人教版高中数学必修二 4.1.2圆的一般方程教学课件16 16
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
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C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程：4.1.2 圆的一般方程》教学PPT
例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0
D
E
F
2
0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同 一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组 第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8
E
6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
人教版高中数学必修二4.1.2__圆的一般方程ppt模板
以建立点M的坐标满足
的条件，求出点M的
轨迹方程.
解： 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以
x0 4 y0 3 x ,y ， 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
（2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）原点(0,0).
(2) 圆心为（1， - 2），半径为 11 的圆 .
（3）当a2 + b2 ≠0时， 表示圆心为（- a，0），半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心， 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
（2）当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 （3）当
当a2 + b2 = 0时，表示一个点（0，0）.
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，
并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解： 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)
的条件，求出点M的
轨迹方程.
解： 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以
x0 4 y0 3 x ,y ， 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
（2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）原点(0,0).
(2) 圆心为（1， - 2），半径为 11 的圆 .
（3）当a2 + b2 ≠0时， 表示圆心为（- a，0），半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心， 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
（2）当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 （3）当
当a2 + b2 = 0时，表示一个点（0，0）.
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，
并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解： 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)
高中数学人教A版必修二4.1.2圆的一般方程课件
x2+y2-7x-3y+2=0. ( 3)“求经过点A(4,-5)，且与直线m：x-2y+4=0相切于 点B(-2,1)的圆的方程”，有哪一些方法？
(4-a)2+(-5-b)2=r2
(-2-a)2+(1-b)2=r2
b|a1a--(-+2-12b(-)+2=4)-2|2=r2
42+(-5)2+4D-5E+F=0
当当a当 当 a,,baba不,不,b同 b不同不时同时同 为时为0时 为时00为 时 时 , 0,, 时,
表表示表 表 示圆示圆 示心圆心 圆为心为心为 为 a,a0a,0, 半a ,,,半 径0半径 为径 , 半 为为a径 2a2为 ab22b的2a的 b圆22圆 的 . .b圆2
当当a当 当 a,,baba同,同,b时b同时同为时为时 0为时0为 0时,时0,,时,
(-2)2+12 -2D+E+F=0
-
-E2|-D2-D2(--1-122+)((-=-E22-2))2+4|
=
D2+E2 -4F 2
AB的中垂线：y-(-2)=1 (x-1) m的垂线：y-1=-2[x-(-2)]
L XZ XJY
例析
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
若设 2a D,2b E ,a 2 b2 r 2 F，则有 :
x 2 y 2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程。
2.下列二元二次方程各表示什么图形？由 此你能得到什么结论？
(1)x2+y2 -2x- 4y +1=0
4.1.2 圆的一般方程PPT课件
例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法
人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件
(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ，表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心， 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正 值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M， 且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的 圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
人教A版高中数学必修2第四章4.1.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
没有xy这样的二次项
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练一练
1.下列方程能否表示圆方程？若能写出圆心与半径
(1) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (2) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
(3) x2+y2+2by=0
(4).x2 + y2 + 2ax - b2 = 0
巩固应用
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
y=-E/2，表示一个点（ - D , - E ）.
22
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程:
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
人教版2017高中数学(必修二)4.1.2 圆的一般方程PPT课件
4.1.2 圆的一般方程
-1-
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课堂探究案
学 习 目 标 1.理解圆的一般方程及其特点. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互 化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹 方程.
思 维 脉 络
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1.圆的一般方程 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,其中 圆心为 - ,������ 2 ������ 2
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解法二:设△ABC 的外接圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵A,B,C 在圆上, (1-������)2 + (4-������)2 = ������ 2 , ������ = 1, ∴ (-2-������ )2 + (3-������)2 = ������ 2 ,解得 ������ = -1, ������ = 5, (4-������)2 + (-5-������)2 = ������ 2 , 即外接圆的圆心为(1,-1),半径为 5, ∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25, 展开易得其一般方程为 x2+y2-2x+2y-23=0.
2.轨迹方程 点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条 件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过 “坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. ( ) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系. ( ) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化. ( ) (4)利用待定系数法求圆的一般方程,需要三个独立的条件. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
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学 习 目 标 1.理解圆的一般方程及其特点. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互 化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹 方程.
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1.圆的一般方程 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,其中 圆心为 - ,������ 2 ������ 2
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解法二:设△ABC 的外接圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵A,B,C 在圆上, (1-������)2 + (4-������)2 = ������ 2 , ������ = 1, ∴ (-2-������ )2 + (3-������)2 = ������ 2 ,解得 ������ = -1, ������ = 5, (4-������)2 + (-5-������)2 = ������ 2 , 即外接圆的圆心为(1,-1),半径为 5, ∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25, 展开易得其一般方程为 x2+y2-2x+2y-23=0.
2.轨迹方程 点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条 件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过 “坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. ( ) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系. ( ) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化. ( ) (4)利用待定系数法求圆的一般方程,需要三个独立的条件. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
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有什么特点？
y
yyC源自CCox
o
x
o
x
D=0
E=0
ks5u精品课件
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(ks5yu精-品课y件1)(y-y2)=0
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4.1.2 圆的一般方程
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问题提出 1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
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知识探究一：圆的一般方程 思考1:圆的标准方程 展开可得到一个什么式子? 思考2:方程 的一般形式是什么？
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思考3:方程 与 都是圆吗？为什么？
表示的图形
思考4:方程 为 它在什么条件下表示圆？
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可化 ，
思考5:当 ，方程 图形？
或
时
表示什么
思考6:方程 叫做圆的一般方程，其
圆心坐标和半径分别是什么？
圆心为
，半径为
ks5u精品课件
思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆
的位置分别
ks5u精品课件
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
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o
A Mx
C
B
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思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示的图形
都是圆吗？为什么？
思考4:方程 x2 y2 Dx Ey F 0 可化
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
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1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0
圆心为( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F
22
2
思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
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x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示的图形
都是圆吗？为什么？
思考4:方程 x2 y2 Dx Ey F 0 可化
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0
圆心为( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F
22
2
思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
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人教版高中数学必修二 4.1.2圆的一般方程教学课件16 16
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人教版高中数学必修二 4.1.2圆的一般方程教学课件16 16
教学目标:
1.通过实例，掌握圆的一般方程及其特点； 2.探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟 练地指出圆心的位置和半径的大小； 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方 程； 4.通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究， 提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、 化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养 用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
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二、求圆的方程
例2.求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长
和圆心坐标.
解: 设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上, ∴它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于D,E,F的三元一次方程
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普通高中课程标准
必修二
4.1.2圆的一般方程 牟平一中
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问题引入
问题1:圆的标准方程是什么?
问题2:在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圆心坐标和半 径分别为什么? 问题3:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?x2+y2-2x +4y+6=0表示什么图形?
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变式训练1:判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心与半径. (1)x2+y2-2x+4y-4=0; 是, 圆心(1,-2)半径为3. (2)x2+y2-12x+6y+50=0; 不是. (3)x2+y2+2ax=0.
(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),
由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,
MB ALeabharlann xyx0 2
y0 2
4 3
yx00
2x 4 2y 3
①
o
x
∵点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,
∴点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,
圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
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成果展示： 圆的一般方程的应用
一、圆方程的判断 例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是, 请求出圆的圆心及半径． (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
使用待定系数法的一般步骤
1、根据题意，选择标准方程或一般方程； 2、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 3、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
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问题探究 圆的一般方程
导引:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开,是否是二元 二次方程的形式？ 整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,
由于a,b,r均为常数, 2 a D , 2 b E ,a 2 b 2 r2 F
得x2+y2+Dx+Ey+F=0, 即任何一个圆方程可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示 的曲线一定是圆吗? 问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程? 这个方程是不是表示圆?
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圆的一般方程:
当D2+E2-4F>0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,我们 把x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
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组:
即F 0
D 8
D E F 2 0
解此方程组,得
E
6
4D 2E F 20 0
F 0
∴所求圆的方程为
x2+y2-8x+6y=0.
r1 D2E24F5, D4,E3,
2
22
得圆心坐标为(4,-3).
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问题2:观察圆的一般方程,你能归纳出圆的一般方程的特 点吗?
答（1） ①x2和y2的系数相同都等于1;
②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F， 只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元 二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了
即整(理x0,得1)(2xy302)24(y②3)2
把①代入②,得
变式训练2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,0),B(1,0), C(3，2),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
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三、与圆有关的轨迹问题
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆