沪教版(五四制)八年级数学下册 第二十三章概率初步复习同步讲义

--------概率初步(★★)
1、理解随机事件的定义，概率的定义；
2、会用列举法求随机事件的概率；利用频率估计概率（试验概率）；
3、体会随机观念和概率思想，逐步学习利用列举法分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

重难点：
1．计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法）。

2．利用频率估计概率（试验概率）。

知识结构
1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
①理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；
第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。

②实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算。

要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。

如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。

【知识要点1】确定事件和随机事件
在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件（certain event）例如：地球绕太阳公转.
在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件（impossible event）例如：有人把石头孵出了小鸡.
必然事件和不可能事件统称为确定事件.
而在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（random event），也称为不确定事件，例如过马路时恰好遇到红灯.
【习题精选】
1．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
①在十进制中1+1=2 ；②1+2>3；
③在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有4张A；
④10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只；
⑤平面上任何一个三角形的三个内角和都是180度；
⑥明天太阳从西边出来.
2．判断下列说法是否正确
①“从地面往上抛的硬币会落下”是随机事件；（）
②“软木塞沉到水底”是不可能事件；（）
③“买一张彩票中大奖”是必然事件；（）
④“明天会下雨”是随机事件. （）
【思维误区】本知识在理解和运用中常见的错误是没有正确理解确定事件的概念，忽略不可能事件也是确定事件。

【例】下列事件中，确定事件的个数是（）
(1)东边日出西边雨；(2)抛出的篮球会下落；
(3)没有水分，种子发芽；(4)367人中至少有2人出生日期相同。

(A)1个;(B)2个;(C)3个;(D)4个
【错解】B。

【正解】C
【错解分析】本题错误原因是没有准确把握确定事件的概念，错误认为确定事件就是必然事件，(1)是随机事件，(2)(3)是确定事件中的必然事件，而(3)也是确定事件，它是确定事件中的不可能事件。

另外：对于本题中的(4)，教参中指出不要和学生提出“抽屉原理”，其实这本是抽屉原理最容易解决的问题。

通过给学生例举“三个苹果放入两个抽屉中，则至少有两个苹果在一个抽屉中”，才能让学生更进一步理解，更好的把握“13个人中至少有2人出生月份相同”，“13张扑克牌中，至少有四张扑克牌的花色相同”这类事件属于必然事件。

【知识要点2】事件发生的可能性
各种事件发生的可能性有大有小，课用普通词语来表述，为了叙述的方便，我们可以大写的英文字母来表示事件，如事件A、事件B……等，事件A的概率记作P(A)。

事件发生的可能性大小常用下面的几种词语来描述：一定、很可能、可能、不太可能、不可能。

必然事件发生的机会是100%，不可能事件发生的机会是0，而随机事件发生的机会是介于0和100%之间。

注意：不太可能是说可能性很小，但不是没有；同样的，很有可能是指可能性很大，但没有达到100%，不能将概念混淆。

【习题精选】
1.木盒里有10个红球，3个黄球和1个白球，这些球只是颜色不同，大小一样.从木盒中任意摸出1个球，（1）摸出1个黄球；（2）摸出1个白球；（3）摸出1个绿球；（4）摸出一个红球；（5）摸出一个球颜色是红色或者黄色或者白色.
如果我们用P1，P2，P3，P4，P5来分别表示它们事情发生可能性的大小，那么如何把它们从大到小排列呢？分析：事件5是必然事件，所以可能性最大，而事件3是不可能事件，所以可能性为0，而事件1，2，4都是随机事件通过它们个数的多少来判断发生可能性的大小，即事件2“不太可能”发生，事件4“很有可能”发生，事件1“有可能”发生.所以他们从大到小的顺序是：P5，P4，P1，P2，P3
2.比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列：
⑴买一张发行量很大的彩票恰好中500万；
⑵下雨天，在路上遇到撑伞的行人；
⑶抛掷一枚硬币，落地后反面朝上.
【思维误区】本知识在理解与运用中常见的错误是：区分“不太可能”与“不可能”以及“很有可能”与“必然”时易出错。

【例】下列事件中，那些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
（1）一个袋子中有10个红球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀再取一球，如此反复进行十次，十次全部取到白球；
（2）从有理数中任取一数平方之后比0大；
（3）有4名学生，其中有七年级的，有八年级的，也有九年级的，则他们中至少有2名是同一年级的；
（4）今年20岁，明年18岁。

【错解】（1）不可能（2）必然（3）可能（4）不可能
【错解分析】（1）将“可能”当成了“不可能”；（2）将“可能”当成了“必然”；（3）将“必然”当成了“可能”。

【正解】（1）可能（2）可能（3）必然（4）不可能
【知识点3】事件的概率
几种事件发生的概率：数学中，研究大与小一般用数量来刻画，“概率”这个概念就是由此而产生的，概率就是利用0---1之间的数来刻画事件发生的可能性的大小的。

既然概率就是可能性，则必然事件发生的可能性是1，不可能事件发生是0。

由此得出，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。

不确定事件发生的概率在0—1之间。

【注意】一个不确定事件发生的可能性再大，它发生的概率也不会大于1。

用频率来估计概率：对一个随机事件进行反复试验，把该事件发生的次数称为该事件发生的“频率”，把频数与试验总次数的比值称为该事件发生的“频率”。

通常把某事件在大数次试验中发生的频率，作为这个事件的概率的估计值。

等可能试验：如果一项可以反复进行的试验具有以下特点：（1）试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；（2）任何两个结果不可能同时出现，那么这样的试验叫做等可能试验。

【注意】在理解等可能性时应从以下两方面理解：
（1）所发生的结果是有限个（或是无限个），每次试验有且只有其中的一个结果出现；
（2）每个结果出现的机会均等。

等可能试验中事件的概率：如果一个试验共有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A的概率
P（A）=事件A包含的可能结果/所有的可能结果总数=k/n
【习题精选】
1.写出下列事件的概率：填“接近1”“接近0”
（1）用A表示“上海天天是晴天”，则P(A)：____________
（2）用B表示“新买的圆珠笔写得出字”，则P(B) ：___________
（3）用C表示“坐火车出行，遭遇出轨”，则P(C) ：____________
（4）用D表示“当m是正整数时，2m是偶数”，则P(D) ：________
2.全班同学一起做摸球试验，布袋里的球除了颜色外其它都一样，每次从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回摇
匀，一共摸了200次，其中131次摸出红球，69次摸出白球，如果布袋里有3个球，请你估计布袋里红球和白球的个数
3．甲乙两人轮流掷一枚材质均匀的骰子，每人各掷了8次，结果甲有三次掷得“合数点”，而乙没有一次掷得“合数点”，如果两人继续掷，那么下一次谁掷得“合数点”的机会比较大？（这里：1，2，3，4，5，6，中的合数是哪几个？）
【思维误区】本知识在理解和运用中的错误是：
1、 不清楚频率与概率的区别与联系。

2、 不理解等可能试验的概率，错误套用等可能的概率公式。

【例1】 同时抛掷两枚质地均匀的正方形骰子，出现“朝上两面的点数和为奇数”的概率为 。

【错解】 11
5 【错解分析】 本题产生错解的原因是没有理解两枚骰子在抛出后朝上两面的点数情况，每枚骰子都有6个面，每个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6，则两枚朝上两面的点数和分别是1加1，1加2，。

，6加6，共有36种情况，其中点数和为奇数的有18种情况，故概率应为2分之1。

【正解】 2
1 【例2】 抛掷两枚均匀硬币，标有正反面，硬币落地后，求朝上一面市“一正一反”的概率是多少？
【错解】 两枚硬币落地后只有以下三种情况：(1)全是正面，(2)一正一反，(3)全是反面，因此这三个事件发生的可能性是相等的，这是一个等可能试验，所以P (朝上一面是“一正一反”)= 3
1。

【错解分析】错解的原因在于只知道试验可能出现的三种结果，但这三种结果的发生不是等可能的，所以这类题目的关键是先要弄清楚事件发生可能的总数。

【正解】两枚硬币分别标记为硬币1和硬币2，落地后出现正或反的可能性是一样的，这是一个等可能试验，可能的结果分别为：（1）第一次正面，第二次正面；（2）第一次正面，第二次反面；（3）第一次反面，第二次正面；
（4）第一次反面，第二次反面。

所以P (朝上一面是“一正一反”)=
42=2
1。

【知识要点4】利用“树形图”、“列表法”、“几何法”等方法进行概率计算
1. 在等可能试验中运用概率计算公式的关键是写出所有灯可能的结果数n 和事件A 包含的结果数k ,而“枚举法”
是常用的一种方法。

“树形图”、“列表法”是枚举法的一种表示形式。

2. 生活中有些灯可能试验与面积有关，相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决。

【习题精选】
1. 将圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图所示，任意转动转盘，停止后指针落在每个扇行内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.求指针分别落在“红色”、“黄色”、“绿色”扇形内的概率.
解：根据扇形圆心角相同，可以知道，转盘停止时，指针所在的扇形有8个等可能的结果.设事件A ：“指针落在红色区域内”；事件B ：“指针落在黄色区域内”；事件C ：“指针落在绿色区域内”.
事件A 包含其中的1个结果，得P （A ）＝
8
1. 事件B 包含其中的3个结果，得P （B ）＝8
3. 事件C 包含其中的4个结果，得P （C ）＝21 2.如图，转盘A 等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B 分为两个扇形（即半圆），号码为①、②.甲乙两位
同学想这样玩游戏：甲任意转动A 盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转
动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针
方向相邻的扇形内）.如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为
偶数，那么乙胜.判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游
戏规则.
解：用树形图展示一次游戏的所有等可能的结果，如图所示，共有6个等可能的结果：（①①）、（①②）、（②①）、
（②②）、（③①）、（③②）设事件D ：“两号码之积为奇数”；事件E ：“两
号码之积为偶数”.P （D ）＝31，P （E ）＝3
2 甲胜的概率比乙胜的概率小3
1，可见这个游戏规则对乙很有利，是不公平的.
3.木盒里有1个红球和1个黄球，这两个球除颜色外其它都相同，从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球．两次都摸到红球的概率是多少？摸到1个红球1个黄球的概率又是多少？
第一次 第二次
故，一共有四种可能的结果出现
红（黄，红）
黄（黄，黄）
红（红，红）黄（红，黄）黄红
本题结论：两次都摸到红球的概率是P (A )＝14
； 摸到1个红球1个黄球的概率是P (B )＝2142
=. 4.甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少？
分析：（1）一个回合：那么是几次等可能试验？树形图应该画几级？（甲、乙独立出拳的，应该算两次）
（2）每一个级别里应该画几条树枝？（每个试验的结果有几种可能性）
师生共同画出适合本题的树形图：
观察树形图：共有9种可能的出拳方式.
一个回合定胜负的出拳方式有6种.故本题结论为P （A ）＝
6293= 【说明】画树形图，要依据题意，考虑2个问题：
（1）几个级别？——几次试验;（2）几条树枝？——等可能结果.
5.甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车，已知该站在下午1时30分和2时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相等，如果两人到车站后见车就上，那么两人同乘一辆车的概率是多少？
分析：甲乙两人到达车站的时刻在1时至2时之间，其中有无数个等可能时刻.把两人到达车站的时刻用有序数对来表示，则在平面内可得到相应的点.这样两人到达车站的所有可能的时刻对应于一个平面区域，问题就转化为区域面积的计算.
解法一：设甲到达车站的时刻为1时x 分，乙到达车站的时刻为1时y 分，则600≤≤x ，600≤≤y .如图，只有当点（x ，y ）落在阴影区域时，
甲乙两人才能同乘一辆车.设事件A ：“甲乙两人同乘一辆车”，则P （A ）＝2
1. 上述解法学生不容易理解，很多学生听讲解后甚感糊涂。

解法二：由于车站只在下午1时30分和2时准点各发一班车，那么甲乙两人有两种可能分别乘坐1时30分和2时发的车，总共有（甲乙同乘1时30分所发班车），（甲乘1时30分所发班车，乙乘2时所发班车）（甲乘2
时
剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布布石头剪刀乙
甲
发班车，乙乘1时30分所发班车）（甲乙同乘2时所发班车）四种等可能结果，所以P (甲乙两人同乘一辆车)=
2
1 6.有5张卡片，上面分别写有0，1，2，3，4,
(1)
从中任取两张卡片，两张卡片上的两数之和等于4的概率是多少？ (2) 从中任取两次卡片，每次取出一张；第1次取出卡片，记下数字后放回，再取第2次；两次取出的卡片
上数的和等于4的概率是多少？
7. 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
A 、25
B 、310
C 、320
D 、15 8.一盘录音带可录80分钟，前面20分钟已录完，现准备再录20分钟，如果随意地从录音带某处开始录，那么“能完整录音且与原先的录音不重叠”的概率是多少？
9.小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同
心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈
内不算，你来当裁判.⑴ 你认为游戏公平吗？为什么？
⑵ 游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”.请你设计方案，解决这一问题.（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）
10.用数字0，4，5组成的三位数中能被5整除的概率是多少？
11.用0，4，5三个数字组成没有重复数字的三位数中能被5整除的概率是多少？
【思维误区】本节知识在理解与运用中常见的错误是：错误套用等可能事件的概率公式计算。

【例1】一个小立方体的六个面，分别标有1、2、3、4、5、6，把这个小立方体随意抛掷，如果甲、乙两人做游戏，每人连续抛两次，甲说：“如果两次向上的面上的数之和诗3或4，我就获胜。

”乙说：“如果两次向上的面上的数之和诗7或8，我就获胜。

”如果不是这几个数，他们重新开始，直到一方获胜为止，问哪一个获胜的可能性较大？获胜的概率是多少？
【错解】因为抛小立方体所有可能出现的结果只有6种，点数分别是1、2、3、4、5、6，且机会均等，所以这个试验室等可能试验，所以两次向上的面上数之和是3或4，或者向上的面上的数之和是7或8 的机会也均等，因此两个人获胜的概率一样大，都是2
1。

【错解分析】向上抛一次，出现1、2、3、4、5、6中任一个数的机会均等，但是向上抛两次，共有6×6=36种结果，和最小为2，最大为12，出现2至12中任一个数的机会不均等。

【正解】每人连续向上抛两次，共有6×6=36种结果，其中“两次向上的面上数之和是3或4”记作事件A ，A 发生的所有可能的结果共有5种，即(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，所以P (A )）=36
5.“两次向上的面上数之和是7或8”记作事件B ，B 发生的所有可能的结果共有11种，即(1,6)，(6,1),(2,5)，(5,2)，
12345348
9
(3,4),(4,3),(4,4),(3,5),(5,3),(6,2),(2,6)所以P (B )=
36
11.由此可知，乙获胜的概率较大，即乙获胜的可能性较大。

1、今年“五·一”节，上海市某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会(如图，转盘被分为8个全等的小扇形)，当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向2或5时，该顾客获二等奖(若指针指向分界线则重转).经统计，当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为______人次．
2、甲盒子中有编号为1、2、3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4、5、6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为（ ）．
A ．
94 B ．95 C ．32 D ．9
7
3、甲、乙两人都想去买一本某种辞典，到书店后，发现书架上只有一本该辞典，于是两人都想把书让给对方先买，为此两人发生了“争执”.最后两人商定，用掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子来决定谁买.若甲赢，则乙买；若乙赢，则甲买.具体规则是：每人各掷一次，若甲掷得的数字比乙大，则甲赢；若甲掷得的数字不比乙大，则乙赢.
请你用“画树形图”的方法帮他们分析一下，这个规则对甲，乙双方是否公平？
4、2010年上海世博会某展览馆展厅东面有两个入口A ，B ，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开．
(1)她从进入到离开共有多少种可能的结果?(要求画出树状图)
(2)她从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是多少?
【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。

先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。

教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。

方法回顾和教师寄语的图标各选一个
沪教版（五四制）八年级数学下册第二十三章概率初步复习同步讲义
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