【高考总复习】高中数学(文)课时作业x4-4-2单元质量评估 word版含答案(新人教版)

单元质量评估
(时间：120分钟 分数：150分)
一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的)
1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t
(t 为参数)所表示的图形分别是( )
A ．圆、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．直线、直线
解析：∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，
即x 2－x ＋y 2＝0表示圆，
∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，
y ＝2＋3t ，
，∴消t 后，得 3x ＋y ＋1＝0，表示直线． 故选A. 答案：A
2．直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于第几象
限( ) A ．一 B ．二 C ．三
D ．四
解析：直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则a ＜0，b ＞0，而圆心坐标为(a ，b )，位于第二象限，故选B. 答案：B
3．直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t
y ＝2－t (t ∈R)，则l 的方向向量d 可以是( )
A ．(1，2)
B ．(2，1)
C ．(－2，1)
D ．(1，－2)
解析：化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t
y ＝2－t
为一般方程得
x ＋2y －5＝0，
所以直线l 的斜率为－1
2，
∴方向向量为(－2，1)，选C. 答案：C
4．直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°
y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．135°
解析：直线⎩⎨⎧x ＝－2＋32t y ＝3－3
2
t 的普通方程为x ＋y ＝1，
即y ＝－x ＋1，故倾斜角为135°.故选D. 答案：D
5．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ
相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－3
4
B ．k ≥－3
4
C ．k ∈R
D ．k ∈R 但k ≠0
解析：曲线C 为圆心(1，0)，半径为1的圆，圆心到直线l 的距离为d ＝|k ＋2|k 2
＋1
.
直线与圆相交，∴d ＜r ＝1， 即|k ＋2|
k 2
＋1
＜1， 两边平方得，k ＜－3
4，故选A.
答案：A
6．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线是( )
A ．以(a ，0)为圆心，a 为半径的圆
B ．以(a ，
π
2
)为圆心，a 为半径的圆
C ．以(a 2，0)为圆心，a
2为半径的圆
D ．以(a 2，π2)为圆心，a
2
为半径的圆
解析：极坐标方程ρ＝a cos θ表示以(a 2，0)为圆心，a
2为半径的圆．
逆时针旋转π
2角时，
ρ＝a cos (θ－π
2)＝a sin θ. 答案：D
二、填空题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，把答案填在题中的横线上) 7．若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．
解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π
3.
答案：(2，－π
3
)
8．(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正
半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
9．直线3x －4y －9＝0与圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是________．
解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0，0)，圆心到直线的距离
d ＝|3×0－4×0－9|32＋（－4）2
＝9
5＜2＝r .
∴直线与圆相交． 答案：相交
10．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为________．
解析：可化为直角坐标方程(x －22)2＋(y －22)2
＝1或化为ρ＝2cos (θ－π4)，这是ρ＝2r cos
(θ－θ0)形式的圆的方程． 答案：(1，π
4
)
11．将参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ
y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________．
解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，
y ＝2sin θ，
平方相加得(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝4
12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为
________．
解析：曲线ρ＝sin θ化为直角坐标方程为 x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，
而ρcos θ＝－1化为直角坐标方程为x ＝－1.
直线x ＝－1与圆x 2＋(y －1)2＝1的交点坐标为(－1，1)，化为极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4. 答案：⎝
⎛⎭⎫2，3π
4
13．在平面直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝2＋2sin θ(θ为参
数)．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围________． 解析：曲线C 1的普通方程为x ＋2y －2a ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，
圆心(0，2)到直线x ＋2y －2a ＝0的距离为d ＝|4－2a |
5≤2，∴2－5≤a ≤2＋ 5.
答案：[2－5，2＋5]
14．已知两直线的极坐标方程分别是2ρ＝
1
sin （π
4
＋θ）
和θ＝π3(ρ∈R)，则两直线交点的
极坐标为________．
解析：由2ρ＝
1
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4＋θ⇒ρ(sin θ＋cos θ)＝1⇒x ＋y ＝1，
直线θ＝π
3
的普通方程为：y ＝3x ，
由⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝1y ＝3x
⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12
y ＝
3（3－1）
2
⇒x 2＋y 2＝(3－1)2，
∴ρ＝
x 2＋y 2＝3－1，tan θ＝3，
∴θ＝π3
.
答案：⎝
⎛⎭⎫3－1，π
3
15．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝s ，
y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．
解析：直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，
y ＝2＋kt 的普通方程为kx ＋2y －4－k ＝0.
直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，
y ＝1－2s
的普通方程为2x ＋y －1＝0.
由l 1⊥l 2知－k
2×(－2)＝－1，∴k ＝－1.
答案：－1
16．设直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，
y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的
距离为________．
解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)
化为普通方程为3x －y －2＝0. 由两平行线之间的距离公式可知， 所求距离为d ＝
|4＋2|（－1）2＋3
2
＝310
5.
答案：
310
5
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们
的公共点个数．
解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 其圆心为C (－1，2)，半径为2. 由于圆心到直线l 的距离
d ＝|3×（－1）＋4×2－12|32＋42
＝7
5＜2，
故直线l 与圆C 的公共点个数为2.
18．(12分)已知P 为半圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ
y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1，0)，
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π
3.
(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．
解析：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，π3.
(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，3π6，A (1，0)，
故直线AM 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－1t ，y ＝3π
6t .
(t 为参数)． 19．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3，
π
6
)，半径r ＝3. (1)求圆C 的极坐标方程．
(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在QO 的延长线上，且OQ ∶OP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．
解析：(1)如图，圆经过极点O .
设M (ρ，θ)为圆上任意一点，
∠MOx ＝θ，∠AOx ＝π
6
，
在Rt △AMO 中，∠AOM ＝|θ－π
6|，
|OM |＝|OA |cos (θ－π
6)，
即ρ＝6cos (θ－π
6
)．
(2)设P (ρ，θ)，依题意得Q (－3
2ρ，θ)，
∴－3
2ρ＝6cos (θ－π6)，即ρ＝－4cos (θ－π6
)．
20．(12分)如图所示，已知点M 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限内的点，A (a ，0)和
B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．
解析：M 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限内的点，
由椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ
(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)，
其中0＜φ＜π
2，因此，
S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB ＝12|OA |·y M ＋1
2|OB |·x M
＝1
2ab (sin φ＋cos φ)
＝
2
2ab sin (φ＋π4
)． 所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22
ab .
21．(12分)(2011年课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，
y ＝2＋2sin α.(α
为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →
，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3
与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
解析：(1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y
2
)．由于M 点在C 1上，
所以⎩⎨⎧x
2＝2cos α，y
2＝2＋2sin α.
即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α
(α为参数)．
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3.
所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
22．(12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，
y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在极坐标系
(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. ①求圆C 的直角坐标方程；
②设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解析：①由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.
②法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，
所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，
t 1t 2
＝4.
又直线l 过点P (3，5)， 故由上式及t 的几何意义得 |PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.
法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －5）2＝5y ＝－x ＋3＋5
得x 2－3x ＋2＝0. 解得：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.
不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.。