常见基本函数的图形级特点

1.5 线性函数的图像
直线的斜率是m. 设想一下, 此时此刻你就在这页纸中, 这条直线就像是座山, 你从左向右开始登山. 见图1-12.
m 为负数, 那么你正在下山. m 的数值越小(即绝对值越大), 这段山路就越陡.如果斜率为0,这段山路就是水平的,你既不在上山,也不在下山,仅仅是在沿一条直线前行.
的就是把尺子放在这两点上, 轻轻一连就行了. 其中一点很容易找, 就是y轴的截距. 设x=0, 很显然y =m￡0+b=b. 也就是说, y 轴的截距为b, 所以直线通过(0;b)这点. 我们能够通过找x轴的截距来找另一点, 设y 为0, 求x 的值. 这两种求点的方法很实用,但有两个特殊情况需要考虑.情况一：b=0,这时函数变为y = mx. 直线通过原点, x 轴和y 轴的截距都为零. 接下来再求另一点, 把x = 1 代入,可得y =m. 所以, 直线y =mx通过原点和(1; m)这两点. 例如, 直线y = ?2x 通过原点以及(1;?2),如图1-13所示.
下面举一个有趣的例子, 考虑函数y =12x?1.很显然, y 轴截距为?1,斜率为1=2. 为画这条直线,我们还需要求出x 轴的截距, 通过设y = 0 能够得出0=12x?1,化简后得出x=2. 图像如图1-14所示.
现在我们假设你知道平面上有一条直线,但不知道它的方程. 如果你知道这条直线通过某一固定的点以及它的斜率,就会很容易地找到它的方程. 你真的很有必要去掌握这种方法, 因为它经常出现. 这个公式叫直线方程的点--斜式,其文字表达方式如下：
例如,如果已知一条直线通过(?2;5),斜率为?3,如何求它的方程？方程为
y?5=?3(x?(?2)),化简后结果为y=?3x?1.
有时你不知道直线的斜率, 但知道它通过哪两点. 怎样求它的方程？解决问题的技巧在于如何求它的斜率,再用刚才的方法去求出方程. 首先需要知道的是：
问题：如何求通过(?3;4)和(2;?6)的直线方程. 首先,求它的斜率：
我们现在知道该直线通过(?3;4)斜率为?2,所以它的方程为y?4=?2(x?(?3)),化简后为y = ?2x?2. 同样, 我们也能够使用另一点(2;?6) 斜率为?2, 方程为y?(?6)=?2(x?2),化简后为y =?2x?2. 你会发现, 无论使用哪一个点, 最后得到的结果都是相同的
1.6 常见函数及其图像
下面是你应该知道的最重要的方程.
(1)多项式有很多函数是基于x的非负次幂建立起来的. 你能够以1、x、x2、x3等为基本项,然后用实数同这些基本项做乘法,最后把有限个这样的项加到一起. 例如,多项式
f(x)=5x4?4x3+10是由x4的5倍加x3的?4倍加10而形成的. 你可能也想加中间的基本项x2和x,但是因为它们没有出现,所以我们能够说零倍的x2和零倍的x. 基本项xn的倍数叫做xn 的系数. 例如,刚才的多项式x4、x3、x2、x和常数项的系数分别为5、?4、0、0和10. (顺便问一下,为什么有x和I 的形式?这两项看上去与其他项不同, 但实际上是一样的, 因为x = x1;1 = x0.)最大的幂指数n(该项系数不能为零) 叫做多项式的度数. 例如上述多项式的系数为4, 因为不存有比4大的x的幂指数. 度数为n的多项式的通式的数学写法为：
其中an为xn的系数, an?1为xn?1的系数, 以此类推, 直到最后一项a0的系数为1.
因为xn是所有多项式的基本项, 你应该知道它们的图像是什么样的. 偶次幂的图像之间是非常类似的,同样奇次幂的图像之间也很类似. 图1-15是从x0到x7的图像.
一般的多项式的图像是很难画的. 除非是很简单的多项式,否则x轴的截距都很难找到. 但是多项式最左端和最右端的走势是很容易判断的. 这是由最大度数的项的系数决定的,该系数叫做主导系数. an就为上述多项式通式的主导系数. 例如,我们刚才提到的5x4?4x3+10多项式,5为它的主导系数. 实际上,我们只需考虑主导系数正负以及多项式度数的奇偶就能决定图像两端的走势了. 所以对于图像两端的走势共有如下4种情况,如图1-16所示.
上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的. 图像仅仅准确地显示出了左右两端的走势. 例如多项式5x4?4x3+10同最左边的图像很类似, 因为n = 4为偶数, an=5为正数.
我们讨论一下度数为2 的多项式, 又叫二次函数. 不用传统的写法p(x) =a2x2+a1x+a0,我们用一种更容易的写法来表达二次函数p(x)=ax2+bx+c.根据判别式的正负能够决定二次函数到底有二个、一个还是没有实数解. 通常我们用希腊字母￠来表示判别式￠=b2?4ac.共有三种可能性. 情况一：￠>0,有两个不同的解; 情况二：￠=0, 只有一个解, 也能够说有两个相同的解; ￠<0, 在实数范围内无解.对于前两种情况解为：
注意该表达式根号下为判别式. 二次函数的一个重要技术是配方.下面我用实例说明.
考虑二次函数2x2?3x+10.第一步是把二次项的系数提出来2μx2?32x+5?.这时该二次函数就变为二次项系数为1 的函数. 接下来, 我们考虑x 的系数?32,被 2 除得?34,再平方得916.我们希望系数为916而不是5, 下面我们做一些脑力练习：
为什么要加一次916,又减一次916呢？因为这样的话,前三项为平方形式μx?34?2.这时,我们得到：
接下来,只剩最后一小步5?916=7116.最后恢复系数2,我们有：
能够发现, 这是一种更好的二次函数形式. 你一定要学会如何配方, 因为我们要在第
18和第19章用这个技巧.
(2) 有理函数这种形式的函数, 其中p 和q 为多项式, 叫做有理函数q(x)有理函数变化多样,它的图像根据p和q 两个多项式的变化而变化. 最简单的有理函数是多项式本身,
即q(x) 为 1 的有理函数. 另一个简单的例子是1=xn, 其中n为正整数. 我们看图1-17
中一些有理函数的图像.
奇次幂的图像之间类似,偶次幂的图像之间也很类似. 这些图像很值得一看.
(3)指数函数和对数函数知道指数函数的图像是很必要的. 例如,下图是y=2x的图像.
y = bx(b > 1)的图像与上图很类似. 有几点值得注意. 首先, 该函数的定义域为全体实数; 其次, y 轴的截距为1 并且值域为大于零的实数; 最后, 左端的水平渐近线为x 轴. 再强
调一下, 该图像非常接近于x 轴, 但永远不会接触到x 轴,无论在你的图形计算器上多么
接近. (在第3章的学习中,我们会再次见到渐近线.)y=2?x与y=2x关于y 轴对称,如图1-18所示.
如果底小于1,情况会是怎样？例如,考虑y=μ12?x的图像.我们发现μ12?x=1=2x= 2?x,因为对于任意x;2?x与μ12?x均相等, 所以图1-18 中y = 2?x的图像也是y=μ12?x的图像.同理可得任何y=bx(0<b<1)的图像.
因为y=2x的图像满足水平线检验,所以该函数有反函数. 这个反函数就是以2为底的对数y=log2(x).以直线y=x为对称轴, y=log2(x)如图1-19所示.
注意,它支持了我之前所说的负数及0不能求对数的说法.该函数的定义域为(0;+1),值域为全体实数, y 轴为垂直渐近线. logb(x)(b > 1)的图像都是很相似的. 对数函数在微积分的学习中是很重要的,你一定要学会怎样去画上面的图像.我们将在第9章学习对数函数的特性.
(4)三角函数三角函数很重要,所以整个下一章将对其作详细的介绍.
(5)带有绝对值的函数我们研究由f(x)=jxj 定义的绝对值函数. 该函数的定义为：
另一个研究这个绝对值函数的方法是数轴上0和x的距离. 更概括地说,你也应该知道：
例如,假设你需要去找不等式jx?1j63在数轴上的覆盖区域.我们能解释该不等式为x和1之间的距离小于或等于3. 也就是说,我们要找到所有与1之间的距离不大于3的点. 所以我们画一个数轴并标记1的位置,如图1-20所示：
而且我们知道jxj=px2.能够校验一下,当x>0,显然px2=x;如果x<0,px2=x这个表达式就错了,因为左边为正,右边为负.准确的表达式为px2=?x,这次右边为正了,负负得正. 如果你再重新看一次jxj的定义,会发现我们已经证明了jxj=px2.即使这样,对于jxj这个函数,最好是用分段函数去定义.
最后我来说说函数的图像. 如果你知道一个函数的图像, 那么能够得到函数绝对值的图像, 即以x 轴为对称轴, 把x 轴下方的图像映射上来, x 轴上方的图像不变.例如,对于jxj 的图像,能够通过翻转y=x在x轴下方的部分得到,图y=jxj的图像如图1-22.
怎样画y=jlog2(x)j的图像呢？使用图像对称的原理,则这个绝对值函数的图像如图
1-23.
除了三角函数要在下一章讲外, 这是我在函数部分要讲解的所有内容. 希望你在学习本章后能够获益良多. 本章中的绝大部分知识将在微积分中被反复使用,所以希望你能尽快掌握这些知识.
二项式定理：。