人教版数学《二次函数》中考专题复习中考考题
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带参考答案一、选择题1．抛物线y=−2x2+3的顶点为（）.A．(0，3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(0，−3)2．将抛物线y=4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（）．A．y=4(x+9)2+6B．y=4(x−9)2+6C．y=4(x+9)2−6D．y=4(x−9)2−63．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知二次函数y=ax2+bx+2（a≠0），经过点P（m，12）．当y≤−1时，x的取值范围为t−1≤x≤−3−t．则如下四个值中有可能为m的是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已二次函数y=mx2+(m−2)x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（）.A．m=2B．抛物线的开口向上C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x=2时，函数有最小值26．已知二次函数y=(x−1)(x−2)，若关于x的方程(x−1)(x−2)=m(m<0)的实数根为α，β，且α<β，则下列不等式正确的是（）A．α<1，β<2B．1<α<β<2C．1<α<2<βD．α<1<β<27．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为y= (x−3)2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点A的坐标为(0，−1916)，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）9A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m8．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①4ac ＜b 2；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当x ＜0时，y 随x 增大而增大；⑤8a+c ＜0．其中结论正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题9．若抛物线y =x 2−x +k 与x 轴只有一个交点，则k 的值为 . 10．二次函数y ＝﹣3（x+1）2的最大值为 ．11．若二次函数y =ax 2−bx −1的图象经过点(2，1)，则2023−2a +b = .12．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y 元，设平均每次降价的百分率是x ，则y 关于x 的函数表达式为 ．13．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象过点（3，0），对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＜0；②ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③当x ＜1时，y 随着x 的增大而增大 ；④4a+2b+c ＜0． （填写序号）．三、解答题14．已知二次函数y =14x 2+x ．（1）确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？15．已知抛物线2y x bx c =++经过()3,0A ，对称轴是直线1x =．点()11,B n y -，()222,C n y +两点在抛物(1)求抛物线的解析式；(2)当n 取何值时，12y y -取最大值．16．如图，交易会上主办方利用足够长的一段围墙，用围栏围成一个长方形的空地，中间用围栏分割出2个小长方形展厅，并且在与墙平行的一边上各开了一扇宽为1.5m 的门，总共用去围栏36m ．(1)若长方形展厅ABCD 的面积为290m ，求边AB 的长为多少米？ (2)当边AB 的长为多少米时，长方形展厅ABCD 的面积最大？17．某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y 顶．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若该商店销售头盔每月的利润为w 元，求w 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x 取何值时，每月销售头盔的利润w 有最大值？最大值是多少？18．如图，抛物线252y ax bx =++与直线AB 交于点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A B 、重合），经过点D 且与y 轴平行的直线交直线AB 于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D 为抛物线的顶点，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点．是否存在以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．14 10．0 11．202212．y =16x 2−32x +16 13．①②③14．（1）解：∵y =14x 2+x =14(x 2+4x)=14(x 2+4x +4−4)=14(x +2)2−1 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2，−1)，对称轴为直线x =−2 （2）解：∵对称轴为直线x =−2，抛物线开口朝上当x <−2时，y 随x 的增大而减小，当x >−2时，y 随x 的增大而增大． 15．（1）解：由题可得：09312b cb =++⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为2=23y x x --；（2）解：∵点()11,B n y -，()223,C n y +两点在抛物线上∴()()22112134y n n n n =----=- ()()22223223348y n n n n =+-+-=+ ∴()22123123212y y n n n -=--=-++ ∵30-<∴当2n =-时12y y -取最大值．16．（1）解：设AB 的长为x 米，则()3632 1.5393BC x x =-+⨯=-米，根据题意得：()39390x x -=解得13x = 210x = 答：AB 的长为3或10米．（2）解：设AB 的长为x 米，则()393BC x =-米，长方形展厅ABCD 的面积为S 由题意可得()2213507393339324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴为132x = ∴当132AB =时，所围成的长方形展厅ABCD 的面积最大． 17．（1）解：；（2）解：由题知与之间的函数关系式为；（3）解：抛物线开口向下 又当时，有最大值，最大值为9000．即当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元．18．（1）解：由题意，将点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入252y ax bx =++中得5025516422a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为215222y x x =-++；（2）解：存在以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形． 由()221519222222y x x x =-++=--+得顶点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AB 的解析式为y kx t =+将点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，得0542k t k t -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1212k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB 的解析式为1122y x =+ 当2x =时1132222y =⨯+=，∴32,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴93322CD =-= ∵以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形，CD 在抛物线对称轴上 ∴PQ y ∥轴，且3PQ CD ==由题意，设215,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则11,22Q m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴2151122222PQ m m m ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭2132322m m =-++=∴2132322m m -++=①或2132322m m -++=-②解①得1m =或2m =（舍去），则()1,1Q ； 解②得2m =-或5m =，则12,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()5,3Q ,综上，符合条件的Q 坐标为()1,1或12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()5,3．。
人教中考数学复习《二次函数》专项综合练习含答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长．注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE==．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH 的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．3．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4．如图，抛物线y＝12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2．当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形． （3）∵顶点D 的坐标为 （32528，-），∴抛物线的对称轴为x 32=．∵抛物线y 12=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于对称轴x 32=对称． ∵A （﹣1，0），∴点B 的坐标为（4，0），当x ＝0时，y 21322x =-x ﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC 与直线x 32=交点即为M 点，如图，根据轴对称性，可得：MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，﹣2），B （4，0）代入，可得：240b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y 12=x ﹣2． 当x 32=时，y 1352224=⨯-=-，∴点M 的坐标为（3524-，）． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k ＝1+52． 【解析】【分析】 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14； （2）∵x 1，x2是方程两根，∴x 1+x 2＝2k +1x 1x 2＝k 2，又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ， 解得：121515,k k +-==， 又∵k ≥﹣14 ， 即：k ＝15-． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a - ，两根之积等于c a”是解题的关键.6．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点A （1，﹣1），且与直线y ＝kx +2相交于B （2，0）和C 两点（1）求抛物线和直线BC 的解析式；（2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）抛物线上存在点E （点E 不与点A 重合），使∠BCE ＝∠ACB ，求出点E 的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ，y ＝﹣x +2；（2）详见解析；（3）E （5524,）；（4）符合条件的点F 的坐标（111，1，2【解析】【分析】（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD=②当DF ＝BD=，③当BF ＝DFm ＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，将B （2，0）代入，0＝a （2﹣1）2﹣1，∴a ＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+， 联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x x 222(21)(0)1BF m m =-+-=+222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+①当BF ＝BD 2122m +=m ＝7∴F 坐标（11②当DF ＝BD=，m ＝∴F 坐标（1，1，2③当BF ＝DF，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（111，1，2﹣【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形． ∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少；（2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设P （m ，n ），直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE 的长与a 值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m ﹣1（m ＜1）．【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(3)当β=45°时，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=3OE=33，∴﹣3a=33，∴a=﹣3，∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN ，∴△DPM ≌△EPN ，∴PM=PN ，PM=EN ，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m ，∴n=﹣m ﹣1，当顶点D 在x 轴上时，P(1，﹣2)，此时m 的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m ＜1．∴n=﹣m ﹣1(m ＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE 的长与a 值无关；(3)﹣3≤a≤﹣1；(4)n=﹣m ﹣1（m ＜1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。
中考数学总复习《二次函数》专项训练题(带答案)
中考数学总复习《二次函数》专项训练题(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．1y x =-D ．23y x = 2．抛物线()223y x =-+-的顶点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．把抛物线21y x =+向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ） A ．()211y x =+-B ．()213y x =++ C ．()211y x =-- D ．()213y x =-+ 4．已知关于x 的一元二次方程2x bx c =-的解为11x =-和23x =，则二次函数2y x bx c =-+的对称轴是（ ）A ．直线=1x -B ．直线0x =C ．直线1x =D ．直线2x =5．在“探索二次函数()20y ax bx c a =++≠的系数,,a b c 与图象的关系”活动中，老师给出平面直角坐标系中的四点：()()()()0,2,2,3,2,1,3,1A B C D ．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，并得到对应的函数表达式21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++分别计算111a b c ++，222a b c ++的值，其中较大值为（ ）A ．103B ．3C ．2D ．536．一次函数y ax b =+与二次函数21y ax bx =++在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知矩形ABCD 的边4AB =，BC=2，点M 从点A 到点B 以每秒1个单位长度的速度运动，点N 沿A D C B ---以每秒2个单位长度的速度运动，两点相遇时停止运动．连接MN ，则AMN 的面积y 与运动时间x 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，二次函数221y x x m =-+++的图象交x 轴于点(),0A a 和(),0B b ，交y 轴于点C ，图象的顶点为D ．下列四个结论中：①当0x >时0y >；①若1a =-，则3b =；①点C 关于图象对称轴的对称点为E ，点M 为x 轴上的一个动点，当2m =时，MCE △周长的最小值为2102+；①图象上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若121x x ，且122x x +>，则12y y >，其中正确的是（ ）A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题 9．点()11,A y -，()24,B y 是二次函数()21y x m =-+图象上的两个点，则1y 2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．某车的刹车距离()m y 与开始刹车时的速度()m/s x 满足二次函数()20.040y x x =>，若该车某次的刹车距离为9m ，则开始刹车时的速度为 m /s ．11．已知二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则此二次函数的解析式为 ．12．如图，用一段长为16m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长6m ），则这个围栏的最大面积为 2m ．13．已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠），函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … 1- 0 1 2 3 4 …y … 10 m 2 1 2 5 …当y m <时，x 的取值范围是 ．三、解答题14．已知抛物线()()3468y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)求,,A B C 三点的坐标．(2)在该拋物线的对称轴上是否存在点M ，使得MAC △的周长最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG 为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从()1,0A 处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线2:3L y ax bx =++（单位长度为1m ）的一部分，已知抛物线经过点()2,3-，2m DE =和5m AD =．(1)求抛物线L 的解析式和顶点坐标；(2)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L 形状相同的拋物线M 运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m ，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．16．金沙薏米是仙游县著名的土特产，它品质优异，荣获国家地理标志证明商标． 某超市销售的金沙薏米，成本价为每千克22元，超市限定售价不高于每千克34 元． 销售中平均每天销售量y （kg ）与销售单价x （元）的关系可以近似地看作一次函数，如下表所示： 26 28 30 321 70 60 50 40(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)设超市每天销售薏米的利润为 w （元），求w 与x 之间的函数关系式，当x 取何值时，w 的值达到最大？最大值是多少？17．如图，“爱心”图案是由抛物线()20y ax k a =+≠的一部分及其关于直线y x =-的对称图形组成，点A ，B 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C ，D ，E ，F 是“爱心”图案与坐标轴的交点，且点C ，D 的坐标分别为()5,0和()0,5．(1)求a，k的值；=-对称后的图象的表达式．(2)求抛物线2y ax k=+关于直线y x18．如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．(1)直接写出S与x的函数关系式；(2)若院墙的面积为120平方米，求x的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a（3a<）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a 的值．参考答案： 1．D2．C3．D4．C5．A6．C7．A8．D9．<10．1511．223y x x =+-12．3013．04x <</40x >>14．(1)()()()4,0,6,0,0,9A B C --(2)存在，点M 的坐标为151,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 15．(1)抛物线L 的解析式为223y x x =--+，顶点坐标为()1,4- (2)弹珠能弹出箱子 16．(1)5200(2234)y x x +≤≤=-(2)()2531405w x =--+，当31x =时，w 取得最大值，最大值是405． 17．(1)a 的值为1-，k 的值为5；(2)25y x =+． 18．(1)2234S x x =-+ (2)x 的值为12． (3)2a =。
中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案)
中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),1A m ，()2,3B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括A ，C 两点），过点D 作DE y ∥轴交反比例函数图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点E 的坐标．2．如图，抛物线23y ax bx =+-经过A 、B 、C 三点，点()3,0A -和()1,0C ，点B 在y 轴上．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A 、B 重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线AB 于点E ，动点P 在什么位置时，PE 最大，求出此时P 点的坐标；(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q 坐标．3．如图，直线3y x =-+与 x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B C 、，与 x 轴另一交点为A ，顶点为 D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使 EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得 APB OCB ∠=∠？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()1,0A -和()5,0B 两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90︒得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴于H ，过点C 作CF l ⊥于F ．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；(3)在（2）的条件下：试探究在直线l 上，是否存在点G ，使45EDG ∠=︒？若存在，请求出所有符合条件的点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作PD y ∥轴交直线BC 于点D ，求线段PD 长的最大值．6．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线24y ax bx =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，点Q 为任意一点，是否存在点P 、Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在直角坐标系中有一Rt AOB △，O 为坐标原点，OA=1，tan 3BAO ∠=将此三角形绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC △，抛物线2y ax bx c =++经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，是否存在一点P ，使PCD 的面积最大？若存在，求出PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为燃车一顶点，B ，C 两点的坐标分别为()3,0和()0,3．(1)求抛物线所对应的函数解析式．(2)若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．9．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点E ，已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--，连接AD ．(1)求抛物线及直线BD 的解析式；(2)若点F 在x 轴上，则当EF CF +的值最小时，点F 的坐标为______ ； (3)若点P 是抛物线上不与点D 重合的一个动点，求当53ABPABDS S =时点P 的坐标．10．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()3,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)若点E 在抛物线上，且EOC ABC S S =△△，求点E 的坐标；(3)点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．设点P 的横坐标为点m ，请用含m 的代数式表示矩形PQNM 的周长，并求矩形PQNM 周长的最大值．11．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点E ，过点P 作x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F ，求PE PF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE PF +取得最大值的条件下，将该抛物线沿x 轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H ，M 为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N ，使得以点H ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N 的坐标．12．如图，已知抛物线²2y ax x c =-+与x 轴交于()10A ，，()30B -，两点，与y 轴交于点C ．顶点为D 点，点E 为抛物线对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，若AEC △是以AC 为斜边的直角三角形，请求出点E 的坐标： (3)抛物线对称轴上是否存在点E ，使得55AE DE +取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E 的坐标，并求出55AE DE +的最小值．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线23y ax ax c =-+与x 轴分别交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD BC ，交于点E ，求DEAE的最大值；(3)如图2，连接AC BC ，，过点O 作直线l BC ∥，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．抛物线213222y x x =--+与x 轴交于点A B ，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求点A B C ，，的坐标；(2)如图1，P 是抛物线上的一动点，是否存在点P ，使得PAB ACO ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，Q 为线段AC 上方抛物线上的一动点（点Q 不与点A C ，重合），过点Q 作QF BC ∥交y 轴于点F ，交线段AC 于点E ，若35QE BC =，请直接写出点Q 的坐标．15．已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()()()103003A B C -，、，、，三点．备用图(1)求该抛物线的表达式；(2)点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，连接AD BD 、，将抛物线向下平移()0m m >个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F ． ①如果2m =，求tan DBF ∠的值； ①如果BDF 与ABD △相似，求m 的值．参考答案： 1．(1)反比例函数解析式为6y x =-；一次函数解析式为122y x =--； (2)点E 坐标为()2,3-．2．(1)223y x x =+-(2)315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (3)3171,2⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或()1,4--或1,23．(1)223y x x =-++(2)52EC ED +=(3)存在；P 的坐标为(1,222)+或(1,222)--4．(1)2312355y x x =-++ (2)1(3)在直线l 上，存在点G ，使45EDG ∠=︒，点G 的坐标为34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()4,6．5．(1)213442y x x =-++ (2)当4m =时，PD 有最大值为46．(1)248433y x x =--+ (2)S 的最大值为252 3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在；131,8P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 192,8Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =--+(2)存在，当76t =-时，PCD S 的最大值为121248．(1)223y x x =-++ (2)949．(1)223y x x =+- 1y x =-； (2)3,07⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()4,5P -或()2,5．10．(1)()214y x =-++，顶点D 的坐标为()1,4- (2)()()4,21,4,5E E ---(3)矩形PMNQ 的周长为2282m m --+，矩形的周长最大值为1011．(1)抛物线的函数解析式为2142y x x =-++ (2)点P 的坐标为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点N 的坐标为132,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或132,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或96,4⎛⎫ ⎪⎝⎭12．(1)223y x x =--+(2)1(1,1)E - 2(1,2)E -(3)58555AE DE += (1,1)E -13．(1)213222y x x =-- (2)45(3)6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或 6241341,55⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭14．(1)()40A -，，()10B ，和()02C ， (2)()32P -，或()518P -， (3)()13Q -，或()32-，或71272⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，15．(1)223y x x =-++(2)①12；①3m =或52m =。
人教版九年级数学中考复习二次函数真题专练(解析版)
二次函数----真题专练一、选择题1.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是（）A. B.C. D.2.若二次函数的图象经过，，三点则关于，，大小关系正确的是A. B. C. D.3.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位4.已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a-b+c＜0，其中正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.在二次函数的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是A. B. C. D.6.2下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y 随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当-1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. B. C. D.9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A.B.C.D.10.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），对称轴如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a-b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A.B.C.D.二、填空题11.函数y=-中自变量x的取值范围是______．12.已知抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．13.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=-1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a-b+c＜0，其中正确的结论是______ （填写序号）．14.二次函数y=-x2+2x+2图象的顶点坐标是______．15.若二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，则m的值为______ ．16.如图，抛物线C1：y=x2经过平移得到抛物线C2：y=x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______三、解答题17.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．18.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．20.如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．21.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【解答】解：A.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx来说，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx 来说，对称轴x=＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx 来说，图象开口向上，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选C．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．【解答】解：二次函数对称轴为直线x=-=3，3-（-1）=4，3-1=2，3+-3=，∵a=1＞0，开口向上，离对称轴越远，y值越大，又∵4＞2＞，∴y1＞y2＞y3．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y=-3x2的顶点坐标为（0，0），y=-3（x-1）2-2的顶点坐标为（1，-2），∴将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=-3（x-1）2-2．故选D．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴x＞0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故②正确，令方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，由对称轴x＞0，可知＞0，即x1+x2＞0，故③正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：-1＜x＜0，∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，故④正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质有关知识，先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵a=-1＜0，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减少．故选B．6.【答案】B【解析】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，故选：B．根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系有关知识，根据函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，即可判断①，根据对称轴为x=2，即可判断②；由对称轴x=-=2，即可判断③；求得抛物线的另一个交点即可判断④.【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴x=2，∴-=2，∴b=-4a＜0，∴a、b异号，故①错误；∵对称轴x=2，∴x=1和x=3时，函数值相等，故②正确；∵对称轴x=2，∴-=2，∴b=-4a，∴4a+b=0，故③正确；∵抛物线与x轴交于（-1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），∴当-1＜x＜5时，y＜0，故④正确；故正确的结论为②③④三个，故选C.8.【答案】B【解析】【分析】此题考查了二次函数顶点式的性质有关知识，已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.【解答】解：因为的是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，-3）．故选B.9.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a，而x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选：C．由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a，加上x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，则可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.【答案】D【解析】解：①∵二次函数图象的开口向下，∴a＜0，∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），∴a-b+c=0，故②正确；③∵a-b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a-b+c=0，∴c=b-a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b-a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），即可判断②正确；③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b-a代入即可判断④正确．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】-2＜x≤3【解析】【分析】本题考查的是函数自变量取值范围，分式有意义的条件，二次根式的概念.根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0，列不等式组求解.【解答】解：根据题意，得，解得：-2＜x≤3，则自变量x的取值范围是-2＜x≤3.故答案为-2＜x≤3.12.【答案】4，-8，-2【解析】解：当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=（k+2）2-4×9=0，解得k=4或k=-8；当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=-==0，解得k=-2．故答案为：4，-8，-2．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．13.【答案】①②④【解析】解：∵抛物线对称轴是直线x=-1，点B的坐标为（1，0），∴A（-3，0），∴AB=4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab＞0，故选项③错误；当x=-1时，y=a-b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．利用二次函数对称性以及结合b2-4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a-b+c的符号是解题关键．14.【答案】（1，3）【解析】解：∵y=-x2+2x+2=-（x2-2x+1）+3=-（x-1）2+3，故顶点的坐标是（1，3）．故填空答案：（1，3）．此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．本题中已知二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．【解答】解：根据题意得：m（m-2）=0，∴m=0或m=2，∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，∴m=2．故答案为2．16.【答案】4【解析】解：抛物线C1：y=x2的顶点坐标为（0，0），∵y=x2+2x=（x+2）2-2，∴平移后抛物线的顶点坐标为（-2，2），对称轴为直线x=-2，当x=-2时，y=×（-2）2=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：（2+2）×2=4，故答案为：4．确定出抛物线y=x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．17.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），∴，解得，，即此抛物线的解析式是y=x2-2x-3；（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，-4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA=PD时，=，解得，y=-，即点P的坐标为（1，-）；当DA=DP时，=，解得，y=-4±，即点P的坐标为（1，-4-2）或（1，-4+）；当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，-4），当点P为（1，-4）时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，-）或（1，-4-2）或（1，-4+）或（1，4）．【解析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．18.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），∵A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2-2x-，∴其对称轴为直线x=-=-=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，-），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x-，当x=2时，y=1-=-，∴P（2，-）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-），∴N1（4，-）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2-2x-=，解得x=2+或x=2-，∴N 2（2+，），N3（2-，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-），（2+，）或（2-，）．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．19.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，-4），∴D（0，-2），∴P点纵坐标为-2，代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，-2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2-3t-4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，-4），∴直线BC解析式为y=x-4，∴F（t，t-4），∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2-3t-4=-6，∴当P点坐标为（2，-6）时，△PBC的最大面积为8．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．20.【答案】解：（1）将B（4，0）代入y=-x2+3x+m，解得，m=4，∴二次函数解析式为y=-x2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=-x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2-4x+b=0，∴△=16-4b=0，∴b=4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，-m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴m=-m2+3m+4，∴m=1±，∴P（1+，1+）或P（1-，1-），②如图，设点P（t，-t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E，过点C作l的垂线交l于点F，∵点D在直线BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC=2S△PBC=2（S△PCD+S△PBD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD=-4t2+16t，∵0＜t＜4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；（3）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，对称性，面积的确定，解本题的关键是确定出△MBC面积最大时，点P的坐标．21.【答案】解：（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）①设P（x，-x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|-x2+4x+5-（x+1）|=|-x2+3x+4|，DE=|x+1|，∵PE=2ED，∴|-x2+3x+4|=2|x+1|，当-x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=-1或x=2，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当-x2+3x+4=-2（x+1）时，解得x=-1或x=6，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（6，-7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，-7）；②设P（x，-x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），∴BE==|x-4|，CE==，BC==，当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x-4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x-4|=，解得x=4+或x=4-，此时P点坐标为（4+，-4-8）或（4-，4-8）；当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，-4-8）或（4-，4-8）或（0，5）．【解析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3-1）2+4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，∴直线BD解析式为y=-x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3），∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3），∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|-x2+3x|=4，当-x2+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根，当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，∴Q（-1，0）或（4，-5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数2281y x x =-+，当11x -≤≤时，函数y 的最小值是（ ）A ．1B ．5-C ．6-D ．7-2．把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为22y x =，则原抛物线的解析式为（ ） A ．()2213y x =-+B ．()2213y x =++C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =--3．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A 与()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ）A ．45c -≤<B ．43c -≤<-C ．164c -≤<D ．114c -≤< 4．如图为2y x bx c =++的图象，则（ ）A ．0b > 0c <B ．0b > 0c >C ．0b < 0c >D ．0b < 0c < 5．把抛物线22y x =-先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A ．22(6)2y x =-++B ．22(6)2y x =-+-C ．22(6)2y x =--+D ．22(6)2y x =---6．如图，抛物线2y ax c =-经过正方形OACB 的三个顶点A ，B ，C ，点C 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，菱形ABCD 的边长为3cm ，=60B ∠︒动点P 从点B 出发以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA --运动，到达点A 后停止运动；同时动点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达点A 后停止运动．设点P 的运动时间为(s)x ，BPQ 的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．B ．C ．D ．8．已知在平面直角坐标系中，抛物线1C 的图象如图所示，对称轴为直线2x =-，将抛物线1C 向右平移2个单位长度得到抛物线2C ：2y ax bx c =++ （a 、b 、c 为常数，且0a ≠），则代数式b c a +-与0的大小关系是（ ）A ．0b c a +-<B ．0b c a +-=C ．0b c a +->D ．不能确定二、填空题9．若关于x 的二次函数2321y x x m =-+-的值恒为正数，则m 的取值范围为 ． 10．将抛物线2(1)2y x =++先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线的解析式为 ．11．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系为：2412h t t =-+，则足球距离地面的最大高度为 m ．12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽度增加 m ．（结果可保留根号）13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，且抛物线与x 轴交于A ，B两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；①()220a c b +->；①50a c +=；①若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的是 .（填序号）三、解答题 14．已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1030A B ，，，两点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．15．如图，抛物线214y x bx c =++过点()0,0O ，()10,0E 矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设动点B 坐标为(),0t ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)当t 为何值时矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？16．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g 一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．(1)求每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w 稳定在900元，销售单价应定为多少元？17．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系212123y x x c =-++．已知铅球落地时的水平距离为10m ．(1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时，铅球离地面最高？(2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面的高度为5m 3时，此时铅球的水平距离是多少？18．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规x x≥人生产乙产品．定甲产品每天至少生产20件．设每天安排()1(1)根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品生产成本（元）甲10-乙x402x(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？参考答案：1．B2．D3．A4．D5．D6．B7．D8．C9．43m > 10．2(2)2y x =--11．912．()264-13．③④/④③14．(1)243y x x =-+(2)当2x <，y 随x 的增大而减小15．(1)抛物线的函数表达式为21542y x x =-，顶点坐标为2554⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．16．(1)()480201018y x x =-≤≤； (2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．17．(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距3m 远时，铅球离地面最高为3m(2)此时铅球的水平距离为8m18．安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元。
中考数学总复习之二次函数专题复习
中考数学总复习之二次函数专题复习一．选择题（共8小题）1．二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．把二次函数y＝x2+2x﹣6配方成顶点式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣7B．y＝（x+1）2﹣7C．y＝（x+2）2﹣10D．y＝（x﹣3）2+33．已知二次函数y＝（a﹣2）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞2C．a≠2D．a＜24．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（）A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的5．2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝x2+x+的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是米，球落点的距离是（）A．1米B．3米C．5米D．米6．二次函数y＝x2﹣3x+1的图象大致是（）A．B．C．D．7．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（）A．a＞0B．C．或a＞0D．8．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）9．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是．10．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是．11．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C 在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为．12．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都为等边三角形，则△A2022B2023A2023的边长为．13．已知二次函数y＝（x﹣3）2+3，当x＝时，y取得最小值．14．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．15．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（6，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1≤x＜5的范围内有解，则t的取值范围是．16．二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，4），则代数式a+b的值为．三．解答题（共4小题）17．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求BC所在直线的函数解析式；（3）过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，求线段PM长度的最大值．18．如图，直线y＝x+2与x轴交于点B，与y轴交于点D．抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P为抛物线在直线AC下方的一动点，作PH∥y轴，PF⊥AC，分别交AC 于点H、F，求PH+PF的最大值和此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4沿射线AC平移个单位长度，得到新抛物线，点R在新抛物线的对称轴上，点S在抛物线y＝ax2+bx﹣4上．当以点D、P、R、S为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标．。
中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3 2．已知二次函数y=3(x−2)2+ℎ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为y1，y2和y 3则y1，y2和y3的大小关系正确的是()A．y3<y2<y1B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y23．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数ℎ=3.5t−4.9t2（的单位：秒，h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A．0.71B．0.70C．0.63D．0.364．对于二次函数y=−14(x+2)2−1，下列说法正确的是（）A．当x>−2时，y随x的增大而增大B．当x=−2时，y有最大值−1C．图象的顶点坐标为(2，−1)D．图象与x轴有两个交点5．抛物线y=2x2−12x+22的顶点是（）A．(3,−4)B．(−3,4)C．(3,4)D．(2,4)6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）下列结论：①ab＜0，②b2-4ac＞0，③a-b+c＜0，④c=1，⑤当x＞－1时，y＞0.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④8．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A．当x＞-2时，y随x增大而减小B．当x＞-2时，y随x增大而增大C．当x＞2时，y随x增大而减小D．当x＞2时，y随x增大而增大9．如图，双曲线y= k x经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A．a+b=k B．2a+b=0C．b＜k＜0D．k＜a＜010．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(−1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，不正确的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．当x>2时，y随x的增大而减小C ．当−1<x <1时D ．一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根是−1和311．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)在y =−x 2+2x +m 的图象上，下列说法错误的是（ ）A ．当m >0时，二次函数y =−x 2+2x +m 与x 轴总有两个交点B ．若x 2=2，且y 1>y 2，则0<x 1<2C ．若x 1+x 2>2，则y 1>y 2D ．当−1≤x ≤2时，y 的取值范围为m −3≤y ≤m12．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：h ＝30t ﹣5t 2这个函数图象如图所示，则小球从第3s 到第5s 的运动路径长为（ ）A ．15mB ．20mC ．25mD ．30m二、填空题(共6题；共6分)13．在二次函数 y =−x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为 m n ．（填“＜”，“＝”或“＞”）14．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）15．二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴相交于 (−1, 0) 和 (5, 0) 两点，则该抛物线的对称轴是 .16．函数y= {x 2+2x −3(x <0)x 2−4x −3(x ≥0) 的图象与直线y=﹣x+n 只有两个不同的公共点，则n 的取值为 ．17．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m 的值为 ． 18．若函数y=（m ﹣2）x m 2−2+3是二次函数，则m=三、综合题(共6题；共70分)19．已知抛物线 y =a(x −4)2+2 经过点 (2,−2) ．（1）求a 的值；（2）若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。
中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)一、单选题1．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是() A．B．C．D．2．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，点B恰好落在函数y=ax2（a< 0）的图象上，则a的值为（）A．−√2B．-1C．−3√24D．−√233．图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（）A．k＜n B．h=m C．k+n=0D．h＜0，m＞04．在平面直角坐标系中二次函数y1=﹣x2+4x 和一次函数y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜4C．0＜x＜2D．2＜x＜45．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1D．有最大值是26．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2A．16B．15C．14D．13 8．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 10．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=(x+1)2+3B．y=(x+1)2−3C．y=(x−1)2+3D．y=(x−1)2−311．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴上，则b的值一定是（）A．1B．2C．﹣2D．2或﹣2二、填空题13．如图，甲，乙两个转盘分别被三等分、四等分，各转动一次，停止转动后，将指针指向的数字分别记为a，b，使抛物线y=ax2−2x+b与x轴有公共点的概率为．14．将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为．15．若抛物线y=2(x−3)2−8与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为．16．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为．17．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为．18．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式三、综合题19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.20．已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；21．已知拋物线y=x2+bx+c经过点(−1，8)和(2，−7)．（1）试确定b，c的值．（2）直接写出x满足什么条件时y随x的增大而减小．22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时求点Q的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时请求出k的取值范围．24．如图，平面直角坐标系中以点C（2，√3）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】11214．【答案】y=﹣（x﹣2）2+415．【答案】416．【答案】201717．【答案】y=(x−2)2+318．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+119．【答案】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等∴ME＝BE，MG=GN.∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN∴AM＝2ME∴AE＝3BE；（2）解：∵篱笆总长为100m∴2AB+GH+3BC＝100即2AB+12AB+3BC=100∴AB=40−65BC.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2则y=BC⋅AB=x(40−65x)=−65x2+40x∵AB =40−65BC∴B E ＝10﹣ 310x ＞0解得x ＜ 1003∴y =65x 2+40x （0＜x ＜ 1003 ）. 20．【答案】（1）解：由顶点A （−1，4），可设二次函数关系式为y ＝a （x ＋1）2＋4（a≠0）．∵二次函数的图象过点B （2，−5） ∴点B （2，−5）满足二次函数关系式 ∴−5＝a （2＋1）2＋4 解得a ＝−1．∴二次函数的关系式是y ＝−（x ＋1）2＋4； （2）解：令x ＝0，则y ＝−（0＋1）2＋4＝3 ∴图象与y 轴的交点坐标为（0，3）； 令y ＝0，则0＝−（x ＋1）2＋4 解得x 1＝−3，x 2＝1故图象与x 轴的交点坐标是（−3，0）、（1，0）．答：图象与y 轴的交点坐标为（0，3），与x 轴的交点坐标是（−3，0）、（1，0）．21．【答案】（1）解：∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点(−1，8)和(2，−7)∴{1−b +c =84+2b +c =−7解得{b =−6c =1；（2）解：由（1）可知，抛物线y =x 2−6x −1开口向上，对称轴为直线x =−−62×1=3 故在对称轴左侧，即当x <3时y 随x 的增大而减小．22．【答案】（1）解：对于y =ax 2+bx +5，当x =0时y =5∴C(0，5)∵抛物线y =ax 2+bx +5(a 为常数，a ≠0)交x 轴于点A(−1，0)和点B(5，0)∴{a −b +5=025a +5b +5=0解得{a =−1b =4∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；（2）解：∵B(5，0) C(0，5)∴OB =OC连接BC ，设BC 的中点为D∴D(52，52)∴直线OD 的解析式为y =x∵PB =PC∴点P 在直线OD 上 设P(m ，m)∵点P 是抛物线上一点∴m =−m 2+4m +5解得m =3±√292∴点P 的坐标为(3+√292，3+√292)或(3−√292，3−√292)；（3）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线x =2 ∵点A 与点B 关于l 对称，点Q 在直线l 上 ∴QA =QB QA +QC =QB +QC∴当B ，C ，Q 三点共线时QB +QC 最小，即QA +QC 最小 设直线BC 的解析式为y =kx +b∴{b =55k +b =5解得{k =−1b =5∴直线BC 的解析式为y =−x +5 把x =2代入y =−x +5得，y =3∴Q(2，3)∴当QA +QC 最小时求点Q 的坐标(2，3)．23．【答案】（1）解：∵y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）（2）解：由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4 ∴OC ＝3 ∴m 2﹣1＝3 ∵m ＞0 ∴m ＝2（3）解：∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x+3，当抛物线经过点A （﹣k+4，1）时k ＝2+ √2 或k ＝2﹣ √2 ；当抛物线经过点B （1，k ﹣2）时k ＝2；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1只有一个公共点，则x 2-4x+3=x+k-3∴即x 2-5x+6-k=0的△=0∴25-4（6-k ）=0k=-0.25∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1只有一个公共点∴2﹣ √2 ＜k ＜2或k≥2+ √2 或k=-0.25．24．【答案】（1）解：过点C 作CM△x 轴于点M ，则MA=MB ，连结AC ，如图∵点C 的坐标为（2， √3 ） ∴OM=2 CM= √3 在Rt△ACM 中CA=2 ∴AM= √AC 2−CM 2 =1∴OA=OM ﹣AM=1 OB=OM+BM=3 ∴A 点坐标为（1，0），B 点坐标为（3，0）；（2）解：将A （1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c 得 {1+b +c =09+3b +c =0解得 {b =−4c =3．所以二次函数的解析式为y=x 2﹣4x+3．。
中考数学总复习《二次函数》专题训练(附答案)
中考数学总复习《二次函数》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=(x−1)(x+2)B．y=(x−1)2−x2C．y=2(x−1)2D．y=1−x22．将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y=(x−3)2+4B．y=(x+3)2+4C．y=(x−3)2−4D．y=(x+3)2−43．若点(3，a)、(4，b)都在二次函数y=(x−2)2的图象上，则a与b的大小关系（）A．a>b B．a<b C．a=b D．无法确定4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．(x+2)2−3，下列说法正确的是（）5．已知二次函数y=−12A．顶点坐标为（2，-3）B．对称轴为x=2C．函数的最小值是-3 D．当x>0时随x的增大而减小6．已知二次函数y=(a−1)x2+(2a+2)x+a+1，对于任意的x值，y<0恒成立，则a的值可以是（）A．0 B．−1C．−2D．17．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．20米B．18米C．10米D．8米8．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数时，a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．将二次函数y=x2−4x+3化成y=a(x−h)2+k的形式，结果为．10．抛物线y=−2x2+3与y轴的交点坐标为.11．如图．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴是直线上x= 1．则当y<0时。
中考数学总复习《二次函数》专项练习题-附带参考答案
中考数学总复习《二次函数》专项练习题-附带参考答案一、选择题：（本题共8小题，共40分．）1．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）A．0，5 B．﹣4，1 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣1 2．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(0,−2)，且直线l//x轴.若直线l与二次函数y=3x2+a的图像交于A，B两点，与二次函数y=−2x2+b的图像交于C，D两点，其中a，b为整数.若AB=2，CD=4 .则b−a的值为( )A．9 B．11 C．16 D．24 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−2，0)、B(1，0)两点.则以下结论：①ac>0；②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=−1；③2a+c=0；④a−b+c>0 .其中正确的有（）个.A．0 B．1 C．2 D．34．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a）2 +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（）A．-1≤a≤0 B．−5−√132≤a≤−1−√52C．−4≤a≤−1+√52D．−5−√132≤a≤−1+√525.已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是( )A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜07．已知抛物线y=mx2+4x+m+3开口向下，且与坐标轴的公共点有且只有2个，则m的值为（）A．m=﹣4 B．m=﹣3或﹣4C．m﹣3、﹣4、0或1 D．﹣4＜m＜08．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y=−x2+ bx(b>0)和反比例函数y=4x(x>0)的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为4，则b的取值范围是（）A．72<b≤103B．103<b≤4 C．174<b≤92D．4<b≤133二、填空题：（本题共5小题，共15分．）9．抛物线y=x2−10x+c的顶点在x轴上，则c=.10．请写出同时符合以下两个条件的一个二次函数的解析式；①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．11．已知点A（4，y1），B（√2，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．12．如图，一条抛物线与x轴的交点为A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上运动．若C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3、4）、（3，1），点B横坐标的最小值为1，则点A横坐标的最大值为．13．若二次函数y=ax2+2ax−3的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是．三、解答题：（本题共4题，共45分．）14．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）11 19日销售量y（件）18 2请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）16．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF：(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为，B点坐标为；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边参考答案1.B2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.B9.2510.y =−x 2+10 11.y 3＞y 1＞y 2 12.213.(−4，0)14.（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得：{3a +2b =602a +3b =65解得：{a =10b =15．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x +b 1，将（11，18），（19，2）代入得： {11k 1+b 1=1819k 1+b 1=2，解得：{k 1=−2b 1=40． ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x +40（11≤x ≤19）． （3）由题意得： w ＝（﹣2x +40）（x ﹣10）＝﹣2x 2+60x ﹣400＝﹣2（x ﹣15）2+50（11≤x ≤19）． ∴当x ＝15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．15.（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣7）2+2.88 将x ＝0，y ＝1.9代入上式并解得：a =−150故抛物线的表达式为：y =−150（x ﹣7）2+2.88； 当x ＝9时，y =−150（x ﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24 当x ＝18时，y =−150（x ﹣7）2+2.88＝0.46＞0故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ 、OQ 交于点Q在Rt △OPQ 中，OQ ＝18﹣1＝17当y ＝0时，y =−150（x ﹣7）2+2.88＝0，解得：x ＝19或﹣5（舍去﹣5） ∴OP ＝19，而OQ ＝17故PQ ＝6√2=8.4 ∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1∴发球点O 在底线上且距右边线0.1米处． 16.(1)设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将A （－1，0）、B （0、3）、C （3，0）代入得03093a b cc a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；(2)四边形OBDC 是正方形 ,BO BD OBC DBC ∴=∠=∠ BF BF =()OBF DBF SAS ∴≅BOF BDF ∴∠=∠； (3)存在，理由如下：当点M 在线段BD 的延长线上时，此时90FDM ∠>︒ ∴ DF DM = 设(,3)M m设直线OM 的解析式为(0)y kx k =≠ 3km ∴=解得3k m=∴直线OM 的解析式为3y x m=设直线BC 的解析式为11(0)y k x b k =+≠把B （0、3）、 C （3，0）代入，得1303bk b =⎧⎨=+⎩解得131b k =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为3y x =-+令33x x m =-+，解得33m x m =+，则93y m =+ 39(,)33m F m m ∴++ 四边形OBDC 是正方形 3BO BD OC CD ∴====(3,3)D222222239981(3)(3),(3)33(3)m m DF DM m m m m +∴=-+-==-+++ 222981(3)(3)m m m +∴=-+ 222981(9)m m ∴+=-解得0m =或33m =33m =-点M 为射线BD 上一动点 0m ∴> 33m ∴=33BM ∴=当2323y x x ==-++时，解得0x =或2x =2BE ∴=332ME BM BE ∴=-=．当点M 在线段BD 上时，此时 90DMF ∠>︒MF DM ∴=MFD MDF ∴∠=∠2BMO MFD MDF MDF ∴∠=∠+∠=∠ 由（2）得BOF BDF ∠=∠ 四边形OBDC 是正方形 90OBD ∴∠=︒90BOM BMO ∴∠+∠=︒ 390BOM ∴∠=︒ 30BOM ∴∠=︒ 3OB =3tan 33BM BOM OB ∴=∠⋅==2,3BE BD ==1DE =∴33123ME BD BM DE ∴=--==综上，ME 的长为332或2317.解：（1）y ＝23735322x x -+，令y ＝0，解得：x ＝2或5 故A 点坐标为：（2，0）、B 点坐标为（5，0）；（2）连接CD 、BD由（1）知：OA ＝2，AB ＝3，等边三角形ABC 的边长为3 ∵△ABC 为等边三角形∴AC ＝BC ，∠ACB ＝60°＝∠CAB ，∴∠CAO ＝120° ∵∠COD ＝60°，且OD ＝OC ，则△OCD 为等边三角形 ∴OD ＝CD ＝CO ，则∠OCD ＝60°＝∠OCA+∠ACD 而∠ACB ＝60°＝∠ACD+∠DCB ∴∠OCA ＝∠DCB 而CO ＝CD ，CA ＝CB∴△OAC ≌△DBC （SAS ）∴BD ＝OA ＝2，∠CBD ＝∠CAO ＝120°，而∠CBO ＝60° ∴∠OBD ＝60°，则y D ＝﹣BDsin ∠OBD ＝﹣2×32＝﹣3 故点D 的坐标为（4，﹣3）当x ＝4时，y ＝23735322x x -+＝﹣3 故点D 在抛物线上；（3）抛物线的对称轴为：x ＝72设点M （72，s ），点N （m ，n ）n ＝32m 2﹣732m+53①当OD 是平行四边形的边时 当点N 在对称轴右侧时点O 向右平移4个单位，向下平移3个单位得到D 同样点M 向右平移4个单位，向下平移3个单位得到N即：72+4＝m ，s ﹣3＝n ，而n ＝32m 2﹣732m+53解得：s＝633 8则点M（72，6338）；当点N在对称轴左侧时同理可得：点M（72，2738）；②当OD是平行四边形的对角线时则4＝72+m3n+s，而n＝3m2733解得：s＝73则点M（72，73）故点M的坐标为：（72，633）或（72，273）或（72，73）．。
中考数学总复习《二次函数》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1； 当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3； （3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。
人教版中考数学《二次函数》专项练习题(含答案)
人教版中考数学《二次函数》专项练习题一、单选题（每小题3分，共36分）1．若关于x 的一元二次方程2()0a x h k ++=的一个实数根是1，则关于x 的一元二次方程2(1)0a x h k +-+=一定有一个实数根为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．函数ky x-=与2(0)y kx k k =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．3．关于函数y ＝﹣x 2﹣2x 的图象，有下列说法：①对称轴为直线x ＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x ＞﹣1时，y 随着x 的增大而减小．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．若()12,y -，()25,y 是图象上的两点，则12y y <B ．30a c +=C ．当13x 时，0y <D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小5．关于函数y ＝﹣x 2﹣2x 的图象，有下列说法：①对称轴为直线x ＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x ＞﹣1时，y 随着x 的增大而减小．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，其对称轴为直线x ＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab 2c 3＞0；②b +2a ＝0；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝4；④9a +c ＞3b ，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y ＝ax 2+bx +cB ．21y x =C ．y ＝（a 2+1）x 2D ．y ＝ax 28．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．若()12,y -，()25,y 是图象上的两点，则12y y <B ．30a c +=C ．当13x 时，0y <D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小9．抛物线y ＝﹣15x 2+3不具有的性质是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．函数有最小值10．已知二次函数y ＝（m ﹣1）x 2+3x ﹣1与x 轴有交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m 54>-B ．m 54≥-C ．m 54>-且m ≠1 D ．m 54≥-且m ≠1 11．若要得到抛物线y =（x +5）2-3，可以将抛物线y =x 2（ ）A ．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 12．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x ＝1；③ax 2+bx +c ＝5的另一个解是x ＝4；④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0；⑤抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题3分，共24分）13．已知S ＝t 2﹣2t ﹣15，则S 的最小值为_______．14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个．设单价降价x 元，则每天的利润y 与x 的关系式是：________；最大利润为________元．15．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______． 16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1）．当x ＝﹣2时，与其对应的函数值y ＞1．有下列结论：①a ﹣b ＋c ＝﹣1；②abc ＞0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ﹣3＝0有两个不等的实数根；④2a ﹣b ＞0．其中正确的有____．（把正确结论的序号都填上） 17．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．18．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y 轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．19．在函数y ＝（x ﹣1）2中，当x ＞1时，则y 的取值范围是_______．20．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a ＜0，b ＞0，c ＜0；②当时x ＝2，y 的值等于1；③当x ＞3，y 的值小于0．正确的序号是_____．三、解答题（共60分）21．已知抛物线()()12y a x x x x =--经过点(2,0)A -和点B (3,0)，与y 轴负半轴交于点C ，OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）若在x 轴上方有一点(,)P m n ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．（8分）22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）交y 轴于点C ，且OC ＝3． （1）求该抛物线的解析式；（2）点P 为直线BC 下方抛物线上的一点，连接AC 、BC 、CP 、BP ，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P 的坐标；（3）把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ,R 为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来．（10分）23．已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的的左侧），与y轴交于点C．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为点D，求四边形ABDC的面积．（10分）24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以AC为边向右作正方形ACDE，点P从点C出发，沿射线CD以1cm/s的速度向右运动，过点P作直线l与射线BA交于点Q，使得∠BPQ＝∠B，设运动时间为t（s），△BPQ与正方形ACDE重合部分的面积为S（cm2）．（1）当直线l经过点E时，t的值为．（2）求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．（12分）25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面1AA 的距离为8m ，过1AA 的中点O 建立如图所示的直角坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）要在隧道入口顶部的抛物线上，左右对称地安装两个摄像头，使得这两个摄像头与地面距离相同，并且这两个摄像头之间的距离为6米，求摄像头距离地面的距离．（10分）26．我们知道，如图1，点P 为线段AB 上一点，且PA PB >，如果PB PAk PA AB==，那么点P 是线段AB 的一个黄金分割点，比值51k -=（0.618≈）叫做黄金分割比． （1）如图1，若线段AB 的长为2，P 是线段AB 的黄金分割点（PA PB >），则PB 的长为_______；（保留根号）（2）如图2，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 的黄金分割点，其中BD AD >，BE CE >，AE 与CD 相交于点O ，若△AOC 的面积为2，求△ABC 的面积；（3）如图3，直线2y x =-与抛物线222y x mx m m =---++（m 为常数）交于M 、N 两点，若点O 为线段MN 的黄金分割点（OM ON <），求m 的值．（12分）参考答案1．D2．B3．B4．B5．B6．C7．C8．B9．D10．D11．B12．C 13．﹣1614．2240600y x x =-++ 80015．14m >-且0m ≠16．①②③④ 17．2± 18．23y x =-+ 19．0y > 20．①③21．（1）211322y x x =--；（2）39(2)4S m m =+>-22．（1）223y x x =--；（2）当32x =时，四边形ACPB 的面积最大，最大面积为：75,8此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）511,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭或111,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭或549,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭23．（1）()()1,0,3,0A B -，(0,6)C -；（2）24 24．（1）7；（2）()222033466(34)22850(47)33316(7)t t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪⎪>⎩25．（1）21812y x =-+；（2）7.25米 26．（1）3PB =（2）4+（3）m =27．（1）48000；（2）37；（3）两公司月利润差的最大值为33150元．28．（1）抛物线l 1的表达式为217422y x x =-+-；抛物线l 2的表达式213222y x x =-+；（2）2≤x ≤4；（3）线段MN 的最大值是12．。
中考数学总复习《二次函数》专项测试题-附参考答案
中考数学总复习《二次函数》专项测试题-附参考答案（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题（共8题，共40分）1.抛物线y=(x−1)2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是( )A．−1B．−2C．−3D．−42.如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )A．−2<m<18B．−3<m<−74C．−3<m<−2D．−3<m<−1583.如图，函数y1=−2x和y2=ax+3的图象相交于点A(m,3)，则关于x的不等式−2x>ax+3的解集是( )A．x>2B．x<2C．x>−32D．x<−324.已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )A．B．C．D．5.将二次函数y=2x2−4x+1化为顶点式，正确的是( )A．y=2(x−1)2+1B．y=2(x+1)2−1C．y=2(x−1)2−1D．y=2(x+1)2+16.已知A(4,y1)，B(1,y2)，C(−3,y3)在函数y=−3(x−2)2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3<y1<y2B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y1<y2<y37.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是( )A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2−38.抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是( )A．(0,−1)B．(−1,1)C．(−1,0)D．(1,0)二、填空题（共5题，共15分）9.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是．10.一次函数y=−2(x−1)可由一次函数y=−2x+3向平移个单位得到．11.已知二次函数y=mx m2−2m−6中，当x>0时，y随x的增大而增大，则m=．12. y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点，则a+b+c的最小值为．b−a13.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=t2．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m．60t−32三、解答题（共3题，共45分）14．抛物线y＝ax2＋2x＋c与其对称轴相交于点A(1，4)，与x轴正半轴交于点B.（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在抛物线对称轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，求出所有点C的坐标.15．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．16．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有实数根，k为正整数．2（1）求k的值；的图象向下平移9（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k−12个单位，求平移后的图象的表达式；（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于﹣5时，求k的取值范围．参考答案1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】C9. 【答案】x<−3或x>110. 【答案】下（或左）；1（或1）211. 【答案】412. 【答案】313. 【答案】2414．【答案】（1）由题意，点A(1，4)即为抛物线的顶点于是抛物线的对称轴直线x＝，∴a＝－1抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3（2）抛物线与x轴正半轴的交点B的坐标是(3，0)若点A、B与抛物线对称轴上的点C构成等腰三角形，有三种可能：当AB＝AC时，点C（1，）当BA＝BC时，点C（1，－4）当CA＝CB时，点C（1，）综上所述，符合要求的点C共有四个.15．【答案】解：根据题意得y=a（x﹣2）2把（1，﹣3）代入得a=﹣3所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下所以当x＜2时，y随x的增大而增大=0有实数根16．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k−12∴△=b2﹣4ac=4﹣4×k−1≥02∴k﹣1≤2∴k≤3∵k为正整数∴k的值是1，2，3；（2）∵方程有两个非零的整数根当k=1时x2+2x=0，不合题意，舍去=0当k=2时x2+2x+12方程的根不是整数，不合题意，舍去当k=3时，x2+2x+1=0解得：x1=x2=﹣1符合题意∴k=3∴y=x2+2x+1∴平移后的图象的表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；（3）令y=0 x2+2x﹣8=0∴x1=﹣4 x2=2∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）∴A（﹣4，0）B（2，0）∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于﹣5 令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5解得：x1=﹣3，x2=1 （不合题意，舍去）∴抛物线经过点（﹣3，﹣5）当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时可求得k=1由图象可知，当0＜k＜1时新函数的最小值大于﹣5．。
中考数学专题复习卷 二次函数(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10 9.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 米B. 米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的X围内有解，则t的取值X围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。
人教中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；（2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y xy x x⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114xy⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241xy⎧⎨⎩＝＝，∴点A的坐标为（1，14），点B的坐标为（4，1）．作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点， ∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝， ∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝，∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．3．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3．当x=2时，y635=-，即顶点D的坐标为（2，635-）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222±，即：点C坐标为（5222+，0）或（5﹣222，0）；③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =34AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（1－62，74）． 【解析】 【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221bba -⨯＝＝1 ∴b=-2∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3．∵A点在B点左侧，∴A（-1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则033k mm＝＝+⎧⎨-⎩，∴13 km⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34 AB，∴PQ=3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM=32，∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是12，∴点P的横坐标为−12，∴P（−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（6-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-621+62∵点P在第三象限．∴P2（6-52）．综上所述：满足条件为P1（2-2），P2（6-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．5．函数()2110,>02y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2=（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 令2m 112-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点∴203m y 1922≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴32≤2m-19≤，解得2m 4.<≤当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴32≤4m-99≤，解得94m 2<≤. 综上所述，91m 2≤≤即为所求. 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3=联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，，所以M 2（3，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．8．如图，直线y=﹣x+分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax 2+bx+经过A ，B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想9．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．10．如图1,抛物线2112y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M ．将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直l 的抛物线2y ．(1)求抛物线2y 的解析式；(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ∆是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ∆全等,求直线PR 的解析式． 【答案】（1）抛物线2y 的解析式为2111424y x x =-+-；（2）T 点的坐标为13137T +,23137T -,377(1,)8T -；（3）PR 的解析式为13y x 24=-+或1124y x =--.【解析】分析：（1）把()1,0B 和30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2112y ax x c =-+求出a 、c 的值，进而求出y 1，再根据平移得出y 2即可；（2）抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点T 作TE y ⊥轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t 的方程，解方程即可； （3）设2113,424P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭,根据对称性得21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等求解即可. 详解:(1)由题意知，34102c a c ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得14a =-， 所以,抛物线y 的解析式为21113424y x x =--+； 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B ， 所以抛物线2y 的解析式为()22114y x =--， 即： 22111424y x x =-+-； (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过点T 作TE y ⊥轴于E ,则22221TC TE CE =+=+ 2233254216t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，222TA TB AB =+= ()2221316t t ++=+，215316AC =， 当TC AC =时， 即232515321616t t -+=， 解得13137t +=或23137t -=； 当TC AC =时,得21531616t +=，无解；当TC AC =时,得2232516216t t t -+=+,解得3778t =-; 综上可知,在抛物线2y 的对称轴l 上存在点T 使TAC ∆是等腰三角形,此时T 点的坐标为131371,4T ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,231371,4T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,3771,8T ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (3)设2113,424P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭, 因为,Q R 关于1x =对称,所以21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭, 情况一:当点P 在直线的左侧时,2113424PQ m m =--+- 21111424m m m ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭,22QR m =-,又因为以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等, 当PQ GM =且QR AM =时,0m =, 可求得30,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,即点P 与点C 重合 所以12,4R ⎛⎫-⎪⎝⎭, 设PR 的解析式y kx b =+,则有3,412.4b k b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得12k =-, 即PR 的解析式为1324y x =-+, 当PQ AM =且QR GM =时,无解,情况二:当点P 在直线l 右侧时,2111424P Q m m '=-+-'- 21131424m m m ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭, 22Q R m ='-', 同理可得512,,0,44P R ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭' P R ''的解析式为1124y x =--, 综上所述, PR 的解析式为1324y x =-+或1124y x =--. 点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a 、c 的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度．。
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11 32
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案 C ∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵对称轴为直线x=- 1 ,
∴- =- ,
2
∴b=ba<0,1 2a 2
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∴abc>0,∴①正确.
∵抛物线经过点(-3,0),
∴9a-3b+c=0,
又∵b=a,
∴c=-6a,
∴3a+c=3a-6a=-3a>0,∴②正确.
=n,1当x=1-1时,m=a-1b+c=1a+a-2=2a-2,∴8 m+n=4a-4,∵a> ,∴14a-4> ,∴③错误.故选C.
42
42
3
2
8
20
3
3
方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特 征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.
2.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称, 则符合条件的m、n的值为( )
A.m= ,n=-
5 18 C.m=-71,n=6 7
B.m=5,n=-6 D.m=1,n=-2
答案 D 若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点,
考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系
1.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y= 1 x+ 1 上,若抛物线y=ax2-x
22
可知,a>0,b<0,c<0,∴abc>0,∴①正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x= 1 的对称点为(3,t),即-2
和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,∴②正确.∵对称轴为直线x= ,∴- = ,∴b2=-a,∵当x=- 时,y>0,
1 b1
1
∴ a- b-2>0,即 a+ a-2>0,∴a> .∵对称轴为直线x= ,二次函数y2=ax2+2bax+c2的图象过点(-1,m)2,(2,n),∴m
即- 2m 1 + 3m n =0,n=2m-4,解得m=1,n=-2,故选D.
22
解题关键 本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y 轴交于同一点是解题关键.
3.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
∵抛物线与x轴有2个1交点,1
∴b2-4ac>0,
32
∴ <0,∴⑤正确.
b2 4ac 4a
∵点(-3,关于直线x=- 1 的对称点为(2,0),
∴y=a(x+3)(x-2),
2
∴方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m<-3,n>2,∴⑥正确.故选
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=- 1 ,
2
∴当x<- 1 时,y随x的增大而增大,
当x>- 时2 ,y随x的增大而减小,
∴③错1误. ∵b=a2,c=-6a,
∴一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0,
即6x2-x-1=0,解得x1=- ,x2= ,
∴④正确.
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=ax2+bx …
t
m
-2
-2
n
…
且当x+=c- 1 时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:
①abc>0;2
②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;
③0<m+n< .
其中,正确结20论的个数是 ( ) A.0 B.13 C.2 D.3
答案 C 由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,-2),(1,-2),∴对称轴为直线x= 0 1 = 1 ,c=-2,由题意
2019年全国中考题组
考点一 二次函数的图象与性质
1.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 ( ) A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y1>y2>2 D.y2>y1>2
答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增大而 减小,又∵1<2,∴2>y1>y2,故选A.
C.
解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解析式 与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐标等都 是解题的突破口.
2.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=- b .(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二
者容易混淆,从而导致失分.
2a
考点二 系数a、b、c的作用
1.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=- 1 ,结
解析 (1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴x=- k2 k 6 =0,即k2+k-6=0,
解得k=-3或2 k=2. (2分)
当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意. ∴k=-3. (4分) (2)∵点P到y轴的距离为2, ∴点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上, ∴当x=2时,y=-5; 当x=-2时,y=-5. (6分) ∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5). (8分)
合图象分析下列结论:
2
①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=- ,x2= ;⑤
<0;⑥若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m<-3且n>2.
其中正确的结论有 ( )
b2 4ac 4a