.1)SOR 法中ω的取值对迭代公式的收敛速度影响很大，它的好坏直接影响到加速的快慢。

为了保证迭代过程的收敛，必须要求0<ω<2，超松弛法取1<ω<2。

但是在1和2之间仍然有很多的取值，究竟如何取值没有同意的规定。

经过多次的实验、分析与研究提出了ω选取的几种方法。

二、松弛因子ω的选取方法1、逐步实验法将ω的取值区间（1,2）进行M 等分，ω分别取1+1/M ，1+2/M ，……，1+（M--1）/M ，通过公式1.1依次对同一精度要求求出迭代次数k 的值，在求的同时比较出最少的迭代次数k ，并将此次ω的值保留，这样就得到了1+1/M ，1+2/M ，……，1+（M--1）/M 中最优的ω值，算法步骤如下：第一步：给定M 的值第二步：对于，ω分别取1+1/M ，1+2/M ，……，1+（M--1）/M 按照公式 x k i )1(+=（1--ω）x k i )(+a iiw （b i ---x a k j i j ij )1(11+-=∑---x a j n i j ij (k)∑=） i =1,2,…,n;k =0,1,2,…根据给定的精度要求迭代，求出迭代次数k 的值。

数值分析课程设计-- 松弛迭代法中松弛因子

数值分析课程设计-- 松弛迭代法中松弛因子安徽建筑大学数值分析设计报告书题目松弛迭代法中松弛因子院系数理系专业信息与计算科学班级信息②班学号 12207210220 姓名穆海山时间 2013-12-10~2013-12-23指导教师刘华勇题目：选用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法求解下面的方程组（考虑n 等于150）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=10.522.522.522.522.521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦考虑初值的变化和松弛因子ω的变化收敛效果的影响；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。

一、摘要本课程设计用matlab 就线性方程组数值方法，Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法，超松弛法对所设计的问题进行求解，并编写程序在Matlab 中实现，在文章中对各种迭代法进行了收敛性分析。

接着用几种不同方法对线性方程组进行求解及结果分析，最后对此次课程设计进行了总结。

关键词：线性方程组，迭代，Matlab ，结果分析二、设计目的用熟悉的计算机语言编程上机求解线性方程组。

三、理论基础对方程组 Ax b = 做等价变换 x Gx g =+ 如：令 A M N =-，则11()Ax b M N x b Mx Nx b x M Nx M b --=⇒-=⇒=+⇒=+则，我们可以构造序列 (1)() k k x G x g +=+ 若 ()*k x x →* **x G x g Ax b ⇒=+⇒= 同时：(1)()()**(*)k k k x x Gx Gx G x x +-=-=-1(0)(*)k G x x +==-所以，序列收敛0k G ⇔→，与初值的选取无关1122(,,,)nn D diag a a a =设则转化为矩阵形式(1)()1()()k k k x x D b Ax +-=+-(1)()1()1k k k x x D Ax D b +--=-+(1)1()1()k k x D D A x D b +--=-+ (1)令2112000000n n a L a a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭1212000000n n a a a U --⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A D L U =-- 或者 D A L U -=+故迭代过程(1)化为(1)1()1()k k x D D A x D b +--=-+ (1)1()1()k k x D L U x D b +--=++ A D L U =-- 11(),,J B D L U f D b --=+=令于是D A L U -=+1111()() , J B D L U D D A I D A f D b----=+=-=-=或者：(1)()k k J x B x f+=+(2)(0,1,2,)k =等价线性方程组为J x B x f=+Ax b =称(2)式为解线性方程组(1)的Jacobi 迭代法(J 法)J B Jacobi 为迭代法的迭代矩阵迭代矩阵考虑迭代式(2)(1)()k k J x B x f+=+ (0,1,2,)k =即(1)1()1()k k x D L U x D b +--=++ (1)()()k k k Dx Lx Ux b +=++(,)L 注意到的形式下三角不含对角线将上式改为 (1)(1)()k k k DxLx Ux b ++=++ (3) (1)()()k k D L x Ux b +-=+D L -当可逆时 (1)1()1()()k k xD L Ux D L b +--=-+- 11(),(),G G B D L U f D L b --=-=-设得(1)()k k G Gx B x f +=+(4)(0,1,2,)k =超松弛迭代记 ()(1)()k k k x xx +∆=-则 (1)()()k k k xx x +=+∆ 可以看作在前一步上加一个修正量。

超松弛迭代法课程设计

超松弛迭代法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解超松弛迭代法的概念，掌握其基本原理和应用场景。

2. 学生能够运用超松弛迭代法解决线性方程组问题，并理解其收敛性。

3. 学生能了解超松弛迭代法在工程和科学计算中的重要性。

技能目标：1. 学生能够独立进行超松弛迭代法的计算步骤，包括设定松弛因子、构造迭代矩阵等。

2. 学生能够运用数学软件（如MATLAB）实现超松弛迭代法的算法，并进行简单的程序调试。

3. 学生通过实际案例分析，培养运用超松弛迭代法解决实际问题的能力。

情感态度价值观目标：1. 学生通过学习超松弛迭代法，培养对科学计算和数学建模的兴趣，增强对数学学科的学习信心。

2. 学生在小组讨论和合作中，学会尊重他人意见，培养团队协作精神。

3. 学生能够认识到超松弛迭代法在科技发展中的重要作用，增强科技创新意识和社会责任感。

课程性质：本课程为高中数学选修课，以培养学生解决实际问题能力和数学思维能力为目标。

学生特点：学生具备一定的线性代数基础，具有较强的逻辑思维能力和动手操作能力。

教学要求：教师应注重理论与实践相结合，引导学生通过实际案例掌握超松弛迭代法的应用。

同时，注重培养学生的团队协作能力和创新意识。

在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学策略，确保课程目标的实现。

通过课堂讲解、上机实践和小组讨论等多种教学方式，提高学生的学习效果。

二、教学内容1. 引言：介绍超松弛迭代法的背景和在实际问题中的应用，激发学生学习兴趣。

相关教材章节：第二章第四节“迭代法及其应用”。

2. 基本概念：讲解超松弛迭代法的基本原理，包括迭代格式、松弛因子选取等。

相关教材章节：第二章第四节“超松弛迭代法”。

3. 算法实现：详细讲解超松弛迭代法的计算步骤，并通过实例进行演示。

相关教材章节：第二章第四节“超松弛迭代法的计算步骤”。

4. 实践应用：分析实际案例，让学生动手实践，运用超松弛迭代法解决线性方程组问题。

相关教材章节：第二章第五节“迭代法解决实际问题”。

SOR迭代法超松弛因子选取

《计算方法》实验报告（二）实验名称：SOR迭代法松弛因子的选取班级：数学1402班姓名：高艺萌学号：14404210一、实验目的通过本实验学习线性方程组的SOR迭代解法以及SOR迭代法的编程与应用。

对比分析不同条件下的超松弛因子的取值大小会对方程组的解造成影响，通过这个实验我们可以了解的不同取值会对方程组的解产生的影响。

培养编程与上机调试能力。

二、实验题目用逐次超松弛（SOR）迭代法求解方程组，其中（1）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子进行计算，观察得到的近似解向量并分析计算结果，给出你的结论；（2）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子进行计算，观察得到的近似解向量并分析计算结果，给出你的结论；三、实验原理1.逐次超松弛迭代法可以看作Gauss-Seidel迭代法的加速，2.SOR迭代计算格式其中，w叫松弛因子，当w>1时叫超松弛，0<w<1时叫低松弛，w=1时就是Gauss-Seidel迭代法。

3.利用SOR迭代算法进行求解。

4.算法原理：SOR迭代法%masor.mfunction x=masor(A,b,omega,x0,ep,N)n=length(b);if nargin<6,N=500;endif nargin<5,ep=1e-6;endif nargin<4,x0=zeros(n,1);endif nargin<3,omega=1.5;endx=zeros(n,1);k=0;while k<Nfor i=1:nif i==1 x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n))/A(1,1);else if i==n x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(n:n-1)/A(n,n);else x1(i)=(b(i)-A(i,1;i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i); endendx(i)=(1-omega)*x0(i)+omega*x1(i); endif norm(x0-x,inf)<ep,break;endk=k+1;x0=x; endif k==N Warning; enddisp([’k=’,num2str(k)])运行程序四、实验内容根据实验题目，分别对问题一，问题二进行求解。

数值分析大作业超松弛迭代法如何选取最佳松弛因子

数值分析⼤作业超松弛迭代法如何选取最佳松弛因⼦超松弛迭代法如何选取最佳松弛因⼦船建学院B1301095 wj⼀、课题背景逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel⽅法的⼀种加速⽅法，是解⼤型稀疏矩阵⽅程组的有效⽅法之⼀，它具有计算公式简单，程序设计容易，占⽤计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因⼦（即最佳松弛因⼦）。

最佳松弛因⼦ω的确定是数值代数中的⼀个理论难题，对于不同的矩阵，其最佳松弛因⼦往往相差很⼤，没有统⼀的计算公式来确定ω。

由于对称正定矩阵sor⽅法收敛的充分必要条件为w在0到2之间，故利⽤对称正定矩阵⼀定收敛的性质，本⽂提供⼀种针对于系数矩阵为对称正定矩阵时，如何选取合适的最佳松弛因⼦的⽅法。

⼆、课题研究流程图三、SOR迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提⾼收敛速度，采⽤加权平均⽽得到的新算法，设解⽅程的GS法记为(1)再由与加权平均得这⾥ω＞0称为松弛参数，将（1）式代⼊则得(2)称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因⼦，当ω=1时(2)式即为GS法，将(2)式写成矩阵形式，则得即于是得SOR迭代的矩阵表⽰(3)四、Matlab程序%sor法确定对称正定矩阵的最佳松弛因⼦w%clc;clear;n=100;%矩阵的阶数%for num=1:100X=diag(rand(n,1));U=orth(rand(n,n)-0.5);a=U'*X*U;%以上是利⽤随机对⾓矩阵和随机正交矩阵，产⽣随机的对称正定矩阵，正交变化不改变特征值%L=zeros(n,n);U=zeros(n,n);%分配L和U的内存空间%step=0.02;%定义w的计算精度%for k=1:(2/step) %由于对称正定矩阵sor⽅法收敛的充分必要条件为w在0到2之间%w=(k-1)*step;for i=1:n %⼀个总的for循环给三个矩阵赋值D-L-U=A,%for j=1:i-1L(i,j)=-a(i,j);%L矩阵的赋值%endfor j=i+1:nU(i,j)=-a(i,j);%U矩阵的赋值%endD(i,i)=a(i,i);%D矩阵的赋值%endH=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);%sor⽅法的核⼼，H矩阵为迭代矩阵%p(k)=max(abs(eig(H)));%利⽤此函数求矩阵的谱半径%endk_min=find(p==min(p));%find函数寻找不同的w中谱半径的最⼩值，即寻找收敛最快的w%w_min(num)=(k_min-1)*step;%由最⼩值的序号得到最优的w%endhist(w_min,100)%对数量⾜够多的随机对称正定矩阵做频率统计，w划分100份，做出统计图%mean(w_min)%对不同矩阵的最⼩谱半径所对应的w对平均统计%五、结果对于不同阶数，计算得到的最佳收敛因⼦w不同，⼤致是随阶数增⼤⽽增⼤。

超松弛迭代法(SOR方法)

解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法）使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b

松弛因子与迭代次数的关系

松弛因子与迭代次数的关系介绍：松弛因子是迭代法中的一个重要参数，用来控制每次迭代的步长。

迭代法是解决线性方程组的常见方法之一，在实际应用中，通过调整松弛因子可以使得迭代更快收敛或更稳定。

本文将探讨松弛因子与迭代次数的关系，并分析不同松弛因子对迭代法收敛速度的影响。

一、松弛因子的定义和作用松弛因子（relaxation factor）是在迭代法中用来调整每次迭代的步长的参数，通常用符号ω表示。

对于迭代法求解线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，松弛因子ω用于计算每次迭代的解向量x：x(k+1) = (1-ω)x(k) + ωD^(-1)(b - Rx(k))其中x(k)是第k次迭代的解向量，D是系数矩阵A的对角矩阵，R是A的严格下三角矩阵或严格上三角矩阵。

通过调整松弛因子的取值，可以控制每次迭代解向量的更新幅度，从而影响迭代的收敛性和速度。

二、松弛因子与迭代次数的关系1. 松弛因子小于1的情况当松弛因子ω小于1时，迭代法称为欠松弛法（under-relaxation method）。

此时，每次迭代的解向量更新比较小，迭代过程较为稳定。

在数值计算中，欠松弛法常用于处理病态问题和不可收敛问题，能够提高迭代法的稳定性和收敛性。

然而，欠松弛法由于每次迭代步长较小，收敛速度相对较慢。

因此，在求解较大规模的线性方程组时，需要进行很多次迭代才能达到收敛要求。

2. 松弛因子等于1的情况当松弛因子ω等于1时，迭代法称为正常迭代法（Gauss-Seidel method）。

此时，每次迭代的解向量更新完全由当前迭代的解向量决定，即x(k+1) = x(k)。

正常迭代法是一种简单的迭代方法，容易实现。

然而，在某些情况下，正常迭代法可能会发散或收敛速度较慢，特别是对于病态问题。

3. 松弛因子大于1的情况当松弛因子ω大于1时，迭代法称为超松弛法（over-relaxation method），也称为逐次上松法（successive overrelaxation method，SOR）。

超松弛迭代法

超松弛迭代法
超松弛迭代法是一种回归模型的最优化算法，主要用于减少损失函数。

如果损失函数是凸函数，则可以使用自动对准算法来使目标函数最小，以备测试目标模型。

超松弛迭代法的技术流程如下：
1. 定义初始参数：设置参数的初始值x0。

2. 迭代：通过迭代公式X[i + 1] = (1 –λ) X[i] + λF(X[i])来更新X[i]，得到新的迭代值。

3. 收敛：检查超参数δ和终止准则，查看目标函数值是否趋于收敛。

4. 调整超参数：如果目标函数值没有收敛，则可以尝试调整超参数X0和λ来降低目标函数值。

5. 返回最优化结果：将参数X[i]返回到最终收敛状态，即最优化结果。

matlab超松弛迭代法求方程组

一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。

在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。

本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。

二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。

它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。

超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。

超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。

在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。

三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。

sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。

以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。

数值分析第二次大作业SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进

《数值分析》第二次大作业题目：SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进内容：1.SOR最优松弛因子选取方法2.SOR迭代法的改进（SSOR迭代法）3.SSOR迭代法的Matlab程序4.举例比较jacobi，Gauss-Seidel，SOR及SSOR 迭代法的收敛速度姓名：合肥工业大学学号：2011班级：信息与计算科学11-1班参考资料：1.《确定SOR最优松弛因子的一个实用算法》李春光等《计算力学学报》2.《数值分析与实验》，薛毅,北京工业大学出版社.3.《数值分析中的迭代法解线性方程组》，马云,科学出版社4.《非线性互补问题的改进超松弛迭代算法》，段班祥等,江西师范大学出版社5.《迭代法解线性方程组的收敛性比较》，郑亚敏,江西科学出版社.一、SOR最优松弛因子选取方法SOR迭代法迭代公式：x(k+1)i=(1-ω)xi+(k) bi-∑aijxjaii⎝j=1ω⎛ i-1(k+1)-j=i+1∑axijn(k)j⎫⎪ (i=1,2,..n.), ⎪⎭1.二分比较法将松弛因子1/2，ω的区间（1,2）进行二分，每个小区间的长度为ω去中间值3/2，按照SOR 迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定ω的值；否则将（1,2）四等分，每个区间长度为1/4,ω取各分点值，继续迭代，一般地，将1区间（1,2）二分M次，每次二分步长为，ω一次取取各分点值，2M按照SOR迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定的ω的值，这样总能找到一个不超过指定发散常数ω值。

2.逐步搜索法将1+ω的取值区间（1,2）进行M等分，ω分别取ω的值。

12M-1,1+,...,1+，通过迭代公式依次对同意精度要求求出迭代MMM次数k的值，并从中选出最优松弛因子3.黄金分割法依据黄金分割比的思想，通过计算机主动选取最优松弛因子的近似值，步骤如下a.对（1，2）区间进行第一次0.618的分割，区间边界a1=1,b1=2，在区间(a1,b1)分割出黄金点p1=a1+0.618(b1-a1)，进行SOR迭代法的迭代，求出迭代次数k的值，如果没有超过规定的发散常数，迭代结束，否则做步骤b。

MATLAB实现迭代法最佳松弛因子的选取

迭代法最佳松弛因子的选取一、问题提出:针对矩阵430341014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，b=[24;30;-24],用SOR 迭代求解。

并选出最佳松弛因子。

理论分析 1.24ω==≈。

做出()L ωρ关于ω函数的图像。

二、理论基础选取分裂矩阵M 为带参数的下三角矩阵)(1wL D wM -=, 其中w>0为可选择的松弛因子. 于是,由⎪⎩⎪⎨⎧+=+f Bx xx k k )()1()0()(初始向量 (k=0,1,…,)可构造一个迭代法,其迭代矩阵为A wL D w I L w 1)(---≡=).)1(()(1wU D w wL D +---从而得到解Ax=b 的主次逐次超松弛迭代法. 解Ax=b 的SOR 方法为⎪⎩⎪⎨⎧+=+f Bx xx k k )()1()0()(初始向量 (k=0,1,…,) (1) 其中w L =).)1(()(1wU D w wL D +---（2） b wL D w f 1)(--=下面给出解Ax=b 的SOR 迭代法的分量计算公式.记 ,),...,,...,()()()(1)(T k n k i k k x x x x =由(1)式可得,))1(()()()1(wb x wU D w x wL D k k ++-==-+).()()()1()()1(k k k k k Dx Ux Lx b w Dx Dx -+++=++ （3）由此,得到解Ax=b 的SOR 方法的计算公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+==∑∑-==++.),1,0;,...,2,1(/)(,),...,(11)(1)()1()0()0(1)0(为松弛因子w k n i a x a x a b w x x x x x iii j ni j k j ij k j ij i k i k i T n (4)或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==--=∆∆+==∑∑-==++.,...),1,0;,...,2,1()/(,,),...,(.11)()1()()1()0()0(1)0(为松弛因子w k n i a x a x a b w x x x x x x x i j n i j ii k j ij k j ij i i i k i k iT n (5)※ 若要求选取出最佳松弛因子，则有两种方法：⑴、给出w 的最佳范围，当取不同的w 值时，会求出不同的谱半径R 的值，然后判断出值最小的谱半径。

§3.3 超松弛迭代法

弛法从任意 x ( 0 ) 出发都收敛 ⇒ 0 < ω < 2 。
证明：证明：省略
§3.3 超松弛迭代法
换个角度看Gauss - Seidel 方法：方法：换个角度看 i −1 n 1 ( k + 1) ( k + 1) xi [ bi − ∑ a ij x j = − ∑ a ij x (j k ) ] a ii j =1 j= i+1 ri( k + 1 ) ( k +1 ) (k ) = x i( k ) + 其中r 其中 i(k+1) = bi − ∑ a ij x j − ∑ a ij x j a ii j<i j≥i
x ( k +1) = (1 − ω ) x ( k ) + ω D −1 [− Lx ( k +1) − Ux ( k ) + b ]
x ( k +1) = ( D + ω L)−1[(1 − ω ) D − ω U ] x ( k ) + ( D + ω L)−1ω b
பைடு நூலகம்松弛迭代阵
Hω
f
定理3.3.1 （Kahan 必要条件）设 A 可逆，且 aii ≠ 0，则松定理必要条件）可逆，，
(k ) ( k +1 ) 相当于在 x i 的基础上加个余项生成 x i 。的基础上加个余项加个余项生成
下面令 x = x i( k ) 速收敛，这就是松弛法称作松弛松弛因子速收敛，这就是松弛法（或SOR法）。 ω称作松弛因子。法
( k +1) i
+ 残余误差 ri( k 1 )，希望通过选取合适的 ω 来加 +ω a ii

超松弛迭代法中松弛因子ω的选取方法

分长为２ ∞依次取各小区间中点的值按照公式１１，．迭代，并求出迭代次数ｋ，值如果ｋ值不超过指定的最大迭代次数，则可确定 ∞的值，这样总可以找到一个不超过最大迭代次数的值．
１２３经验法．．
松弛因子 ∞的取值对迭代公式的收敛速度影响极大，在实际的工程计算和实验
１１基本概念．
超松弛迭代法简称为ＳＲ（ｕｅｉｖｒｅｘｔｎ法，ＯＳｃｓｖＯｅ —Ｒｌａｏ）是求解线性代数方程组的一种迭代加ｃｓｅａｉ
速方法，它是在高斯一塞德尔迭代法… １的基础上进行加速的，将前一步的结果与高斯一塞德尔迭代｝
维普资讯
２００６年
青海师范大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏｉｈｏａＵｉｒｔＮｔａＳｉｃ）ｏｒｌｆ＝￣Ｎｒｌｎｅｉ（ａｒｅｅｎＱｓｍｖｓｙｕｌｃｎ
２００６Ｎ１ｏ．
第１期
超松弛迭代法中松弛因子 ∞的选取方法
胡枫，于福溪
８００）１１（８
（青海师范大学计算机系，青海西宁
摘
要：对线性方程组数值解法中的超松弛迭代法进行了算法分析，本文对于超松弛迭代法中松弛因子ｃ的选取提出了不同ｕ
的几种方法，并对其中的逐步实验算法进行了分析与程序设计，使得超松弛迭代算法能在计算机上高效执行．关键词：线性方程组；超松弛迭代法；松弛因子；程序；
迭代，求出迭代次数ｋ如果ｋ，不超过指定的发散常数，则可确定的值，否则将分成的两个小区间再折半，即将（，）１２区间四等分，每个小区间的长度为１４ ∞取各小区间的中点的值，／，利用公式１１．迭代求出

超松弛迭代法及其松弛因子的选取

2013届学士学位毕业论文超松弛迭代法及其松弛因子的选取学号：09404307XX：程启远班级：信息0901指导教师：艳星专业：信息与计算科学系别：数学系完成时间：2013年5月学生诚信承诺书本人重声明：所呈交的论文《超松弛迭代中松弛因子的选取方法》是我个人在导师艳星指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性.指导教师签名：时间摘要本文首先给出了超松弛迭代法解线性方程组的基本概念，引进了关于超松弛迭代法收敛性判别的一些定理.再基于超松弛迭代法收敛性快慢与松弛因子的选择密切相关，本文给出了能准确快速地确定最优松弛因子的方法逐步搜索法和黄金分割法，并且写出了其Matlab程序（附录），最后通过实例验证了方法的准确性，快速性.关键词线性方程组；超松弛迭代；Matlab程序；松弛因子AbstractThis paper firstly introduces the basic concept of the super relaxation iteration method for solving linear equations, introduced on some criterion theorem Overrelaxation iterative convergence, gives a simple Matlab program super relaxation iteration (Appendix 1). Then Overrelaxation iterative convergence speed and relaxation factor is selected based on the close relation is proposed in this paper, the rapid and accurate method of determining the optimal relaxation factor of the direct search method and the golden section method, and write the Matlab program (Appendix 2), finally the method is accurate, rapid.Key word：Linear equations;Successive Over Relaxation;Matlab program; relaxation factor超松弛迭代法及其松弛因子的选取09404307 程启远信息与计算科学指导教师艳星引言在科学计算和工程设计中，经常会遇到求解线性代数方程组的问题，而怎样快速的求解一直是我们共同关心的课题.随着计算机技术及数学编程软件的发展，我们有了在计算机上解线性方程组的条件.最初遇到的方程数和未知数比较少的方程组我们就是利用线性代数知识直接解出来.直接解法只能适用于经过有限步运算能求得解的方程组.后来遇到的方程数和未知数都比较多的方程组，特别是经常会遇到的大型的方程组，直接解法工作量太大，花费时间太多，因此迭代法发展了起来.从最初的Jacobi迭代法到Gauss-Seidel迭代法，很多学者一直在研究找到一种迭代法能更加快速，简单的解决线性方程组.通过不断的实验和计算，在Gauss-Seidel迭代法基础上，人们发现通过迭代-松弛—再迭代的方法，能更加减少计算步骤，极大的缩短计算时间，在此基础上，超松弛迭代法被学者们研究出来.通过比较三种迭代方法，我们得到超松弛迭代的收敛速度是最快的，而且超松弛迭代法具有计算公式简单，编制程序容易等突出优点.在求解大型稀疏线性方程组中超松弛迭代法得到广泛应用.而SOR 迭代方法中松弛因子ω的取值直接影响到算法的收敛性及收敛速度，是应用超松弛迭代法的关键.选择得当,可以加快收敛速度,甚至可以使发散的迭代变成收敛.因此, 超松弛因子的选取是学者们又一个研究目标.通过一些被验证的定理，我们知道为了保证迭代过程的收敛,必须要求1<ω<2，而且松弛因子和迭代矩阵谱半径之间有着密切的联系，现今学者们已经研究出部分特殊矩阵的最优松弛因子的计算公式.对于一般的矩阵，我们也可以从松弛因子和谱半径的关系着手研究最优松弛因子的选取，这就为本篇论文的形成提供了行文思路.本文给出了求超松弛迭代最优松弛因子的两种方法.1.超松弛迭代基本知识1.1超松弛迭代法定义[1]超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 迭代法，它是在Gauss-Seidel 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法.设解方程组的Gauss-Seidel 法记为1(1)(1)()111(),1,2,,i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x i na -++==+=--=∑∑（1）再由()k ix 与(1)k ix +加权平均得(1)(1)(1)()()()(1)(),1,2,,k k k k k k i i i ii x x x x x x i nωωω+++=-+=+-=这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得1(1)()(1)()11(1)(),1,2,,i nk k k k iii ij jijjj j i iix x b a x a xi na ωω-++==+=-+--=∑∑ （2）称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)即为Gauss-Seidel 法，将(2)写成矩阵形式，则得(1)()(1)()(1)()k k k k Dx Dx b Lx Ux ωω++=-+++于是得SOR 迭代的矩阵表示[3](1)()k k i x G x f ωω+=+ (3)其中1()[(1)]G D L D U ωωωω-=--+1()f D L b ωωω-=-1.2收敛性判别条件根据迭代法收敛性定理[2]，SOR 法收敛的充分必要条件为()1G ωρ<，但要计算()G ωρ比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR 迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件. 定理1]4[设(),0(1,2,...,)n nij ii A a Ra i n ⨯=∈≠=，则解方程Ax b =的SOR 迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2. 定理2]5[若n nA R⨯∈对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b 的SOR 迭代法(3)对nx R ∀∈迭代收敛.对于SOR 迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论. 1.3收敛速度的估计SOR 迭代法的迭代矩阵G ω与ω有关，当选取不同的ω时，其迭代速度也有所不同.因此，需要找到最优的松弛因子b ω，使对应b ω的SOR 方法收敛最快. 定理3]7[设n A Rn⨯∈,如果存在排列矩阵P ，使1122T D M PAP M D =其中，1D ,2D 为对角矩阵，则称A 是2-循环的.此外，若当0α≠时，矩阵11-1D U D L αα--+的特征值都和α无关，则称A 是相容次序矩阵.定理4]7[设n A Rn⨯∈，A 有非零的对角元，且是2-循环和相容次序的矩阵.又设1(U)J B D L -=+是方程组A x b =的Jacobi 法迭代的迭代矩阵,且2B 的所有特征值均在（0,1）上，若()1J B ρ<,记()J B μρ=,则SOR 法的最优松弛因子b ω为211b ωμ=+-且222[4(1)]()1,2bb G ωωμωμωωωρωωω⎧+--⎪<<=⎪-<<⎩02()min ()bb G G ωωωρρ≤≤=图12松弛因子选取方法方法思想]8[：(1)给出ω的围，当取不同的ω值时，进行迭代，在符合同一个精度要求下依次求出谱半径的值，比较出最小的谱半径，那么这个最小的谱半径所对应的的ω,即为所求最佳松弛因子. (2)给出ω的围，当取不同的ω值时，进行迭代，看它们在相同精度围的迭代次数，找到迭代次数最少的那一个，其所对应的ω即为最佳松弛因子.” 2.1 逐步搜索法算法：Step 1：读入线性方程组的系数矩阵，常数向量，初值，精度，给出ω的取值围,以及其变化步长；Step 2：按照如下公式迭代(1)()k k i x G x f ωω+=+找出符合精度要求ε的迭代次数及谱半径;Step 3：循环迭代，最后找到最优松弛因子Step 4: 改变ω的取值围，重新设定变化步长，重复Step2. 2.2黄金分割法从定理4我们可以看到，最优松弛因子对应的谱半径最小，而黄金分割法对于数值求解单调函数的极小和极大值是非常方便和有效的]9[，因此，我们可以把黄金分割法应用在求最优松弛因子上，其算法与主要思想是： Step1:利用优选法思想，在)2,1(之间选取四个点，12441314141,0.618(),0.618(),2p p p p p p p p p p ==--=+-=Step 2: 分别取2p 与3p 作为松弛因子代入迭代程序，比较出最少的迭代次数，如果对2p 应的迭代次数少，则选取),(31p p 作为收敛区间，如果是对应的3p 迭代次数少，则选取),(42p p 作为收敛区间.Step 3: 在所选取的收敛区间里循环进行上述的两个步骤，直到选取出满足精度要求且2p ，3p 所对应的迭代次数差不超过某个数∆时选3p 为最优松弛因子.3 数值算例例1:矩阵3101130000311013A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(1,2,2,1)T b =----，精度为161.0*10k k x x ---≤解法1:黄金分割法令05.0=∆，程序结果如下：由上可以看出我们只需作几次0.618法就可以找到最优松弛因子，本例中最优松弛因子0901.1=ω，迭代次数为8次.解法2：逐步搜索法，步长为0.1，21<≤ω程序结果如下：图3图3中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径.也可以求出最优松弛因子为1.1，迭代次数为8.然后我们改变松弛因子区间，令1.11≤≤ω以步长为0.01来继续求更精确的松弛因子.程序结果如下：图4图4中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径.这样继续缩小松弛因子围，以更小的步长求得的最优松弛因子为1.0900，更加精确. 例2 方程组A x b =，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=40001-1-1-0004001-01-1-0004001-1-01-0004001-1-1-1-1-00400001-01-00400001-1-1-0040001-01-00040001-1-00004A T (2,2,0,2,2,1,1,1,1)b =.精度为161.0*10k k x x ---≤.初始迭代值为0(0,0,0,0,0,0,0,0,0)T x =.求最优松弛因子.解法1 黄金分割法令001.0=∆，程序结果如下：求得最优松弛因子为1.1772.解法2 逐步搜索法首先以21<≤ω，步长为0.1搜索求得的最优松弛因子为1.2000,然后重新设定围，以步长为0.01运行程序在改变围，以步长为0.001运行，程序结果如下：求得的最优松弛因子为1.1780.由这两个例子可以看出利用黄金分割法求最优松弛因子比用逐步搜索法更加简便快速，但是用逐步搜索法步长取的很小时求得的松弛因子比黄金分割法更加精确.4 结束语超松弛迭代方法是解决线性方程组的一个十分有效快捷的方法，很多工程学，计算数学中都会应用.而且超松弛迭代法公式简单，编制程序容易.而使用超松弛迭代法的关键在于选取合适的松弛因子，如果松弛因子选取合适，则会大大缩短计算时间. 本文依据松弛因子和矩阵谱半径的关系给出了两种选取松弛因子的方法逐步搜索法和黄金分割法及其Matlab程序. 但这两种方法仍不是足够简便，有所不足，有待进一步研究.5 参考文献:[1] 庆扬，王能超，易大义.数值分析[M], 清华大学，2008.[2] 施. 计算机数值方法[M] . : 高等教育, 2000.[3] 蔡大用.数值分析与实验学习指导[M]，清华大学，2001.[4] 建宇，黎燕. 牛顿一SOR迭代方法中最佳松弛因子的算法[J]，大学学报，4,381-382,1995.[5] 王诗然. 稀疏线性方程组求解的逐次超松弛迭代法[J]，师大学学报,4,407-409,2006.[6] 卫国. 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松弛因子的取值范围

松弛因子的取值范围
松弛因子（Relaxation Factor）在不同的上下文中有不同的应用，通常是指在迭代求解算法中的一个参数，用于控制每一步迭代的步长或权重。

常见的应用包括迭代法求解线性方程组、优化问题等。

1.迭代法中的松弛因子：
•在迭代法中，例如迭代法求解线性方程组的过程中，松弛因子通常表示为符号ω（omega）。

其取值范围通常
为(0, 2) 之间，包括0和2。

常见的取值有1、1.1、1.2
等，取决于具体问题和算法。

2.松弛法（Relaxation Methods）中的松弛因子：
•在一些优化问题的求解中，也可以采用松弛法，松弛因子的选择可能依赖于问题的性质。

一般而言，松弛因
子的取值范围也是在(0, 2) 之间。

3.有限元分析中的松弛因子：
•在有限元分析等领域，松弛因子通常用于控制迭代法的收敛速度，取值范围也在(0, 2) 之间。

总体而言，松弛因子的合适取值依赖于具体问题的性质和迭代算法的特点。

通常来说，选择一个适当的松弛因子可以加速算法的收敛，提高求解效率。

然而，选择过大或过小的松弛因子可能导致算法不稳定或者收敛速度过慢，因此在实际应用中需要进行调试和优化。

超松弛迭代法matlab程序

超松弛迭代法matlab程序超松弛迭代法是一种解线性方程组的迭代方法，其主要思想是在松弛因子的基础上，加入一些超松弛因子，使得迭代更加快速和稳定。

本文将介绍超松弛迭代法的原理，并给出相应的matlab程序实现。

一、超松弛迭代法的原理超松弛迭代法是通过将松弛因子ω加上一个超松弛因子λ，来加速收敛的一种迭代方法。

具体来说，对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将其表示为：Ax(k)=b其中，x(k)表示第k次迭代的解向量，A表示系数矩阵，b表示右侧向量。

在超松弛迭代法中，我们将x(k)表示为：x(k)=x(k-1)+ωλ(k-1)其中，λ(k-1)是超松弛因子，ω是松弛因子，x(k-1)是上一次迭代的解向量。

将其代入原方程组，得到：(A-ωD)x(k)=ω(D+L)x(k-1)+ωUx(k-1)+b其中，D表示A的主对角线元素组成的对角矩阵，L表示A的下三角矩阵，U表示A的上三角矩阵。

将其化简为：x(k)=D^-1[(1-ω)D+ωL]x(k-1)+ωD^-1b其中，D^-1表示D的逆矩阵。

该式子即为超松弛迭代法的迭代公式。

二、matlab程序实现下面给出超松弛迭代法的matlab程序实现。

假设我们要解如下线性方程组：3x1+0x2+0x3=90x1+4x2+0x3=80x1+0x2+2x3=2其系数矩阵为：A=[3,0,0;0,4,0;0,0,2];右侧向量为：b=[9;8;2];我们可以通过如下matlab程序实现超松弛迭代法：function [x,iter]=sor(A,b,omega,tol,maxit)% A:系数矩阵% b:右侧向量% omega:松弛因子% tol:容差% maxit:最大迭代次数% x:解向量% iter:迭代次数n=length(b); % 系数矩阵的阶数x=zeros(n,1); % 初始化解向量iter=0; % 初始化迭代次数while iter<maxit % 迭代次数未达到最大值xold=x; % 记录上一次迭代的解向量for i=1:n % 按行迭代sigma=0;for j=1:nif j~=isigma=sigma+A(i,j)*x(j);endendx(i)=(1-omega)*x(i)+omega*(b(i)-sigma)/A(i,i); % 更新解向量enditer=iter+1; % 迭代次数加1if norm(x-xold)<tol % 当解向量的变化小于容差时，认为已收敛break;endend调用该函数，求解上述线性方程组，可以使用如下代码：A=[3,0,0;0,4,0;0,0,2];b=[9;8;2];omega=1.5;tol=1e-6;maxit=1000;[x,iter]=sor(A,b,omega,tol,maxit);disp(x);其中，omega为松弛因子，tol为容差，maxit为最大迭代次数。

数值分析课程设计--松弛迭代法中松弛因子

安徽建筑大学数值分析设计报告书题目松弛迭代法中松弛因子院系数理系专业信息与计算科学班级信息②班学号 12207210220姓名穆海山时间2013-12-10~2013-12-23 指导教师刘华勇题目：选用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法求解下面的方程组（考虑n 等于150）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=10.522.522.522.522.521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦考虑初值的变化和松弛因子ω的变化收敛效果的影响；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。

接着用几种不同方法对线性方程组进行求解及结果分析，最后对此次课程设计进行了总结。

关键词：线性方程组，迭代，Matlab ，结果分析二、设计目的用熟悉的计算机语言编程上机求解线性方程组。

三、理论基础对方程组 Ax b = 做等价变换 x Gx g =+ 如：令 A M N =-，则11()Ax b M N x b Mx Nx b x M Nx M b --=⇒-=⇒=+⇒=+ 则，我们可以构造序列 (1)() k k x G x g +=+ 若 ()*k x x →* **x G x g Ax b ⇒=+⇒= 同时：(1)()()**(*)k k k x x Gx Gx G x x +-=-=-1(0)(*)k G x x +==-所以，序列收敛0k G ⇔→，与初值的选取无关1122(,,,)nn D diag a a a =设则转化为矩阵形式(1)()1()()k k k x x D b Ax +-=+-(1)()1()1k k k x x D Ax D b +--=-+(1)1()1()k k x D D A x D b +--=-+ (1) 令2112000000n n a L a a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭1212000000n n a a a U --⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A D L U =-- 或者 D A L U -=+故迭代过程(1)化为(1)1()1()k k x D D A x D b +--=-+(1)1()1()k k x D L U x D b +--=++ A D L U =--11(),,J B D L U f D b --=+=令于是 D A L U -=+ 1111()() , J B D L U D D A I D A f D b ----=+=-=-=或者：(1)()k k J x B x f +=+ (2)(0,1,2,)k =等价线性方程组为 J x B x f=+Ax b =称(2)式为解线性方程组(1)的Jacobi 迭代法(J 法)J B Jacobi 为迭代法的迭代矩阵迭代矩阵考虑迭代式(2)(1)()k k J x B x f +=+ (0,1,2,)k = 即 (1)1()1()k k xD L U x D b +--=++(1)()()k k k Dx Lx Ux b +=++(,)L 注意到的形式下三角不含对角线将上式改为 (1)(1)()k k k Dx Lx Ux b ++=++(3)(1)()()k k D L x Ux b +-=+D L -当可逆时 (1)1()1()()k k xD L Ux D L b +--=-+-11(),(),G G B D L U f D L b --=-=-设得(1)()k k G G x B x f +=+ (4)(0,1,2,)k =超松弛迭代记 ()(1)()k k k xx x +∆=-则 (1)()()k k k x x x +=+∆可以看作在前一步上加一个修正量。

最优松弛因子的选择方法

SOR方法中最优松弛因子的几种选择方法学习了解线性方程组的SOR方法后，老师给我们强调了SOR方法中松弛因子的重要性，但却并没有明确告诉我们如何更好的选取最佳的松弛因子，我想这可能是暗示我们自己课下去查阅资料研究。

所以我这次选取了这一课题作为我的一次大作业。

通过学习我们知道了SOR方法中的松弛因子w的取值直接影响到算法的收敛性和收敛速度。

w选取得当，可以加快收敛速度，甚至可以使发散的迭代变成收敛。

因此，参数w的选取是SOR方法能否成功的关键。

为了保证迭代过程的收敛，必须要求0<w<2,而对超松弛法取1<w<2。

通过查阅资料，我找到了三种对超松弛因子的的选取的简单实用的方法，这些方法还能够运用到计算机算法中去，便于算法的实行。

一、松弛因子的选择方法1.二分比较法将松弛因子w的区间（1,2）进行二分，每个小区间的长度为1/2,w取区间中点值3/2,按照课本上（3.2.15）的公式迭代，求出迭代次数k。

如果k不超过指定的发散常数，则可确定w的值；否则将（1,2）区间四等分，每个小区间的长度为1/4,w取各分点的值继续迭代。

一般地，将区间（1,2）二分M次，每次二分步长为1/2^M，w依次取各二分点的值，同样按照课本中（3.2.15）的公式迭代，并求出迭代次数k值。

如果k值不超过指定的发散常数，则可确定w的值，这种方法总能找到一个不超过指定发散常数的w值。

用算法描述如下：第一步，给定发散常数RADIATION的值，令二分次数M的初始值为1；第二步，将区间（1,2）二分M次，每次二分的步长为1/2^M，w取各二分点的值；第三步，对每一个二分点按照课本中（3.2.15）中公式迭代求出迭代次数K；第四步，比较各二分点的K值找出最少迭代次数的Kmin值；第五步，判断若Kmin小于RADIATION，则结束；否则二分次数M++，跳至第二步继续二分。

2.逐步搜索法将w的取值区间(1,2)进行M等分，w分别取1+1/M，1+2/M，1+3/M，……，1+（M-1/M）。