离散傅里叶变换的性质

DFT [ x1 (n)] X 1 (k )
DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
若 则
Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
y (n) IDFT [Y (k )] [ x1 (m) x2 ((n m)) N ]RN ( n)
m 0 N 1
圆周卷积和
——电子信息工程
纯虚序列的共轭对称性 序列
Re[ x ( n )] 0 j Im[ x ( n )]

DFT
X ep ( k ) 0 X op ( k ) X ( k )
X ( k ) X (( N k )) N R N ( k )
xep ( n ) xop ( n ) Re[ X ( k )] j Im[ X ( k )]
*
1/ 2[ X (( k )) N X (( N k )) N ]RN ( k )
*
X op (k ) X op (( N k )) N RN (k )
*
1/ 2[ X (( k )) N X (( N k )) N ]RN ( k )
*
——电子信息工程
共轭对称性
~ x (n 2)R N (n)
x2 (n)
——电子信息工程
DFT 的性质: 圆周移位(续)
N=15
x(n)
~ x (n)
~ x ( n 13 )
~ x ( n 13 ) R 15 ( n )
——电子信息工程
X m (k ) DFT [ xm (n)] DFT [ x((n m)) N RN (n)]
1 N 1
N 1
2
(n m) x2 (( n m )) N (( n m )) N
m 0
x ((m))
1 N 1 1
N

m 0
x (m) x
2
只在m=0~N-1范 围内取值，是圆 周移位。
y ( n ) y ( n ) RN ( n ) [ x1 ( m ) x2 (( n m)) N ]RN ( n )
WN
mk
X (k )
证：DFT [ x (( n m)) N RN ( n )] DFT [ x ( n m) RN ( n )] DFS [ x ( n m)]RN ( k )
WN
mk mk X ( k ) RN ( k ) WN X ( k )
——电子信息工程
2、序列的圆周移位 定义：
周期
x(n)
xm (n) x((n m)) N RN (n)
x(n)
移位
x ( n m)
取主值
序列
延拓
xm ( n )
x (( n m )) N
——电子信息工程
DFT 的性质: 圆周移位
N=15
x(n)
~ x (n)
~ x (n 2)
——电子信息工程
5、DFT形式下的Parseval定理
x ( n) y ( n)
* n 0
N 1 *
N 1
1 N
X (k )Y (k )
* k 0
N 1
1 证： x ( n ) y ( n ) x ( n ) n 0 n 0 N
N 1
Y (k )W
其中： 周期共轭对称分量：
e ( n ) xe ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] * x 1/ 2[ x(( n)) N x (( N n)) N ]
*
周期共轭反对称分量：
o ( n ) xo ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] * x 1/ 2[ x(( n)) N x (( N n)) N ]



1 2
( x(n)
1 2
x ( n )]

[ X (( k )) N X (( N k )) N ] R N ( k ) X ep ( k )
( 4 ) DFT { j Im[ x ( n )]} DFT [ 1 2

1 2
( x(n)
1 2
x ( n )]

[ X (( k )) N X (( N k )) N ] R N ( k ) X op ( k )
*
——电子信息工程 定义： 圆周共轭对称序列：
xep ( n ) xe ( n ) RN ( n ) 1/ 2[ x(( n)) N x (( N n)) N ]RN ( n)
*
周期共轭对称分 量取主值区间
圆周共轭反对称序列：
xop ( n ) xo ( n ) RN ( n )
k 0
N 1
nk N

*

1 N
Y (k ) x(n )WN
* k 0 n 0
N 1
N 1
nk

1 N
X (k )Y (k )
* k 0
N 1
——电子信息工程
令y ( n ) x ( n )，则
x(n) x (n)
* n 0
N 1
1 N 1
X (k ) X (k )
——电子信息工程 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试 用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
DFT [ x1 (n)] X 1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
解：利用两序列构成一个复序列
w( n ) x1 ( n ) jx2 ( n )
——电子信息工程
1、线性： 若
X 1 (k ) DFT [ x1 (n)] X 2 (k ) DFT [ x2 (n)]
则
DFT [ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (k ) bX 2 (k )
a, b为任意常数
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 N max[ N1 , N 2 ]
* k 0 2
N 1
即：
x(n)
n 0
N 1
2

X (k ) N
k 0
N 1
时域计算的能量与在频域计算的能 量相等。
——电子信息工程
6、圆周卷积和
设x1 (n )和x2 (n )都是点数为N的有限长序列
（若不等，分别为N1、N 2点，则取N max( N1 , N 2 )， 对序列补零使其为N 点）
——电子信息工程
4、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到： 任意序列可表示成 xe ( n )和xo(n) 之和:
x(n) xe (n) xo (n)
其中：xe (n ) xe ( n ) 1/ 2[ x(n) x ( n )]
* *
xo ( n ) xo ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x ( n )]
序
Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
X ep ( k ) X op ( k )
复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量
复序列虚部乘以j的DFT等于序列DFT的圆周共轭 反对称分量
xep ( n ) xop ( n ) Re[ X ( k )] j Im[ X ( k )]
nl ( n ) RN ( n ) WN x ( n ) W x nl N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
对偶性：
若 则 DFT [ x ( n )] X ( k ), DFT [ X ( n )] Nx (( k )) N R N ( k ) Nx (( N k )) N R N ( k )
——电子信息工程
3.6 离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
X (k ) DFT [ x( n)] x( n)WN RN (k )
nk n 0 N 1
x(n) IDFT [ X (k )]
1 N
j
X (k )WN
k 0
N 1
nk
RN (n)
2 N
其中：
WN e
——电子信息工程
( 1 ) DFT [ x ( n )] X (( k )) N R N ( k ) X (( N k )) N R N ( k )

( 2 ) DFT [ x (( n )) N R N ( n )] X ( k )
( 3 ) DFT {Re[ x ( n )]} DFT [ 1 2
[ x2 ( m) x1 (( n m)) N ]RN ( n)
m 0
N 1
——电子信息工程
证：由周期卷积和，若Y ( k ) X 1 ( k ) X 2 ( k )， 则 y ( n ) IDFS [Y ( k )]

m 0
x (m) x
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响。
——电子信息工程
调制特性：
IDFT [ X (( k l )) N RN ( k )] W x ( n ) e
nl N j 2 N nl
x (n )
证：IDFT [ X (( k l )) N RN ( k )] IDFT [ X ( k l ) RN ( k )] IDFS [ X ( k l )]RN ( n )
则
W (k ) DFT [ w(n )] DFT [ x1 (n ) jx2 ( n )] DFT [ x1 (n )] jDFT [ x2 (n )] X 1 ( k ) jX 2 ( k )
——电子信息工程
由x1 ( n ) Re[ w( n )]得
X 1 ( k ) DFT [ x1 ( n )] DFT {Re[ w( n )]} Wep ( k )
m 0
N 1
——电子信息工程
圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加
N 1 m 0 N 1
用 N 表示圆周卷积和
y ( n ) [ x1 ( m) x2 (( n m)) N ]RN ( n ) x ( n ) N x ( n ) 1 2 [ x2 ( m) x1 (( n m)) N ]RN ( n) x2 ( n ) N x1 ( n )
*
周期共轭反对称 分量取主值区间
1/ 2[ x(( n)) N x (( N n)) N ]RN ( n)
则任意有限长序列：
x(n) xep (n) xop ( n)
——电子信息工程
同理： 其中：
X (k ) X ep (k ) X op (k )
X ep (k ) X ep (( N k )) N RN (k )
1 2 [W (( k )) N W (( N k )) N ]RN ( k )
*
由x2 ( n ) Im[ w( n )]得
X 2 ( k ) DFT [ x2 ( n )] DFT {Im[ w( n )]} 1 2j
*
1 j
Wop ( k )
[W (( k )) N W (( N k )) N ]RN ( k )
——电子信息工程
实数序列的共轭对称性 序列
Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )] 0

DFT
X ep ( k ) X ( k ) X op ( k ) 0
X ( k ) X (( N k )) N R N ( k )
xep ( n ) xop ( n ) Re[ X ( k )] j Im[ X ( k )]
——电子信息工程 例：已知 x ( n ) 是实序列，其8点DFT的前5点值为： {0.25，0.125-j0.3，0，0.125-j0.6，0.5}，写出
x(n)
8点DFT的后3点值。
解答：
X ( k ) X (( N k )) N R N ( k )

x ( n )的8点DFT的后3点值为：0.125+j0.6，0，0.125+j0.3。
* *
——电子信息工程
xe ( n ) 1 2 [ x ( n ) x ( n )]
*
x (( n )) N
xe ( n ) 1 2 [ x ( n ) x ( n )]
*
x (( N n )) N
*
——电子信息工程
任意周期序列：x(n) xe (n) xo (n)