人教版高中数学必修二圆的标准方程课件
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
高中数学：4.《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT完美课件
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= - 1 .
kOM
=
y0 , x0
k = - x0 . y
0
kOM y
经过点M 的切线方程是
y
-
y0
=
-
x0 y
(x-
x0 ),
0
M(x0, y0)
整理得 x0x+y0y=x0 2+y0 2.
O
x
因为点M在圆上,所以
所求的切线方程是 x0
x2 + y2 = r
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
练习 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 5
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
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高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
第四章 § 4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一 圆的标准方程思考1 确定一个圆的基本要素是什么？答案 圆心和半径.思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案 能.1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二 点与圆的位置关系思考 点A(1,1)，B(4,0)，同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2题型探究 重点难点 个个击破类型一 求圆的标准方程例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )DA.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析 ∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25___________________.解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.跟踪训练1 求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解 设圆心(0，b)，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.即5x＋7y－50＝0上，解得圆心坐标为(3,5)，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.类型二 点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2 , 5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，∴点P 在圆外.(2)已知点M (5 ＋1， )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是____.解得0≤a <1.B [0,1)跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围(－∞，－1)∪(1，＋∞)是________________________.解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1，类型三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；解设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，(1)x2＋y2的最值；解 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，(2)x＋y的最值.解 令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，达标检测 41231.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )DA.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.A2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A.－1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<－1D.a＝±1解析 ∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.1 3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，1234解析答案4.圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________________.解析 由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回。
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的一般方程PPT课件
三.讲授新课：
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
yE 22 NhomakorabeaD2E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，此方程表示圆，
圆心
-
（2）当 D2
D 2
,
E 2
E2 4F
r 0
D2 E2 4F 2
时，此方程表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，此方程不表示任何图形
2.圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F
（2）标准方程易于看出圆2 心与半径 一般方程突出了方程形式上的特点
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
三.例题分析 新课标人教A版高中数学必修二4.圆的一般方程PPT课件
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。 注：让学生自己分析探求解决途径：①、用配
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
练习：P134
A3
3.已知圆C的圆心在直线 x 2 y 1 0 上，并
x
2．求圆x 2
2 y
2x
4y
1
0上的点到原点 O的
距离的最大值 .
3.已知P(xy,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 ((21))求求x2x+y的2的最最小大值值与最小值
中学高中数学圆的标准方程课件新人教版必修2
•
•已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程
。 •解:•设M(x , y)为圆上任意点
•P = { M | |MC| = r }
•y •M(x,y)
•O •C •x
•三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
•
•二、圆的标准方程:
•圆心C(a,b),半径r
•y
•M(x,y)
•O •C
•x
•特别地,若圆心为O(0，0),则圆的方程为 ：
•(x-2)2+(y+3)2=25
•
•例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是 •A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它 •的外接圆的方程.
•解：设所求圆的方程为：
•因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
•所求圆的方程为
•待定系数 法
•
•y
•几何方法
•O
•A(5,1)
•(1)圆心在原点,半径是3.
•x2+y2=9
•(2)圆心在(3,4),半径是
•(x-3)2+(y-4)2=5
•
•思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置 关系？
•思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的
位置关系？
•A
•A
•A
•O
•O
•O
•OA<r
•OA=r
•OA>r
•
•思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)
和圆C：
，如何判断
点M在圆外、圆上、圆内？
•(x0-a)2+(y0-b)2=r2 •(x0-a)2+(y0-b)2<r2 •(x0-a)2+(y0-b)2>r2
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学必修二课件-4.1.1 圆的标准方程14-人教A版
作业:
1、课本 P120 练习1、2、3、4 2、思考题：
展开圆的标准方程，观察其特点； 方程x2+y2-2x+4y+4=0的曲线是什么
图形？方程x2+y2-2x+4y+5=0呢？
4.1.1圆的标准方程
y A(1,1)
OD
x
C
B(2,-2)
圆心：两条 l : x y 1 0
直线的交点
半径长
例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2),且
圆心C在直线上l：x-y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.
解：∵A(1,1),B(2,-2)，
∴线段AB的中点D的坐标为
3 , 2
1 2
a 3
解得
b
2
r 5
则所求圆的标准方程为 x 32 y 22 25
如何根据不同条件求圆的标准方程？
例2：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
解：∵A(5,1),B(7,-3)，线段AB的中点D（6，-1）， 直线AB的斜率为-2
a 2,
(7
a)
2
(3 b)2
r2
解得
b 3,
(2 a)2 (8 b)2 r 2
r 5.
则所求圆的标准方程为 (x 2)2 (y 3)2 25
2021/1/22
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如何根据不同条件求圆的标准方程？
例2：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
直线AB的斜率
k AB
2 1 3 2 1
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件
径为2的圆的方程.
Y
解: 依题意得所求圆的方程为
2
-2
Y=X
C(2,2)
(x-2)2+(y-2)2=4
C(-2,-2)
02 -2
X
(x+2)2+(y+2)2=4
解：因为圆心在X轴上，设圆心 P（a , 0),
半径 r。所以圆的方程(x-a)2＋y2＝ r2。
{ (5-a)2＋42＝r2
点M，N在圆上所以: (-2-a)2＋32＝r2 ，
所以 a=2, r2 =25
圆的方程为 (x-2)2＋y2＝25
知识形成
1、圆的标准方程为(x－a)2＋(y－ b)2＝r2 圆心为（a,b）半径为r
的切线方程为x0 x y0 y r 2
(2)求圆x2 y2 1, 斜率为1的切线方程 .
解: 设所求切线方程为 y x b.
则|b| 1 2
b 2
y x 2.
(3)求圆x2 y2 1, 在y轴上的斜距为 2的切线方程 .
解:设所求切线方程为 y kx 2.
则 2 1 k2 1
引申：过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的 切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
练习: (1)写出过圆 x2 y2 10上一点M (2, 6)的切线方程 .
解: 所求切线方程为 2x 6 y 10.
过圆x2 y2 r 2上点M (x0 , y0 )
⑶过点M（5，4）和点N（-2，3）且圆心 在x轴上。
⑴已知点A（-2，-3）和点B （6，3），以AB为直径。
解:由题可知 AB的中点P(2,0)即为圆心 ∣AB∣的一半等于半径 所以 r=5, 圆心P(2,0)
高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程
解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义 我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方 程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心 在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素 在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因 此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长 就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程课件(共16张PPT)
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
待定系数法求三角形外接圆的步骤：
1.设出标准方程；
2.根据条件列出关于a、b、r 的方程组； 3.解出a、b、r ，代入标准方程。
解法二：
因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段
(2) ( x-2)2 + (y+5)2 = 49
(2,-5) r=7
3. 已知圆的方程为 x 32 y 22 16，
判断下列各点与圆的位置关系。
M14，- 5 圆内
M2 6,1 圆外
M（3 3，- 6） 圆上
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
人教版高中数学必修二圆的标准方程课件.
练习
4、已知△ABO的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0), 求外接圆的方程.
y B C(4,3) r=5 O A x
(x-4)2+(y-3)2=25
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
课本练习
P120 1, 2, 3, 4
课本作业
P124 A组 2, 3, 4
(3 5) (5 6) 5 10
2 2
10
y
A ห้องสมุดไป่ตู้1
C
M2
O B x
则点M 2不满足圆的方程， 即点M 2不在圆C上
想一想，议一议
点M (x0 , y0 )在圆( x a) 2 ( y b) 2 r 2内的条件 是什么？在圆外、圆上 呢？
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r • 0 时，点M在圆外； 0
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
y
A
r o D
m
x
B C n
解法二：设外接圆圆心为D,半径为r；弦AB的中垂 线为m;弦AC的中垂线为n. 1 弦AB的中点为（6,1）, k AB 2, k m 2 则，m: x 2 y 8 0 ①
7 7 弦AC的中点为（ 2 , 2 ）,
k AC
则，n: 2 x 6 y 14 0 联立① ② 解得x=2, y=-3 则，D（2，-3）半径r=|DA|=5 所以圆D的标准方程是 ( x 2)2 ( y 3)2 25．
【高中课件】人教B版高中数学必修二2.3.1圆的标准方程课件ppt.ppt
课堂典例讲练
•已知圆的标准方程，解决与圆心、
半径有关的问题
•
写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
• (1)x2＋y2＝2；
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－__心a_)2_在＋_(_原y_－_点b_)_、2＝__半r_2_径__为__r的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r2．. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系． • P在圆外⇔_____________________， • P在圆上⇔__(_x_0－__a_)2_＋__(y_0_－_b_)_2>_r_2____， • P在圆内⇔__(_x_0－__a_)2_＋__(y_0_－_b_)_2＝__r_2 ___.
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
• 1.方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝0表示的图形是( ) • A．以(a，b)为圆心的圆 • B．点(a，b) • C．以(－a，－b)为圆心的圆 • D．点(－a，－b) • [答案] D
[解析] 由(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，得
x＋a＝0 y＋b＝0
• [答案] x2＋(y－1)2＝1 • [解析] 两圆关于直线对y＝x对称，半径相等．圆C
的圆心为(0,1)，半径为1，其标准方程为x2＋(y－1)2 ＝1.
• 5．圆心C在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于两点A(0， －4)、B(0，－2)，则圆C的方程为______________．
• [答案] (x－2)2＋(y＋3)2＝5.
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2 2
10
y
A M1
C
M2
O B x
则点M 2不满足圆的方程， 即点M 2不在圆C上
想一想，议一议
点M (x0 , y0 )在圆( x a) 2 ( y b) 2 r 2内的条件 是什么？在圆外、圆上 呢？
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r • 0 时，点M在圆外； 0
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r • 0 时，点M在圆上； 0
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r • 0 时，点M在圆内. 0
练习
3.已知圆O的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4，判断点 A(0,3);B(-3,2);C(2,1)与圆O的位置关系。 解：(0+1)2+(3-2)2<4，A(0,3)在圆O内； (-3+1)2+(2-2)2=4，B(-3,2)在圆O上； (2+1)2+(1-2)2>4，C(2,1)在圆O外。
§4.4.1 圆的标准方程
孔德学区 赵亚娣
回顾圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
y
C
o
r
M
x
根据圆的定义怎样找到圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
回顾直线方程 的得出
y M(x,y) 方程f(x,y)=0
l
o
x
直线的方程
圆的方程
已知圆C的圆心为C (a, b)半径为r,
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
y
A
r o D
m
x
B C n
解法二：设外接圆圆心为D,半径为r；弦AB的中垂 线为m;弦AC的中垂线为n. 1 弦AB的中点为（6,1）, k AB 2, k m 2 则，m: x 2 y 8 0 ①
7 7 弦AC的中点为（ 2 , 2 ）,
k AC
则，n: 2 x 6 y 14 0 联立① ② 解得x=2, y=-3 则，D（2，-3）半径r=|DA|=5 所以圆D的标准方程是 ( x 2)2 ( y 3)2 25．
1 3, k n 3 ②
数 形 结 合 法
练习
4、已知△ABO的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0), 求外接圆的方程.
y B C(4,3) r=5 O A x
(x-4)2+(y-3)2=25
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB为直径的圆的方程
并判断点M1 (8,7), M 2 (3,5)是否在这个圆上？
解:圆心C（5，6）半径r= 所求的圆的标准方程是 (x-5)2+(y-6)2=10
由(8 5) 2 (7 6) 2 10得 点M 1满足圆的方程， 即点M 1在圆C上 同理
设点M (x, y)为圆C上任一点， 则 |MC|= r
2 2
M(x,y) y C
( x a ) ( y b) r
(x-a)2+(y-b)2=r2
O
x
圆的标准方程
圆的标准方程
( x a) ( y ,y) O C x
圆心C(a,b),半径r 三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
y
(2)、(x+1)2+y2=1
y
-2
0
2
x
-1
C(-1、0) r=1
0
x
C(0、0) r=2
练习 2、写出下列圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
课本练习
P120 1, 2, 3, 4
课本作业
P124 A组 2, 3, 4