2014-2015第2学期-复变函数与积分变换-复习提纲2003word版本
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变与积分复习提纲
勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是 不一样的。收敛域的求法。
第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊 类型的积分
例4 求积分方程
x(t ) e|t| x( )d e|t| 的解.
斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法 3. 掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法 4. 熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换)
12..设复复数数z=z-满(co足s 3ar+gi(szin+23))=的三，角a形rg式(z-是2)(= 5
)。 ,试求z.
3
6
3．下列区域为有界单连通区域的是( )
1. 理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念 2. 灵活应用傅里叶变换的性质(4条)和卷积定理来求傅里叶变换 3. 掌握微分和积分方程的傅立叶解法 4. 熟记若干简单的函和积分方程
1. 理解拉普拉斯变换的概念 2. 灵活应用拉普拉斯变换的性质(5条)和卷积定理来求拉普拉
f
(t)
tet
,
t
0
0, t 0.
例2 求函数f (t) cos t sin t的Fourier变换。
例3 已知 f (t) tu(t)et sin(0t), 0
证明 ℱ(f(t))＝
1
2
[(
1
j
)
*
(
(
0
)
(
0
))]
1. 复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系) 2. 灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数和积分变换考纲
复变函数和积分变换考纲
1.会求复数的三角表达式，幅角，模以及幅角主值的概念；
2.掌握复数的乘幂以、方根以及常用的复的初等函数；
3.判断函数解析的充要条件（柯西-黎曼定理）
4.会求复变函数的积分（一类是利用参数方程，还有一类是利用柯西-古萨定理，柯西积
分公式以及柯西积分的高阶导公式）.
5.已知调和函数u,如何求共轭调和函数v使其构成解析函数f.
6.求幂级数的收敛半径及和函数，利用间接法求常见函数的泰勒展开。
7.掌握Fourier变换，逆Fourier变换的定义，常见函数的Fourier变换以及利用Fourier变
换的性质求简单的Fourier变换；
8.掌握单位脉冲函数的性质及其Fourier变换
9.掌握Laplace变换，Laplace逆变换的定义，常见函数的Laplace变换以及Laplace变换
的性质.。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
复变函数论复习提纲
复变函数论复习提纲复变函数论一、复数与复变函数一、要求（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数一、要求（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分一、要求（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。
不定积分，复连通区域上的柯西积分定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法一、要求（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
复变函数与积分变换重点公式归纳39033
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数和积分变换期末整理复习
当点 z 沿直线 z x iy0 ( x )趋于z0 时,有
f (z) z
f (z0 ) z0
1
x x
x0 x0
2
21
例4 研究 f (z) z Re z 的可导性.
当点 z 沿直线 z x0 iy ( y )趋于z0 时,有
f
(z) z
f (z0 ) z0
1
i(
y
0
y0 )
10
2)三角函数
定义 性质
sin z eiz eiz ,称为正弦函数 . 2i
cos z eiz eiz ,称为余弦函数 . 2
(1) sin z 是奇函数,cos z 是偶函数.
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
(2) 正弦函数和余弦函数都 以 2π 为周期. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
处解析,且
(ln z) 1 . z
15
4)幂函数
定义 设是任意复数 , 对于z 0, 用下列等式定义
z 的幂函数 : w z e Ln z (z 0).
当 是正实数时 , 补充规定 z 0 时, z 0.
性质 (1) 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当Ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数 z 的主值;
设简单光滑曲线 C 的参数方程是
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b)
则
C
f
( z )dz
b a
f [z(t )]
z(t )dt.
27
4. 积分的性质
设 f (z), g(z)沿曲线C连续.
(1) C f (z)dz C f (z)dz;
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数和积分变换是高等数学中的重要内容，它们在数学和工程学科中有着广泛的应用。
本文将对复变函数和积分变换的复习重点进行介绍，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
一、复变函数：复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复变函数的研究中，我们经常涉及到复数的代数运算、复数平面、复变函数的连续性、全纯函数以及留数定理等概念。
1. 复数的代数运算：复数具有加法和乘法运算，复数的共轭和模等概念也是我们需要重点掌握的知识点。
2. 复数平面：复数在平面上的表示方法是通过复平面来实现的。
复平面的坐标轴分别表示实部和虚部，而复数则可表示为平面上的一个点。
3. 连续性：与实变函数类似，复变函数也有连续性的概念。
我们需要了解复变函数的连续与不连续点，以及连续性和全纯性之间的关系。
4. 全纯函数：全纯函数是复变函数中的重要概念，它是指在某个区域上处处可导，并且导数也是复变函数的性质。
5. 留数定理：留数定理是复变函数中非常重要的定理之一，它可以帮助我们计算复变函数的积分，通过计算留数可以得到积分的结果。
二、积分变换：积分变换是一种通过积分的方法将一个函数转换为另一个函数的方法。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换。
1. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种通过积分的方式将函数从时域转换到复频域。
它在控制论、信号处理等领域有着广泛的应用。
2. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的方法。
它在信号处理、图像处理等方面具有重要的应用。
在学习积分变换时，我们需要掌握积分变换的定义、性质以及常见函数的变换公式。
同时，还需要了解积分变换的逆变换，以及如何通过积分变换求解微分方程等问题。
总结：复变函数和积分变换是数学中重要的内容，在理论和应用中都有广泛的应用。
本文对复变函数和积分变换的复习重点进行了梳理，希望能够对读者在复习和理解这部分知识时起到一定的帮助。
读者在学习过程中应注重理论与实际的结合，多进行习题练习，并通过实际问题的应用来加深对知识的理解和掌握。
复变函数积分变换复习提纲
复变函数积分变换复习提纲
一、积分变换的定义
1.复变函数积分变换的概念
2.不同积分变换的定义与区别（如拉普拉斯变换、傅立叶变换等）
二、积分变换的性质
1.线性性质：积分变换的线性性质以及相关的证明方法
2.逆变换：如何通过逆变换将变换后的函数还原为原函数
3.平移性质：积分变换中的平移性质以及具体计算方法
三、积分变换的计算方法
1.常用积分变换的计算：如拉普拉斯变换的计算步骤和方法
2.特殊函数的积分变换：如指数函数、正弦、余弦函数等
3.部分分数展开法：利用部分分数展开将复杂的函数进行积分变换
四、积分变换的性质应用
1.微分方程的解析解求解：利用积分变换可以将微分方程转化为代数方程进行求解
2.求极限：通过积分变换可以简化复杂函数的极限计算
3.求解积分：利用积分变换可以求解一些特定的积分问题
五、积分变换的应用举例
1.电路分析中的应用
2.信号与系统中的应用
3.滤波器设计中的应用
六、积分变换的常见问题与解决方法
1.变换域的收敛性与逆变换的存在性问题
2.利用积分变换求解非初值问题时需要注意的问题
3.实际问题的离散化处理：如何将连续问题转化为离散问题进行求解
七、积分变换的进一步研究与拓展
1.多变量复函数的积分变换
2.复杂函数的积分变换
3.积分变换在物理学、工程学等领域的应用
以上为复变函数积分变换的复习提纲，可以根据实际情况进行修改和补充。
希望对你的复习有所帮助！。
复变函数与积分变换课程考试大纲(一)解读
《复变函数与积分变换》课程考试大纲(一) （物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学专业，54学时）一、教材：《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，高等教学出版社，2003年。
二、考试范围：教材第一、二、三、四、五(第4节不考)、六、八、九章的全部内容。
三、复习的总体要求：认真阅读教材及各章后面的小结，掌握概念、理解定理并能应用定理解决一些实际问题；有关定理的证明看懂即可；熟练掌握各种形式的复积分、留数、Fourier变换和Laplace变换的计算；能在指定区域内对复变函数进行Taylor展开或 Laurent展开。
四、复习的具体要求：第一章复数与复变函数熟练掌握复数的各种表示方法及相应的运算，掌握复数的性质,理解辐角的多值性以及复数与平面上点的一一对应关系；了解复数与实数的不同点。
理解和掌握平面点集的有关概念，如邻域、去心邻域、边界点、区域、闭区域、有界集、无界集、曲线的光滑和按段光滑、简单曲线、单连通区域和多连通区域等。
了解无穷大与复球面。
理解复变函数及与之相关的概念，如复变函数的极限与连续性、复变函数与映射的关系等。
第二章解析函数正确理解复变函数的导数与解析函数这两个重要概念，并熟练掌握判断复变函数可导与解析的方法，牢固掌握Cauchy-Reimann方程及其在函数可导与解析性判别中的应用。
能区别复变函数在一点可导与一点解析的异同；能熟练进行导数的各种运算。
理解调和函数与共轭调和函数的概念，会根据解析函数与调和函数的关系求适合初始条件的解析函数。
掌握各种初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数、幂函数、反三角函数等的定义及有关运算，了解这些函数的解析区域。
对根式函数与对数函数的多值性、主支、单值分支等概念要正确理解。
第三章复变函数的积分理解复变函数积分的定义和性质以及原函数的概念；深刻理解和掌握Cauchy积分定理和Cauchy积分公式（包括高阶导数公式），并能熟练地利用它们计算复积分。
复变函数与积分变换期末总复习资料
其中ln z ln z i arg z ( arg z )称为对数函 数 Ln z的主值(支), 所以
Ln z ln z 2ki ( k 0,1,2,).
13
对于每一个固定的k , 可确定一个单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支.
性质 (1) Ln z是一个无穷多值的函数 ;
一、复数及复变函数
1、复数的概念、几何表示、指数及三角函数表示 2、复数的运算
复数的加减法、乘法、除法、乘方与开方
z1 1 i (1 2 ) e z2 2
z ( e )
n i
3
n
8 8
1/ 3
e
i ( 2 k ) / 3
3、复变函数
复变函数的极限、连续性及可导 • • • • • • 可导的必要条件： 四个偏导数存在： 满足C-R条件： 充分必要条件： 1.四个偏导数连续 2. 满足C-R条件
解 u( x, y ) x 2 y 2 x, ux 2 x 1, uy 2 y;
6、洛朗级数
复通区域 （环域）
f (z)
a (z z )
k k 0
k
,
1 其中 ak 2πi
f ( ) C ( z0 )k 1 d
常见函数的泰勒展开式
2 n n z z z (1) e z 1 z , ( z ) 2! n! n 0 n!
《复变函数与积分变换》 期末考试说明 闭卷考试 考试时间：2015年12月16日 14:30－16:30 考试地点：N4-301，N4-309 考试题型：填空题，选择题，
判断题，计算题 满分100分
• 复变函数考查内容：
电气工程及其自动化复变函数与积分变换 复习提纲(含答案)
复变函数与积分变换 复习提纲一、选择题1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n = C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=二、判断题1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
（ ）2. ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：(,)u x y 与(,)v x y 在D 内可微，且满足C-R 方程。
（ ）3.将z 平面上一个点集映射到ω平面上一个点集，z 的参数方程是：()z z t =，ω的参数方程是：[()]f z t ω=，则函数z 与ω导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。
复习()模板
2
2.共轭复数:
设z x iy, 则称复数x iy为复数z的共轭复数，
记为z x iy. zz zz x ,y 2 2i
3.复数的模与幅角:
z x iy
Argz
辐角的主值:
z r x y
2
2
z zz x 2 y 2 .
y
2
arg z
6
C-R:
u v , x y
u v . y x
u u v v u v v u f ( z ) i i i i . x y y x x x y y
2 2 2 0 2 x y
解析函数与调和函数的关系 共轭调和函数 问题：已知一个调和函数，构造解析函数的方法。
n
xn 和 yn 都收敛. z 收敛的充要条件 n 1 n 1
n 1 n
如果 zn 收敛, 那末 zn 也收敛.
n 1 n 1
n 1 n n 1 n
16
3. 幂级数
n 2 n c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n n 0
n 2 n c z c c z c z c z . n 0 1 2 n n 1
17
幂级数的敛散性 阿贝尔Abel定理
（1）如果级数 cn ( z z0 )n 在 z1 ( z1 z0 ) 收敛, 则它在
n 0
圆域
z z0 z1 z0
内的任一点处绝对收敛；
y
幅角：Argz arg z 2k , k 任意整数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数与积分变换考试复习提纲
2015年5月
1，课本比例：复变70%，积分变换30%.
2，题型比例：大概比例如下，填空30%,计算70%。
3，考试安排：第十二周最后一次课为考试时间，地点在上课教室。
4，复习范围：首先，只考讲授过的内容，具体每章如下：
复变部分：
一章，若干简单试题，如模，主辐角，极限等。
二章，柯西黎曼条件，初等函数的计算，包括主值概念。
三章，复变积分的三种算法，（1，定义,2，柯西积分公式,3，牛顿莱布尼茨公式）。
高阶导不考。
四章，简单复数列和复数项级数的收敛的判别；幂级数收敛半径的算法；泰勒级数的展开；洛朗级数的展开。
五章，比较简单类型函数的奇点类型的找法，留数定理的应用。
积分变换部分：
一章，4个常用的Fourier变换对；简单函数的Fourier变换的计算。
性质及其以后不考。
二章，若干个（7个）常用的Laplace变换对；函数的Laplace逆变换的计算；
应用Laplace变换解微积分方程。
5，以上红色加粗字体部分有计算题。
6，复习题：以杨巧林教材为标准，以作业题为基础。
P36：2-1。
P55：3-4。
P66：3-9的偶数项。
P76: 4-2。
P85：4-4的(1,3,6)。
P86：4-6的(1,2,6)。
P95：5-1的(1,2,7,8)。
P103：5-4的(2,3,4,6)。
P162：例题7-3。
P173：7-4,7-12。
P236： 8-21的（2,4,6,7）。
6，及格条件：卷面成绩至少50分，并且平时作业未交次数和点名未到次数之和总数不是太多即可。
如果卷面成绩低于50分，则平时成绩不会超过70分即最多中等水平,而总成绩不会及格。
这次考试，最终成绩是五级制。
7：建议和注意事项：
一定要把平时作业练习都做一遍，理解！部分将是考试原题。
少量的稍微修改一下数据。
考试前，有不懂的问题都可以问我。
考试结束后，就别问我了。
考试过程中若发现有使用手机等作弊行为则考试成绩为零分，重修，记得带上学生证件。