《概率与数理统计》练习册及答案

第一章 概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次,则此随机试验的样本空间为 A ．{正,正,反,反,一正一反} B.{反,正,正,反,正,正,反,反} C ．{一次正面,两次正面,没有正面} D.{先得正面,先得反面}2.设A,B 为任意两个事件,则事件AUB Ω-AB 表示 A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生 3．设A,B 为随机事件,则下列各式中正确的是 . A.PAB=PAPB B.PA-B=PA －PB C.)()(B A P B A P -=D.PA+B=PA+PB4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是 . A.PA －B=PA －PAB B.PAB=PBPA|B,其中PB>0C.PA+B=PA+PBD.PA+P A =15.若φ≠AB ,则下列各式中错误的是 .A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.PA+B=PA+PB D.PA-B ≤PA 6.若φ≠AB ,则 .A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.PA-B ≤PA7.若,B A ⊂则下面答案错误的是 . A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是 . A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是 .A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()n ni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 . A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是 .A.!!N n B. n Nn !C. nn N N n C !⋅D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为 .A.rr P 3651365-B. rr r C 365!365⋅C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是 . A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取方式有放回及不放回C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对 事件中,不独立的是 . A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为 . A.4021 B.407 C. 3.0D. 3.07.02310⋅⋅C 17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则 . A.1)()()(-+≤B P A P C P B.1)()()(-+≥B P A P C P C.PC=PABD.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则 . A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的,且()0,()0P A P B >>,则下列结论正确的 是 . A.PA|B=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.PB|A >020.已知PA=P,PB=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为 . A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P,现重复进行n 次独立试验 则事件A 至多发生一次的概率为 . A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸 到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是 . A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为 . A.0.5B.0.25 0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为 . A.1B.21 C.52 D.32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为 . A.81 B.83 C.85 D.8726.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为 . A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为 . A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是 . A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为 . A.135 B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为 . A.21 B.31 C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后,将它连续抛掷10次,结果全是“国徽”面朝上,则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为 .A.1001 B. 10099C.1010212+D.10102992+32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为 . 0.14 C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1.E ：将一枚均匀的硬币抛三次,观察结果：其样本空间=Ω. 2．某商场出售电器设备,以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”,以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”,则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A,B,C 表示三个随机事件,试通过A,B,C 表示随机事件A 发生而B,C 都不发生为 ；随机事件A,B,C 不多于一个发生 .4.设PA=0.4,PA+B=0.7,若事件A 与B 互斥,则PB= ；若事件A 与B 独立,则PB= .5.已知随机事件A 的概率PA=0.5,随机事件B 的概率PB=0.6及条件概率PB|A=0.8,则PAUB=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4,0.3和0.6,则P AB = .7.设A 、B 为随机事件,PA=0.7,PA-B=0.3,则P AB = . 8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ,则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件PAB=P AB ,且PA=p,则PB= . 10.设A 、B 是任意两个随机事件,则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= . 11．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=ABC ,21)()()(<==C p B p A p ,且已知 169)(=C B A p ,则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行,恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是 .18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成,第一道工序的废品率为1p ,第二道工序的废品率为2p ,第三道工序的废品率为3p ,则该零件的成品率为. 20．做一系列独立试验,每次试验成功的概率为p,则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章 随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则 .A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.PA=0或PB=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为 . A.2-eB.251e -C.241e -D.221e -. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则 . A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则 . A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数,则 .A ．由于X 是连续型随机变量,则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量,但既不是连续型的,也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若 . A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为 . A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件 . A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则 . A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则 . A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将 . A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有 . A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)( C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他,则1{}4P X >为 . A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为 . 7B.0.3753415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P .A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是 .A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是 . A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从1,6上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是 . A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ . A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{||}P X μσ-< .Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率.2．已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21,则=c3．当a 的值为 时, ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件,第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ,以X 表示3个零件中合格品的个数,则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011,则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ,若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为： 且21)2(==X p ,则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ,当5121<<<x x 时,)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X,则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ,则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ,则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ,且30.0)42(=≤<X p ,则_________)0(=≤X p .13．设)2,3(~2N X ,若)()(c X p c X p ≥=<,则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ,若160=μ,欲使80.0)200120(=≤<X p ,允许最大的σ= .15.若随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011,则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为２,ｐ的二项分布,随机变量Ｙ服从参数为３,ｐ的二项分布,若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９,则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ . 17.设随机变量Ｘ服从０,２上的均匀分布,则随机变量Ｙ＝2X 在０,４内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２,则μ= .第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是 . A.X,YB.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则 . A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为 . A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X == .A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是 . A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量X,Y 的联合分布为: 则b a ,应满足 . A ．1=+b aB. 13a b += C.32=+b a D.23,21-==b a7．接上题,若X,Y 相互独立,则 . A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则 . A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设X,Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下面错误的是 .A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点X,Y 落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是 . A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设X,Y 的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是 .A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设X,Y 服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是 . A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P -=∉1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：１串联；２并联；３备用当系统1π损坏时,系统2π开始工作,令21,X X 分别表示21ππ和的寿命,令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是 . A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设二维随机变量X,Y 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=Y X YX V Y X Y X U 则==}{V U P .A.0B.41C.21D.4315.设X,Y 服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是 . A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布 16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则 . A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X 17．设X,Y 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1) N ,令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是 .A ．N 0,2分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N 0,1分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =,记1234X X D X X =,则==}0{D P .7312 C019.已知~(3,1)X N -,~(2,1)Y N ,且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则 .A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为 .A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P = A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量X,Y 的联合密度,则A 必为 .A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量 .A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为 .A.21B.31 C.41 D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立,则Y X + .A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则 .A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P .A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.2128.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则X,Y 在以0,0,0,2,2,1为顶点的三角形内取值的概率为 .A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P .A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为 .A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为 . A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2σμN ,则 . A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσμ+++C.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈= .A.G DS S B.GG D S S C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),( 二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量,用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：1;____________________),(=<≤≤c Y b X a p 2;____________________),(=<<b Y a X p 3;____________________)0(=≤<a Y p 4.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表,则βα,应满足的条件是 .3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成,二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布,则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ,则Y X ,相互独立当且仅当=ρ .5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为 PX=0=1/2,PX=1=1/2,则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010,则∑==31i iX X 服从分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量,且P{X ≥0,Y ≥0}=3/7,P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{maxX,Y ≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p0<p<1,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率为 ；二为随机变量X,Y 的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障时工作2小时便关机,则该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数 . 10.设两个随机变量X 与Y 独立同分布,且PX=-1=PY=-1=1/2,PX=1=PY=1=1/2,则PX=Y= ；PX+Y=0= ； PXY=1= .第四章 随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量,()1,()3E X D X =-=,则2[3()20]E X += . A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量X,Y 的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它,则()E XY = .A. 0B.1/2C.2D. 1 3. X,Y 是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是 .A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D .A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独立,则 . A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是 . A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y .A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关 8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是 .A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=- 9.下式中恒成立的是 .A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是 .A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是 .A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为 . A. 4.0,6==p n B. 1.0,6==p n C. 3.0,8==p n D. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有 . A. 222)(C EX c X E -=- B. 22)()(μ-=-X E c X E C. DX c X E <-2)( D. 22)(σ≥-c X E 14.()~(,),()D X X B n pE X =则. A. n B. p -1 C. p D.p-1115.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===()D X 则= . A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E = . A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立,均服从同一正态分布,数学期望为0,方 差为1,则X,Y 的概率密度为 .A. 22()21(,)2x y f x y e π+-= B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-=D. 2241(,)2x y f x y e π+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX= . A.21 B. 31 C.61D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY= . A.2 B.n 43 C. 0 D. n 3220. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则 .A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N 21. 设2(,),(,)X b n p YN μσ,则 .A.2()(1)D X Y np p σ+=-+B.()E X Y np μ+=+C.22222()E X Y n p μ+=+D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为 . A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为 . A. 1 B.-2 C.21D.41 24. 设1X ,2X ,3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY= . A. 14 B.46 C.20 D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+= .A. 1B.0C.13 D. 4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足 . A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足 . A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为0 28. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===,则下列不等式正确的是 .A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π= .A. 1B.0C.2D. -1 30.设X,Y 服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为 .A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是 . A. 1)(=-DX EXX DB.~(0,1)N C. 22)(EX EX = D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为 . A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1-33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为 . A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为 . A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数,则DY= .A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设X,Y 为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概 率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是 . A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22 D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且2)(=X D ,则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1,0,1,且2()0.1,()0.9E X E X ==,则X 的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ,则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ,则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ,且5)(2=X E ,则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X 服从均值为3,方差为2σ的正态分布,且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ,()D X = ,(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子,骰子的每一面出现是等可能的,则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立,并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ,求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 .10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次击中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望E 2X = .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量Z=3X-2的数学期望EZ= .第五章 大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的i X 密度为()(1,2,,100)i f x i =,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i i x X P 的值为 . A. 无法计算B.100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰C. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足 .A.91≤B. 31≤C. 91≥D. 31≥ 3. 设随机变量1X ,210,,X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===,则A.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC.2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D.2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为 .A. (2.5)ΦB. 2(1.5)1Φ-C. 2(2.5)1Φ-D. 1(2.5)-Φ5. 设 1X ,2,,n X X 独立同分布,2,,1,2,,,i i EX DX i n μσ===当30≥n 时,下列结论中错误的是 .A.∑=ni iX 1近似服从2(,)N n n μσ分布B.niXn μ-∑(0,1)N 分布C. 21X X +服从)2,2(2σμN 分布D.∑=ni iX1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,iX i =服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确A.()lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑B. ()2lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p q p A P -==1,)(,则对任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq npa P n n μlim ＝ . 2、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的0>ε,均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p n P n n = . 3、一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X ,估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中,不正确的是 . A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是 . A.0)(=-μX E B. 2()D X nσμ-=C. 1)(22=σS ED. ~(0,1)X N4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是 . A.22211()()nnii i i XX X n X ==-=-∑∑ B. 2S X 与相互独立C. 22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D ED. 221[()]nii E X n μσ=-=∑ 5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中,错误的是 . A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x XN X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑6． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ,且两总体相互独立,则下列不正确的是 .A.2221122212~(1,1)S F n n S σσ--B. 12(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是 .A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E Xnθ+= D. ()221θ=XE8. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是 .A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 9. 12,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则 .A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{m ax (54321>X X X X X P 为 .A.)5.1(1Φ- B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ- D. 5)]5.1([Φ11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为 .A. 1)5.0(2-ΦB. 1)25(2-Φ C. 1)45(2-Φ D. 1)5.2(2-Φ 12. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 .A. 7.5B.60C.320D. 265 13. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ,则}{λ-<X P 为 .A.a 21 B. a2 C.a +21 D. a 211-14． 设12,,n X X X ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本,则∑=-ni i X X 12)(服从分布为 .A ．)(2n x B. )1(2-n x C. ),0(2n N D. )1,0(nN15. 设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本,若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布,则c b a ,,的值分别为 .A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,21 16. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以n X 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使n a X P n ,95.0}1.0{≥<-值最小应取作 .A. 20B. 17C. 15D. 16 17. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑服从分布是 .A.)9(t B. )8(t C. )81,0(N D. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中, 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本,它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布,2,σμ==DX EX ,令∑==ni i X n X 11,则EX =；.DX =4．设n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本,样本均值_______________=X ,则样本标准差___________=S ；样本方差_________________2=S ；样本的k 阶原点矩为 ；样本的k 阶中心矩为 .5.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本,则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P . 6．设n X X X ,,,21 是来自0—1分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本,X 是样本均值,则=)(X E .=)(X D .7．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本,),,,()()2()1(n X X X 是顺序统计量,则经验分布函数为 8．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本,称 为统计量；9．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ,X 为样本均值,已知5.0}{=≥λX P ,则=λ .10．设总体),(~2σμN X ,X 是样本均值,2n S 是样本方差,n 为样本容量,则常用的随机变量22)1(σnS n -服从分布.11．设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本,则样本均值∑==ni i X n X 11服从 ,又若i a 为常数),2,1,0(n i a i =≠,则∑=ni i i X a 1服从 .12.设10=n 时,样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(,则样本均值为 ,样本方差为 .第七章 参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布,则参数μ的矩估计量为 .A X1 B ∑=-n i i X n 111 C ∑=-ni i X n 1211 D X 2. 设总体),(~2σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-n i i X X n 12)(1是 .)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计3. 设X 在0,a 上服从均匀分布,0>a是未知参数,对于容量为n 的样本n X X ,,1 ,a 的最大似然估计为A },,,m ax {21n X X XB ∑=ni i X n 11C },,,m in{},,,m ax {2121n n X X X X X X -D ∑=+ni i X n 111；4. 设总体X 在a,b 上服从均匀分布,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本,则a 的最大似然估计为 A },,,m ax {21n X X X B X C },,,m in{21n X X X D 1X X n -5. 设总体分布为),(2σμN ,2,σμ为未知参数,则2σ的最大似然估计量为 .A ∑=-n i i X X n 12)(1 B ∑=--n i i X X n 12)(11 C ∑=-n i i X n 12)(1μ D ∑=--n i i X n 12)(11μ 6. 设总体分布为),(2σμN ,μ已知,则2σ的最大似然估计量为 . A 2S B21S nn - C ∑=-n i i X n 12)(1μ D ∑=--n i i X n 12)(11μ 7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x ax a x f a 120),,,,n a x x x >是取自总体的一组样本值,则a 的最大似然估计为 . A. ∑=-ni ixn1lnB. 11ln n i i x n =∑C. 11ln()ni i x n =-∑ D. ∑=-n i ix n 1ln8. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,00),(6)(3θθθx x xx f ,n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本,则θ的矩估计量为 . A.X B. X 2 C. ),,,m ax (21n X X X D.∑=ni iX19. 设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,),(21X X 是X 的一个样本, 则在下述的４个估计量中, 是最优的.A2115451ˆX X +=μB 2124181ˆX X +=μC 2132121ˆX X +=μD 2143121ˆX X +=μ 10. 321,,X X X 设为来自总体X 的样本,下列关于)(X E 的无偏估计中,最有效的为 .A)(2121X X + B )(31321X X X ++ C )(41321X X X ++ D )313232321X X X -+11. 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN μ已知的一个样本,X 为样本均值,则在总体方差2σ的下列估计量中,为无偏估计量的是 .A 22111ˆ()n i i X X n σ==-∑； B 22211ˆ()1n i i X X n σ==--∑； C 22311ˆ()n i i X n σμ==-∑； D 22411ˆ()1n i i X n σμ==--∑. 12. 设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是 . 13. 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本,若统计量∑-=+-1121)(n i i i X XK 为2σ的无偏估计,则K 的值应该为 An 21 B 121-n C 221-n D 11-n 14. 下列叙述中正确的是 .A ． 若θˆ是θ的无偏估计,则()2ˆθ也是2θ的无偏估计.B ． 21ˆ,ˆθθ都是θ的估计,且)ˆ()ˆ(21θθD D ≤,则1ˆθ比2ˆθ更有效. C ． 若21ˆ,ˆθθ都是θ的估计,且2221)ˆ()ˆ(θθθθ-≤-E E ,则1ˆθ优于2ˆθ D ． 由于0)(=-μX E ,故.μ=X15. 设n 个随机变量n X X X ,,,21 独立同分布,2σ=X D ,∑==n i i X n X 11,∑=--=n i i X X n S 122)(11,则A. S 是σ的无偏估计量B. 2S 不是2σ的最大似然估计量C. nS X D 2= D. 2S 与X 独立16. 设θ是总体X 中的参数,称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间,即 . A. ),(θθ以概率a -1包含θ B. θ 以概率a -1落入),(θθC.θ以概率a 落在),(θθ之外 D. 以),(θθ估计θ的范围,不正确的概率是a -117. 设θ为总体X 的未知参数,21,θθ是统计量,()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间,则下式中不能恒成的是 .A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD.2}{}{12a P P =<+>θθθθ 18. 设),(~2σμN X 且2σ未知,若样本容量为n ,且分位数均指定为“上侧分位数”时,则μ的95%的置信区间为A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X19. 设22,),,(~σμσμN X 均未知,当样本容量为n 时,2σ的95%的置信区间为A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 20. n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别是总体),(211σμN 与),(222σμN 的样本,且相互独立,其中21σ,22σ已知,则21μμ-的a -1置信区间为A. ])2()[(22212121n S n S n n t Y X z a +-+±-B. ])[(2221212n n Z Y X a σσ+±- C. ])2()[(222121212n S n S n n t X Y a +-+±- D. ])[(2221212n n Z X Y a σσ+±- 21. 双正态总体方差比2221σσ的a -1的置信区间为A. ])1,1(,)1,1(1[22211222221212S S n n F S S n n F a a ⋅--⋅-- B. ])1,1(,)1,1([22211222221212S S n n F S S n n F a a ⋅--⋅--C. ])1,1(,)1,1(1[21221222221212S S n n F S S n n F a a ⋅--⋅--。