辽宁省抚顺市2024届普通高中应届毕业生高考模拟考试(3月)数学试题含答案

2024年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}
1,,12A a B x x ==-<，若A B ⊆，则实数a 的值是（）A ．1
B ．0
C ．2
-D ．3
2．已知i 为虚数单位，若复数z 满足()2
i 1i z z =--，则z =（）
A ．1i
-B ．1i
+C ．1i
--D ．1i
-+3．已知向量()()2,1,1,2a b == ，若向量c 满足8a c ⋅=
，且b c ∥，则c 的值是（
）
A ．
B ．12
C ．20
D ．4．若()111n
x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭
的展开式中含x 项的系数为10，则n 的值是（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．油纸伞是中国传统工艺品之一，已有一千多年的历史．为了宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫开展了油纸伞文化艺术节活动．在此次活动中，将一把油纸伞撑开后摆放在户外的展览场地上，在地面上形成了一个椭圆形影子，如图所示．已知,A B 是此椭圆长轴的两个端点，P 为短轴的一个端点，且3
tan 4
APB ∠=-，则该椭圆的离心率为（
）
A ．
10
B ．
10
C ．
13
D ．
3
6．已知π0,
4α⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，若2πsin cos24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则sin2α=（）
A ．
5B ．
10
C ．
45
D ．
35
7．在三棱锥P ABC -中，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，6PA =，PB PC ==则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．100π
B ．75π
C ．80π
D ．120π
8．已知定义域为{}
0x x ≠的函数()f x 满足()()()()()f x y f x f y f x f y ⎡⎤++=⎣⎦，()12f =，且当
()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立，则下列结论正确的是（
）
A ．263f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
B ．()()
22f x f x =C ．()f x 为奇函数
D ．()f x 在区间()0,+∞是单调递增函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．采购经理指数（PMI ）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用．2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI 指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（
）
A ．图中前三个数据的平均值为49.9%
B ．2023年四个季度的PMI 指数中，第一季度方差最大
C ．图中PMI 指数的极差为3.8%
D ．2023年PMI 指数的75%分位数为50.1%
10．已知抛物线()2
:20C y px p =>的准线方程为1x =-，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B
两点，则下列说法正确的是（）
A ．A
B 的最小值为4
B ．设()3,2Q ，则QAF △周长的最小值为4
C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切
D ．若2BF FA =
，则直线l 的斜率为-
11．函数()f x 满足：当0x ≥时，(
)31,022
12,2
3x x f x x --≤≤=⎨⎪+>⎪⎩
，()12y f x =+是奇函数．记关于x 的
方程()()1
02f x kx k -+=∈R 的根为12,,,m x x x ⋅⋅⋅，若()1
72m
i i f x ==-∑，则k 的值可以为（
）
A ．
11
18
B ．
1712
C ．
54
D ．1
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知26S =，且2a 与3a 的等差中项为6，则4S 的值是______．13．已知直线630x ny m -+=平分圆()()2
2
:14169C x y ++-=，点(),P m n 的轨迹交圆C 于,A B 两点，
则,A B 两点间的距离AB 的值是______．
14．已知12,x x 是函数()(
)π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎫=+><
⎪
⎭的两个零点，且12min π
6
x x -=，若将函数()f x 的图象向左平移
π3个单位后得到的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在π,6θ⎛⎫
⎪⎝⎭
内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a b C B
c A B
+-=-．（1）求角A ；
（2）若6a =，点M 为ABC △
的重心，且AM =，求ABC △的面积．16．（本题满分15分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，PA PB PC ==
．
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）若点E 为AD 的中点，BD 与CE 相交于点M ，直线PM 与底面ABCD 所成的角为θ，且tan θ=求二面角E PB C --的余弦值．17．（本题满分15分）
2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有m 道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为1
15
．（1）求m 的值；
（2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是35
．（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量X 的分布列和数学期望；
（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．18．（本题满分17分）
已知双曲线C 32
．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为,A B ，点D 为双曲线C 的右支上异于点B 的动点，直线DA 与直线1x =相交于点P ，直线PB 与双曲线C 的另一个交点为E ，直线AM 垂直DE 于点M ．问是否存在点N ，使得
MN 为定值？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分17分）已知函数()1
2e 2x f x x ax ax +=--．
（1）当1
2
a =
时，判断()f x 的单调性；（2）若()0,x ∈+∞时，()11ln f x x x -≥+-'恒成立，求实数a 的取值范围．
2024年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试
数学参考答案与评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
B C A B D
D A C
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
AB ACD
CD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．30；
13．24；
14．5π4π,63⎛⎤
⎥⎝⎦
．四、解答题（共77分）
15．解：（1）因为
sin sin sin sin a b C B c A B +-=-，由正弦定理可得a b c b
c a b
+-=-，整理得2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理可得2221
cos 22
b c a A bc +-==．
又因为()0,πA ∈，所以π
3
A =
．（2）设AM 的延长线交BC 于点D ，因为点M 为ABC △的重心，所以点D 为BC 中点，
又因为AM =，所以AD =．
在ABC △中，由余弦定理2
2
2
2cos ,6a b c bc A a =+-=和π3
A =
，可得22
36bc b c =+-．在ABD △和ACD △中，有cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理可得2
2
72b c +=，所以2
2
36723636bc b c =+-=-=，
所以ABC △的面积为
11π
sin 36sin 223
bc A =⨯⨯=16．（1）证明：设点P 在底面的射影为点H ，由已知可得点H 为ABC △的外心，又因为底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，所以DA DB DC ==，所以点D 与点H 重合，所以PD ⊥底面ABCD ，所以AC PD ⊥．
因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，所以AC ⊥平面PDB ，所以AC PB ⊥．（2）解：由PD ⊥底面ABCD ，知PMD ∠即为直线PM 与底面ABCD 所成的角，因为ED BC ∥且12ED BC =
，所以12DM MB =，所以1233
DM DB ==，
由于tan PD
DM
θ=
=
，所以PD =．取BC 的中点F ，连接DF ，以点D 为坐标原点，,,DA DF DP
的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直
角坐标系，如图所示，
则(
)(
)(
)(1,0,0,,1,,0,0,E B C P -，
所以(
)((),1,,2,0,0EB BP BC ==-=-
，
设平面EBP 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由110
0EB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得一个1n
为()
．设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，由220
BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得一个2n 为()0,2,1．设二面角E PB C --的平面角为α，由图可知α为钝角，
所以12cos cos ,65
n n α=-=-
．17．解：（1）设事件A 表示甲抽出的2道题都是关于冰雪温泉内容的，则()23
2
34C 1
C 15
m P A ++=
=
，解得3m =．（2）（ⅰ）甲答对题的数量X 的所有可能取值为0,1,2,3．则()0364
3
10C C 10C 30P X ===，()()()122130
646464
333101010C C C C C C 3111,23C 10C 2C 6
P X P X P X =========，
所以X 的分布列为
X
0123
P
1303101216
于是X 的数学期望()1311901233010265
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．（ⅱ）设事件B 表示甲测试合格，则由（ⅰ）可知()()()112
23263
P B P X P X ==+==
+=．设事件C 表示乙测试合格，则()2
3
233
333381C 1C 555125P C ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
．因为
281
3125
>，所以甲被录用的可能性大．18．解：（1）设双曲线C 的右焦点为(),0F c ，双曲线C 的标准方程为()22
2210,0x y a
b a b -
=>>，则其渐近
线为0bx ay ±=，由已知可得32c a =
⎪=⎪⎩，结合222
a b c +=，可得24,a b ==C 的
标准方程为22
145
x y -=．
（2）由已知，直线DE 不垂直于y 轴，设直线DE 的方程为x my n =+，
由2214
5x my n
x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 并整理得()()
2225410540m y mny n -++-=，①
则2540m -≠，且由这个方程的判别式Δ0>可得22
540m n +->．设()()1122,,,D x y E x y ，则()
2
12122
2
5410,4545n mn
y y y y m m -+=
=--．由已知可得()()2,0,2,0A B -，设()1,P t ，由,,A P D 三点共线可得()1132y t x =+．由,,P B E 三点共线可得()222y t x -=-．消去t 并整理得()()12213220y x y x -++=．
又1122,x my n x my n =+=+，所以上式可化为()()121243220my y n y n y +-++=，
即
(
)()()2
1
12
2
2041032204545m n mn n y n y m m -⎛
⎫
+-++-= ⎪--⎝⎭
，整理可得()()(
)2
141022450n m n y m ⎡⎤--++-=⎣
⎦
．
若()(
)
2
11022450m n y m
-++-=，则()12
5245m n y m +=
-，代入①式可得2
40n -=．
因为点,D E 不与点B 重合，所以120y y ≠，即2
40n -≠，所以()(
)2
11022450m n y m -++-≠．
所以40n -=，即4n =，所以直线DE 过定点()4,0G ．
因为直线AM 垂直于直线DE ，垂足为点M ，所以点M 在以AG 为直径的圆上，所以存在点N 使MN 为定值3，此时点N 的坐标为()1,0．19．解：（1）函数()f x 的定义域为()()()
1
11,e e 221e 2x x x f x x ax a x a +++=+--+'=-R ，
当12
a =
时，()()()
1
1e 1x f x x ++'=-．当10x +≥时，有1
e 10x +-≥，得()0
f x '≥，所以函数()f x 在区间[)1,-+∞单调递增；当10x +<时，有1
e
10x +-<，得()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-单调递增．
综上可知()f x 在R 上是单调递增函数．
（2）当()0,x ∈+∞时，()11ln f x x x -≥+-'恒成立即e 1ln 2x x x x
a x --+≤恒成立，
因此只需min
e 1ln 2x x x x a x ⎛⎫
--+≤ ⎪⎝⎭．
令()e 1ln x x x x g x x --+=，则()22
e ln x x x
g x x
'+=．
令()2e ln x h x x x =+，则()()
2
1
2e 0x
h x x x x
'=++
>，所以()h x 在区间()0,+∞是单调递增函数；因为()1
2
111e 0,e ln2024
h h ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以()h x 在()0,+∞内存在唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，所以函数()g x 在区间()00,x 是单调递减函数，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，所以函数()g x 在区间()0,x +∞是单调递增函数．又因为()02000e ln 0x h x x x =+=，即0
0ln 000000
ln 1
e
ln e ln x x x x x x x x -=-
=-=-．（*）设()e x
m x x =，当0x >时，()()1e 0x
m x x =+>'，所以()m x 在()0,+∞上单调递增，因为01,12x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以000,ln 0x x >->，由()*知()()00ln m x m x =-，所以00ln x x =-，且0
1
e
x x =
．所以()000000
min
000
e 1ln 11()2x x x x x x g x g x x x --+-++====．
所以22a ≤，即1a ≤，故实数a 的取值范围为(],1-∞．。