2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
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解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)
是( B )
A.158
B.162
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2.
3.正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径 R∶r＝ 3∶1(a 为该正四面体的棱长).
索引
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) (2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( × ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝ 23a.( √ )
索引
4.(2020·天津卷)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为( C )
A.12π
B.24π
C.36π
D.144π
解析 设球的半径为 R， 由题意知球的直径 2R＝ （2 3）2＋（2 3）2＋（2 3）2，得 R＝3， 该球的表面积S＝4πR2＝36π.故选C.
索引
5.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表
索引
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝__2_π_r_l__
S圆锥侧＝ __π_r_l__
S圆台侧＝__π_(r_1_＋__r_2)_l_
索引
3.空间几何体的表面积与体积公式
几何体
名称
表面积
柱 体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
体积 V=___S_底_h____
若 AB，AC 的夹角是 60°，且 AC 与圆锥底面所成的角是 30°，则该圆锥的 表面积为______(6_＋__4___3_)π_______.
解析 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴ 43×AC2＝2 3，解得 AC＝2 2. ∵AC 与圆锥底面所成的角是 30°， ∴圆锥底面半径 r＝OC＝ACcos 30°＝2 2× 23＝ 6. 则该圆锥的表面积＝π×( 6)2＋21×2π× 6×2 2＝(6＋4 3)π.
索引
感悟提升
空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、 母线长与对应侧面展开图中边的关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处 理. (3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
索引
考点二 空间几何体的体积
第八章 立体几何与空间向量
索引
考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表 面积是侧面积与底面面积之和.
锥 体(棱锥和圆锥) 台 体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下
1 V=__3_S__底_h___ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
球
S＝___4_π_R_2___
V＝___43_π_R_3___
索引
常用结论
1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
12－212＝
3 2.
取 AD 的中点 M，则 MG＝ 22， 所以 S△AGD＝21×1× 22＝ 42， ∴V 多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
＝13×
42×12×2＋
42×1＝
2 3.
索引
感悟提升
1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补 形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算. 2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成 四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四 棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的 几何体等.
索引
3.(2021·贵阳诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在
一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( C )
2 A. 3 π
32 B. 4 π
22 C. 3 π
2 D. 2 π
索引
解析 如图所示，过点 P 作 PE⊥平面 ABC，E 为垂足，
点 E 为等边三角形 ABC 的中心，连接 AE 并延长，交 BC
于点 D.
AE＝23AD，AD＝ 23，
∴AE＝23× 23＝ 33，
∴PE＝
Hale Waihona Puke PA2－AE2＝6 3.设圆柱底面半径为 r，则 r＝AE＝ 33，
∴圆柱的侧面积 S＝2πr·PE＝2π× 33× 36＝2 32π.
索引
4.(2022·成都诊断)已知圆锥的顶点为 A，过母线 AB，AC 的截面面积是 2 3.
索引
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一 个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 __1_∶__4_7__.
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c， 它截出棱锥的体积为 V1＝13×12×12a×12b×12c＝418abc， 剩下的几何体的体积 V2＝abc－418abc＝4478 abc. 所以V1∶V2＝1∶47.
索引
训练2 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)
是( ) A
7
14
A.3
B. 3
C.3
D.6
索引
解析 由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥 组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示. 由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2， 三棱锥P－A′B′C′的高为1， 又 S△ABC＝12×2×1＝1， 所以该几何体体积 V＝V 三棱锥 P－A′B′C′＋V 棱柱 ABC－A′B′C′＝13×1×1＋1×2＝37(cm3).
索引
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，
则其体积为( D )
A.20＋12 3
B.28 2
56 C. 3
28 2 D. 3
解析 连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高 h＝ 22－（2 2－ 2）2＝ 2，下底面面积
索引
考点三 与球有关的切、接问题 角度1 外接球
例3 (1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC 13
＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为_______2_. 解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为 BC的中点M. 又 AM＝12BC＝25，OM＝12AA1＝6， 所以球 O 的半径 R＝OA＝ 522＋62＝123.
C.182
D.324
索引
解析 由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图， 棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成， 其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为 2，下底为6，高为3. 则底面面积 S＝2＋2 6×3＋4＋2 6×3＝27. 因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.
索引
2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如
图所示，该三棱柱的表面积为( D )
A.6＋ 3
B.6＋2 3
C.12＋ 3
D.12＋2 3
解析 由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2， 则表面积为 S＝2S 底＋S 侧＝2× 43×22＋3×22＝2 3＋12.故选 D.
EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为____3____.
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为 G，H，连接DG，CH. 则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱. 依题意，三棱锥 E－ADG 的高 EG＝12，直三棱柱 AGD－ BHC 的高 AB＝1.
索引
则 AG＝ AE2－EG2＝
圆锥的母线长为( B )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
解析 设圆锥的母线长为 l， 因为该圆锥的底面半径为 2，侧面展开图为一个半圆， 所以 2π× 2＝πl，解得 l＝2 2.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 空间几何体的表面积与侧面积
1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所
索引
16 (2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____3_π___.
解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其 体积为 π×22×2－13π×22×2＝136π.
索引
角度2 不规则几何体的体积
例2 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是
边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形， 2
索引
(2)已知正三棱锥 S－ABC 的侧棱长为 4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外 接球的表面积是___6_4_π___.
解析 如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.
∵在正三棱锥 S－ABC 中，底面边长为 6，侧棱长为 4 3， ∴BE＝23× 23×6＝2 3， ∴SE＝ SB2－BE2＝6. ∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外 接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R. 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4， ∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
S1＝16，上底面面积 S2＝4，
所以该棱台的体积 V＝13h(S1＋S2＋
S1S2)＝13×
2×(16＋4＋
64)＝283
2 .
索引
感悟提升
1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算. 2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定 几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.
面积为( A )
3＋ 3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3 D. 2
解析 根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图
所示(其中正方体的棱长为1)， 故 S 表＝3×12×1×1＋ 43×(1＋1)＝3＋2 3.故选 A.
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6.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
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训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)
是( B )
A.158
B.162
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2.
3.正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径 R∶r＝ 3∶1(a 为该正四面体的棱长).
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诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) (2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( × ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝ 23a.( √ )
索引
4.(2020·天津卷)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为( C )
A.12π
B.24π
C.36π
D.144π
解析 设球的半径为 R， 由题意知球的直径 2R＝ （2 3）2＋（2 3）2＋（2 3）2，得 R＝3， 该球的表面积S＝4πR2＝36π.故选C.
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5.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表
索引
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝__2_π_r_l__
S圆锥侧＝ __π_r_l__
S圆台侧＝__π_(r_1_＋__r_2)_l_
索引
3.空间几何体的表面积与体积公式
几何体
名称
表面积
柱 体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
体积 V=___S_底_h____
若 AB，AC 的夹角是 60°，且 AC 与圆锥底面所成的角是 30°，则该圆锥的 表面积为______(6_＋__4___3_)π_______.
解析 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴ 43×AC2＝2 3，解得 AC＝2 2. ∵AC 与圆锥底面所成的角是 30°， ∴圆锥底面半径 r＝OC＝ACcos 30°＝2 2× 23＝ 6. 则该圆锥的表面积＝π×( 6)2＋21×2π× 6×2 2＝(6＋4 3)π.
索引
感悟提升
空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、 母线长与对应侧面展开图中边的关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处 理. (3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
索引
考点二 空间几何体的体积
第八章 立体几何与空间向量
索引
考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表 面积是侧面积与底面面积之和.
锥 体(棱锥和圆锥) 台 体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下
1 V=__3_S__底_h___ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
球
S＝___4_π_R_2___
V＝___43_π_R_3___
索引
常用结论
1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
12－212＝
3 2.
取 AD 的中点 M，则 MG＝ 22， 所以 S△AGD＝21×1× 22＝ 42， ∴V 多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
＝13×
42×12×2＋
42×1＝
2 3.
索引
感悟提升
1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补 形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算. 2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成 四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四 棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的 几何体等.
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3.(2021·贵阳诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在
一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( C )
2 A. 3 π
32 B. 4 π
22 C. 3 π
2 D. 2 π
索引
解析 如图所示，过点 P 作 PE⊥平面 ABC，E 为垂足，
点 E 为等边三角形 ABC 的中心，连接 AE 并延长，交 BC
于点 D.
AE＝23AD，AD＝ 23，
∴AE＝23× 23＝ 33，
∴PE＝
Hale Waihona Puke PA2－AE2＝6 3.设圆柱底面半径为 r，则 r＝AE＝ 33，
∴圆柱的侧面积 S＝2πr·PE＝2π× 33× 36＝2 32π.
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4.(2022·成都诊断)已知圆锥的顶点为 A，过母线 AB，AC 的截面面积是 2 3.
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3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一 个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 __1_∶__4_7__.
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c， 它截出棱锥的体积为 V1＝13×12×12a×12b×12c＝418abc， 剩下的几何体的体积 V2＝abc－418abc＝4478 abc. 所以V1∶V2＝1∶47.
索引
训练2 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)
是( ) A
7
14
A.3
B. 3
C.3
D.6
索引
解析 由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥 组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示. 由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2， 三棱锥P－A′B′C′的高为1， 又 S△ABC＝12×2×1＝1， 所以该几何体体积 V＝V 三棱锥 P－A′B′C′＋V 棱柱 ABC－A′B′C′＝13×1×1＋1×2＝37(cm3).
索引
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，
则其体积为( D )
A.20＋12 3
B.28 2
56 C. 3
28 2 D. 3
解析 连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高 h＝ 22－（2 2－ 2）2＝ 2，下底面面积
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考点三 与球有关的切、接问题 角度1 外接球
例3 (1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC 13
＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为_______2_. 解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为 BC的中点M. 又 AM＝12BC＝25，OM＝12AA1＝6， 所以球 O 的半径 R＝OA＝ 522＋62＝123.
C.182
D.324
索引
解析 由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图， 棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成， 其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为 2，下底为6，高为3. 则底面面积 S＝2＋2 6×3＋4＋2 6×3＝27. 因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.
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2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如
图所示，该三棱柱的表面积为( D )
A.6＋ 3
B.6＋2 3
C.12＋ 3
D.12＋2 3
解析 由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2， 则表面积为 S＝2S 底＋S 侧＝2× 43×22＋3×22＝2 3＋12.故选 D.
EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为____3____.
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为 G，H，连接DG，CH. 则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱. 依题意，三棱锥 E－ADG 的高 EG＝12，直三棱柱 AGD－ BHC 的高 AB＝1.
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则 AG＝ AE2－EG2＝
圆锥的母线长为( B )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
解析 设圆锥的母线长为 l， 因为该圆锥的底面半径为 2，侧面展开图为一个半圆， 所以 2π× 2＝πl，解得 l＝2 2.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 空间几何体的表面积与侧面积
1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所
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16 (2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____3_π___.
解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其 体积为 π×22×2－13π×22×2＝136π.
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角度2 不规则几何体的体积
例2 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是
边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形， 2
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(2)已知正三棱锥 S－ABC 的侧棱长为 4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外 接球的表面积是___6_4_π___.
解析 如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.
∵在正三棱锥 S－ABC 中，底面边长为 6，侧棱长为 4 3， ∴BE＝23× 23×6＝2 3， ∴SE＝ SB2－BE2＝6. ∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外 接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R. 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4， ∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
S1＝16，上底面面积 S2＝4，
所以该棱台的体积 V＝13h(S1＋S2＋
S1S2)＝13×
2×(16＋4＋
64)＝283
2 .
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感悟提升
1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算. 2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定 几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.
面积为( A )
3＋ 3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3 D. 2
解析 根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图
所示(其中正方体的棱长为1)， 故 S 表＝3×12×1×1＋ 43×(1＋1)＝3＋2 3.故选 A.
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6.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该