工程制图第3章 点、直线和平面的投影

W X
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a

X
O
YW

X
B O
b
a
a

b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
c
a α
W B
c
Q
a
b c
a
H b
投影特性：1、 正面投影abc 积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
V QV
正垂面的迹线表示
QV γ W Q
3.直角三角形的四个要素
实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四 要素中的任意两个，便可确定另外两个。
a
X
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB

ab
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab O
b
|zA-zB |

AB
例 已知线段的实长AB以及
ab和a’，求它的正面投影a’b’。 a
c
c
C
c
c Hb a
c
ba
投影特性：1. abc 、 abc 积聚为一条直线，具有积聚性 2.正平面投影abc反映 ABC实形
Vc
B
侧平面
b
b
a
b a
A
a b
a
C
W c
a
c
b
Hc
c
b a
c
投影特性：1. abc 、 abc 积聚为一直条线，具有积聚性 2. 侧平面投影abc 反映 ABC实形
P B
铅垂面 c
a
a
b
W
A
a
a b
H
C PH c
c
b
投影特性： 1、 水平投影abc积聚为一条直线 2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
c b
铅垂面迹线表示
V P
PV
PW
W

H PH
PH

V
平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面 用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。
1. 几何元素表示法
b
b
b
b
a
a
a
c
c
c a
c
a
a
c
a c
a c
c
b
b
b
b
用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影
第一节 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影
1、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
V
a
A
X
O
a H
2、两投影面体系的建立
V
正立投影面
X
水平投影面
O H
投影轴
两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处 在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
b Z
ab
a
b
ab
X
O
A
B
YW
X
O
a
b
a
bY
YH
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
a
X
Z
一般位置直线
Z
b
a
b
B

O

b A a
b
a
b
X
O
YW
b

b
b
X

O

a B
b
X
O
YW
a
b
Y
b
YH
投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB 3 、反映 、 角的真实大小
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
Z
a
a
Z
a
b
X
A
O B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
Y
a(b)
YH
投影特性：1、a b 积聚 成一点
a
X
ax
O
a
通常不画出投影面的范围
4、两投影面体系中点的投影规律
V
a
a
A
X
ax
OX
ax
O
a
H
a
点的V面投影与H面投影之间的连线a‘a垂直于投影轴0X ；点的一个投影到0X投
影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即 a'ax= Aa， aax= Aa' 。
二、点在三投影面体系中的投影
4、三投影面体系中点的投影规律
Z
V a
az
a
y
x
a
X
ax
z
O W X ax
Z
az
a
O ay YW
a H
ay Y
ay a YH
点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a‘a⊥0X ；点的V面投 影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a’ a“⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离 及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。
b
c a
X
c a
O
b
例 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X a
b
a
c
c
b
H
a
cb ac
O
三、一般位置线段的实长及对投影面的倾角
一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影 面的倾角。
1.几何分析 2.作图要领
用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再 以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角 边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影 长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。
1、三投影面体系的建立
Z V
X
OW
H Y
三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。 H、V、W面将空间 分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通 常把物体放在第一分角中来研究。
2、点的三面投影图
Z
V a
V
Z
a
A
a
X
OWX
O
W
a
YW
a
H
Y
a
H
YH
点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一 个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。
2、 a bOX ; a b OY
3、 a b = a b = AB
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
Z
z a
b
ab
A
a
X
O
YW
B
b
X
O
a
a b
b
Y
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
b
Z
d
a c
b
X
O
YW
d a(b)
c
YH
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
例2 已知A点在B点的右10毫米 Z
、前6毫米、上12毫米，求A点的
投影。
a
12
b
X
O
10
b
6
a YH
a
b
YW
第二节 直线的三面投影
例 求点E 到水平线AB的距离。
e’
d’ a’
b’
X
O
d
yD-yE e
a b
所求距离
第三节 平面的投影
一、平面的表示法
1. 几何元素表示平面
用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
2.平面的迹线表示法
a a
Y
YH
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
二、直线上的点
a
X
b
c
B
C
O
直线上的点具有两个特性：
A cb c
a
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用 这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
d
1(2)
b
1(2)
B
a
a c
2
D
X
c
X A
a
O 1
2
b
C
c1
d
2
a
1
c
d b
O b
d
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
例 判断两直线的相对位置
c
Z
c
b
b
d
a d
a
X
o
a
YW
d
b c
YH
a
X
判断重影点的可见性
c 1 (3)4
2
d
b
B
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
例 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，
求分点C的投影。
3、点的两面投影图 V
点A的正面投影
X
a
A O
a
H
点A的水平投影
点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面 展开在同一个面后得到的。
两面投影图的画法
V
a
V
a
A
X
ax
O
X
ax
O
a H H
a H
展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点， 其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位 置。
5、特殊位置点的投影
V Bb
X
a
b
Cc
c
O
X
Aa H
b
a c上的点
投影轴上的点
与原点重合的点
例 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
三、两点的相对位置和重影点
1、两点的相对位置
Z
a
Z
a
b
b
A
a X
O
X
B
O
b
a
b
YW
b
b
a
a d b c
b
c
ad
2. 迹线表示法
Z
PZ
Z
PZ
PV
X
O
PX
PH
PV
PW
X PX
O
PW
PYW YW
PY
PH
Y
YH PYH
二、各种位置平面的投影特性
1.投影的垂直面 (1)铅垂面 (2)正垂面 (3)侧垂面 2.投影的平行面 (1)水平面 (2)正平面 (3)侧平面 3.一般位置平面
V
a
B
c
Ca
X
c
b
a
H c
b
O
b
互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直 线在投影面上的投影必定互相平行。
反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该 投影面时，则空间两直线一定平行。
例 过点A 作EF 线段的垂线AB。
b
f
e
X e b
a
O
a
f
b YH
2. ab=AB
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b

a
a
a
B
a

X
O
YW
A
b
X
O
a
b
a
b
Y
YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
Z
a
a
A
a
b
Z
a

C 13
2 4D O
A
c
3
b
a
4
1(2)
d
判断重影 点的可见性 时，需要看 重影点在另 一投影面上 的投影，坐 标值大的点 投影可见， 反之不可见， 不可见点的 投影加括号 表示。
例 判断两直线重影点的可见性
b
c 1 3(4)
2
d
a
X
O
b 4
c
a
1(2)
3d
五、垂直两直线的投影
A
Z
b
Z
b
a