2023年九年级数学上学期开学摸底考试卷(解析版)

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2023年九年级数学上学期开学摸底考试卷（解析版）
（满分120分，完卷时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。

2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一选择题：（共10题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
1．（2020·广东深圳市·深圳实验学校九年级开学考试）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
试题解析：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
{G C
AFG CAD AF AD
∠∠∠∠＝＝＝，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S △FAB =12FB•FG=12
S 四边形CBFG ，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD 2=FQ•AC，④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
2．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是（）
A．2
B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到
DE=7，解答即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF= 12
AB=4，∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=12
BC=7，∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
3．（2021·河北九年级专题练习）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP 在线上买菜，某买菜APP 今年一月份新进册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（）A．00
10B．0015C．0023D．0030【答案】D
【分析】设每月的平均增长率为x，根据题意列出方程200 (1+x)2=338求解即可．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，由题意，得
200 (1+x)2=338，
1+x=+1.3，
x=0.3或x=-2.3 (舍去) .
所以二、三两个月新注册用户每月平均增长率是0.3即30%，
故答案选：D．
【点睛】本题考查的是列一元二次方程解增长率的数学实际问题，关键清楚增长前为200元，两个月后为338元，从而求出解．
4．（2021·河南九年级专题练习）关于x 的分式方程
2m x -﹣32x
-＝1有增根，则m 的值（）
A．m ＝2
B．m ＝1C．m ＝3D．m ＝﹣3【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．
【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．（2021·辽宁沈阳市·九年级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、
AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于1
2
BF的长为半径画弧，两
弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
【答案】D
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2020·广东深圳市·深圳实验学校九年级开学考试）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．6a 2b 2=3ab ·2ab
B．2x 2+8x -1=2x （x +4）-1C．a 2-3a -4=（a +1）（a -4）
D．a 2-1=a （a -1a
）【答案】C 【详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得选项C属于因式分解，故选C.
7．（2021·河北廊坊市·九年级二模）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（）.
A．0个
B．1个C．2个D．1个或2个【答案】D
【分析】根据直线y x a =+不经过第二象限，得到0a ≤，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线y x a =+不经过第二象限，
∴0a ≤，
∵方程2210ax x ++=，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵∆=2444b ac a -=-，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的
解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
8．（2021·江苏八年级专题练习）已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O，下列结论错误的是（）
A．OA OC =，OB OD
=B．当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形
C．当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形
D．当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，
,OA OC OB OD ∴==，故A正确，
四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，
不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，
四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒，
∴ 四边形ABCD 是矩形，故C正确，
四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥，
∴ 四边形ABCD 是正方形．故D正确．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·江苏苏州市·八年级期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【答案】B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴
1.5 150.5
x
，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
10．（2021·河北九年级专题练习）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正
方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】根据题意，得出 ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与 ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
【详解】解： ABC的三边之比为AB:AC:，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故选：C．
【点睛】本题考察了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校九年级开学考试）如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______．
【分析】根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解.
【详解】∵菱形的边长为2，∴AB=AO=2，
∵O点是矩形ABCD的对角线的中点，
∴AC=2AO=4，
=
【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等. 12．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校九年级开学考试）关于x的一元二次方程
ax2-3x+3=0有两个不等实根，则a的取值范围是__________．
【答案】a ＜34
且a ≠0【分析】由一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x +3＝0有两个不等实根，
∴20(3)430a a ≠⎧⎨∆=--⨯>⎩
，解得：a ＜34
且a ≠0．故答案为a ＜
34且a ≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．
13．（2020·福建三明市·九年级月考）如图，一个正方形摆放在桌面上，则正方形的边长为________．
【分析】标注字母，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，由正方形可得，AB=AD，∠BAD=90°， ∠1+∠2=180°-90°=90°， ∵BE⊥AE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，
13AEB DFA AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=1，
在Rt△ABE中，AB === ，
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用三角形全等，把长度为1、2的边转化为一个直角三角形的两直角边是解题的关键．
14．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校九年级开学考试）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡______只．
【答案】12
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，整理，得221680x x +-=，
解得1212,14x x ==-（不符合题意舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
15．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校九年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，EF+CH=8，则CH的值为
__________．
【答案】4
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，∴EF＝12AB，CH＝12
AB，∴EF＝CH，
∵EF＋CH＝8，∴CH＝EF＝12
×8＝4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的中位线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
16．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校九年级开学考试）关于x的方程
x(x-1)+3(x-1)=0的解是________．
【答案】x 1=-3，x 2=1
【分析】根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】x(x-1)+3(x-1)=0 ，
（x-1）（x+3）=0，
解得x 1=-3，x 2=1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
17．（2020·广东广州市·铁一中学九年级一模）如图，二次函数2(0)
y ax bx c a =++≠
的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >； ②
240a b c ++=；
③20a b ->；④320b c +>； ⑤()a b m am b -≥-，其中正确的结论为________________．（注：只填写正确结论的序号）
【答案】②④．
【分析】根据抛物线开口方向得到a ＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-2b a
=-1得到b=2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=
12，y=0，得到14a+12b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=12b，a+b+c＞0，得到12b+2b+c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+c＜m 2a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=-2b a
=-1，∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；∵x=12
时，y=0，∴14a+12
b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；∵a=12b，a+b+c＞0，
∴12
b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；∵x=-1时，函数最大小，
∴a-b+c＜m 2a-mb+c（m≠1），
∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误．
故答案为②④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系．
18．（2021·江苏九年级专题练习）
已知a、b是方程x 2+2x﹣5=0的两个实数根，则a 2+ab+2a 的值为_____．
【答案】0
【详解】∵a、b 是方程2250x x +-=的两个实数根，
25250ab a a ∴=-+-=，，
225a a ∴+=，
22550a ab a ∴++=-=，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程20ax bx c ++=的两根是12,x x ，则1212,.b c x x x x a a
+=-=19．（2020·成都市实验外国语学校五龙山校区九年级月考）
新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条横向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．
【答案】3
【分析】设横向的甬路宽为3x 米，则纵向的甬路宽为2x 米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设横向的甬路宽为3x 米，则纵向的甬路宽为2x 米，根据题意得：
（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144
整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．
∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2019·广东深圳市·深圳实验学校九年级开学考试）已知如图，正方形ABCD
⊥于点F，连接DF，的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF CE
⊥于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=________．
过点A作AH DF
【答案】1
【分析】如图，延长DF交AB于P．首先证明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AM，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再证明∠NCM=∠NMC即可
解决问题；
【详解】
解：如图，延长DF交AB于P．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，
∵AN⊥DP， ∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，
∴∠APD=∠ANB， ∴△ADP≌△BAN，
∴AN=DP，
∵BF⊥EC， ∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠EBF=∠BCE， ∴tan∠EBF=tan∠BCE=BE BC
， ∵AB=BC，BE=AE， ∴tan∠EBF=tan∠BCE=
12，设EF=a，则BF=2a，CF=4a， ∵PE∥DC， ∴14
PE EF CD CF ==，∵CD=4， ∴PE=1， ∵BE=2， ∴PE=PB=1， ∴PF=12
BE=1，AP=3，
在Rt△ADP中，5DP ==，
∴DF=4，BN=AP=3，CN=1， ∴BC=DF， ∴∠DFC=∠DCF，
∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，
∴∠NCM=∠NMC， ∴MN=CN=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（21.22题7分，23,24题8分，25-27题10分，共60分）21．（2019·广东深圳市·深圳实验学校九年级开学考试）（1）解分式方程：2216124
x x x --=+-；（2）解方程：2530x x -+=．
【答案】（1）原方程无解（2）12x x ==【分析】（1）找到最简公分母(2)(2)x x +-，把方程化为整式方程求解，检验得到答案．
（2）利用公式法直接解方程即可．【详解】解：（1）因为2216124x x x --=+-即21612
(2)(2)x x x x --=++- 去分母得：2(2)(2)(2)16x x x --+-=
整理得：48x -= ，所以2x =-
经检验：2x =-是方程增根，原方程无解．
（2）因为2530x x -+=，所以224(5)41313b ac ∆=-=--⨯⨯=
所以x ==
所以12x x ==【点睛】本题考查解分式方程与解一元二次方程，解分式方程要检验，选择合适的方法解一元二次方程是解题关键．
22．（2019·广东深圳市·深圳实验学校九年级开学考试）（1）解不等式组
()()27311542
x x x x ⎧-<-⎪⎨-+≥⎪⎩①②；（2）分解因式：()2
2214a a +-．
【答案】（1）-4＜2x ≤ （2）22
(1)(1)a a +-【分析】（1）分别解不等式①，②取两个不等式的解集的公共部分即可得到答案．
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可得到答案．
【详解】
解：（1）由①得：27x -＜33x -
所以x -＜4，所以x ＞4-
由②得：10(4)2x x
-+≥所以36x -≥-，所以2
x ≤所以不等式组的解集是4-＜2x ≤
（2）原式＝2222
(12)(12)(1)(1)a a a a a a +++-=+-【点睛】本题考查解不等式组与因式分解，掌握解不等式组与因式分解的方法是解题关键．
23．（2018·河南九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 的坐标为()4,0，顶点G 的坐标为()0,2，将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使
点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）求图象经过点A的反比例函数的解析式；
（2）设（1）中的反比例函数图象交EF于点B，求出直线AB的解析式．
【答案】（1）
2
y
x
= （2）
15
22
y x
=-+
【分析】（1）先根据两个角对应相等，即可证明△OGA和△OMN相似，要求反比例函数的解析式，则需求得点A的坐标，即要求得AG的长，根据旋转的两个图形全等的性质以及相似三角形的对应边的比相等可以求解；（2）要求直线AB的解析式，主要应求得点B的坐标．根据点B的横坐标是4和（1）中求得的反比例函数的解析式即可求得．再根据待定系数法进行求解
【详解】解：（1）∵∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN，
∴AG OG
NM OM
=∴
2
24
AG
=，解得AG=1．
设反比例函数
k
y
x
=，把A（1，2）代入得k=2，
∴过点A的反比例函数的解析式为：
2
y
x =．
（2）∵点B的横坐标为4，x=4代
2
y
x
= 中
1
2
y=，故（4，1
2
）
设直线AB的解析式y=mx+n，把A（1，2）、B（4，1
2
）代入，
得
2
1
4
2
m n
m n
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得
1
2
5
2
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
∴直线AB的解析式
15
22
y x
=-+．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，能够运用待定系数法求得函数的解析
式，根据函数的解析式确定点的坐标．
24．（2020·吴江市实验初级中学九年级月考）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【答案】这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
试题分析：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润元,根据销售单价每降低元，每天可多售出个可得现在销售[160+2(480-x)]个，再利用获利润元，列一元二次方程解求解即可.
试题解析：
【解】解：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润元，由题意得, (x-360)[160+2(480-x)]=20000
（x-360）(1120-2x)=20000
（x-360）(560-x)=10000
∴这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润元.
25．（2019·广东深圳市·深圳实验学校九年级开学考试）在平行四边形ABCD中，E为BC 边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF︰FA的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）EF︰FA=1︰2．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC；由平行线的性质可得∠AEB=∠EAD；由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠AEB；再由等量代换即可得∠EAD=∠ADC；
（2）易证△ADF∽△EBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得EF︰FA的值．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ∠ABC=∠ADC AD∥BC．
∴∠AEB=∠EAD．
又∵AE=AB
∴∠ABC=∠AEB．
∴∠ABC=∠EAD．
∴∠EAD=∠ADC．
（2）∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠FEB，∠ADF=∠EBF，
∴△ADF∽△EBF．
EF︰FA= BE︰AD= BE︰ BC=1︰2
【点睛】本题考查平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定及性质．
26．（2020·全国九年级课时练习）如图，在43⨯的正方形方格中，ABC ∆和DEF ∆的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：ABC ∠= ，BC = ；
（2）判断ABC ∆与DEC ∆是否相似，并证明你的结论．
【答案】（1）135︒，【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BCH中利用勾股定理即可求出BC的长．。