辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.本试卷分第I 卷､第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目､试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上.
3.用铅笔把第I 卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.
4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.
第I 卷（选择题，共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.定义全集为整数集，，则（ ）
A.
B.
C.
D.2.命题“”的否定是（ ）
A. B.C.
D.3.在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（
）
U {
}
2
,4A x x =∈≥Z ∣
U A =ð{}1,0,1-{}1,0,1,2-{}0,1,2{}2,1,0,1,2--()000,ln 10x x ∃>+>()000,ln 10x x ∃≤+≤()000,ln 10x x ∃>+>()0,ln 10x x ∀≤+≤()0,ln 10
x x ∀>+≤{}n a q 11a =01q <<{}n a ()f x '()f x ()y f x ='()y f x =
A. B.
C. D.
5.“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入
资金是上一年的
倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（ ）A.230万元
B.234万元
C.245万元
D.260万元
6.若随机变量，且，则（
）
A.0.4
B.0.5
C.0.2
D.0.3
7.已知函数，数列满足，，则
（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
8.李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为
（ ）（精确到0.01元，参考数据
）A.733.21元 B.757.37元
C.760.33元
D.770.66元
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9.下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.C.
D.10.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（
）
3
2
(
)2
3,N ξσ~(4)0.3P ξ>=(24)P ξ<<=()3
f x x x =+{}n a (
)*
141,n n a a a n +==∈N
()()1
2
3
40f a a f a
a +++=20251
i
i a
==∑0.5%12
12(10.5%)17.213(10.5%)1
+≈+-223y x x =++1cos cos y x x
=+
e e x x y -=+1ln ln y x x
=+
A B
A. B.C. D.11.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时（
）
A.四支球队的积分总和可能为15分
B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D.丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
第II 卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.两空题第一空2分，第二空3分）
12.已知回归直线方程的样本中心为，则当时，__________.13.一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表：
男性
女性合计满意5605401100不满意4060100合计
600
600
1200
根据列联表中的数据，经计算得到__________（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是__________.
附：.0.10.050.012.706
3.841
6.635
14.已知实数满足，则的最小值为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
()35P A =
()310P AB =()25P B
A =∣()1
2
P B A =∣1
3
5
435
23ˆ2ˆy
x a =+()3.5,116x =ˆy =2χ=()()()()
2
2
(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-=
=+++++++()
2P k
χ≥k
,,,a b c d ln 10a ab c d -=-+=22()()a c b d -+-
15.（本小题满分13分）设函数.
（1）求曲线的单调区间；
（2）已知在区间上的最大值为13，求的值.16.（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数
列第二项和第三项.
（1）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（2）求数列的通项公式及其前项和；（3）若数列，证明：数列的前项和.
17.（本小题满分15分）
ChatGPT ，是OpenAI 研发的一款聊天机器人程序.某科技公司在使用ChatGPT 对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT 的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战ChatGPT ，小张和ChatGPT 各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题.（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被ChatGPT 回答正确的概率；（3）比较小张和ChatGPT 答对题数的数学期望.18.（本小题满分17分）已知函数.
（1）若是的极值点，求的值；（2）若函数有两个零点.①求实数的取值范围；②证明：.19.（本小题满分17分）
甲､乙､
丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为
，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球()3
2
39f x x x x a =--+()f x ()f x []2,3-a {}n a n (
)2
*
,2n n S S n n n =+∈N
{}n
b 2
1a
-31a +{}n b {}n a {}n b n n M n d =
{}n d n 1n T <()e x
f x ax =-2x =()f x a ()f x 12,x x a 122x x +>1
3
1
3
传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.（1）设传球三次后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，设
.求证：.1
3
X X n (
)*
n ∈N
n
P {}n
P 23
5
12
n n n d P =
--()
*12231133
n n d d d n n
n d d d +-<+++<∈N
葫芦岛市普通高中2023—2024学年下学期期末考试
高二数学参考答案及评分标准
一､单项选择
1.A
2.D
3.C
4.C
5.C
6.A
7.B
8.B
二､多项选择
9.AC
10.AB
11.ABC
三､填空题
12.16
13.；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05（或：有的把握认为满意度与性别有关）.14.2
三､解答题
15.（本小题满分13分）
（1）已知的定义域为，所以当时，解得当时，解得所以，的单调递增为，单调递减为.
（2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，也为最大值所以解得16.（本小题满分15分）
（1）因为数列的前项和为，且，
当时，；
2 4.364χ=95%()f x R ()2
369
f x x x =--'()0f x '>1,3x x <->()0f x '<13
x -<<()f x ()(),1,3,∞∞--+()1,3-()f x []2,3-[]2,1--[]1,3-1x =-()max ()113913f x f a =-=--++=8
a ={}n a n n S (
)2
*
2n S n n n =+∈N
1n =113a S ==
当时，，
经验证，当时也满足；所以；
又，
所以是公差为2的等差数列，通项公式为.（2）由（1）知，于是又因为数列为等比数列，且分别为数列第二项和第三项，所以，则，则所以.
（3）由已知，于是.17.（本小题满分15分）
（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件A 表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT 正确回答”，由题意知则（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是7，8，
2n ≥()
()2
2
12(1)2121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦1n =21n a n =+()121212n n a a n n --=+--={}n a 21n a n =+21n a n =+235,7
a a =={}n
b 231,1a a -+{}n b 223314,18b a b a =-==+=328
24b q b =
==2n n b =(
)1
2122
212
n n n
S +-==--
n d =
=
()111
11
n n n n =
=-
++n 111111*********T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
X ()88
89C 19C 9
P X ===B ()()()
0.1,|0.99,|0.19,P A P B A P B A ===()()
10.9,
P A P A =-=()()()()()()()
||P B P B A P B A P B A P A P B A P A =⋂+⋂=+0.990.90.190.10.91
=⨯+⨯=X X
且则设ChatGPT 答对的题数为，则服从二项分布，则，显然
，即.18.（本小题满分17分）
（1）当时即解得检验：当在递减；在递增
则是极小值点成立，所以.
（2）由题意得函数的零点即方程的实根①（i ）当时不成立.
（ii ）当时令的减区间增区间.
当时..当时若有两个零点.即有两个实根则的取值范围②方法一：
令()()718818
8899
C C C 817,8C 9C 9P X P X ======()816478999
E X =⨯
+⨯=Y Y 918,100B ⎛⎫
⎪⎝⎭
()91182
810025
E Y np ==⨯=64182925
>()()E X E Y >()e x
f x a
'=-2x =()20f '=2e 0a -=2
e a =()()2
2
e e e ,x
a f x f x =-'=(),2∞-()f x ()2,∞+2x =2e a =()f x e x ax =0x =0x ≠e x
a x
=
()()()22
e 1e e e x
x x x x x g x g x x x x --='==()g x ()()(),0,0,1g x ∞-()1,∞+(),0x ∞∈-()0g x <()0,x ∞∈+()min ()1e
g x g ==()e 0x
f x ax =-=e x
a x
=12
,x x a e a >()()()()
1212,0,11,g x g x a x x ∞==∈∈+()()()()
1112,0,1H x g x g x x =--∈
于是令，则则在单调递减，所以则在单调递减
又因为方法二：
令令在单调递减，
又因为，所以，
()()()()
11120,1H X g x g x x '=+∈''-()()
()
112112
2
11e 1e 12x x x x x x ---=
+
-()()()()
112
22
11112
211e 12e 12x x x x x x x x ---+-=
-()()()
112
12222
112
122112e 1e 12x x x x x x x x --⎛⎫- ⎪-- ⎪⎝⎭=-()()1
2e
0,1x x
x x x
φ--=∈()0x φ>()()
1
1
222
22e e
1220x x x x x x
x x φ--⎛⎫'=-+-=-+-< ⎪⎝⎭()x φ()0,1↓()11
φ=()()()()(
)()
12221112
211e 11
10
2x x x x x H x x x φφ-'-->=
<-∴()H x ()0,1()()()()
11102H x H g x g x >=>-()()()()
12212g x g x g x g x =∴>-()()21121,22
g x x x x x ∞+↑>-∴+>又因为在()()()()
1212,0,11,g x g x a x x ∞==∈∈+()()()()
1112,0,1H x g x g x x =--∈()()()1
1212211e e 12x x H x x x x -⎛⎫
⎪=--
⎪
-⎝⎭
'()()()2244e 2e e e 20x
x x x x x x x x x x x x
φφ--=='=<()x φ()0,2120122x x <<<-<()()112x x φφ>-
即在单调递减又因为又因为在单调递增所以所以19.（本小题满分17分）（1）由题意知，.
，，
所以随机变量的分布列为
0123
随机变量的数学期望为（2）由于传次球后不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有.变形为.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
()11
22
211e e 02x x x x --
>-()()0,H x H x '<()0,1()()()()
1110,2H x H g x g x >=>-()()()()12212g x g x g x g x =∴>-()g x ()1,∞+212x x >-122x x +>0,1,2,3X =()3
280327
P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭()12222122112
133333333327P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1121212116
233333333327P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
()3
113327
P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭X X P
8274929127
X ()842101231279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=n 1n p -2
3
()12
13
n n p p +=-1222535n n p p +⎛⎫-
=-- ⎪⎝⎭
123p =
25n p ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭124515p -=23-1
24222515353n n
n p -⎛⎫
⎛⎫-=⨯-=-⨯- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
所以数列的通项公式.（3）由（2）可得，则所以.又因为所以.综上，{}n p 222553n
n p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭n
23335225n n n d p =-=--()()()
*1112333333112,,03333331333n n n n n n n n d d n n d d ++---==<-≥∈=<---N 122313
n n d d d n d d d ++++< ()
()1*11111
213323312121232,,033333333333n n n n n n n n d d n n d d +++++---===->-≥∈=>----N 121232311111121133333333
n n n n d d d n n n d d d +⎛⎫⎛⎫+++>-++++=-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()*12231133n n d d d n n n d d d +-<+++<∈N。