2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二(上)数学期中试卷带解析答案

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2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下：第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2；第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3；第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4；第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5；第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6；第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分（2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分又因为 AC FB ⊥，因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分（Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分所以 EA //MN ． ……………10分因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分（Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分（Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。

2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题(解析版)

2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．若集合{12},{32}a A B ==，，，且}2{=B A ，则实数a 的值为________．【答案】1【解析】试题分析：因为}2{=B A ，所以2{32}22 1.a aB a ∈=⇒=⇒=，【考点】集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为________．【答案】65【解析】试题分析：由ααcos 2sin =得tan 2α=，因此22222222sin 2cos tan 2426sin 2cos .sin cos tan 1415αααααααα++++====+++ 【考点】弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． 2．商数关系：tan α＝sin cos αα（α≠2π＋k π，k ∈Z ）．二、1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos αα＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α．3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】 1.a ≤【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤ 【考点】命题真假4．已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________．【答案】320x y ++=【解析】试题分析：由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=【考点】两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）；（2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．（3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C '++=，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C '-+=5．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________．【答案】5.2【解析】试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=【考点】椭圆定义6．函数()sin (0)f x x x x π=-≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()s i n 3c o s2s i n ()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0xπ-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．【考点】三角函数单调区间7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________．【答案】0.a =【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==【考点】导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________．【答案】10001x x ><<或【解析】试题分析：由题意得：1(|l g|)1|lg |l g 1110110xx x xf f x x <⇒<⇒><-⇒>（））或或【考点】函数奇偶性及单调性9．在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,8,10a b ==,ABC ∆的面积为ABC ∆的最大角的正切值是________．【答案】【解析】试题分析：由题意得12810sin sin (2233C C C C ππ=⨯⨯⨯⇒=⇒==或舍)，由余弦定理得：22218102810842c =+-⨯⨯⨯=，因此B 角最大，22cos tan B B === 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+= ，则||BA BCBC ⋅的值为________．【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅==【考点】向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a=-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________．【答案】0 2.a <≤【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1f a f a f a a≤≥-≤，即212,2,a aaa a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 【考点】二次函数最值12．若直线220x y +-=与椭圆221mx ny +=交于点C,D,点M 为CD 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为12，且OC OD ⊥，则m n +=________．【答案】5.4【解析】试题分析：设112233(,),(,),(,)C x yD x y M x y ，则22211221,1m x n y m xn y +=+=，两式相减得：222212*********()()0()()0(2)(2)()02CD m x x n y y m x x n y y k m x n y -+-=⇒+++=⇒+-=111()0()04.222OM m nk m n n m ⇒+-=⇒+⨯-=⇒=由直线220x y +-=与椭圆2241mx my +=方程消去x 得：218840y y m -+-=，又12121212054()40OC OD x x y y y y y y ⊥⇒+=⇒-++=所以14154140.84m m -⨯-⨯+=⇒=5.4m n += 【考点】直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.xx x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e '≤∈；当10x -<≤时，()[1,f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 【考点】函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2，即|222k ≤⇒-≤≤【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．二、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0,22A ππωϕ>>-<<）的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式（2）若6(),0,52f παα=<<求(2)12f πα+的值【答案】（1）)6sin(2)(π-=x x f （2）【解析】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅2=A ，由最值点距离确定周期π2=T ，进而确定1=ω，最后根据最值点确定6πϕ-=（2）先由56)(=αf 确定角α满足条件：53)6sin(=-πα，因为)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f 2sin(2)cos 2cos(2)sin3434ππππαα=-+-因此由20πα<<得54)6cos(=-πα，从而24sin(2)2sin()cos()36625πππααα-=--=，257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα，从而(2)12f πα+=25试题解析：解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ，又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=．于是，)6sin(2)(π-=x x f ．由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα．因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα．所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα． 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα．所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f2sin(2)cos 2cos(2)sin 3434ππππαα=-+-=．【考点】三角函数解析式，三角函数求值16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值；（2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）25(34【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADB AB ABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ．故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以25(35cos7524BA DA ⋅=⨯⨯=．【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ．（2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+=试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ．因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=．不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-= ，故2=a ．故圆0242:22=+-++y x y x C ．【考点】直线与圆位置关系，圆方程【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G ．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG=50m ．在观测点正前方10m 处（即PD=10m ）有一个高位10m （即ED=10m ）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为X 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠）的正切值为3941,求该圆形标志物的半径．【答案】（1）22225)25(:=-+y x C ，020034=+-y x （2）40=r【解析】试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为(0,25)，半径为25r =，因此22225)25(:=-+y x C ，求直线PF 的方程实质求过点P 的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，则25150252=++k k解得34=k ；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF 的斜率k ：因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ，所以rr =+-81160020009，40=r试题解析：解：（1）圆22225)25(:=-+y x C ．直线PB 方程：050=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C 相切，所以25150252=++k k，解得34=k ．所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即020034=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+．因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ．所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ．因为直线PF 与圆C 相切，所以rr =+-81160020009，化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r ．故40=r ．【考点】直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x 0，y 0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 为椭圆的右焦点，点A,B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M ．（1）若2=a ，ABM ∆的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1222=+y x （2）不存在【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“ABM ∆的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M 的横坐标222b ca ，即得三角形的高，因此1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△，又因为2=a ，所以1==c b ．（2）由中点坐标公式得))4(,4(22222a a c b a c b D -，再根据点D 也在椭圆上，得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线bx b cy BF -=:．联立可得))2(,2(22222a a c b a c b M -．所以1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△．又因为2=a ，所以1==c b ．所以椭圆方程为1222=+y x ．因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -．代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ．化简得012224=+-e e ．因为04<-=∆，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上．【考点】椭圆标准方程【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程． 20．已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）若2a =，求函数()f x 的极值；（2）已知函数()f x 在点(1,(1))A f 处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过()y f x =的图像（即函数()f x 上的动点P 在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式；（3）若0a >，函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点，求实数a 的值．【答案】（1）函数)(x f 的极小值为1)1(=f ．（2）2-=a （3）1=a【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域(0,)+∞，再求函数导数：x x x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数()()()h x f x l x =-，（其中()l x 为切线函数）满足1为()0h x '=唯一零点，先表示切线方程：(1)2k f a '==-，)1)(2(1--=-x a y ，构造函数()()()h x f x l x =-，求导函数(2)(1)()x a x h x x +-'=，因此2-=a （3）先分析函数()()g x f x ax =-变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。

江苏省如东县高二数学上学期期中复习练习(一)苏教版

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.设合集2,|01x U R A x x -⎧⎫==≤⎨⎬+⎩⎭，2{|log 2}B x x =<，则B A ⋂= 2.设等差数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a += 3．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是___________.4．已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5的等差数列，且最小角为120，则它为 ______边形5．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则=n S __________6．已知数列{}n a 的前n 项和23nn S =-，则数列{}n a 的通项公式为 .7．已知 a>0 ,b>0,2=+b a 则ba y 41+=的最小值 8．已知,x y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +最大值为 .9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)(*)N nS n n n∈均在函数23-=x y 的图象上．则数列{}n a 的通项公式为10．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________.11．若实数y a a a x ,,,,321 成等差数列，实数 y b b b x ,,,,321成等比数列，则31231)(b b a a +的取值范围12．设首项为-20的数列{}n a 为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取值范围是 _______ ____.13．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在区间(－2,0)上，另一个根在区间(1,3)上，则实数a 的取值范围。

14．等差数列﹛n a ﹜中，n S 为它的前n 项和，且6S ＜7S ，7S ＞8S 则： ① 此数列的公差d ＜0 ； ②9S 一定小于6S ； ③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 的最大项其中正确命题的序是。

江苏省南通市如东高中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（2015春•安庆期末）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式x2+x﹣2≤0化为（x﹣1）（x+2）≤0，求出x的取值范围，写出不等式的解集．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答，是基础题．2．（2016•松江区二模）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．（2016秋•如东县校级期中）椭圆的离心率的值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的长轴与焦距，然后求解离心率即可．【解答】解：椭圆，可得a=2，c=1．所以椭圆的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．（2016秋•如东县校级期中）已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是a＞﹣3．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；定义法；不等式．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域以及点与不等式的关系进行求解即可．【解答】解：∵点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，即x+y+a＞0，∴1+2+a＞0，即a＞﹣3，故答案为：a＞﹣3【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据点与不等式的关系是解决本题的关键．5．（2016秋•如东县校级期中）函数y=2+4x+（x＞0）的最小值为6．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意x＞0，运用基本不等式，即可得到所求最小值和等号成立的条件．【解答】解：函数y=2+4x+（x＞0）≥2+2=6，当且仅当4x=，即x=时，取得最小值6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的最小值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．6．（2012秋•南京期末）双曲线的渐近线方程为y=±3x．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为，化简可得y=±3x，故答案为：y=±3x．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．7．（2016秋•如东县校级期中）己知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是[2，7]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；导数的综合应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，1）时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，为z=1+1=2，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（5，2）代入目标函数z=x+y得z=5+2=7．故2≤z≤7．故答案为：[2，7]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（2016秋•如东县校级期中）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|＜x＜1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】通过不等式的解集，推出不等式对应方程的根，然后求出所求不等式的解集．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），所以，即，不等式cx2+bx+a＞0可化为2ax2﹣3ax+a＞0，即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1，所以该不等式的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．（2016秋•如东县校级期中）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据P点为椭圆的上下顶点时，∠F1F2P取到最大值即可判断出∠F1F2P=90°，求得P点的纵坐标，从而求出△PF1F2的面积．【解答】解：当P点为椭圆的上顶点时，△F1F2P为直角三角形，∠F1F2P最大，根据椭圆的标准方程可求得∠F1F2P=90°；∴∠F1PF2不可能是直角；∴只能是PF2⊥x轴；椭圆的右焦点（3，0），2c=6，|F2P|==．三角形的面积为：=/故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及顶点，以及∠F1F2P取到最大值是解题的关键．10．（2016秋•如东县校级期中）已知正数x，y满足，若x+y+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣3﹣2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，利用基本不等式可求得（x+y）min=3+2，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，，∴x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，∵x+y=（x+y）（）=3++≥3+2（当且仅当x=2+，y=+1时取“=”），∴（x+y）min=3+2，∴﹣a＜3+2，∴a＞﹣3﹣2．故答案为：（﹣3﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与基本不等式的应用，分离参数a后求得（x+y）=3+2是关键，属于中档题．min11．（2016秋•如东县校级期中）过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为3x+4y﹣7=0．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过直线l过点M（1，1）可设其方程为x=m（y﹣1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：依题意，设直线l方程为：x=m（y﹣1）+1，联立，消去x整理得：（4+3m2）y2﹣6m（m﹣1）y+3m2﹣6m﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，∵且线段AB的中点为M（1，1），∴=2，即m=﹣，∴直线l方程为x=﹣（y﹣1）+1，即3x+4y﹣7=0，故答案为：3x+4y﹣7=0．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（2016秋•如东县校级期中）已知焦点均在x轴上的双曲线C1，与双曲线C2的渐近线方程分别为y=土k1x 与y=±k2x，记双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，若k1k2=1，则e1e2的最小值为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出两双曲线方程，求得e1，e2，然后利用基本不等式求得e1e2的最小值．【解答】解：由题意可设C1：（a＞0，b＞0），C2：（a＞0，b＞0），则，，∴．（当且仅当a=b时等号成立）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13．（2016秋•如东县校级期中）若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，椭圆+=1的焦点在y轴上，则A（3，0），则=3，则n=9，由等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，AC=BC=AB=，求得DC=，AD=，即可求得C点坐标，代入即可求得椭圆方程，即可求得椭圆的离心率的值．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，则A（3，0），则椭圆+=1焦点在y轴上，即=3，则n=9，等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，则AC=BC=AB=，∴DC=，AD=，∴OD=OA﹣AD=∴C点坐标为：（，），代入椭圆方程：，解得：m=1，∴椭圆方程：，即a=3，b=1，c=2，∴椭圆的离心率e==，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法及简单几何性质，考查圆的内接正三角的性质，考查数形结合思想，属于中档题．14．（2016秋•如东县校级期中）已知f（x）=，若不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，根据不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，等价f（x）•（f （x）﹣m））＜0，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：不等式f2（x）﹣mf（x）＜0等价于f（x）（f（x）﹣m）＜0，当m＞0时，0＜f（x）＜m，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得1≤m＜2当m＜0时，m＜f（x）＜0，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得﹣2＜m≤﹣1综上所述m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[1，2），故答案为：（﹣2，﹣1]∪[1，2）【点评】本题主要考查不等式的解集，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016秋•如东县校级期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x=的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由c=，x=±=，【分析】求得a2=4，b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的标准方程；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，设双曲线的方程为：（λ≠0），将点（，2）代入双曲线方程，即可求得λ的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：（1）由焦点坐标为（，0），可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a ＞b＞0），则c=，由椭圆的准线方程为：x=±=，即a2=4，由b2=a2﹣c2=4﹣2=2，故椭圆的标准的标准方程为：；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，则设双曲线的方程为：（λ≠0），由双曲线经过点（，2），代入可得：2﹣=λ，解得：λ=1，双曲线的方程为：，∴双曲线的标准方程方程为：．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查曲线方程的求法，考查待定系数法的应用，属于基础题．16．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）．a∈R．（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；（2）若对P任意的x∈（﹣1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=4时，转化为x2﹣3x﹣10≥0解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在x轴上方转化为f（x）≥0（x＞﹣1）恒成立，x2+x+1≥a（x+1）在（﹣1，+∞）恒成立，再分离参数∴a≤，求解．【解答】解：当a=4是，f（x）=x2﹣3x﹣3≥7⇒x2﹣3x﹣10≥0∴x≥5或x≤﹣2．故不等式解集为{x|x≥5或x≤﹣2}．（2）∵x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，∴f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）≥0⇒x2+x+1≥a（x+1）∵x＞﹣1∴x+1＞0∴a≤∵≥当且仅当x+1=，即x=0时取等号．∴a≤1．【点评】本题考查了解一元二次不等式，恒成立问题的转化思想，属于中档题．17．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为F1，F2．（1）若n=﹣1，过左焦点为F1且斜率为的直线交圆锥曲线于点A，B，求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，求PF1•PF2的最大值和最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出|AB|，利用双曲线的定义，即可求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4求，即可PF1•PF2的最大值和最小值．【解答】解：（1）若n=1，方程为x2﹣y2=1，则直线AB的方程为y=（x+）．联立x2﹣y2=1，可得2x2+6x+7=0，∴|AB|==4，据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，∴4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=12；（2）若n=4，方程为=1，∴PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，∴PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，∴PF1•PF2的最大值为4，最小值为1．【点评】本小题主要考查椭圆的定义，双曲线的定义、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（16分）（2016秋•如东县校级期中）为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为a元/个，第二次购买时价格为b元/个（其中a≠b）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买m个；方案乙：每次购买n元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为100元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价p，第二次提价q；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中p≠q）请确定哪种方案提价后价格较高．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出方案甲、乙的平均价格，作差，即可进行比较；（2）求出方案丙、定的价格，作差，即可进行比较．【解答】解：（1）方案甲平均价格为=，方案乙平均价格为=，∵﹣=＞0，∴方案乙平均价格较小；（2）方案丙：第一次提价p，第二次提价q，则价格为100（1+p）（1+q），方案丁：第一次提价，第二次提价，则价格为，∵100（1+p）（1+q）﹣=﹣100＞0，∴按照方案丁提价后的价格较高．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查作差方法的运用，属于中档题．19．（16分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=tx，（x∈R）．（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，运用点（a，b）的集合表示的平面区域为矩形，由平行直线间的距离公式，即可得到所求面积；（2）运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，即可得到所求最大值；（3）运用二次不等式的解集，可得对应方程的解，运用韦达定理可得a=1，再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b ﹣1≤f（x）的最小值，结合判别式非负，可得b=2，进而得到c的不等式，求得c=1．【解答】解：（1）当t=ax+b时，f（x）=ax2+bx，由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，由两平行直线x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距离为，两平行直线x+y=2和x+y=4的距离为，可得点（a，b）的集合表示的平面区域（矩形）的面积为×=3；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），则f（x）=2x+（x＜1且x≠0），由2x+=[2（x﹣1）+]+2=﹣[2（1﹣x）+]+2≤﹣2+2=2﹣2，当且仅当2（1﹣x）=，即x=1﹣时，等号成立，则函数的最大值为2﹣2；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），则f（x）=x2﹣（a+3）x，f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集为[﹣1，5]，即﹣1，5为方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的两根，可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），解得a=1；再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值为﹣4，则b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，记g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，则△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，则b=2；即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，但（c﹣1）2≥0，即c=1．【点评】本题考查函数的最值的求法，以及不等式的解法和应用，注意运用二次函数和二次方程及不等式的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•如东县校级期中）己知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆C的离心率为，右准线的方程为x=4，建立方程，求出几何量，可得椭圆C的方程；（2）利用A，P点，求出直线AP，与椭圆方程求解M的坐标，直线MF与椭圆联立求出N的坐标，可得AN，BM的斜率分别为k1，k2，可求的值．（3）设出MN的直线方程y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），表示出AN直线，BM直线的方程．AN直线与BM直线联立方程求解p的坐标，可得P在一条定直线上．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率e的值为，即，右准线方程为x=4，即解得：a=2，c=1，∵a2=b2+c2∴b=．故得椭圆的标准方程为：．（2）点P（4，），A（﹣2，0），故得直线AP方程为y=，与椭圆方程联立，求解M的坐标为（0，），那么可得MN直线方程为y=1﹣3x，与椭圆方程联立，求解N的坐标为（，），那么AN的斜率为k1=，BM的斜率k2=，则=．（3）设斜率存在的MN的直线方程为y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，那么：…①，…②由A，M的坐标可得直线AM的方程为，由B，N的坐标可得直线BN的方程为，4直线AM与直线BN联立，可得：，∴…③，将①②代入③解得：x=4．故点P在直线x=4上．当k不存在时，经验证，点P在直线x=4上满足题意．【点评】本题考查了与椭圆的标准方程的求法，椭圆与直线的关系的运用能力和计算能力，考查了数学转化思想方法，综合能力强，计算量大，属于难题，压轴题．三、(加试)解答题（共4小题，满分0分）21．（2016秋•如东县校级期中）已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据两圆的方程，算出它们的圆心与半径，设动圆的半径为R，根据两圆相切的性质证出：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），从而得到圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，结合题意算出a、b 之值，可得动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：∵圆F1的方程为：（x+1）2+y2=1，∴圆F1的圆心为（﹣1，0），半径r1=1；同理圆R2的圆心为（1，0），半径r2=5．设动圆的半径为R，则|F1C|=r1+R，|F2C|=r2﹣R，两式相加得：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），∴圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，由2a=6，c=2，得a=3，b=2，∴椭圆方程为=1．即动圆圆心C的轨迹方程为：=1．【点评】本题求动点的轨迹方程，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系、平行线之间的距离公式，属于中档题．22．（2016秋•如东县校级期中）在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】因为直线AB、AC的斜率存在，所以先求出直线AB，AC的斜率，再根据斜率之积为，即可得到动点A的轨迹方程．【解答】解：设A（x，y），则k AB=，k AC=，（x≠±3）．由k AB•k AC=•=化简可得=1，所以动点A的轨迹方程为=1，（x≠±3）．【点评】本题考查求点的轨迹方程的方法，斜率公式，注意x≠±3，此处是易错点，属于中档题．23．（2016秋•如东县校级期中）己知F为抛物线y2=x的焦点，点P为抛物线上的动点，P到抛物线准线的距离为d．（1）若，求PF+PA域最小值；（2）若，求PB+d的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）在抛物线内部，PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，可得结论；（2）在抛物线的外部，PB+d=PPF≥BF=2，可得结论．【解答】解：（1）∵在抛物线内部，∴PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，∴PF+PA的最小值为；（2）∵在抛物线的外部，∴PB+d=PPF≥BF=2，∴PB+d的最小值为2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（2016秋•如东县校级期中）己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线若y2=2px过点P（1，2），代入计算，可得结论；（2）设AB：x=my+b，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合条件，可得b=1，即可得到定点（1，0）．【解答】（1）解：∵抛物线若y2=2px过点P（1，2），∴4=2p，∴p=2；（2）证明设AB：x=my+b，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4b=0，y1y2=﹣4b，又y1y2=﹣4，即有b=1，即有x=my+1，则直线AB恒过定点（1，0）．【点评】本题考查抛物线的方程的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，属于中档题．。

江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若集合{}2,1=A ，{}a B 2,3=，且{}2=B A ，则实数a 的值为______. 2.若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为______.3.已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.4.已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且与直线023=+-y x 垂直，则直线l 的方程为_______.5.椭圆171622=+y x 上横坐标为2的点到右焦点的距离为_____.6.函数)0(cos 3sin )(≤≤--=x x x x f π的单调增区间是______.7.已知函数)(2R a xax y ∈+=在1=x 处的切线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为_______.8.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，则满足不等式)10(lg)1(xf f <的x 的取值范围是_______. 9.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8=a ，10=b .ABC △的面积为320，则ABC △的最大角的正切值是______.10.在ABC △中，若5=AB ，12=AC ，AB AC BC +=，则BA BC BC⋅的值为______.11.已知a 为正实数，函数a x x x f +-=2)(2，且对任意的],0[a x ∈，都有],[)(a a x f -∈，则实数a 的取值范围为______.12.若直线022=-+y x 与椭圆122=+ny mx 交于点C ，D ，点M 为CD 的中点，直线OM（O 为原点）的斜率为21，且OD OC ⊥，则=+n m _______. 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.0,2,0,1)(2x x x x exe x f x 若函数))((a x f f y -=有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是_______.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(-A ，点B 是圆4)2(:22=+-y x C 上的点，点M 为AB 的中点，若直线k kx y l 5:-=上存在点P ，使得 30=∠OPM ，则实数k 的取值范围为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若56)(=αf ，20πα<<，求)122(πα+f 的值.16.（本小题满分14分）在ABC △中， 45=∠B ，D 是边BC 上一点，5=AD ，3=CD ，7=AC . （1）求ADC ∠的值；（2）求⋅的值.（第15题）已知直线l 与圆042:22=+-++a y x y x C 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为)1,0(M . （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）若以为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程.18.（本小题满分16分）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G .与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且m PG 50=.在观测点正前方m 10处（即m PD 10=）有一个高为m 10（即m ED 10=)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧.（1）若圆形标志物半径为m 25，以PG 所在直线为x 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠)的正切值为3941，求该圆形标志物的半径. GEDPACF第18题已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 为椭圆的右焦点，点A ，B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M . （1）若2=a ，ABM △的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上.若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2-=.(R a ∈) （1）若2=a ，求函数)(x f 的极值；（2）已知函数)(x f 在点))1(,1(f A 处的切线为l .若此切线在点A 处穿过)(x f y =的图像（即函数)(x f 上的动点P 在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧）.求函数)(x f 的表达式；（3）若0>a ，函数ax x f x g -=)()(有且只有一个零点，求实数a 的值.x第19题数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.已知圆152:22=++x y x C ，M 是圆C 上的动点，)0,1(N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的轨迹方程.2.已知函数)0)(3sin()(πϕϕ<<+=x x f ，)(x f '为)(x f 的导函数.若)()()(x f x f x g '+=为奇函数，求ϕ的值.3.已知P 是ABC △内一点，且满足条件32=++，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令=，用表示.4.已知)(11ln )(R a xaax x x f ∈--+-=. （1）当210<<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）设42)(2+-=bx x x g .当41=a 时，若对任意],1[e ex ∈，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数b 取值范围.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.62.563.]1,(-∞ 4.023=++y x 5.256.]0,6[π-7.0 8.),100()1,0(+∞ 9.32510.1325 11.]2,0( 12.45 13.)11,1(e+ 14.]2,2[-二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ，又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=.于是，)6sin2)(π-=x x f . ...........................................................................................6分（2）由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα. 因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα. .......................................................................8分所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα. 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα. ...................................................6分所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f252314sin )32cos(24cos )32sin(2=-+-=ππαππα. ...........................................14分 16.（本小题满分14分）（1）在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+. 把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC . 因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC . ....................................................................7分（2）在ADC △中，由正弦定理得：ADBABABD AD ∠=∠sin sin .故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB . 所以4)33(2575cos 5265-=⨯⨯=⋅ . .......................................................14分 17.（本小题满分14分）解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a .因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a . 综上知3<a . ......................................................................................3分因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥. 因为1-=CM k ，所以1=l k . 所以直线l的方程为1+=x y . ...........................................................................7分（2）由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232ax --=.不妨设)123,23(+--aa A ，)123,23(+----aa B . ........................................10分则0223123=-=--+--=⋅a aa ，故2=a . ........................................13分故圆0242:22=+-++y x y x C . .........................................................................14分 18.（本小题满分16分）解：（1）圆22225)25(:=-+y x C . 直线PB 方程：050=+-y x .设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C相切，所以25150252=++kk ，解得34=k . ...........................6分所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即02034=+-y x . ........................................8分（2）设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+. 因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k . ....................10分所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x . 因为直线PF 与圆C相切，所以r r =+-81160020009， .......................................13分化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r . 故40=r . .......................................................................................................16分 19.（本小题满分16分）解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线b x bcy BF -=:. 联立可得))2(,2(22222aa cb ac b M -. 所以1222212322==⨯⨯=acb ac b b S ABC △. 又因为2=a ，所以1==c b .所以椭圆方程为1222=+y x . .............................................................................................8分（2）因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -. 代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b .化简得012224=+-e e . ................................................................................................13分因为4<-=∆，所以方程无解. ..............................................................................15分所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上. ..................16分 20.（本小题满分16分）（1）当2=a 时，函数x x x f ln 2)(2-=. 因为xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，所以函数)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增. 所以函数)(x f 的极小值为1)1(=f . .................................................................................4分（2）因为xax x f -='2)(，所以a f -='2)1(. 所以切线方程为)1)(2(1--=-x a y ，即1)1)(2(+--=x a y . 构造函数1)2(ln ]1)2[()()(2+--+-=-+--=a x a x a x a x a x f x h .因为xx a x x a x a x a x a x x h )1)(2()2(2)2(2)(2-+=--+=-+-='，且)1(='h ，所以12=-a，所以2-=a . ....................................................................10分（3）因为ax x a x x g --=ln )(2，所以xaax x a x a x x g --=--='222)(.因为0>a ，所以令0)(='x g 可得4820a a a x ++=.所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，所以函数)(x f 的极小值为0)(0=x f .可得0ln 0020=--ax x a x ，02020=--a ax x . 联立可得1ln 200=+x x . ..............................................................................................14分考查函数x x y +=ln 2，可知012>+='xy ，故其在),0(+∞上单调递增.又因为1=x 时111ln 2=+=y ，故1ln 200=+x x 有唯一解10=x .代入可得1=a . ..............................................................................................................16分2016届高三年级第二次学情检测数学（加试）参考答案1.解：由题有NC PC MP PC NP >=+=+4，故点P 的轨迹为以C 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆. .....................................5分所以点P 的轨迹方程为13422=+y x . ...............................................................................10分2.解：因为)3cos(3)(ϕ+='x x f ，所以)33sin(2)3cos(3)3sin()(πϕϕϕ++=+++=x x x x g . .........................3分因为)(x g 为奇函数，所以3t a n-=ϕ. ......................................................................7分因为πϕ<<0，所以32πϕ=. ..............................................................................10分3.解：+= ，+=，3)(2)(=++++∴.323=+++∴.又B Q A ,, 三点共线，Q P C ,,三点共线，∴令BQ AQ λ=，QP CP μ=.323=+++∴CP BQ QP BQ μλ，)33()2(=+++μλ. ......................6分又BQ ，QP 为不共线的向量，20,330.λμ+=⎧∴⎨+=⎩解得2λ=-，1μ=-. ...............................................................................................8分CP QP PQ ∴=-=，故22CQ CP PQ CP p =+==. .......................................10分4.解：（1）)0(11ln )(>--+-=x xa ax x x f ， )0(111)(222>-++-=-+-='x xa x ax x a a x x f ，令)0(1)(2>-+-=x a x ax x h ，由0)(='x h ，即012=-+-a x ax ，解得11=x ，112-=a x . 当210<<a 时，0111>>-a. )1,0(∈x 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈ax 时，0)(<x h ，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； ),11(+∞-∈ax 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减. 当210<<a 时，函数)(x f 的增区间为)11,1(-a ，减区间为)1,0(和),11(+∞-a. ................................................................................................................5分。

江苏省南通市高二上学期期中数学试卷

江苏省南通市高二上学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016·襄阳模拟) 若 f（x）=ex+ae﹣x 为偶函数，则 f（x﹣1）＜的解集为（）A . （2，+∞）B . （0，2）C . （﹣∞，2）D . （﹣∞，0）∪（2，+∞）2. （2 分）已知函数 f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且 f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A . f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B . f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C . f（﹣2）＜f（0）＜f（1）D . f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）3. （2 分）运行下图框图输出的 S 是 254，则①应为（）.A. B.第 1 页共 11 页C. D.4. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 焦点在 x 轴上的椭圆（）A.3 B.6C.6 D.2的焦距为 4 ，则长轴长是5. （2 分） (2015 高二上·西宁期末) 已知椭圆 AB 过点 F1 ，则△ABF2 的周长为（）A . 10 B . 20C.2D.4（a＞5）的两个焦点为 F1、F2 ，且|F1F2|=8．弦6. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 如果方程是（）A . 3＜m＜4表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围B. C.D.7. （2 分） (2016 高一下·双峰期中) 10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15，17，14，10，15，17，第 2 页共 11 页17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有（）A . a＞b＞cB . b＞c＞aC . c＞a＞bD . c＞b＞a8. （2 分）一组数据的平均数是 2.8，方差是 3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A . 57.2，3.6B . 57.2，56.4C . 62.8，63.6D . 62.8，3.69. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示：甲茎乙57 1 688822367设 s1 ， s2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，均数，则有（）分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平A.，s1＜s2B.，s1＞s2C.，s1＞s2D.，s1=s210. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 已知具有线性相关的两个变量 x，y 之间的一组数据如下：第 3 页共 11 页x01234y2.24.34.54.86.7回归方程是 =bx+a，其中 b=0.95，a= ﹣b ．则当 x=6 时，y 的预测值为（）A . 8.1B . 8.2C . 8.3D . 8.411. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 抛掷两次骰子，两个点的和不等于 8 的概率为（）A.B.C.D.12. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为 N 粒，其中 m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率 π 为（）A. B. C. D.第 4 页共 11 页二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分）长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上滑动，则线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是 ________．14. （1 分）已知椭圆若分别为线段的左、右焦点分别为，，点与的焦点不重合，的中点，线段的中点在上，则________．15. （1 分）如果对任何实数 k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0 都过一个定点 A，那么点 A 的坐标是________． 16. （1 分）将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 ax－by=0 与圆(x－2)2＋y2＝2 相交的概率为 ________．三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分）在直角坐标系中，设椭圆上焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为（1）求椭圆的方程；的上下两个焦点分别为 .，过（2）设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一个点，求的面积.18. （5 分） (2018 高二上·宁夏期末) 已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，点在上，并且，求点的轨迹19. （10 分） (2020 高一下·江西期中) 已知矩形 ABCD，，，M 是平面内一点.（1）若点 M 满足，求的最小值；（2）若点 M 在线段 AC 上，求的范围.20. （10 分） (2018 高一下·葫芦岛期末) 小明准备利用暑假时间去旅游，妈妈为小明提供四个景点，九寨沟、泰山、长白山、武夷山．小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点：（如图）曲线和直线交于点．以为起点，再从曲线上任取两个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为．若去九寨沟；若去泰山；若去长白山；去武夷山．第 5 页共 11 页（1）若从和不去泰山的概率；这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量，分别求小明去九寨沟的概率（2）按上述方案，小明在曲线上取点运动，若点的坐标为，求作为向量的终点，则小明决定去武夷山．点在曲线上的最大值．21. （15 分） (2016 高一下·抚顺期末) 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n，令平面向量，．（1）求使得事件“”发生的概率；（2）求使得事件“”发生的概率；（3）使得事件“直线与圆（x﹣3）2+y2=1 相交”发生的概率．22. （10 分） (2016 高二上·昌吉期中) 在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在 2015 年公务员考试中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，按成绩分为 5 组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．第 6 页共 11 页（1）求 a 值及这 100 名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取 6 名考生进入第二轮面试，现从这 6 名考生中抽取 3 名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有 1 名考生接受领导面试的概率．第 7 页共 11 页一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 11 页16-1、三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、第 9 页共 11 页20-1、20-2、 21-1、第 10 页共 11 页21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。

江苏省南通中学高二上学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1. 抛物线x 2= - 4y 的焦点坐标为 ▲ .2. 已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 ▲ .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是 ▲ . （理）已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为 ▲ .4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为▲ .5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则等于 ▲ . 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 ▲ .（1），；（2），（3），，共面；（4），，共点，，共面8. 设是椭圆上的一点,则的最大值是 ▲ .9. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为 ▲ cm.10. 直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 ▲ . 11. 设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则 ▲ .12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使'A PQ BPQC ⊥平面平面 , 若折叠后的长为d ，则d 的最小值为 ▲ . 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆 M ：的直径，则的最大值为 ▲ ．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒APBQCE FA ′数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程.16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面.17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.18．如图，在直三棱柱中，,，直线与平面ABC 成角.（1）求证：111B AC ABB A ⊥平面平面；（2）求到的距离；（3）求三棱锥的体积.BCA DPE （第16题） B 1C 1A 1B C19．已知圆224O x y +=：，若椭圆22221x y a b+=过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 交椭圆于另一点C ，①设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 的长；②求ABC ∆面积的最大值．20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程；（2）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，，求当内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标；（3）若直线：与椭圆交于、两点，证明直线与的交点在直线上．江苏南通中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 请注意文理科类，不需写出解答过程,把答案写在答题纸的指定位置上）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请注意文理科类，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,把答案写在答题纸的指定区域内）.班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________装订线内请勿答题15. （本题满分14分）题满分14分）18. （本题满分16分）江苏省南通中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.抛物线x 2=-4y 的焦点坐标为 (0,-1) .2.已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 7 .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是4. （理）已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为（1,0,0）.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为53. 5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2、P 是两曲线的一个交点，则等于. 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 1 .（1），；（2），（3），，共面；（4），，共点，，共面 8.设是椭圆上的一点,则的最大值是.9.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为13 cm.10.直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是2. 11.设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则.12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使,若折叠后的长为d ，则d 的最小值为. 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆M ：的直径，则的最大值为23．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共APBQCEFA ′点都只有一个的圆的方程为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程. 解：由题意得， 222222201218418a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩解得，所求双曲线标准方程为：e .c a ±±=±顶点(）；焦点(离心率渐近线方程y=16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面. 证明：（1）证法一：取PD 中点F ，连结EF ，AF . E 是PC 中点，F 是PD 中点，,2,,=,AB CD CD AB EFAB EF AB ABEF =∴∴又四边形是平行四边形.,,,BE AF AF PAD BE PAD BEPAD∴⊂⊄∴又平面平面平面证法二：延长DA ，CB ，交于点F ，连结PF . ,2,..,,.AB CD CD AB B CF E PC BEPF PF PAD BE PAD BEPAD =∴∴⊂⊄∴为的中点又为的中点，平面平面平面(2),,,.,,,.,.,.AB PAD PA AD PAD AB AD AB PA AD AB AD PB AB PB B AD PAB PA PAB AD PA AB AD A PA ABCD ⊥⊂∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥⋂=∴⊥平面、平面平面又平面平面 17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

江苏省南通市高二上学期数学期中联考试卷

江苏省南通市高二上学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）命题“若A∩B=A，则A B的逆否命题是（）A . 若A∪B≠A，则A BB . 若A∩B≠A，则A BC . 若A B，则A∩B≠AD . 若A B，则A∩B≠A2. （1分） (2018高一上·阜城月考) 如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（）A .B .C .D .3. （1分）直线m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0(m，n∈R且m，n不同时为0)经过定点（）A . (-1，1)B . (1，-1)C . (2，1)D . (1，2)4. （1分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)5. （1分）已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上，则实数a的值是A . 1B . 4C . 3D . 不确定6. （1分） (2018高二上·衢州期中) 若，则方程表示的圆的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题：①∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；②∀x1 ，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ，有；③∀x1 ，x2∈（0，1），有；④∀x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．其中所有真命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②③D . ①②③④8. （1分） (2018高二上·衢州期中) 过作圆的弦，其中弦长为整数的弦共有（）A . 74条B . 72条C . 37条D . 36条9. （1分） (2018高二上·嘉兴期中) 是边长为2的等边三角形，是边上的动点，于，则的最小值是（）A . 1B .C .D .10. （1分）已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的 ;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切.其中真命题的序号是（）A . ①②③B . ①②C . ①③D . ②③二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·莱芜模拟) 定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：________．（写出所有真命题的编号）12. （1分） (2016高一下·黄冈期末) 一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为1的菱形，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的体积为________．13. （1分） (2018高一下·包头期末) 已知直线：与直线：，若，则实数的值为________或________．14. （1分） (2018高二上·衢州期中) 圆 : 关于直线与直线都对称，则＝________，若原点在圆外，则的取值范围是________．15. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 是两个平面, 是两条直线, 有下列四个命题:①如果 ,那么；②如果m⊥α，α∥α,那么；③如果 ,那么；④如果 ,那么与所成的角和与所成的角相等,其中正确的命题为________．16. （1分）(2018·南阳模拟) 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为________．17. （1分） (2019高一上·北京月考) 若对，，使得成立，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共5题；共5分)18. （1分） (2018高二上·衢州期中) 如图，已知矩形的两条对角线的交点为 ,点 ,．（Ⅰ）求直线和直线的方程；（Ⅱ）若平面上动点满足，求点的轨迹方程．19. （1分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（1）求证：DA1⊥ED1；（2）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值．20. （1分） (2020高三上·泸县期末) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.（1）求椭圆及圆的方程；（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.21. （1分）(2019·浙江模拟) 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.22. （1分） (2016高二下·金堂开学考) 已知圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求直线y=x被圆C所截得的弦长；（Ⅱ）若a＞1，如图，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M的动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得对任意的直线l均有∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共5分)18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。

江苏省南通市数学高二上学期理数期中考试试卷

江苏省南通市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如果，且，直线不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）圆与圆的位置关系（）A . 相交B . 外切C . 内切D . 外离3. （2分） (2018高二上·芮城期中) 已知则直线不过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）直线在y轴上的截距是A . |b|B . －C .5. （2分）已知函数且，若的值域为R，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·武邑月考) 圆和圆的位置关系为（）.A . 相离B . 相交C . 外切D . 内含7. （2分）(2020·重庆模拟) 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）A . 3B . 48. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A .B .C .D .9. （2分）(2018·遵义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 43B . 55C . 61D . 8110. （2分）经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）C . 1或3D . 1或411. （2分）方程＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是（）A . k＝－B . k∈(－， )C . k∈[－1,1)D . k＝或－1≤k<112. （2分）设函数，则函数的各极小值之和为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·山西月考) 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为________．14. （1分） (2016高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是________．15. （1分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，则a的取值范围是________16. （1分） (2019高三上·西湖期中) 已知函数，则 ________，若函数有无穷多个零点，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1 ，直线l1⊥l2 ，求直线l1的斜率．18. （10分） (2017高一下·石家庄期末) 已知△ABC的顶点A（2，4），∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0．（1）求AC所在的直线方程；（2）求顶点C的坐标．19. （5分） (2016高一下·武汉期末) 某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：A B C甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．20. （10分） (2019高二上·齐齐哈尔月考) 设定点，动点N在圆上运动，以OM，ON 为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．21. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知椭圆的左焦点，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且的最大值为 .（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点，与椭圆交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.22. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 已知向量且（1）求及；（2）若的最小值是，求实数的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

数学---江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题(解析版)

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..1. 命题：“，”的否定为__________.2. 不等式的解集是__________．3. 已知数列的前项和为，且，则数列的首项为__________．4. 关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．5. 若正项等比数列满足，则的最大值为__________．6. 若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为__________．7. 等比数列的前项和为，已知，，则公比__________．8. 设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________．10. 下列说法中所有正确命题的序号是__________．①“”是“”成立的充分非必要条件；②、，则“”是“”的必要非充分条件；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.11. 设是数列的前项和，且，，则__________．12. 已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为__________．13. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．14. 已知，均为正数，且，则的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 设（，）（1）若不等式的解集为，求，的值；（2）记，若且，求的取值范围．16. 命题：已知实数，满足约束条件，二元一次不等式恒成立，命题：设数列的通项公式为，若，使得．（1）分别求出使命题，为真时，实数的取值范围；（2）若命题与真假相同，求实数的取值范围.17. 设数列的前项和，满足（）；（1）记，求数列的前和.（2）记，且数列的前和为，若不等式，对任意恒成立，求实数的最小值.18. 服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？19. 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，又数列满足：：①求数列的前和；②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.20. 已知函数.（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对任意，，都有成立；（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答对应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21. 矩阵的逆矩阵为，矩阵满足，求，.22. 已知矩阵的两个特征向量，，若，求.23. 解关于的不等式：.24. 已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.（3）设，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.参考答案一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置.1.【答案】，【解析】由题意得，根据全称命题与特称命题的关系可知，命题“”的否定为“”2.【答案】【解析】由题意得，不等式可化为，所以不等式的解集为.3.【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，得，所以.4.【答案】【解析】由题意得，不等式的解集为，要使得不等式成的充分不必要条件是，则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.5.【答案】2【解析】根据等比中项可知，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.6.【答案】【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为过坐标原点，其中表示直线的斜率，所以可行域内能使得斜率取得最大值，可行域内能使得斜率取得最小值，由，解得，此时，由，解得，此时，所以实数的取值范围是.7.【答案】或【解析】∵，①当时,，满足条件。

江苏省南通市高二上学期期中数学试卷

江苏省南通市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 数列的一个通项公式是（）A .B .C .D .2. （2分）已知为等差数列，若，则A . 24B . 27C . 15D . 543. （2分）已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为（）A .B .C .D .4. （2分）若实数x为10和90的等差中项，则x的值为（）A . 30B . 40C . 50D . 605. （2分） (2016高一下·望都期中) 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若﹣7• ﹣8=0，且正整数m，n满足a1ama2n=2 ，则 + 的最小值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·上杭期中) 数列的通项公式为，则的第5项是（）A . 13B .C .D . 157. （2分）(2017·河北模拟) 已知 0＜a＜b＜1，c＞1，则（）A . logac＜logbcB . （）c＜（） cC . abc＜bacD . alogc ＜blogc8. （2分） (2016高一下·吉安期末) 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a5＞0，a1+a10＜0，则当Sn最大时正整数n为（）A . 4B . 5C . 6D . 109. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且满足Sn, Sn+2, Sn+1成等差数列，则a3等于（）A .B .C .D .10. （2分）在等差数列中，，则的值是（）A . 24B . 48C . 96D . 无法确定11. （2分）在等比数列中，，是方程的两个根，则 =（）A .B .C .D . 以上都不对12. （2分）已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前n项和，则的值为（）A . 2B . 3C .D . 不存在二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 设变量x，y满足，则x+2y的最小值为________．14. （1分） (2016高一下·高淳期末) 在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则的值为________．15. （1分） (2016高二上·宝安期中) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= ，则a6=________．16. （1分） (2015高三上·孟津期末) 定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{an}满足a1=a（a＞0），a2=1，an+2= （n∈N*），若a2015=4a，记数列{an}的前n项和为Sn ，则S2016的值为________ ．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2018高一下·毕节期末) 已知数列的前项和为，数列是等比数列.设数列前项和为，且， .（1）求数列和的通项公式；（2）求 .18. （10分）某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半的和，则当年生产的化妆品正好能销完．（1）将2016年的利润y（万元）表示为促销费t万元的函数．（2）该企业2016年的促销费投入多少时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）19. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知数列{an}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（an+1）•2 ，求数列{bn}的前n项和Tn．20. （10分） (2016高二上·湖北期中) 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a= ，求角C．21. （10分）(2019高二上·中山月考) 已知是一个公差大于的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足：，若数列，求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

江苏省如东高级中学2016-2017学年高二12月阶段测试数学试题Word版含答案

一、填空题.1.命题:P “2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：__________. 2.不等式220x x +-<的解集为__________.3.抛物线()20y ax a =≠的准线是1x =-，那么它的焦点坐标是__________.4.若等比数列{}n a 满足2440a a +=，则前n 项和n S =___________.5.若双曲线22221x y a b-=的离心率为____________.6.等差数列{}k a 的前n 项和为k S ，若1469,2a a a =+=，当k S 取最大值时，n =___________. 7.已知命题2:450p x x -->，命题()22:2100q x x m m -+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的最大值为__________.8.“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的__________条件.（必要不充分条件、充分不必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件中选一个作答）.9.实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，目标函数z x y =-的最小值为-2，则实数m 的值为_________.10.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为_________.11.已知数列{}k a 为等比数列，前n 项和为k S ，若2125,10a a a <=，且1233,2,S S S 成等差数列，则数列{}k a 的通项公式k a =__________.12.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()11-，，则E 的方程为___________. 13.若数列{}n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列{}n a 为等比和数列，k 称为公比和.已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中121,2a a ==，则2016a = ．14.若实数,x y 满足x -=x 的取值范围是．二、解答题15.（1）命题:p “[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题:q “2000,220x R x ax a ∃∈++-=，若“p且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. （2）已知()221:12,:21003x p q x x m m --≤-+-≤>，若p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()2111,1,1,2,3,n n a nS n S n cn c R n +=-+=+∈=，且321,,23S S S 成等差数列．（1）求c 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.17.如东某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）.为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元.（1）要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与直线()0y kx k =>相交于A,B 两点（从左至右）.过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D .（1）若椭圆的离心率为2，点B 的坐标为)，求椭圆的方程；（2）若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率.19. 数列{}k a 的首项为()0a a ≠，前n 项和为k S ，且()10k k S t S a t +=+≠.设()121,0k k k k b S c k b b b k =+=++++>.（1）求数列{}k a 的通项公式；（2）当1t =时，若对任意*1,k n N b b ∈≥恒成立，求a 的取值范围.20.已知数列{}k a 是等差数列，{}k b 是等比数列，且满足1231239,27a a a b b b ++==. （1）若4343,a b b b m =-=.①当18m =时，求数列{}k a 和{}k b 的通项公式； ②若数列{}k b 是唯一的，求m 的值；（2）若112233,,a b a b a b +++均为正整数，且成等比数列，求数列{}k a 的公差d 的最大值.加试题21. 已知点(),P a b，先对它作矩阵1212M ⎡⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换，再作2002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(8，求实数,a b 的值. 22. 已知1100,20201M N ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程.23.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,6BAC AB AC AA ∠====，点E F 、分别在棱11BB CC 、上，且11111,33BE BB C F CC ==. （1）求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值.24. 已知过抛物线()220y px p =>的焦点，斜率为的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值.试卷答案一、填空题1. 2,230x R x x ∃∈+-< 2. ()21-， 3. ()10，4. 122n n S +=-5. y =6. 57. 28.必要不充分条件13n - 12. 221189x y += 13. 10082 14. {}[]0420⋃，二、解答题15.试题解析：（1）若P 是真命题，则2a x ≤，因为[]1,2x ∈，所以1a ≤；若q 为真命题，则方程2220x ax a ++-=有实根，所以()24420a a ∆=--≥，即1a ≥或2a ≤-，p 真q也真时，所以2a ≤-或1a =，若“p 且q ”为假命题，即()()2,11,a ∈-+∞.所以“p ⌝”： {}|102B x R x x =∈><-或，由p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件知01203110m B A m m m >⎧⎪⊆⇔-≥-⇒<≤⎨⎪+≤⎩，故m 的取值范围为03m <≤.16.（1）∵()()2111,2,3,n n nS n S n cn n +-+=+=，∴()()211,2,3,11n n S S n cnn n n n n ++-==++，∵321,,23S S S 成等差数列， ∴32122132S S S S -=-，∴14226c c ++=，∴1c =. （2）由（1）得()111,2,3,1n n S Sn n n+-==+，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是11S ，公差为1的等差数列，∴()1111n S S n n n =+-=，∴2n S n =. 当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，上式也成立， ∴()211,2,3n a n n =-=，. 17.解：（1）根据题意，332005130005140x x x x⎛⎫+-≥⇒--≥ ⎪⎝⎭………………………4分又110x ≤≤，可解得310x ≤≤………………………………6分因此，所求x 取值范围是[]310，………………………………7分（2）设利润为y 元，则2490031161100519103612y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦…………………11分故6x =时，max 457500y =元…………………………………13分因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元……………14分18.（1）由题意222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：设()()1122A ,,,x y D x y ，则()()111B ,,,0x y C x ---21121211211,22AD AC BD y y y y y k k k k x x x x x k-+======--+.又2222112222221,1x y x y a b a b+=+=, 两式相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y ab+-+-+=，∴2211102k a b k ⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，化为222a b =，∴椭圆的离心率2e ==.方法二：设(),B t kt ，则()(),kt ,,0A t C t --，所以直线AD 的方程为()2ky x t =-. 由()222212x y a b k y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y ，得()22222224a k b x x t a b +-=，即()222222222224240b a k x a k tx a k t a b +-+-=，所以2222224A D a k t x x b a k+=+，从而2222224D a k t x t b a k =++，即2222222222234,44a k b a k D t t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，所以直线BD 的斜率222222222222224344a k t kt b b a k k a k b a kt tb a k -+'==-+-+，由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB BD ⊥，即1k k '=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率2c e a ==. 19.（1）因为1k k S t S a +=+，①当2n ≥时，1k k S t S a -=+，②， ①—②得，()12k k a t a n +=≥，又由21S t S a =+，得21a t a =，所以，{}n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以()1*n n a a t n N -=∈.（2）当1t =时，,,1n n n a a S na b na ===+，由1k b b ≥，得()()131,3320na a n a n a +≥+-++≥⎡⎤⎣⎦（*）当0a >时，3n <时，（*）不成立；当0a <时，（*）等价于()()3320n n a --+≤⎡⎤⎣⎦（**） 3n =时，（**）成立， 4n ≥时，有()320n a ++≤，即23a n ≤-+恒成立，所以27a ≤-.1n =时，1420,,22a a n +≥≥-=时，有2520,5a a +≥≥-.综上，a 的取值范围是2257⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. 20.（1）①由数列{}k a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，由数列{}k b 是等比数列及12327b b b =，得23b =，设数列{}k a 的公差为d ，数列{}k b 的公比为q ，若18m =，则有23233318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩或922d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以，{}k a 和{}k b 的通项公式为133,3k k n a k b -=-=或()2912,322k k k a k b -=+=-. ②由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*），因为数列{}k b 是唯一的，所以，若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则()23120m -+=，解得34m =代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}k b 是唯一的等比数列，符合题意. 所以，0m =或34. （2）依题意，()()113336a b a b =++，设{}k b 公比为q ，则有()336333d d q q ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，（**）记33,33m d n d q q=-+=++，则36mn =. 将（**）中的q 消去，整理得：()()23360d m n d m n +-++-=，d=，而*,m n N ∈，所以(),m n 的可能取值为：()()()()()()()()()136218312496694123182361,,,,,，,,,,,,,,,,,，所以，当1,36m n ==时，d21.解：依题意1201202112NM ⎡⎢⎡⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦⎥⎦，由逆矩阵公式得，()11414NM -⎡⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5,a b ==22.解：由题设得11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 设所求曲线F 上任意一点的坐标为(),,sin x y y x =上任意一点的坐标为(),x y ''，则1022x x x MN y y y ⎡⎤''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，把212x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入sin y x ''=，化简得2sin 2y x =，所以，曲线F 的方程为2sin 2y x =.23.解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则()()()()10,0,0,E 2,0,2,0,0,6,0,2,4A A F ,从而()()12,0,2,0,2,2AE A F ==-，记AE 与1A F 的夹角为θ，则有：141cos cos ,288AE A F θ-==-.由异面直线AE 与1A F 所成角的范围为()0π，，得异面直线AE 与1A F 所成角为60°.（2）记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令(),,n x y z =，且有平面ABC 的法向量为()()()10,0,6,0,2,4,2,0,2m AA AF AE ====.由240220n AF y z m AE x z ⎧=+=⎨=+=⎩，取1x =，得()1,2,1n =-，记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，则6cos cos ,666n m β-===.∴平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值为6.24.解：（1）由题意得直线AB 的方程是2p y x ⎫=-⎪⎭，与22y px =联立，从而有22450x px p -+=，所以1254px x +=. 由抛物线定义得12594pAB x x p p =++=+=，所以4p =，从而抛物线的方程是28y x =.（2）由4p =知22450x px p -+=可化为2540x x -+=，从而12121,4,x x y y ===-=((1,,A B -. 设()33,C x y ，则有()33OC ,x y =，∵(((1,4OA OB λλλ+=-+=+-，∴()(33,41,4x y λ=+-，∴3341,x y λ=+=-，∵2338y x =，∴()2841λ⎡-=+⎣，即()()22141λλ-=+. ∴0λ=或2λ=.。

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2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式x2+x﹣2≤0的解集是．2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（5分）椭圆的离心率的值为．4．（5分）已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是．5．（5分）函数y=2+4x+（x＞0）的最小值为．6．（5分）双曲线的渐近线方程为．7．（5分）已知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是．8．（5分）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是．9．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为．10．（5分）已知正数x，y满足，若x+y+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是．11．（5分）过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为．12．（5分）已知焦点均在x轴上的双曲线C1，与双曲线C2的渐近线方程分别为y=土k1x 与y=±k2x，记双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，若k1k2=1，则e1e2的最小值为．13．（5分）若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．14．（5分）已知f（x）=，若不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x=的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．16．（14分）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）．a∈R．（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；（2）若对P任意的x∈（﹣1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．17．（14分）已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为F1，F2．（1）若n=﹣1，过左焦点为F1且斜率为的直线交圆锥曲线于点A，B，求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，求PF1•PF2的最大值和最小值．18．（16分）为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为a元/个，第二次购买时价格为b元/个（其中a≠b）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买m 个；方案乙：每次购买n元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为100元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价p，第二次提价q；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中p≠q）请确定哪种方案提价后价格较高．19．（16分）已知函数f（x）=tx，（x∈R）．（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．20．（16分）已知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C 于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．三、(加试)解答题（共4小题，满分0分）21．已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．22．在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．23．已知F为抛物线y2=x的焦点，点P为抛物线上的动点，P到抛物线准线的距离为d．（1）若，求PF+PA域最小值；（2）若，求PB+d的最小值．24．已知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1} ．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（5分）椭圆的离心率的值为．【解答】解：椭圆，可得a=2，c=1．所以椭圆的离心率为：．故答案为：．4．（5分）已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是a＞﹣3．【解答】解：∵点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，即x+y+a＞0，∴1+2+a＞0，即a＞﹣3，故答案为：a＞﹣35．（5分）函数y=2+4x+（x＞0）的最小值为6．【解答】解：函数y=2+4x+（x＞0）≥2+2=6，当且仅当4x=，即x=时，取得最小值6．故答案为：6．6．（5分）双曲线的渐近线方程为y=±3x．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为，化简可得y=±3x，故答案为：y=±3x．7．（5分）已知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是[2，7] ．（阴影部分ABC）．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，1）时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，为z=1+1=2，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（5，2）代入目标函数z=x+y得z=5+2=7．故2≤z≤7．故答案为：[2，7]．8．（5分）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|＜x＜1} ．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），所以，即，不等式cx2+bx+a＞0可化为2ax2﹣3ax+a＞0，即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1，所以该不等式的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．9．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P为直角三角形，该三角形的面积为．【解答】解：当P点为椭圆的上顶点时，△F1F2P为直角三角形，∠F1F2P最大，根据椭圆的标准方程可求得∠F1F2P=90°；∴∠F1PF2不可能是直角；∴只能是PF2⊥x轴；椭圆的右焦点（3，0），2c=6，|F2P|==．三角形的面积为：=/故答案为：．10．（5分）已知正数x，y满足，若x+y+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣3﹣2，+∞）．【解答】解：∵x＞0，y＞0，，∴x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，∵x+y=（x+y）（）=3++≥3+2（当且仅当x=2+，y=+1时取“=”），∴（x+y）min=3+2，∴﹣a＜3+2，∴a＞﹣3﹣2．故答案为：（﹣3﹣2，+∞）．11．（5分）过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为3x+4y﹣7=0．【解答】解：依题意，设直线l方程为：x=m（y﹣1）+1，联立，消去x整理得：（4+3m2）y2﹣6m（m﹣1）y+3m2﹣6m﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，∵且线段AB的中点为M（1，1），∴=2，即m=﹣，∴直线l方程为x=﹣（y﹣1）+1，即3x+4y﹣7=0，故答案为：3x+4y﹣7=0．12．（5分）已知焦点均在x轴上的双曲线C1，与双曲线C2的渐近线方程分别为y=土k1x 与y=±k2x，记双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，若k1k2=1，则e1e2的最小值为2．【解答】解：由题意可设C1：（a＞0，b＞0），C2：（a＞0，b＞0），则，，∴．（当且仅当a=b时等号成立）．故答案为：2．13．（5分）若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，则A（3，0），则椭圆+=1焦点在y轴上，即=3，则n=9，等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，则AC=BC=AB=，∴DC=，AD=，∴OD=OA﹣AD=∴C点坐标为：（，），代入椭圆方程：，解得：m=1，∴椭圆方程：，即a=3，b=1，c=2，∴椭圆的离心率e==，故答案为：．14．（5分）已知f（x）=，若不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：不等式f2（x）﹣mf（x）＜0等价于f（x）（f（x）﹣m）＜0，当m＞0时，0＜f（x）＜m，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得1≤m＜2当m＜0时，m＜f（x）＜0，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得﹣2＜m≤﹣1综上所述m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[1，2），故答案为：（﹣2，﹣1]∪[1，2）二、解答题：本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x=的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．【解答】解：（1）由焦点坐标为（，0），可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），则c=，由椭圆的准线方程为：x=±=，即a2=4，由b2=a2﹣c2=4﹣2=2，故椭圆的标准的标准方程为：；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，则设双曲线的方程为：（λ≠0），由双曲线经过点（，2），代入可得：2﹣=λ，解得：λ=1，双曲线的方程为：，∴双曲线的标准方程方程为：．16．（14分）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）．a∈R．（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；（2）若对P任意的x∈（﹣1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【解答】解：当a=4是，f（x）=x2﹣3x﹣3≥7⇒x2﹣3x﹣10≥0∴x≥5或x≤﹣2．故不等式解集为{x|x≥5或x≤﹣2}．（2）∵x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，∴f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）≥0⇒x2+x+1≥a（x+1）∵x＞﹣1∴x+1＞0∴a≤∵≥当且仅当x+1=，即x=0时取等号．∴a≤1．17．（14分）已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为F1，F2．（1）若n=﹣1，过左焦点为F1且斜率为的直线交圆锥曲线于点A，B，求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，求PF1•PF2的最大值和最小值．【解答】解：（1）若n=1，方程为x2﹣y2=1，则直线AB的方程为y=（x+）．联立x2﹣y2=1，可得2x2+6x+7=0，∴|AB|==4，据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，∴4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=12；（2）若n=4，方程为=1，∴PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，∴PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，∴PF1•PF2的最大值为4，最小值为1．18．（16分）为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为a元/个，第二次购买时价格为b元/个（其中a≠b）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买m 个；方案乙：每次购买n元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为100元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价p，第二次提价q；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中p≠q）请确定哪种方案提价后价格较高．【解答】解：（1）方案甲平均价格为=，方案乙平均价格为=，∵﹣=＞0，∴方案乙平均价格较小；（2）方案丙：第一次提价p，第二次提价q，则价格为100（1+p）（1+q），方案丁：第一次提价，第二次提价，则价格为，∵100（1+p）（1+q）﹣=﹣100＞0，∴按照方案丁提价后的价格较高．19．（16分）已知函数f（x）=tx，（x∈R）．（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．【解答】解：（1）当t=ax+b时，f（x）=ax2+bx，由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，由两平行直线x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距离为，两平行直线x+y=2和x+y=4的距离为，可得点（a，b）的集合表示的平面区域（矩形）的面积为×=3；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），则f（x）=2x+（x＜1且x≠0），由2x+=[2（x﹣1）+]+2=﹣[2（1﹣x）+]+2≤﹣2+2=2﹣2，当且仅当2（1﹣x）=，即x=1﹣时，等号成立，则函数的最大值为2﹣2；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），则f（x）=x2﹣（a+3）x，f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集为[﹣1，5]，即﹣1，5为方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的两根，可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），解得a=1；再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值为﹣4，则b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，记g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，则△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，则b=2；即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，但（c﹣1）2≥0，即c=1．20．（16分）已知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C 于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率e的值为，即，右准线方程为x=4，即解得：a=2，c=1，∵a2=b2+c2∴b=．故得椭圆的标准方程为：．（2）点P（4，），A（﹣2，0），故得直线AP方程为y=，与椭圆方程联立，求解M的坐标为（0，），那么可得MN直线方程为y=1﹣3x，与椭圆方程联立，求解N的坐标为（，），那么AN的斜率为k 1=，BM的斜率k2=，则=．（3）设斜率存在的MN的直线方程为y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，那么：…①，…②由A，M的坐标可得直线AM的方程为，由B，N的坐标可得直线BN的方程为，4直线AM与直线BN联立，可得：，∴…③，将①②代入③解得：x=4．故点P在直线x=4上．当k不存在时，经验证，点P在直线x=4上满足题意．三、(加试)解答题（共4小题，满分0分）21．已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．【解答】解：∵圆F1的方程为：（x+1）2+y2=1，∴圆F1的圆心为（﹣1，0），半径r1=1；同理圆R2的圆心为（1，0），半径r2=5．设动圆的半径为R，则|F1C|=r1+R，|F2C|=r2﹣R，两式相加得：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），∴圆心C在以F 1、F2为焦点的椭圆上运动，由2a=6，c=2，得a=3，b=2，∴椭圆方程为=1．即动圆圆心C的轨迹方程为：=1．22．在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．【解答】解：设A（x，y），则k AB=，k AC=，（x≠±3）．由k AB•k AC=•=化简可得=1，所以动点A的轨迹方程为=1，（x≠±3）．23．已知F为抛物线y2=x的焦点，点P为抛物线上的动点，P到抛物线准线的距离为d．（1）若，求PF+PA域最小值；（2）若，求PB+d的最小值．【解答】解：（1）∵在抛物线内部，∴PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，∴PF+PA的最小值为；（2）∵在抛物线的外部，∴PB+d=PPF≥BF=2，∴PB+d的最小值为2．24．已知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．【解答】（1）解：∵抛物线若y2=2px过点P（1，2），∴4=2p，∴p=2；（2）证明设AB：x=my+b，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4b=0，y1y2=﹣4b，又y1y2=﹣4，即有b=1，即有x=my+1，则直线AB恒过定点（1，0）．。