2014年高考数学总复习教案：第九章 平面解析几何第8课时 双 曲 线

第九章 平面解析几何第8课时
双 曲 线
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫对应学生用书（文）132～133页 （理）137～139页
考情分析
考点新知
建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简
单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．
① 了解双曲线的定义、几何图形和标准方
程，知道它们的简单几何性质.
② 掌握双曲线的简单应用.
1. 若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为________．
答案：⎝⎛⎭
⎫－6
2，0
解析：∵ 双曲线方程可化为x 2
－y 212
＝1，∴ a 2＝1，b 2＝12.∴ c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.
∴ 左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－6
2，0.
2. 双曲线x 24－y
216
＝1的渐近线方程为________．
答案：y ＝±2x
解析：∵ a ＝2，b ＝4，∴ 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.
3. 若双曲线x 2a 2－y 2
＝1的一个焦点为(2，0)，则它的离心率为________．
答案：233
解析：依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3，故e ＝2a 2＝23
＝23
3.
4. (选修11P 39习题2(2)改编)双曲线的焦点在 x 轴上，虚轴长为12，离心率为5
4
，则双
曲线的标准方程为______________________.
答案：x 264－y 2
36
＝1
解析：焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为x 2
a 2
－y
2b
2
＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝12，c a ＝54，a 2
＋b 2
＝c 2
，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，
b ＝6，
c ＝10.
∴ 焦点在x 轴上的双曲线方程为x 2
64－y 2
36＝1. 5. 设F 1，F 2是双曲线x 2－
y 2
24
＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，
则△PF 1F 2的面积等于________．
答案：24
解析：由P 是双曲线上的一点和3PF 1＝4PF 2可知，PF 1－PF 2＝2，解得PF 1＝8，PF 2＝
6.又F 1F 2＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝1
2
×6×8＝24.
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a>0，b>0)
图形
性
质
范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈R
x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a
对称性
对称轴：x 轴，y 轴 _对称中心：(0，0) 对称轴：x 轴，y 轴_ 对称中心：(0，0)
顶点
顶点坐标：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) 顶点坐标：A 1(0，－a)，A 20，
a
渐近线 y ＝±b a
x
y ＝±a b
x
离心率 e ＝c
a
，e ∈(1，＋∞) 实虚轴
线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半
3. 等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程
为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e y＝±x．[备课札记]
题型1 求双曲线方程
例1 已知双曲线的离心率等于2，且经过点M(－2，3)，求双曲线的标准方程．
解：若双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，由已知可得c
a
＝2，即c ＝2a.又M(－2，3)在
双曲线上， ∴ 4a 2－9
b
2＝1, ∴ 4b 2－9a 2＝a 2b 2①.∵ c ＝2a ，∴ b 2＝3a 2，代入①得a 2＝1，b 2＝
3.
∴ 双曲线方程为x 2
－y 23＝1.同理，若双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则双曲线方程为3y 223－x 223
＝
1.
变式训练
已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y ＝±3
3
x ，若顶点到渐近线的距
离为1，求双曲线方程．
解：由题意知：右顶点坐标为(a ，0)，其到渐近线的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪33a ⎝⎛⎭
⎫332＋1＝a
2＝1，故
a ＝2.又渐近线方程为y ＝±33x ，所以
b ＝2 33，所以双曲线方程为x 24－3y 2
4
＝1.
题型2 求双曲线的基本量
例2 已知双曲线的焦点在x 轴上，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为 2. (1) 求双曲线的标准方程；
(2) 写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：(1) 依题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0, b>0)，则2a ＝2, 所以a ＝1.设双曲线
的一个焦点为(c, 0), 一条渐近线的方程为bx － ay ＝ 0，则焦点到渐近线的距离d ＝|bc|a 2＋b
2＝b ＝2，所以双曲线的方程为x 2
－y 2
2＝1.
(2) 双曲线的实轴长为2，虚轴长为22，焦点坐标为(－3， 0), (3， 0)，离心率为3，渐近线方程为y ＝±2x.
备选变式（教师专享）
如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，
直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M.若MF 2＝F 1F 2，则C 的离心率是________．
答案：
62
解析：设双曲线的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．
∵ B(0，b)，∴ F 1B 所在的直线为－x c ＋y
b ＝1.①
双曲线渐近线为y ＝±b a x ，由⎩
⎨⎧y ＝b a x ，
－x c ＋y b
＝1，得Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ac c －a ，bc c －a . 由⎩
⎨⎧y ＝－b a x ，－x c ＋y b
＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，∴ PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2c c 2－a 2，bc 2
c 2－a 2.
由a 2＋b 2＝c 2得，PQ 的中点坐标可化为⎝⎛⎭⎫a 2c b 2，c 2b .
直线F 1B 的斜率为k ＝b c ，∴ PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b
⎝⎛⎭⎫
x －a 2c b 2.
令y ＝0，得x ＝a 2c b 2＋c ，∴ M ⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ，0，∴ F 2M ＝a 2c b
2. 由MF 2＝F 1F 2得a 2c b 2＝a 2c c 2－a
2＝2c ，即3a 2＝2c 2，∴ e 2＝32，∴ e ＝6
2.
题型3 与椭圆、抛物线有关的基本量
例3 已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；
(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
解：(1) 由题意，椭圆4x 2＋9y 2＝36的焦点为(±5，0)，即c ＝5，
∴ 设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2
5－a 2＝1，
∵ 双曲线过点(3，－2)， ∴ 9a 2－45－a 2
＝1, ∴ a 2＝3或a 2＝15(舍去)． 故所求双曲线的方程为x 23－y 2
2
＝1.
(2) 由(1)可知双曲线的右准线为 x ＝3
5.
设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px(p>0)，则p ＝
6
5
，故所求抛物线的标准方程为y 2＝－1255
x.
备选变式（教师专享）
双曲线C 与椭圆x 28＋y 2
4
＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线
C 的方程．
解：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a>0，b>0)，
由椭圆方程x 28＋y
24
＝1，求得两焦点为(－2，0)、(2，0)，
∴对于双曲线C ：c ＝2.
又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴b
a
＝3，解得 a 2＝1，b 2＝3. ∴双曲线C 的方程为x 2
－y 23
＝1.
1. 已知双曲线C ：x 2a 2－y
2
b
2＝1的焦距为10，P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为
________．
答案：x 220－y 2
5
＝1
解析：∵ x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦距为10，∴ c ＝5＝a 2＋b 2.①
又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P(2，1)在渐近线上，∴ 2b
a
＝1，即a ＝2b.②
由①②解得a ＝25，b ＝ 5.
2. 若双曲线y 216－x 2
m
＝1的离心率e ＝2，则m ＝________．
答案：48
解析：根据双曲线方程y 2a 2－x 2
b 2＝1知a 2＝16，b 2＝m ，并在双曲线中有a 2＋b 2＝
c 2，∴ 离
心率e ＝c a ＝2c 2
a 2＝4＝16＋m 16m ＝48.
3. 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2＝________．
答案：23
解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，
因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 2
2，
又因为PF 1－PF 2＝2， 所以(PF 1－PF 2)2＝4， 可得2PF 1·PF 2＝4，
则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，
所以PF 1＋PF 2＝2 3.
4. 已知双曲线x 2a 2－y 2
5
＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率为________．
答案：32
解析：由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝3
2
.
5. 已知双曲线x 2a 2－y
2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线
的一个交点为P ，若PF ＝5，则双曲线的渐近线方程为________．
答案：y ＝±3x
解析：设点P(m ，n)，依题意得，点F(2，0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且PF ＝5得
⎩⎪⎨
⎪⎧m ＋2＝5，
n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，
由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±3x.
6. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为
圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值为32
(a －c)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．
答案：⎣⎡⎭
⎫35，2
2
解析：因为PT ＝PF 22－（b －c ）2(b ＞c)，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值
为
（a －c ）2－（b －c ）2. 依题意有，
（a －c ）2－（b －c ）2≥
3
2
(a －c)， 所以(a －c)2≥4(b －c)2， 所以a －c ≥2(b －c)， 所以a ＋c ≥2b ， 所以(a ＋c)2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0， 所以5e 2＋2e －3≥0 ①.
又b ＞0，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2， 所以2e 2＜1 ②， 联立①②，得35≤e ＜2
2
.
1. 双曲线x 216－y 2
9
＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为________．
答案：13
解析：由a ＝4，b ＝3，得c ＝5.设左焦点为F 1，右焦点为F 2，
则|PF 2|＝1
2(a ＋c ＋c －a)＝c ＝5，
由双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.
2. 已知△ABC 外接圆半径R ＝143
3
，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且
y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B 、C 为焦点的双曲线方程为______________．
答案：x 216－y 2
9
＝1
解析：∵ sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴ cos ∠BAC ＝1114，AC ＝2Rsin ∠ABC ＝2×1433×3
2＝
14，
sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC)＝sin 60°cos ∠BAC －cos60°·sin ∠BAC ＝32×1114－12×53
14
＝33
14
， ∴ AB ＝2Rsin ∠ACB ＝2×1433×33
14＝6,
∴ 2a ＝|AC －AB|＝14－6＝8，
∴ a ＝4，又c ＝5，∴ b 2
＝c 2
－a 2
＝25－16＝9，∴ 所求双曲线方程为x 216－y 2
9
＝1.
3. 根据下列条件，求双曲线方程．
(1) 与双曲线x 29－y 2
16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；
(2) 与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)．
解：解法1：(1) 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧b a ＝43
，（－3）2a 2－（23）2
b 2
＝1，解得a 2＝94，b 2＝4. 所以双曲线的方程为x 294－y 2
4＝1.
(2) 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1.由题意易求得c ＝2 5.
又双曲线过点(32，2)，∴（32）2a 2－4
b
2＝1.
又∵a 2＋b 2＝(25) 2，∴a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线的方程为x 212－y 2
8
＝1.
解法2：(1) 设所求双曲线方程为x 29－y 2
16＝λ(λ≠0)，
将点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝1
4.
(2) 设双曲线方程为x 216－k －y 2
4＋k
＝1，
将点(32，2)代入得k ＝4，所以双曲线方程为x 212－y 2
8
＝1.
4. 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直
线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．
解：(1) 依题意，b ＝3，c a ＝2a ＝1，c ＝2，∴ 双曲线的方程为：x 2
－y 2
3
＝1.
(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 2(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），
x 2－y
23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0， k ≠±3时，x 1＋x 2＝4k 2
k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3
，y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，
△F 1AB 的面积S ＝12·4k
1＋k 2
（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝2|k|·|x 1－x 2|＝
2|k|·
（4k 2）2－4（k 2－3）（4k 2＋3）
|k 2－3|
＝12|k|·k 2＋1
|k 2－3|
＝62
k 4＋8k 2－9＝0
k 2＝1
k
＝±1，
所以直线l 的方程为y ＝±(x －2)．
1. 应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．
2. 区分双曲线与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ＞1，椭圆的离心率e ∈(0，1)．
3. 双曲线方程的求法
(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn<0)；
(2) 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)；
(3) 若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．
请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.
[备课札记]。