C语言程序设计_吉林大学_ch10

例10-3 n 次勒让德多项式 101 p n (x ) = x ((2n - 1) xp ( x) − (n − 1) p ( x)) / n n −1 n−2 当 n=0 当 n =1 当 n >1
计算它的递归函数是: 计算它的递归函数是 float p ( int n , float x ) { if ( n==0 ) return 1 ; else if (n==1) return x ; else return ( (2*n-1)*x*p(n-1,x) - (n1)*p(n-2,x) )/n ; }
解：不妨设三根钻石针顺次编号为 a 、b 、c ；开始所有 64 片金 针上； 针上； 片全部在 a 针上；现在要把它们移动到 b 针上；移动过程中 c 针 可以利用。 可以利用。如图所示
64片 片
... ... a
64片 片
... ... b
63片 片
ห้องสมุดไป่ตู้
... ... c
63片 片
1. 试想，若能够把a 针上的64片金片全部移动到 针上，必须能够 试想，若能够把 针上的 片金片全部移动到b针上， 片金片全部移动到 针上 怎样进行移动？ 怎样进行移动？ 先把a针顶部的 片金片移到c针上 针顶部的63片金片移到 针上。 先把 针顶部的 片金片移到 针上。 开始就遇到把a针最上边的金片先移到 针上，还是先移到c针上 针最上边的金片先移到b针上 开始就遇到把 针最上边的金片先移到 针上，还是先移到 针上？ 2. 现在，可以很容易的把 针上的一片金片移到 b 针上。 针上？ 现在，可以很容易的把a针上的一片金片移到 针上。 没有任何根据作出决定，按一般方法是不好解决这个问题的。 没有任何根据作出决定，按一般方法是不好解决这个问题的针上的 。 3. 最后，再按照把 针上的 片金片移到 针上的算法，把c针上的 最后，再按照把a针上的 片金片移到c针上的算法 针上的63片金片移到 针上的算法， 下边换一个角度来考虑该问题： 下边换一个角度来考虑该问题从而，完成了题目要求的工作。 63片金片全部移到 针上。从而，完成了题目要求的工作。 片金片全部移到b针上 片金片全部移到 针上。 ： 重新观察上述过程： 重新观察上述过程：
64片 片
... ...
64片 片
... ...
63片 片
... ...
63片 片
a b c 按这个想法， 片金片的问题可以被分解成： 按这个想法，移动 64 片金片的问题可以被分解成： 1.把a针上 片金片，从a针移到 针上，移动过程中 针可用； 针上63片金片 针移到c针上 针可用； 把 针上 片金片， 针移到 针上，移动过程中b针可用 2.把a针上一片金片移到 针上； 针上一片金片移到b针上 把 针上一片金片移到 针上； 3.把c针上 片金片，从c针移到 针上，移动过程中 针可用。 针上63片金片 针移到b针上 针可用。 把 针上 片金片， 针移到 针上，移动过程中a针可用 到此，问题虽然没有解决，但是已经向解的方向前进了一步， 到此，问题虽然没有解决，但是已经向解的方向前进了一步，移动 设若有一函数 64 片金片的问题变成移动 63 片金片的问题了。这一步虽然很小 片金片的问题了。这一步虽然很小, move( n , x , y , z ) 能够完成： 片金片， 甚至是微不足道的，但是却是十分重要的。 针上， 能够完成：“把 x 针上的 n 片金片，移动到 甚至是微不足道的，但是却是十分重要的。 y 针上，移动过程中 可以利用 z 针。”， 的调用： 则上述原始问题可以描述成对 move 的调用： move( 64 , a , b , c ) move( 63 , a , c , b ) move( 63 , c , b , a )
int factorial ( int n ) { if ( n==0 ) return 1; else return n*factorial(n-1); } void main(){ printf(“%d\n”,f(5) ); }
f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(0)
return 5*f(4) return 4*f(3) return 3*f(2) return 2*f(1) return 1*f(0)return 1 f=120 f=24 f=6 f=2 f=1 f=1
这里讲的只是一般规律和程序设计思想。实际使 这里讲的只是一般规律和程序设计思想。 用时，设计递归函数要复杂得多。 用时，设计递归函数要复杂得多。编写递归程序 要注意： 要注意： – 递归程序漂亮、好看、好读、风格优美，但执 递归程序漂亮、好看、好读、风格优美， 行效率低。 行效率低。 – 计算ｎ! 的函数即可以写成循环形式，也可以 计算ｎ 的函数即可以写成循环形式， 写成递归形式。 写成递归形式。但是有些循环程序写成递归很 困难。反之，有些递归程序写成循环也很困难， 困难。反之，有些递归程序写成循环也很困难， 甚至是不可能的。 甚至是不可能的。 – 终结条件。程序一定要能终止，不能无限递归 终结条件。程序一定要能终止， 下去。 下去。 – 使用全局量要特别小心。用不好，单元发生冲 使用全局量要特别小心。用不好， 将导致程序出错。 突，将导致程序出错。
例10-4
汉诺（ 汉诺（ Hanoi ）塔游戏
该问题又称世界末日问题。相传， 该问题又称世界末日问题。相传，古印度布拉玛婆罗门神庙 的憎侣们， 塔的游戏。 的憎侣们，当时作一种被称为 Hanoi塔的游戏。该游戏是： 塔的游戏 该游戏是： 在一个平板上，有三根钻石针； 在一个平板上，有三根钻石针；在其中一根针上有成塔型落 当然这只是传说， 当然这只是传说，按照规则把 64 要求把这 片金片全部移到另一 放的大小不等的64片金片 片金片全部从一根针移到另一根 片金片； 放的大小不等的 片金片；要求把这64片金片全部移到另一 针上， 针上，总的移动次数是 264-1次： 若一秒移动一次，不发生错误， 次 请编程序，打印金片的移动顺序。 请编程序，打印金片的移动顺序。 根钻石针上。移动规则是： 根钻石针上。移动规则是 ，若一秒移动一次，不发生错误， 日夜不停的移动， 亿年。而太阳系的寿命仅有100─150 日夜不停的移动，约需 5849 亿年。而太阳系的寿命仅有 – 每次只允许移动一片金片； 每次只允许移动一片金片； 亿年而已。 亿年而已。 – 移动过程中的任何时刻，都不允许有较大的金片放在较小 移动过程中的任何时刻， 的金片的上面； 的金片的上面； – 移动过程中，三根钻石针都可以利用，但是金片不许放在 移动过程中，三根钻石针都可以利用， 除钻石针以外的任何地方。 除钻石针以外的任何地方。 不论白天黑夜都有一个憎侣在移动。据说当 片金片全部从 不论白天黑夜都有一个憎侣在移动。据说当64片金片全部从 一根钻石针移到另一根钻石针上那天，就是世界的末日。 一根钻石针移到另一根钻石针上那天，就是世界的末日。到 那时他们的虔诚信徒可以升天，而其他人则要下地狱。 那时他们的虔诚信徒可以升天，而其他人则要下地狱。
递归程序设计
次幂， 例10-2 X 的 n 次幂，可以定义为
1 x = n −1 x * x
n
当 n=0 当 n>0
float power ( float x, int n ) { if ( n==0 ) return 1 ; else return x * power(x,n-1) ; }
的例子。该问题是： 再看 n! 的例子。该问题是：当n>0 时，若能计算出 w=(n-1)! r=n!=n*w 则 因此，得如下抽象算法： 因此，得如下抽象算法： void fact ( int n , int *r ) { 1. 计算：w=(n-1)! 计算： int w ; 2. r=n*w if ( n==0 ) 的特征属性与整个算法完全相同，只是参数不同， 由于子算法 1 的特征属性与整个算法完全相同，只是参数不同， *r = 1 ; w 代替了 r ，n-1 代替了 n 。这时若将整个算法表示为 f( n,r ) 则 else { 子算法 1 就是 factorial(n-1,&w); f( n-1,w ) *r = n*w 即是对f的递归调用 的递归调用。 即是对 的递归调用。 } 再考虑n=0时，这时 的函数fact 。 再考虑 时 这时r=0!=1 ，从而得到计算 n! 的函数 } 若把该函数的参数r用函数值表示，就是前边的函数 若把该函数的参数 用函数值表示，就是前边的函数factorial 。 用函数值表示
问题： 本身，行吗？ 问题：在函数 factorial 内又调用函数 factorial 本身，行吗？ 回答： 回答：行！ 1. 首先按作用域规则，在函数 factorial 内又调用函数 factorial 首先按作用域规则， 本身是合法的；其次 C 系统保证上述调用过程执行的正确性， 本身是合法的； 系统保证上述调用过程执行的正确性， 这就是递归。 这就是递归。 2. 从静态行文看，在定义一个函数时，若在定义它的内部，又出 从静态行文看，在定义一个函数时，若在定义它的内部， 现对它本身的调用，则称该函数是递归的，或递归定义的。 现对它本身的调用，则称该函数是递归的，或递归定义的。 3. 从动态执行角度看，当调用一个函数时，在进入相应函数，还 从动态执行角度看，当调用一个函数时，在进入相应函数， 没退出（返回）之前，又再一次的调用它本身， 没退出（返回）之前，又再一次的调用它本身，而再一次进入 相应函数，则称之为递归，或称之为对相应函数的递归调用。 相应函数，则称之为递归，或称之为对相应函数的递归调用。 4. 称递归定义的函数为递归函数。 称递归定义的函数为递归函数。 就是递归函数。 上述函数 factorial 就是递归函数。若计算 5! ，使用函数调用 factorial(5) ，观察其计算过程 观察其计算过程:
}
现在换一个角度考虑问题，ｎ 现在换一个角度考虑问题，ｎ! 不仅是 ，ｎ 1*2*3* ... *n 还可以定义成 1 n! = n*(n-1)! 当 n>0 当 n=0