正态分布练习含答案
课时作业12：§2.4 正态分布
§2.4 正态分布一、选择题1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.93．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A ．1B ．10C ．2 D.104．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ25．设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝( )A ．12＋p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 二、填空题6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________．7．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________.8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．10．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．参考答案1．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞μ＋3σ或X ＜μ－3σ)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．【解析】 ∵μ＝2，∴P (0<ξ<2)＝P (2<ξ<4)＝0.4，∴P (0<ξ<4)＝0.8.∴P (ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P (ξ<4)＝0.9. 【答案】 D3．【解析】 ∵区间(－∞，k )和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称．∴x ＝k 为正态曲线的对称轴，∴k ＝2.【答案】 C4．【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．【解析】 如图，P (ξ＞1)表示x 轴、x ＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x ＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2p 2＝12－p .【答案】 D6．【解析】 c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 【答案】 27．【解析】 P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.18．【解析】 依题意，P (60－20＜x ≤60＋20)＝0.9544，P (X ＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】 2299．解 由已知得P (4＜X ≤6)＝0.682 6，P (3＜X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝u ＝5对称∴P (3＜X ≤4)＋P (6＜X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P (3＜X ≤4)＝P (6＜X ≤7)．所以P (6＜X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9. 10．解 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80) ＝12－12×0.682 6 ＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90) ＝12－12×0.954 4 ＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．解 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4， 因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100) ＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)． 于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6. 从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525. 由此可以估计录取分数线约为525分.。
正态分布练习题(含部分答案)
正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
2.4正态分布练习(教师版)
1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜X≤1)＝0.4，则且P(X＞2)＝()．A.0.4B.0.1C.0.6D.0.2【答案】B随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于对称，∵，∴.2.某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N（100，52），且P（ξ＜110）=0.96，则P（90＜ξ＜100）的值为（）A.0.49B.0.48C.0.47D.0.46【答案】D∵ξ近似地服从正态分布N（100，52），∴P（ξ＜100）=0.5，∴P（100＜ξ＜110）=P（ξ＜110）-P（ξ＜100）=0.96-0.5=0.46，∴P（90＜ξ＜100）=P（100＜ξ＜110）=0.46．3.经统计，某市高三学生期末数学成绩X-N（85，σ2），且P（80＜X＜90）=0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A.0.35B.0.65C.0.7D.0.85【答案】A∵学生成绩X服从正态分布N（85，σ2），且P（80＜X＜90）=0.3，∵P（X≥90）=[1-P（80＜X＜90）]=，2.4正态分布∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．4.某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果量示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A.180B.240C.360D.480【答案】C∵P（X≤90）=P（X≥120）=0.2，∴P（90≤X≤120）=1-0.4=0.6，∴P（90≤X≤105）=P（90≤X≤120）=0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1200×0.3=360．5.某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布N（200，100），则月用电量在220度以上的户数估计约为（）（参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）A.17B.23C.34D.46【答案】C由题意，μ=200，σ=10，在区间（180，220）的概率为0.9544，∴用电量在220度以上的概率为=0.0228，∴用电量在220度以上的户数估计约为1500×0.0228≈34，6.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为________.【答案】1∵X服从正态分布N(a,4)，∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.7.某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(110，102)，已知P(100≤ξ≤110)＝0．34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．【答案】8∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1-0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．8.已知随机变量ξ，且ξ～N{μ，σ2），若P（﹣3＜ξ＜﹣1）＝P（3＜ξ＜5），则μ＝________【答案】1依题意，P（-3＜ξ＜-1）=P（3＜ξ＜5），又区间（-3，-1）和（3，5）关于x=1对称，结合正态分布的知识，关于x=μ对称的区域所对应的概率相等，所以μ=19.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________.(参考数据：P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.683，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.954，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.997）【答案】683依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，从而属于正常情况的人数约为1000×0.683＝683.10.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2））给出正态分布的数据：P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．【答案】解：（1）=90，S2==49．（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ-2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）=+=0.8185．11.下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；；．A. B. C. D.【答案】A设随机变量X服从二项分布，则，正确；服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，正确；，，故不正确．12.已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A.μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B.μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C.μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D.μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【答案】D∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小13.设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），则函数f（x）=2x2-4x+ξ不存在零点的概率（）A. B. C. D.【答案】A∵函数f（x）=2x2-4x+ξ不存在零点，∴△=16-8ξ＜0，∴ξ＞2．∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于直线x=2对称，∴P（ξ＞2）=．14.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），若P（1＜X＜5）=3P（X≥5），则P（X≤1）等于()A.0.2B.0.25C.0.3D.0.4【答案】A∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴对称轴是x=3，∴P（X≥5）=P（X≤1），∵P（1＜X＜5）=3P（X≥5），∴5P（X≤1）=1，解得P（X≤1）=0.2.15.(1)若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=______．(2)7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有______种．(3)随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.3，则P（ξ＜2）=______．(4)已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=______．【答案】（1）121（2）1440（3）0.7（4）（1）令x=1，则；再令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，∴，（2）∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，∴采用插空法来解，先排列甲、乙、丙之外的4人，有A44种结果，再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有A53种结果，根据分步计数原理知共有A44A53=1440种结果，（3）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞2）=0.3，∴P（ξ＜2）=1-0.3=0.7，（4）随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，16“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若Z~，则，．【答案】所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：．(2)服从正态分布，且，，，落在内的概率是．根据题意得，；；；；的分布列为：X01234P．。
医学统计学正态分布习题及答案
1.96
二、是非题
1．对于偏态分布资料， 1.96
范围内也包含了95%的变量值（ ）
答案：错
2．正态分布在横轴上的位置由均数决定 （）
答案：对
3．任何一个正态分布都可以通过标准化 变换转化为标准正态分布（ ）
答案：对
4．设随机变量的值在(0，+)范围中， 从该变量值的总体中抽样，若样本的标 准差大于样本均数，则可推断不服从正 态分布（ ）
4．在排放的工业废水中规定有害物质含 量不能超过0.005。现从某企业排出的废 水中抽取10份水样，测出有害物质的平 均含量为：0.0053，标准差为：0.0004。
假设某企业排出的废水符合标准，从该 企业排出的废水中抽到的含量为10的样 本是否小概率事件？
5．某医院要求除内科之外的各科室住院 病人的平均住院日均不超过20天。该院 某科对科室全部病人计算出平均住院日 为15天。科主任认为：该科室目前已达 到了医院的要求。这个看法是否正确？
10．某市500名10岁正常男孩中，有95% 的人体重在 18～30kg范围内，由此可知 此500名男孩体重的标准差等于（ ） kg
A 2.000
B 2.326
C 6.122
D 3.061
E 6.000 答案：D
11．对于服从标准正态分布的变量，有 （）
A 的概率是0.10 B 的概率是0.025 C 的概率是0.05 D 的概率是0.01 E 的概率是0.005 答案：B
二、是非判断题
1．对于一个含量为n样本，为了推断该 样本是否取自均数为μ0的总体，需要对 该样本的均数与μ0之间的差别是否是抽 样误差进行假设检验（ ）
2．从均数为μ0的总体中抽取一个含量为 n样本，必须对样本均数与μ0之间的差别 是否是抽样误差进行假设检验（ ）
正态分布练习题
正态分布一、选择题１. ［2016·原创信息卷］设随机变量X 服从正态分布N (3,4),若P (Ｘ＞ａ2-４)=P (Ｘ<６-3a ）,则实数a 的值为()A. -5或2 Ｂ. -1或4 C. -5或４ D. -５或－1或2或42. 某班有41的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名同学,那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B )41,5(,则Ｅ(2X +1)等于 ()Ａ. 45 B. 25 C ． ３ D. 27 3. 已知X~Ｂ（ｎ,21)，Y~B （ｎ，31）,且Ｅ(X )＝15,则E （Y ）等于 () Ａ. 5 B. １0 C. 1５ D ． ２0 4． 已知随机变量X 服从正态分布N （1,σ2),若Ｐ(X ≤2)=0.7２，则P （X ≤０）＝()A ． 0.22 B. 0.２８ Ｃ. 0.36 D ． 0．６45. 已知随机变量ξ服从正态分布Ｎ(1,σ2）,且P (ξ<2)=0.8,则Ｐ(０<ξ＜1）=()A. 0.2B. 0.3C. ０.4D. 0.6６． 如果随机变量ξ~Ｎ(μ,σ2),Eξ=3,Dξ=1,则Ｐ(－1≤ξ＜1)等于(）A. 2Φ(4)-1B. Φ(4)－Φ(2)C. Φ(2)-Φ（4) D ． Φ(-４)-Φ（-２）7． 设随机变量Ｘ服从正态分布N (μ,σ2),且函数f (x ）=x 2+4x +X 没有零点的概率为21,则μ为 () A. 1 B ． ４ C ． 2 D. 不能确定8. 已知随机变量X 服从正态分布N （0，σ２）,Ｐ(Ｘ＞2)=0.０23,则P (-2≤X ≤2）等于 （)A. 0.477 Ｂ. ０.６28 C. 0.９54 D. ０.９779． 已知随机变量Ｘ～N （2,σ２),若P (X ＜a ）＝０.３2，则P （a ≤X <４-a )等于 (）A. 0.36B. 0.６４C. 0.48D. ０.5210． 某次数学考试中考生的分数X~N (90，１00),则分数在70~１10分的考生占总考生数的百分比是 (）A ． ３1.74%B ． 68.２6％C ． 95.４４%D ． 99.74%二、填空题11. 有学生６00人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分）服从正态分布Ｎ(1００,σ2）,统计结果显示学生考试成绩在８0分到100分之间的人数约占总人数的31,则此次考试成绩不低于120分的学生约有人． 12. 已知Ｘ~N (０，σ２),且Ｐ(-2<Ｘ<0)＝0．4，则Ｐ(X >２)的值为.13. 如果随机变量X 服从N (μ,σ2)(σ＞０),且E (Ｘ)=3,Ｄ（X ）=１，则μ=_＿＿_＿＿_，σ=___＿___. 14. 某中学高三年级共有学生１ 20０人,一次数学考试的成绩（满分150分)服从正态分布N (100,σ2），统计结果显示学生成绩在8０分到１００分之间的人数约占总人数的31，则此次考试成绩不低于120分的学生约有人.１5.已知正态分布的数据落在区间(－3，-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态分布的均值为.16. 设随机变量X～N(2,9),若P（X>c+１)=P(Ｘ<c-1）,c的值是.参考答案１．【答案】B【解析】本题考查正态分布的几何性质.由随机变量X服从正态分布N(３,４）可知正态函数关于x＝３对称,又P(X＞ａ2－４)=P(Ｘ<6－3a),所以ａ2-4＋6-3ａ=6,解得ａ=－1或4．2.【答案】D【解析】3.【答案】B【解析】4. 【答案】B【解析】因为X服从正态分布N(1,σ2）,所以对称轴是ｘ=1，所以Ｐ（X≤0)=P(X≥2)=1－ P(X≤２)=1-0.７２＝０.28,所以选Ｂ.5.【答案】B【解析】因为ξ服从正态分布N（１,σ２),即对称轴是x=1,所以P(ξ≤1)＝０.5，且Ｐ(0<ξ<１)=P(1<ξ<2)．因为P(ξ＜2)=０.8，所以P(１<ξ<2)=P(ξ＜2)-P(ξ≤1）=0.3,即P(0<ξ<１)=0.3. 6．【答案】B【解析】7.【答案】B【解析】二次函数没零点，则判别式小于零，据此得到,所以8．【答案】C【解析】由题意得,∵P(X>2)＝０.02３,∴P（Ｘ＜－2)=０.023，故P(－2≤X≤2)=1-P(X＞2）-P(X<-2)=0．9５4.9.【答案】A【解析】1０. 【答案】C【解析】X～N(9０，100),则μ=9０,σ=10．则μ-2σ=7０，μ+2σ=110．故分数在70~1１0分的考生占总考生数的百分比是９5．44%.11. 【答案】１00【解析】因为数学考试成绩X~N(100,σ２)，所以对称轴为x=10０，因为P(８0≤X≤100)＝，所以P（100≤X≤120)=，且P(X≥12０)=P(Ｘ≤80),所以Ｐ(X≥120)＝，所以成绩不低于120分的学生约为600×＝１00(人).１2. 【答案】0.1【解析】由题意知,∵正态曲线关于直线x=0对称,∴Ｐ(0＜X<2)＝0.４.∴Ｐ（X>2)＝P(X>0)-P(0<X<２)＝０.５-0.4=0.１.1３.【答案】31【解析】由题意知,∵X~N（μ,σ2)，∴E(X)＝μ=3，D(X)＝σ2=１.∴σ=１．１4. 【答案】2０0【解析】由于成绩服从正态分布N(100，σ2), 且在80分到100分之间的人数约占总人数的, 因此100分到1２０分之间的人数也约占总人数的，而80分以下与不低于120分的人数共占总人数的，且比例相同,故要求的学生约有×１ 20０=200 (人).１５. 【答案】１【解析】该正态曲线在区间(－３,-1)和区间(３,5)上是对称的．∵区间(-３,-1)和区间(３,5)关于直线x=1对称, ∴正态分布的均值就是1.1６．【答案】2【解析】由Ｘ~N(２,９)可知，密度函数关于直线x=2对称，如图所示，由题意知2-（c-1）=(c+１)－2,故c=２.。
2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册7.5正态分布 同步课时练习题含答案解析
7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量ξ服从正态分布()10,4N ξ，则标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．10D ．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为ξ服从正态分布()10,4N ξ可知:方差为4，故标准差为2，2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布()~0,0.64X N ，()~0,1Y N ，()~0,4Z N 的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为（ ）.A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得()0.8X σ=，()1Y σ=，()2Z σ=，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且()()()X Y Z σσσ<<， 所以三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量X 的概率分布密度函数()()()2212x f x x σ--=∈R ，其图象如图所示，设()2P X p ≥=，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．pB ．2pC ．12p -D ．12p -A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B ．若X 是随机变量，则()()()()2121,2141E X E X D X D X +=++=+.C ．已知随机变量()0,1N ξ，若(1)P p ξ>=，则(1)12P p ξ>-=-D ．设随机变量ξ表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则()14D ξ≤某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布()29,1N ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=. A ．12 B ．16C ．30D ．32所以每天学习时间超过10小时的人数为1000.158716⨯≈，6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X 服从正态分布()22,N σ（单位：m ），()1.90.1P X <=，则()2.1P X <=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【答案】D【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为()()1.9 2.10.1P X P X <=>=， 所以()1.9 2.110.10.10.8P X <<=--=，所以()()()2.1 1.9 2.1 1.90.9P X P X P X <=<<+<=，7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4XN ，则下列说法错误的是（ ）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间低于4h 的人数约占2.28% ()8,4N 知)100.6826≤≈46h 的人数约占(62P X -≤，所以C 错误；0.95442.28%=从N （90，2σ），若()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为500.210⨯=人， 9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(1)(5)P X P X >-=<，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3μ=B ．2μ=C ．3σ=D ．2σ=分）服从正态分布()285,N σ，且(8387)0.3,(7883)0.26P P ξξ<≤=<≤=，则(78)P ξ≤=（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.0911．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为1 【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A 对，根据对称性可知B 对，根据3σ原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由()282.5,5.4N Z ～，可知82.5, 5.4μσ==，所以平均分为82.5μ=，故A 对.12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知121,X N σ~，220,Y N σ~，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12σσ=，则()()10P X P Y >>>B ．若12σσ=，则()()101P X P Y >+>=C ．若12σσ>，则()()0211P X P Y ≤≤<-≤≤D ．若12σσ>，则()()0101P X P Y ≤≤>≤≤13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量()2,X N μσ，X 的正态密度函数为()22x f x -，则μ=______.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，若()310.5P a ξ≤+=，则实数=a ______．【答案】3【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（），结合题意得到a 的值．【详解】随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（）， 由()310.5P a ξ≤+=，可知3110a +=，解得3a =．15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=．16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()2110,10N ．已知(100110)0.34P X <≤=，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量X 服从正态分布，即()10,9X N ~，随机变量23Y X =-，则()E Y =__________，()D Y =__________． 【答案】 17 36【分析】首先根据正态分布的知识得()(),E X D X ，然后可得答案. 【详解】因为()10,9X N ~，所以()()10,9E X D X ==，因为23Y X =-，所以()()2320317E Y E X =-=-=，()()436D Y D X ==， 五、解答题18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ． (1)求μ和σ；(2)已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈． (200,36N )200180.9974+≈所以五个零件的内径中恰有1态分布()2N 500,5（单位：g ）．(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？。
正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
课时作业14：2.4 正态分布
2.4 正态分布A 基础达标1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18π2(10)8e x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10D ．2与102．已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 7，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 65 C ．0.158 6D ．0.158 53．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 414D ．4 772 附：若X ～N (μ，σ2)， 则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5.5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.26．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (12ξ)＝________．7．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝0.3，则P (X ＜0)＝________．8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ2＞2)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．9．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N (90，100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70，110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩位于区间(80，100)内的考生大约有多少人？10．已知某地农民工年均收入X 服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式．(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．B 能力提升11．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( ) A ．1 B ．4 C ．2D ．不能确定12．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．13．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.954 5.14．(选做题)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：μm)．(1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)．该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考答案A基础达标1．【答案】B【解析】由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．【答案】B【解析】由于X 服从正态分布N (3，1)， 故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)， 故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－0.682 72＝0.158 65.3．【答案】B【解析】由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B.4．【答案】C【解析】由P (－1<X ≤1)≈0.682 7， 得P (0<X ≤1)≈0.341 35， 则阴影部分的面积为0.341 35，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 351×1≈3 414，故选C.5．【答案】C【解析】如图，正态分布的密度函数图象关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＜2)＝0.5，并且P (0＜ξ＜2)＝P (2＜ξ＜4)，则P (0＜ξ＜2)＝P (ξ＜4)－P (ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3. 6．【答案】12【解析】因为ξ～N (2，2)，所以D (ξ)＝2. 所以D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝12.7．【答案】0.2【解析】概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2. 8．【答案】0.8【解析】因为ξ的概率密度函数曲线关于直线x ＝1对称，所以ξ在(0，1)内取值的概率与ξ在(1，2)内取值的概率相等，故ξ在(0，2)内取值的概率为0.4×2＝0.8. 9．解：因为X ～N (90，100)， 所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于随机变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70，110)内的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩X 位于区间(80，100)内的概率是0.683.一共有2 000 名考生，所以考试成绩在(80，100)内的考生大约有2 000×0.683≈1 366人．10．解：设农民工年均收入X ～N (μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500. (1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为φμ，σ(x )＝12π σ22()2e x u σ--＝15002π22(8000)2500e x --⨯，x ∈(－∞，＋∞)．(2)因为P (7 500＜X ＜8 500)＝P (8 000－500＜X ＜8 000＋500)≈0.683.所以P (8 000<X ＜8 500)＝12P (7 500＜X ＜8 500)≈0.341 5≈34.15%. 即农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.15%.B 能力提升11．【答案】B【解析】根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态分布密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.12．【答案】683【解析】依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5＜X ＜62.5)＝P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.683，从而属于正常情况的人数为1 000×0.683≈683.13．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由第一问知，Z ～N (200，150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)≈0.682 7.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X ～B (100，0.682 7)，所以E (X )＝100×0.682 7＝68.27.14．解：(1)μ＝110×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝110×[(－8)2＋(－8)2＋(－7)2＋(－3)2＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36，所以σ＝6.(2)结论：需要进一步调试．理由如下：如果机器正常工作，则Z 服从正态分布N (105，62)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝P (87＜Z ＜123)≈0.997 3，零件内径在(87，123)之外的概率只有0.002 7， 而86∉(87，123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试．。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 7 5 正态分布(精练)(含答案)
7.5 正态分布(精练)【题组一 正态分布曲线】1(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知正态分布的密度函数()()222,x x μσμσϕ--=，(),x ∈-∞+∞，以下关于正态曲线的说法正确的是( ) A ．曲线与x 轴之间的面积为1 B ．曲线在x μ=C ．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移D ．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 【答案】ABC【解析】由正态分布的密度函数的解析式()()222,x x μσμσϕ--=可知曲线与x 轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A 正确；()2202x μσ--≤，(),x μσϕ∴≤x μ=时取等号，∴曲线在x μ=B 正确；其图像关于直线对称，且当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，故C 正确；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，故D 错误..故选：ABC.2．(2021·江苏·吴江汾湖高级中学高二月考)(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N (μ，302)和N (280，402)，则下列选项正确的是( )附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则P(μσ-＜X ＜μσ+)≈0.6826．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30μ-，280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中C ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413 【答案】ACD【解析】若红玫瑰日销售量的范围在(30,280)μ-的概率0.6826，则30280μ+=，可得250μ=， 所以红玫瑰日销售量的平均数为250，所以A 正确；因为红玫瑰日销售量的方差为1900σ=，白玫瑰日销售量的方差为21600σ=，因为12σσ<，所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，所以B 不正确，C 正确； 由白玫瑰日销售量在(280,320)的概率为1()()0.34132P X P X μμσμσμσ<<+=-<<+≈， 所以D 正确. 故选：ACD.3．(2021·全国·高二课时练习)(多选)在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X (满分为150分)服从正态分布()100,100N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( ) A ．该市学生数学成绩的期望为100 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩的及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AC【解析】依题意，知100μ=，10σ=.易知A 说法正确，B 说法错误；()()9011010010100100.6827P x P x <<=-<<+≈，所以()1900.50.68270.840.82P x ≥≈+⨯≈>，故C 说法正确；()()()1208090P x P x P x >=<<<，所以该市学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，D 说法错误.故选：AC.4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列关于概率密度函数22()2()x x μσϕ--=(()x R ∈)对应的正态曲线的性质的说法中正确的是( )A ．曲线关于直线x μ=对称，且恒位于x 轴上方B ．曲线关于直线x σ=对称，且仅当[3,3]x σσ∈-时才位于x 轴上方C ．曲线在x μ=处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低D ．曲线的位置由μ确定，曲线的形状由σ确定 【答案】ACD【解析】概率密度函数()ϕx 对应的正态曲线是一条关于直线x μ=对称，在x μ=处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴上方，曲线的位置由μ确定，形状由σ确定． 故选：ACD ．5．(2021·全国·高二课时练习)关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D【解析】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈， 所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.6．(2021·全国·高二课时练习)某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．三科总体的平均数不相同D ．乙科总体的标准差及平均数都居中【答案】A【解析】由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等.由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选：A.【题组二 正态分布(小题)】1．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<<≈( ) 附：若()2,N ξμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3413【答案】B【解析】若函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根， ∴()440ξ∆=-⨯-<，∴1ξ<-.又∵()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，∴()10.5P ξ<-=.由正态曲线的对称性知1μ=-， ∴()1,1N ξ-，∴1μ=-，1σ=，∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=， ∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈， ∴()()()10131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592≈⨯-=. 故选：B.2．(2021·全国·高二课时练习)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --=，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B【解析】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.3(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( ) A ．0.341 3 B ．0.317 4 C ．0.158 7 D ．0.158 6 【答案】C【解析】由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7.故选：C4．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P x >=，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】因为随机变量X 服从正态分布(,4)N a ， 所以曲线关于x a =对称，且()0.5P x a >=， 由(1)0.5P x >=，可知1a =. 故选：A.5．(2021·全国·高二单元测试)若随机变量X ～N (μ，σ2)(σ＞0)，则有如下结论：()0.6826,(22)0.9544,P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤，高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为( ) A ．19 B ．12 C ．6 D ．5【答案】C【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布N (120，102)， 又()0.6826P X μσμσ-<≤+= ∴(1201012010)0.6826P X -<≤+=根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为12(1﹣0.6826)＝0.1587∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6. 故选：C6．(2021·河南·辉县市第一高级中学高二月考(理))已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.7 D ．0.2【答案】B【解析】依题意4μ=，4264-=-，所以()()260.50.320.4P ξ<<=-⨯=.故选：B7．(2021·全国·高二单元测试)为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩X (满分100分)服从正态分布()260,N σ，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为( ) A ．18 B ．22 C ．26 D ．30【答案】D【解析】由题意，得460(80)0.02320000P X >==．又()260,X N σ~， 所以由正态分布曲线的对称性可得(4080)12(80)0.954(602602)P X P X P X σσ≤≤=->==-≤≤+，故10σ=，所以(3090)0.997P X ≤≤=， 所以1(3090)(90)0.00152P X P X -≤≤>==，则90分以上的人数为200000.001530⨯=，即进入集训队的人数为30． 故选：D8．(2021·全国·高二课时练习)甲命题：若随机变量()2~3,X N σ，()20.3P X ≤=，则()40.7P X ≤=.乙命题：随机变量()~,Y B n p ，且()300E Y =，()200D Y =，则13p =.下列说法正确的是( )A ．甲正确、乙错误B ．甲错误、乙正确C ．甲错误、乙也错误D ．甲正确、乙也正确【答案】D【解析】∵随机变量X 服从正态分布()23,N σ，∴曲线关于直线3x =对称，∴()()4120.7P X P X ≤=-≤=，∴甲命题正确；随机变量(),~Y B n p ，且()300E Y =，()200D Y =，则()300,1200,np np p =⎧⎨-=⎩解得13p =，∴乙命题正确.故选：D.9．(2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))某电动汽车配件生产厂生产1000个配件，已知生产的配件的尺寸(单位：cm )指标ξ服从正态分布()2100,N δ，若()1001100.36P ξ≤≤=，则估计该批配件尺寸超过110cm 的个数为( ) A ．140B ．180C ．280D ．540【答案】A【解析】由()2~100,N ξδ，()1001100.36P ξ≤≤=，可得()1100.50.360.14P ξ>=-=，所以估计该批配件尺寸超过110cm 的个数为140. 故选：A10．(2021·湖北十堰·高二期末)某服装专卖店的某款上衣的月销量X 服从正态分布()120,36X N ～，若()09772P X k =≤.，则k =( )(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=)A ．126B ．132C ．156D ．192【答案】B【解析】因为X 服从正态分布()120,36X N ～，所以120μ=，6σ=， 因为()0.954420.50.97722P X μσ+=+=≤， 所以2132k μσ=+=. 故选：B11．(2021·河南平顶山·高二期末(理))设每天去某网红景点旅游的人数(单位：万人)为随机变量X ，且()22,0.5XN ，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为( )参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=，()220.9545P X μσμσ-≤≤+=，()330.9973P X μσμσ-≤≤+=．A ．0.97725B ．0.84135C ．0.6827D ．0.15865【答案】B 【解析】∵()22,0.5X N ，∴()()1.5 2.520.520.50.6827P X P X ≤≤=-≤≤+=，∴()10.68271.50.158652P X -<==，∴()1.510.158650.84135P X ≥=-=． 故选：B.12(2021·全国·高二单元测试)(多选)红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X 表示其测量体温误差，且()2~0.2,0.3X N ，则下列结论正确的是(附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()68.3%P X μσμσ-≤≤+≈，())2295.4%P X μσμσ-≤≤+≈( )A ．()0.2E X =，()0.3D X =B ．()0.20.5P X ≥=C ．()0.50.1585P X ≥≈D ．()0.40.023P X ≤-≈【答案】BCD【解析】依题意()2~0.2,0.3X N ，所以0.2μ=，220.3σ=，即()0.2E X =，()20.3D X =，故A 错误；由于0.2μ=，所以()0.20.5P X ≥=，故B 正确；由于0.2μ=，0.3σ=，所以()()10.10.510.6830.50.158522P X P X --≤≤-≥=≈=，故C 正确.由于0.2μ=，0.3σ=，所以()()10.40.810.9540.40.02322P X P X --≤≤-≤-=≈=，故D 正确.故选：BCD.13．(2021·全国·高二课时练习)(多选)若随机变量()0,1N ξ，()()x P x ϕξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的是( ) A ．()()1x x ϕϕ-=- B ．()()22x x ϕϕ= C ．()()21P x x ξϕ<=- D ．()()2P x x ξϕ>=-【答案】AC【解析】因为随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ， 所以正态曲线关于0ξ=对称，如图所示.又()()x P x ϕξ=≤，0x >，所以()()()()1x P x P x x ϕξξϕ-=≤-=≥=-，故选项A 正确；因为()()22x P x ϕξ=≤，()()22x P x ϕξ=≤，所以()()22x x ϕϕ≠，故选项B 不正确；因为()()()()()1212121P x P x x x x x ξξϕϕϕ<=-<<=--=--=-⎡⎤⎣⎦，故选项C 正确；()()()()112122P x P x x x ξξϕϕ>=-<=--=-⎡⎤⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC.14．(2021·河北大名·高二期中)(多选)设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且X 落在区间(4,2)--内的概率和落在区间(2,4)内的概率相等．若(2)P X p >=，则下列结论正确的有( ) A ．0μ= B ．2σ=C ．1(02)2P X p <<=- D ．(2)P X p <-=【答案】ACD【解析】∵正态分布()2,N μσ关于x μ=对称，又X 落在区间(4,2)--内的概率和落在区间(2,4)内的概率相等，∴0μ=，故A 正确；∵正态分布()2,N μσ关于0x =对称，∴1(0)2P X >=，则1(02)(0)(2)2P X P X P X p <<=>->=-，故C正确；(2)(2)P X P X p <-=>=，σ不确定，B 错误，D 正确． 故选：ACD ．15．(2021·福建厦门·高二期末)(多选)随机变量()~2,4X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．()()41P X P X >><D ．()()131P X P X >+>=【答案】AD【解析】因为()~2,4X N ，则()2E X =，()4D X =，A 对，B 错；()()()401P X P X P X >=<<<，C 错；()()()()13111P X P X P X P X >+>=>+<=，D 对. 故选：AD.16．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是______.(填序号)①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->； ②()()()210P a P a a ξξ<=<->；③()()()120P a P a a ξξ<=-<>； ④()()()10P a P a a ξξ<=->>. 【答案】②④【解析】因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以①不正确； 因为()()P a P a a ξξ<=-<<()()()()P a P a P a P a ξξξξ=<-<-=<-> ()()()()121P a P a P a ξξξ=<--<=<-， 所以②正确，③不正确；因为()()1P a P a ξξ<+>=，所以()()()10P a P a a ξξ<=->>，所以④正确. 故答案为：②④.17．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，且()()0P X a m a <-=>，则()P X a <=______.【答案】12m -【解析】由正态曲线的对称性及意义可得：()()2[((0)()]20.512P X a P X P X a m m <=<-<-=-=-.故答案为：12m -．18．(2021·全国·高二单元测试)已知()~0,1X N ，如图是正态分布()0,1N 的密度函数图像，若()23P X a <=，则图中阴影部分的面积为___________.【答案】16【解析】∵()23P X a <=，∴()21133P X a <-=-=，∴图中阴影部分的面积为()11112236P X a -<-=-=，故答案为：16.【题组三 正态分布的应用(解答题)】1．(2021·全国·高二课时练习)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E (ξ)．≈2.63，若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3．【答案】(1)17.40千元；(2)①14.77千元；②E (ξ)＝977.3． 【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元)故估计50位农民的年平均收入17.40千元．(2)由题意知，随机变量(17.40,6.92)X N ，①0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元． ②由0.9554(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ>=>-=+≈， 每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773， 则(1000,)B p ξ，其中0.9973p =，所以()10000.9973977.3E ξ=⨯=．2．(2021·山东无棣·高二期中)为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表．(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；(2)若该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()64,225N ，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)； ②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤+≈＜．【答案】(1)1433；(2)①1587；②分布列见解析，数学期望为2． 【解析】(1)由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人获奖，70人没有获奖，故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率P ＝11307021001433C C c =．(2)该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布N (64，225)， ①∵μ+σ＝79， ∴P (X ＞79)10.68270.158652-≈=， ∴估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865×10000≈1587． ②∵μ＝12，∴P (X ＞64)＝12，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12， ∴随机变量ξ～B (4，12)，P (ξ＝k )＝4411()()22k k k C - (k ＝0，1，2，3，4)，所以P (ξ＝0)＝440011()(6)221=1C ，P (ξ＝1)＝341111()(4)221=C ， P (ξ＝2)＝242211()(8)223=C ，P (ξ＝3)＝143311()(4)221=C ， P (ξ＝4)＝044411()(6)221=1C ， ∴ξ的分布列为：故E (ξ)＝4×122=． 3．(2021·全国·高二单元测试)设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间(单位：min)X ～N (50，102)，乘地铁所需时间Y ～N (60，42)，则 (1)若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？(2)由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E (ξ).(已知P (μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ)＝0.9974，P (μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ)＝0.9544)【答案】(1)乘地铁；(2)分布列见解析，23.【解析】(1)乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==--因此在这种情况下应乘地铁. (2)ξ的取值为0，1，2.则P (ξ＝0)＝2426C C ＝25，P (ξ＝1)＝112426C C C ＝815，P (ξ＝2)＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×25+1×815+2×115＝23. 4．(2021·全国·高二课时练习)零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布()2,N μσ.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸i x (1,2,3,,10i =，单位：mm )：用样本的平均数x 作为μ的估计值，用样本的标准差s 作为σ的估计值.(1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在[]3,3μσμσ-+范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格；(2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在[]99.7,100.3范围内，则该零件为A 级零件，每个零件定价100元，否则为B 级零件，每个零件定价60元.哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：1021100601.8ii x =≈∑，样本方差()22221111n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑.【答案】(1)合格；(2)方案2，说明见解析.【解析】(1)由表格中数据计算可得1011100.310i i x x ===∑，()101022221111100.091010i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑.故可得100.3μ=，0.3σ=，所以399.4μσ-=，3101.2μσ+=结合题中表中数据知所有样本都在区间[]99.4,101.2内，故该切割设备质量合格； (2)方案1：每个零件售价为70元.方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，故ξ可取60，100. 由(1)可知，该设备生产的零件尺寸()2100.3,0.3XN ，所以()()()10099.7100.320.47725P P X P X ξμσμ==≤≤=-≤≤=；()()6011000.52275P P ξξ==-==. 所以随机变量ξ的分布列为故()600.522751000.47725600.51000.477770E ξ=⨯+⨯>⨯+⨯=>. 综上，可得方案2的利润更大.5．(2021·全国·高二单元测试)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准(2014年修订)》(简称《标准》)，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(满分100分)，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生测试成绩的平均数x 和方差2s (同一组数据用该组区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图知，该市高三学生的健康指数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①求()63.498.2P X <≤；②已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间(]63.4,98.2的人数为ξ，求E ξ.1.16.若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈.【答案】(1)75x =，2135s =；(2)①0.8185；②8185.【解析】(1)由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ()()()()()22222251540754545755575657575758575200200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+()2209575135200-⨯=. (2)①由(1)知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈，∴()()1163.498.220.95440.68260.818522P X P X μσμσ<≤=-<≤+≈⨯+⨯=.②依题意，知()~10000,0.8185B ξ， 则100000.81858185E ξ=⨯=.6．(2021·全国·高二课时练习)某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm ).97 97 98 102 105 107 108 109 113 114 (1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D 打印设备打印出的零件内径Z 服从正态分布()2,N μσ，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm )86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：()220.954P Z μσμσ-<≤+≈，()330.997P Z μσμσ-<≤+≈，30.9540.87≈，40.9970.99≈，20.0460.002≈.【答案】(1)105μ=，6σ=；(2)需要，答案见解析. 【解析】(1)利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ.97979810210510710810911311410510μ+++++++++==.264644990491664813610σ+++++++++==，∴6σ=.(2)需要进一步调试.∵Z 服从正态分布()105,36N ，()330.997P Z μσμσ-<≤+≈，∴内径在()87,123之外的概率为0.003，而()8687,123∉，根据3σ原则，需要进一步调试.7(2021·河北·大名县第一中学高二月考)人口普查是调查国情国力的一种方式，也是提供全国人口数据的主要来源，距今为止我国已经进行了七次人口普查.某教育机构对河北省全省高中男生身高进行统计，统计调查数据显示：全省接受统计的100000名男生的身高服从正态分布()170.5,16N .现从我校高二年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[)157.5,162.5，第二组[)162.5,167.5，，第六组[]182.5,187.5.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估我校高二年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数；(3)在这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值.参考数据：若()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.【答案】(1)高于全省的平均值170.5；(2)10人；(3)1. 【解析】(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.25010⨯=，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数为10人.(3)∵(170.534170.534)0.9974P ξ-⨯<≤+⨯=， ∴10.9974(182.5)0.00132P ξ-≥==，0.0013100000130⨯=. ∴全省前130名的身高在182.5cm 以上，这50人中182.5cm 以上的有5人.随机变量ξ可取0，1，2，于是()252101020459C P C ξ====，()11552102551459C C P C ξ====，()252101022459C P C ξ====， ∴252()0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.8．(2021·湖北·武汉市光谷第二高级中学高二月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用(i)的结果，求()E X .12.2≈，若()2~,Z N μσ则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=．【答案】(I)200x =，2150s =；(II)(i) 0.6827；(ii)68.27. 【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．(II)(i)由(I)知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6827+=．(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6827， 依题意知(100,0.6827)X B ~，所以()1000.682768.27E X =⨯=．。
高二数学正态分布试题答案及解析
高二数学正态分布试题答案及解析1.随机变量服从正态分布，已知，则=（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6【答案】D【解析】随机变量服从正态分布，图象关于对称，，所以.【考点】正态分布的应用.2.如果随机变量，且，则＝．【答案】0.1【解析】所以，那么，故应填0.1.【考点】正态分布.3.设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．【答案】①②③④⑤【解析】正态曲线关于y轴对称，故①②正确．对于③，P(X＜－1)＝(1－P(|X|＜1))，＝(1－0.6826)＝0.1587，故③正确；对于④，P(X＜2)＝(1－P(|X|＜2))＋P(|X|＜2)＝(1－0.9544)＋0.9544＝0.9772；故④正确，同理⑤正确．4.若一批白炽灯共有10000只，其光通量X服从正态分布，其正态分布密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)(203,215)；(2)(191,227)．【答案】(1) 6826 (2) 9974【解析】解：由于X的正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6＝203，μ＋σ＝209＋6＝215.μ－3σ＝209－6×3＝209－18＝191，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18＝227.因此光通量X的取值在区间(203,215)，(191,227)内的概率应分别是0.6826和0.9974.(1)于是光通量X在(203,215)范围内的灯泡个数大约是10000×0.6826＝6826.(2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是10000×0.9974＝9974.5.已知随机变量服从正态分布，且，则= .【答案】0.3【解析】随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞4）=1－0.8=0.2，∴=0.5－0.2=0.3，故答案为0.3.【考点】正态分布点评：简单题，随机变量ξ服从正态分布，得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于4的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．6.设随机变量服从正态分布，，则【答案】【解析】.7.设随机变量服从二项分布，且；【答案】3.2【解析】解：因为随机变量服从二项分布，则8.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为；【答案】0.8【解析】由题意知在内取值的概率为0.4,则在内取值的概率也为0.4,所以在内取值的概率为0.8.9.设随机变量服从正态分布，则。
高中试卷-专题7.5 正态分布(含答案)
专题7.5 正态分布姓名： 班级： 重点正态分布的特征难点正态分布的相关计算例1-1．已知随机变量)2(~2σ，N X （0>σ），若7.0)4(=<X P ，则=<)0(X P （ ）。
A 、2.0B 、3.0C 、5.0D 、7.0【答案】B【解析】∵随机变量)2(~2σ，N X （0>σ），当7.0)4(=<X P ，又∵5.0)2(=<X P ，∴2.0)42(=<<X P ，根据正态分布的对称性可得2.0)20(=<<X P ，∴3.02.05.0)0(=-=<X P ，故选B 。
例1-2．已知)41(~，N η，若)1()2(-<η=>ηa P a P ，则=a （ ）。
A 、1-B 、0C 、1D 、2【答案】C【解析】∵)41(~，N η，∴对称轴方程为1=η=x ，∵)1()2(-<η=>ηa P a P ，∴1212=-+a a ，解得1=a ，故选C 。
例1-3．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布)1675(，N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在]8379(，内的个数约为（ ）。
附：若)(~2σμ，N X ，则6827.0)(=σ+μ≤<σ-μX P ，9545.0)22(=σ+μ≤<σ-μX P 。
A 、134B 、136C 、817D 、819【答案】B【解析】由题意，75=μ、4=σ，则)]()22([21])8379(σ+μ≤<σ-μ-σ+μ≤<σ-μ=≤<X P X P X P 1359.026827.09545.0=-=，故直径在]8379(，内的个数约为1369.1351359.01000≈=⨯，故选B 。
例1-4．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险。
为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布)3.01.0(2，N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间)7.04.0(，内的概率为（ ）。
北师大版数学【选修2-3】练习：2.6 正态分布(含答案)
第二章 §6一、选择题1．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.2．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585[答案] B[解析] P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.3．已知ξ～N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84[答案] A[解析] 因为ξ～N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.二、填空题4．已知随机变量X ～N (3，σ2)，且P (X ≥4)＝0.16，则P (2<X ≤3)＝________. [答案] 0.34[解析] 如图可知P (X ≤2)＝P (X ≥4)＝0.16，所以P (2<X <4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68， 所以P (2<X ≤3)＝12P (2<X <4)＝12×0.68＝0.34.5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．[答案] 0.8[解析] 由X ～N (1，σ2)可知，密度函数关于x ＝1对称，从而X 在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率．∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,1)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2)＝0.4＋0.4＝0.8. 三、解答题6．某糖厂用自动打包机打包，每包质量X (单位：kg)服从正态分布N (100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计质量在下列范围内的糖包数量：(1)(100－1.2,100＋1.2)； (2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．[解析] 因为X ～N (100,1.22)，所以μ＝100，σ＝1.2.(1)由于随机变量X 在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，而该正态分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包质量位于区间(100－1.2,100＋1.2)内的概率为0.683.所以估计质量在(100－1.2,100＋1.2)范围内的糖包数量为1500×0.683≈1025包．(2)由于随机变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为0.997，而该正态分布中，μ－3σ＝100－3×1.2，μ＋3σ＝100＋3×1.2.于是糖包质量位于区间(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的概率为0.997.所以估计质量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)范围内的糖包数量为1500×0.997≈1496包.一、选择题1．设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( ) A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.975[答案] C[解析] P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－P (ξ≥1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.2．若Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ)D ．2Φ(μ＋σ)[答案] B[解析] P (|ξ－μ|<σ)＝P (－σ<ξ－μ<σ)＝P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝P (ξ<μ＋σ)－P (ξ≤μ－σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B.3．已知ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4[答案] A[解析] P (ξ>2)＋P (0≤ξ≤2)＋P (－2≤ξ≤0)＋P (ξ<－2)＝1，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (0≤ξ≤2)＝p (－2≤ξ≤0)，所以P (ξ>2)＝12×[1－2P (－2≤ξ≤0)]＝0.1.4．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.5．某地区数学考试的成绩X 服从参数为σ2＝64的正态分布，其正态分布密度函数图像如图所示，则成绩X 位于区间(52,68)内的概率为( )A ．0.954B ．0.997C ．0.683D ．不确定[答案] C[解析] 观察图中正态分布密度函数图像可知，对称轴为x ＝60，由正态分布密度函数图像的性质可知μ＝60.又σ2＝64，所以X 服从正态分布N (60,64)，由于52＝60－8,68＝60＋8，则成绩X 位于区间(52,68)内的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683.二、填空题6．如图所示为两条正态分布曲线．①为fμ1，σ1(x )的图像； ②为fμ2，σ2(x )的图像．μ1________μ2，σ1________σ2(填“<”、“>”或“＝”)． [答案] < >[解析] 根据图像关于直线x ＝μ对称可知μ1<μ2，又由σ(σ>0)的大小决定图像的“胖瘦”，σ越小，图像越“高瘦”，可知σ1>σ2.7．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y ，已知Y ～N (1 000,302)，要使灯管的平均寿命在1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在________小时．[答案] 910[解析] 因为P (μ－3σ<Y <μ＋3σ)＝99.7%，又Y ～N (1 000,302)，所以Y 在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910,1 090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．三、解答题8．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)．投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择哪一个方案？[解析] 对于第一种方案有X ～N (8,32)其中μ＝8，σ＝3， P (X >5)＝1－P (5<X ≤11)2＋P (5<X ≤11)＝1＋P (5<X ≤11)2＝1＋0.6832对于第二种方案有X ～N (7,12)，其中μ＝7，σ＝1 P (X >5)＝1－P (7－2<X ≤7＋2)2＋P (7－2<X ≤7＋2)＝1＋P (7－2<X ≤7＋2)2＝1＋0.9542比较知，“利润超过5万元”的概率以第二种方案为大，可选第二个方案．[点评] 本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊区间概率的值求概率，要体会应用方法．9．设ξ～N (1,22)，试求： (1)P (－1<ξ≤3)；(2)P (3<ξ≤5)； (3)P (ξ≥5)．[分析] 由ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2， ∴正态密度曲线关于直线x ＝1对称． [解析] ∵ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<ξ≤3)＝P (1－2<ξ≤1＋2)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3<ξ≤5)＝P (－3<ξ≤－1)，∴P (3<ξ≤5)＝12[P (－3<ξ≤5)－P (－1<ξ≤3)]＝12[P (1－4<ξ≤1＋4)－P (1－2<ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12[0.954－0.683]＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)， ∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3<ξ≤5)]＝12[1－P (1－4<ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023. 10．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间(单位：min)服从正态分布N (50,102)；第二知路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60,42)．问：如果有65min 时间可以利用，应走哪一条路线？[分析] 有关正态分布的概率问题，均应化为标准正态分布去处理． [解析] 设ξ为行走的时间，如有65min 时间可利用，则： (1)若走第一条路线，ξ～N (50,102)，及时赶到汽车站的概率为 P (ξ≤65)＝Φ(65－5010)＝Φ(1.5)＝0.933 2；(2)若走第二条路线，ξ～N (60,42)，及时赶到汽车站的概率为 P (ξ≤65)＝Φ(65－604)＝Φ(1.25)＝0.894 4.显然走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线． [点评] 利用标准正态分布表可以顺利地求出服从正态分布的随机变量的概率，进而可使实际问题得到顺利地解决．。
正态分布及其经典习题和答案
25.3正态分布【知识网络】1、 取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、 通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1 : (1)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E (X ) =2.4 , V (X ) =1.44，则二项分布的参数 n , p 的值为 ) A . n=4, p=0.6B . n=6,p=0.4(2) 正态曲线下、横轴上，从均数到2 (填大于，小于)例3 :甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量(1) 求a,b 的值； (2) 比较两名射手的水平例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有 6个白球和6个红球，除颜色不同外， 6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白， 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为 这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”C . n=8, P=0.3D . n=24, p=0.1的面积为（）。
分到 A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能确定(与标准差的大小有关)(3) 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 90分的人数是() A 32B16C8D(4) 从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 (5) 如图，两个正态分布曲线图：80,标准差为10,理论上说在 80201 为 1,1（x ） ,2 为2 2（X ）,例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其中的 8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试, (I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望; (n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率X 和丫，其分布列如下:至少答对 2题才算合格.1答案: B 。
正态分布练习含答案
正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ, 相应的正态曲线的形状越扁平;A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C;解析：由正态密度曲线图象的特征知;2. 已知随机变量X 服从正态分布N 3,σ2则PX <3等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由正态分布图象知,μ＝3为该图象的对称轴,PX <3＝PX >3＝错误!.答案：D3．设两个正态分布Nμ1,σ错误!σ1>0和Nμ2,σ错误!σ2>0的密度函数图象如图所示,则有A ．μ1<μ2,σ1<σ2B ．μ1<μ2,σ1>σ2C ．μ1>μ2,σ1<σ2D ．μ1>μ2,σ1>σ2解析：由图可知,μ2>μ1,且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论不正确的是 ;A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==;5. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为fx ＝错误!e 2(80)200x e -- x ∈R ,则下列命题不正确的是A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知,均值期望μ＝80,标准差σ＝10,又曲线关于直线x ＝80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同,所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N 3,22,若X ＝2η＋3,则Dη等于A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3,得DX ＝4Dη,而DX ＝σ2＝4,∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C;解析：由已知X —N100,36, 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=; 8. 某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是A. 32B. 16C. 8D. 20答案：B;解析:数学成绩是X —N80,102,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭;二．填空题9. 若随机变量X ～Nμ,σ2,则PX ≤μ＝________.解析：由于随机变量X ～Nμ,σ2,其概率密度曲线关于x ＝μ,对称,故PX ≤μ＝错误!.答案：错误!10. 已知正态分布总体落在区间0.2,＋∞的概率为0.5,那么相应的正态曲线fx 在x ＝________时达到最高点．解析：∵PX >0.2＝0.5,∴PX ≤0.2＝0.5,即x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时,fx 达到最高点．答案：0.211. 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布N 1,σ2σ>0．若X 在0,1 内取值的概率为0.4,则X 在0,2内取值的概率为________．解析：∵X 服从正态分布1,σ2,∴X 在0,1与1,2内取值的概率相同均为0.4.∴X 在0,2内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案：0.812. 商场经营的某种包装大米的质量单位：kg 服从正态分布X ～N 10,0.12,任选一袋这种大米,质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．解析：P 8<X <10.2＝P 10－0.2<X <10＋0.2＝0.954 4.答案：0.954 413.若随机变量X 的概率分布密度函数是()228,1(),()22x x e x R μσφπ+-=∈,则)12(-X E = ;答案：-5;解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-;三．解答题14.设X ～N 10,1,设PX ≤2＝a ,求P 10<X <18．解： P 10<X <18 ＝P 2<X <10＝PX <10－PX ≤2＝错误!－a . 15.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 错误!,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个解：∵X ～N 错误!,∴μ＝4,σ＝错误!.∴不属于区间3,5的概率为PX ≤3＋PX ≥5＝1－P 3<X <5＝1－P 4－1<X <4＋1＝1－Pμ－3σ<X <μ＋3σ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003.∴1 000×0.003＝3个,即不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有3个．16.某人乘车从A 地到B 地,所需时间分钟服从正态分布N 30,100,求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解：由μ＝30,σ＝10,Pμ－σ<X≤μ＋σ＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6,又由于Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝0.954 4,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8,由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.17. 一批电池一节用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少答案：解：电池的使用寿命X—N35.6,4.42则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4XP X P P Z P Z--≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587;。
国开作业实用卫生统计学-第二章 正态分布 自测练习44参考（含答案）
题目：正态分布曲线下，横轴上在（μ-1.96б,μ+1.96б）范围内的面积占全部面积的多少？（）
选项A：99%
选项B：97.5%
选项C：60%
选项D：95%
答案：95%
题目：某市6岁男童身高均数为115cm，标准差为10cm，以下哪项是正确的？（）
选项A：5%的6岁男童身高≦95cm
选项B：2.5%的6岁男童身高≥125cm
选项C：2.5%的6岁男童身高≥134.6cm
选项D：5%的6岁男童身高≥95cm
答案：2.5%的6岁男童身高≥134.6cm
题目：标准正态分布曲线的特征是（）
选项A：μ=0，б=0
选项B：μ=1，б=1
选项C：μ=0，б=1
选项D：μ=1，б=0
答案：μ=0，б=1
题目：用百分位数确定医学参考值范围，适用于以下哪种分布？（）
选项A：对数正态分布
选项B：任何分布
选项C：正态分布
选项D：偏态分布
答案：偏态分布
题目：正态分布有两个参数，曲线形状越扁平，意味着以下哪项正确？（）选项A：μ与б越接近
选项B：б越小
选项C：μ越大
选项D：б越大
答案：б越大
题目：对称分布就是正态分布
选项A：对
选项B：错
答案：错
题目：用均数和标准差可以全面描述正态分布资料的特征
选项A：对。
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正态分布
一.选择题：
1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A ．μ越大
B ．μ越小
C ．σ越大
D ．σ越小
答案： C 。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
2. 已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)则P (X <3)等于 ( )
A.15
B.14
C.13
D.12
解析：由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P (X <3)＝P (X >3)＝12
. 答案：D
3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 ( )
A ．μ1<μ2，σ1<σ2
B ．μ1<μ2，σ1>σ2
C ．μ1>μ2，σ1<σ2
D ．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：由图可知，μ2>μ1，且σ2>σ1. 答案：A
4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论不正确的是 。
A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ
B. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ
C. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ
D. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ
答案：C 解析：(||)0P a ξ==。
5. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
f (x )＝12π·10e 2(80)200x e -- (x ∈R )，则下列命题不正确的是 ( ) A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10
解析：由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分
以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的．
答案：B
6. 已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D η等于 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：由X ＝2η＋3，得DX ＝4Dη，而DX ＝σ2＝4，∴D η＝1.
答案：B
7. 在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是 （ ）
A ．0.6826
B ．0.3174
C ．0.9544
D ．0.9974
答案：C 。
解析：由已知X —N （100，36）， 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466
P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=。
8. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在
80分到90分的人数是 （ ）
A. 32
B. 16
C. 8
D. 20
答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)，
80809080(8090)(01)0.3413,480.34131610
10P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
二．填空题
9. 若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.
解析：由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其概率密度曲线关于x ＝μ，对称，故P (X ≤μ)＝12.
答案：12
10. 已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时
达到最高点．
解析：∵P (X >0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5，
即x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时，f (x )达到最高点．
答案：0.2
11. 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1) 内取值的概率为0.4，则
X 在(0,2)内取值的概率为________．
解析：∵X 服从正态分布(1，σ2)，
∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴X 在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8
答案：0.8
12. 商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg )服从正态分布X ～N (10,0.12)，任选一袋这种
大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．
解析：P (8<X <10.2)＝P (10－0.2<X <10＋0.2)＝0.954 4.
答案：0.954 4
13.若随机变量X
的概率分布密度函数是()2
28,(),()x x x R μσφ+-=∈，则
)12(-X E = 。
答案：-5。
解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-。
三．解答题
14.设X ～N (10,1)，设P (X ≤2)＝a ，求P (10<X <18)．
解： P (10<X <18) ＝P (2<X <10)
＝P (X <10)－P (X ≤2)＝12－a . 15.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N ⎝
⎛⎭⎪⎫4，19，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解：∵X ～N ⎝⎛⎭⎫4，19，∴μ＝4，σ＝13
. ∴不属于区间(3,5)的概率为
P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3<X <5)
＝1－P (4－1<X <4＋1)
＝1－P (μ－3σ<X <μ＋3σ)
＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003.
∴1 000×0.003＝3(个)，
即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．
16.某人乘车从A 地到B 地，所需时间(分钟)服从正态分布N (30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．
解：由μ＝30，σ＝10，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的
地的概率为0.682 6，又由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至20分
钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于
直线x ＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.
17. 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？
答案：解：电池的使用寿命X —N(35.6,4.42) 则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4
X P X P P Z P Z --≥=≥=≥=-≤= 即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。