初三中考第一轮复习四边形的综合运用(一对一 教案)

教育学科教师辅导讲义
题型1：四边形与几何综合
1、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 分析：（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS ，ASA ，SSS ）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE ，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD 是矩形． 答案：
总结：主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．
题型2四边形与函数
如图，一次函数y ＝
b x 3
1
的图象与x 轴相交于点A （6，0）、与y 轴相交于点B ，点C 在y 轴的
正半轴上，BC=5．
（1）求一次函数的解析式和点B 、C 的坐标；
（2）如果四边形ABCD 是等腰梯形，求点D 的坐标．
分析：（1）把A 的坐标代入y ＝y ＝
b x 3
1
即可求得b 的值，求得函数的解析式，然后即可求得A ，B 的坐标，从而得到OB 的长，进而求得OC 的长，则C 点的坐标即可求得； （2）作DF ⊥BC 于点F ，根据等腰梯形的性质即可求得AD=OF ，从而求解．
总结：本题是一次函数与等腰梯形相结合的题目，正确作出辅助线，把梯形转化成直角三角形与矩形是解题关键．
【同步检测】
1. （★★） 依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【 】
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形
【答案】A。

2．（★★）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】
A．26B．25C．21D．20
【答案】C。

3. （★★）在平面中，下列命题为真命题的是【】
A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【答案】C。

4. （★★★）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是▲ （结果保留π）．
【答案】
1
3
3
π-。

第4题图第5题图
5. （★★★★）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为▲ ．
【答案】7。

6.（★★★）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a n=▲ ．
【答案】()
n 1
n a =
2
-。

7、（★★）如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：
①分别以A 、C 为圆心，以大于AC 的长为半径在AC 两边作弧，交于两点M 、N ； ②连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ； ③过C 作CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC 的周长为18时，求四边形ADCE 的面积．
【答案】（1）证明：由作法可知：直线DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴AC ⊥DE ，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD ，AO=CO 。

又∵CE ∥AB ，∴∠ADO =∠CEO 。

∴△AOD ≌△COE （AAS ）。

∴OD=OE 。

∴四边形ADCE 是菱形。

（2）解：当∠ACB=90°时，
由（1）知AC ⊥DE ，∴OD ∥BC 。

∴△ADO ∽△ABC 。

∴OD AO 1
CB AC 2
==。

又∵BC=6，∴OD=3。

又∵△ADC 的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO 。

∴()2222
OD=AD AO 9AO AO 3-=
--=，解得AO=4
∴ADCE ADO 11
S 4S 4OD AO=4342422
∆==⋅⋅⋅⨯⨯⨯=。

8（★★★）如图，在等边三角形ABC 中，BC =6cm. 射线AG //BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运
动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t (s). （1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ； （2）填空：
①当t 为_________s 时，四边形ACFE 是菱形；
②当t 为_________s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是直角梯形.
【解析】①∵当四边形ACFE 是菱形时，∴AE AC CF EF ===
由题意可知：,26AE t CF t ==-，∴6t =
②若四边形ACFE 是直角梯形，此时EF AG ⊥
过C 作CM AG ⊥于M ，3AG =，可以得到AE CF AM -=，
即(26)3t t --=，∴3t =，
此时，C F 与重合，不符合题意，舍去。

若四边形若四边形AFCE 是直角梯形，此时AF BC ⊥， ∵△ABC 是等边三角形，F 是BC 中点，
∴23t =，得到32
t =
经检验，符合题意。

【答案】①6t = ②32
t =
9、（★★★）两个全等的直角三角形重叠放在直线l 上，如图⑴，AB=6cm ，BC=8cm ，∠ABC=90°，将Rt △ABC
在直线l上左右平移，如图⑵所示.
⑴求证：四边形ACFD是平行四边形;
⑵怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;
⑶将Rt△ABC向左平移cm
4，求四边形DHCF的面积.
【答案】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；
（3）在Rt△ABC中，
63 tan
84
AB
ACB
BC
∠===．
∴当Rt△ABC向左平移cm
4时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），
在Rt△HEC中，
3
tan43
4
HE EC ACB
=∠=⨯=．
∴四边形DHCF的面积为：11
864318
22
⨯⨯-⨯⨯=cm2．
10、（★★★）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
⑴说明四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF ∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC ≌△EAF ，∴EF = CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B =30°时，四边形ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B =30°，∠ACB =90°，∴AC =AB 2
1
，∵DE 垂直平分BC ，∴ BE =CE 又∵AE =CE ，∴CE =AB 2
1
，∴AC =CE ，∴四边形ACEF 是菱形．
一、专题精讲
考点1、四边形的性质与判定的综合
（★★★）1、
是等边三角形，点
是射线
上的一个动点（点
不与点
重合），是以
为边的等边三角形，过点作
的平行线，分别交射线
于点
，连接
．
（1）如图（a）所示，当点在线段上时．
①求证：；
②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．
分析：（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法首先证明△AEB≌△ADC，进而证明EB ∥GC，再由平行四边形的证明方法即可证明四边形BCGE是平行四边形；
（2）当CD=CB时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE=CD，再证明BE=CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．
证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；
（2）当CD=CB时，四边形BCGE是菱形．
理由：同（1），△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB，
∴CD=CB，即CD=CB时，四边形BCGE是菱形．
总结：本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定
和性质以及菱形的判定，解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等
量关系，即可推出结论．
（★★★）2、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点。

（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由。

（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明。

（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索EF与线段BC的关系，并证明你的结论。

解析：（1）由G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，根据三角形的中位线的性质，易证得四边形EGFH是平行四边形；
（2）当点E运动到边AD的中点时，易证得△ABE≌△DCE（SAS），可得BE=CE，然后由三角形的中位线的性质，可证得EG=FG=FH=EH，即可得四边形EGFH是菱形；
（3）当菱形是正方形时，易得△BEC是等腰直角三角形，F是BC的中点，则可得EF=BC．
答案：
总结：
此题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
考点2 、四边形动点问题
（★★★）1. 如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E
在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动.
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；
②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？
O
F
E
D
C
B
A
（★★★）2．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm,AD＝24cm,BC＝6cm,点P从A出发，以1cm/s 的速度向D运动；同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向B运动.其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t(s).
⑴四边形PQCD成为平行四边形？
⑵当t为多少时,四边形PQCD成为等腰梯形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD成为直角梯形
总结：本题主要考查对直角梯形的性质，等腰梯形的性质，平行四边形的性质，解一元一次方程，矩形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
考点3、图形变换与四边形
（★★★）1、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，52,2,==⊥BC AB AC AB ，对角线AC ，BD 交于O 点，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F 。

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形。

（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC
绕点O顺时针旋转的度数。

分析
总结：本题是几何变换综合题型，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
（★★★）2、如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
总结：此题主要考查菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键．
专题过关
（★★★）1、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：
（1）说明四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
2、3、4、5略
（★★★★）2、如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。

点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。

其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿
令，解之，得。

当
时，，这时点Q 不在OC 上，故舍去， 当时，
，这时点Q 不在OC 上，故舍去。

当Q 点在OC 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分。

当Q 在CB 上时，
，
，
，
当Q 点在CB 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分，所以这时PQ 不可能同时平分梯形OABC 的面积。

（★★★）3、如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△；
（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．
（★★★）4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l
从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α ．
(1)①当α＝______°时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为______； ②当α＝______°时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为______； (2)当α＝90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
答案：(1)①α＝30°，AD ＝1； ②α＝60°，2
3
=
AD ；(2)略． 二、学法提炼
1、解题方法
（1）综合运用平行四边形以及特殊平行四边形的性质与判定解决几何综合问题。

（2）利用平移旋转与对称的知识
（3）利用特殊平行四边形的性质与判定利用方程思想，解决动点问题。

2、注意事项
（1）方程思想在几何题中的运用。

（2）分情况讨论思想的运用，注意题中的条件，做到一题多解。

一、能力培养
（★★★★）1、在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD AB
>）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E作EP AD
⊥交AC于P，求证：2
2AE AC AP
=
（3）若8cm
AE=，ABF
△的面积为2
9cm，求ABF
△的周长；
解：（1）连结EF交AC于O， ········································································1分
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，···················································1分
OA OC
∴=，90
AOE COF
∠=∠= ·······························································2分
在矩形ABCD中，AD BC
∥，
EAO FCO
∴∠=∠， ·····················································································3分AOE COF
∴≅
△△．·····················································································3分
OE OF
∴= ··································································································4分
∴四边形AFCE是菱形． ················································································4分
（2）证明：过E作EP AD
⊥交AC于P，
由作法，90
AEP
∠=，··················································································5分
由（1）知：90
AOE
∠=，又EAO EAP
∠=∠，
A
E
D
C
F
B
第25题图
2
················四边形AFCE是菱形，
① ···
由①、②得：
∴+=±
10
x y
所有符合条件的
总结：此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定，直角三角形、等腰三角形、直角梯形的判定，难度适中．
能力过关
当点2
E 的坐标为F
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=
4
5
,得AB=
5
2
设A（a,0）,B(b,0)
AB=b-a=2
()4
a b ab
+-=
5
2
，解得p=
3
2
±,但p<0,所以p=
3
2
-。

所以解析式为：2
3
1
2
y x x
=--
（2）令y=0，解方程得2
3
10
2
x x
--=，得
12
1
,2
2
x x
=-=,所以A(
1
2
-,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=
5
2
,同样可求得BC=5,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。

AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=
5
2
,所以
55
44
m
-≤≤.
（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组
2
3
1
2
24
y x x
y x
⎧
=--
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
得D（
5
2
-,9）
②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A(
1
2
-,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组
2
3
1
2
0.50.25
y x x
y x
⎧
=--
⎪
⎨
⎪=+
⎩
得D(
53
,
22
)
综上，所以存在两点：（
5
2
-,9）或(
53
,
22
)。

【答案】D
2. （★★★★）如图，在□ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是
.
【答案】32
（★★★）3.如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．
（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（3分）
（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3分） （3）当点O 运动到何处，四边形AECF 是矩形？
（4）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？
【答案】
（1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠2=∠5，4=∠6， ∵MN ∥BC ， ∴∠1=∠5，3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO ，FO=CO ， ∴OE=OF ；
（2）四边形BCFE 不可能是菱形，若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线． ······················································ 3分
（3）答：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．。