(2021年整理)正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习

（完整）正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习

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多边形和圆的初步认识知识讲解

复习: （1）n边形有______个顶点，_____条边,_____个内角。

（2）过n边形的每一个顶点有_______条对角线,n边形总共_________条对角线.

（3）n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割_______个三角形.

知识梳理1、正多边形：_______相等，_______也相等的多边形是正多边形.

2、正多边形的外接圆:一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的_____，外接圆的半径叫做这个正多边形的____，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的______，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________.正三角形每个内角的度数为，每个外角的度数为；

正四边形每个内角的度数为,每个外角的度数为；

正五边形每个内角的度数为,每个外角的度数为；

正n边形每个内角的度数为，每个外角的度数为。

正多边形内角和为______________。正n边形的一个中心角的度数为:_________。正多边形的中心角与外角的大小________。

3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角______。

4、圆内接正n边形的性质(n≥3，且为自然数）:

（1) 当n为奇数时，圆内接正n边形是____对称图形,有n条对称轴；但不是_____对称图形.

（2）当n为偶数时，圆内接正n边形即是____对称图形又是____对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。

5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系:(设圆内接正多边形的半径为r，边心距为d)

（1）圆内接正三角形：1

d

2r

=（2）圆内接正四边形：2

d r

=（3）圆内接正六边形:3

d r

=

6、常见圆内接正多边形半径r与边长x的关系：

（1)圆内接正三角形：3

x r

=（2）圆内接正四边形：x2r

=（3）圆内接正六边形：x=r

(4)正多边形半径R和边长a、边心距r之间的数量关系式

2

2

2

2

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

=

a

r

R

7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关,要做半径为R的正n边形,只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可.（1）用量角器等分圆周。（2)用尺规等分圆（适用于特殊的正n边形)。

8、定理1：把圆分成n(n≥3）等份:

（1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;

（2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

说明:（1）要判定一个多边形是不是正多边形,除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n（n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n（n≥3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。．

(2）要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件.

（3）此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。

定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

练习1 正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴。

练习 2.下列说法正确的是（）

A。平行四边形是正四边形 B。矩形是正四边形

C。菱形是正四边形 D。正方形是正四边形

A

E

B

F

G H

K

L

练习3.在等边三角形ABC 中，E 、F 、G 、H 、L 、K 分别是各边三等分点,试

说明六边形EFGHLK 是正六边形．

例1、已知正六边形ABCDEF,如图所示，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面

积。

重点例题：

已知⊙O 和⊙O 上的一点A （如图24-3—1）。

（1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；

（2)在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上,求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边。

考点例题（中考):

如图24—3—3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少?

1、在一个圆中,如果 60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.

2、正n 边形的中心角的度数是_______。

3、边长为2的正方形的外接圆的面积等于________。

4、正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.

5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）。

（A ）

两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D)不能确定

6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.(A)2：1 （B)1:2 （C ）4:3 (D ）2:3

7.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为( ）A.

63 B 。43 C.3

32 D 。

3

3 8.已知正多边形的边心距与边长的比为

2

1

，则此正多边形为( )A 。正三角形B 。正方形C 。正六边形D 。正十二边形

9。已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm 。 10。。正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于

F

D

E

C

B

A O

M