关于Boussinesq方程组无粘极限的研究

2021,41A (1):91-99数学物理学报
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关于Boussinesq 方程组无粘极限的研究
郭连红
(广州番禺职业技术学院公共课教学部 广州511483)
摘要：该文主要研究三维Boussinesq 方程组的无粘极限问题.为了克服Boussinesq 方程组 中温度和速度耦合项产生的困难，带温度的涡量方程需要与Slip 边界条件匹配，通过计算得
到温度更高阶的边界条件，结合迹定理和能量估计，最后得到了三维粘性Boussinesq 方程组 初边值问题强解的存在唯一性，并在平坦区域上得到了强解的收敛率.
关键词：Boussinesq 方程组；Slip 边界条件；无粘极限.
MR(2010)主题分类：35Q30; 35B45; 76D03 中图分类号：0175.2 文献标识码：A
文章编号：1003-3998(2021)01-91-09
1引言
该文在三维光滑有界区域Q 中，研究下列Boussinesq 方程组的初边值问题
d t u — v A u + u - V u + V p = 0
e 3, d t 0 — k A O + u - V O = 0,V - u = 0,u (0, x ) = u 0(x ), 0(0, x ) = (x ),
x G Q ,
x G Q ,
(1.1)
x G Q ,x G Q ,
边界条件为u - n = 0,n x 3 = 0, x G d Q ,
d n 0 = 0, x G d Q ,(1.2)
其中函数u = u (t, x ), 0 = 0(t, x ), p = p (t, x )分别表示流体速度场，温度和压九v > 0, K > 0 分别表示粘性系数和扩散系数，n 为边界的单位外法向量，e s = (0, 0,1)T 表示x s 方向的 单位向量，u o 和0o 分别为给定的初始速度和温度，且▽ • u o = 0.
Boussinesq 方程组是地球物理科学中常用的重要模型―3〕,该系统在大气科学中也有重 要应用⑷•关于这个系统的推导⑸.特别地，对于一阶的情形，可以用这个系统来描述混合 现象，当参数趋于无穷时，研究解的极限尤其重要，2D 情况下已经有研究成果[6-7].
收稿日期：2020-01-07;修订日期：2020-06-05
E-mail: guoatl **********
基金项目：广东普通高校重点科研(自然科学)(2019KZDXM042)
Supported by the Guangdong Key Research in Common Colleges and Universities (Natural
Science)
(2019KZDXM042)
92数学物理学报Vol.41A
该系统是由经典Navier-Stokes方程和热力学方程耦合而成的.在0=0的情况下，系统简化为经典的Navier-Stokes方程.关于Navier-Stokes方程的粘性消失极限问题已有丰富的研究结果［8-12］，关于Boussinesq方程的粘性消失极限问题的研究结果［13-191.
边界条件(1.2)由Navier［20］首次提出，该条件是一类特殊的Navier滑移边界条件，在不同的物理模型上建立带滑移边条件的粘性消失极限问题的已有许多研究结果［10-12'21-221.从数学角度来看，与Xiao和Xin［10〕中的Navier-Stokes方程相比，动量方程中增加非定常温度函数，为了克服温度和速度耦合项产生的困难，对温度建立了一个更高阶的边界条件，进而能够起到平衡动量方程的效果.
受Xiao和Xin等I10-11的启发，该文主要研究方程组(1.1)-(1.2)的粘性消失极限问题，与MHD方程组［11〕不同的是，这里n x3=0,为解决由此产生的困难，文中通过引理2.3的迹公式，结合高阶能量部分来估计边界项
n x=(。

2仇—d i0,0)T=F(0),x E d Q.(1.3)
最后得到类似MHD方程组［11〕的结果.
主要结果如下.
定理1.1设流体的初始速度与温度(u o,O o)E W n H3(Q),则存在不依赖于的T*>0,对任意t E［0,T*］，方程组(1.1)-(1.2)存在唯一强解(u,0),且满足
(u,0)E L2(0,T;H4)x C(0,T*;H3),(u',0)E L2(0,T*;W).
存在依赖于||(u o,O o)||0的常数T o,对任意t E［0,T o］,T o<T*有
l|u(v,k)—u o||2+||0(v,k)—0o||2<C(T o)(v+k).
论文的结构：第2节介绍了函数空间的一些概念和一些基本结果.第3节给出了强解存在性理论.第4节详细证明了方程组(1.1)-(1.2)强解的收敛结果.
2准备知识
设Q C R3是一平坦区域，例如立方体小盒子区域，d Q={(xigg);X3=0,1}n Q.内积记为(•),标准的Sobole v空间H s(Q)(s>0),其范数||•||.迥)=|卜||以及I卜||h")=I卜h,
3
V x0=£ijk d j如，u•V v=工u i d i V j.为了简便，在书写空间时省略Q.
i,j=1
函数空间记为
X={u E L2(Q);V•u=0,u•n=0},
V=H1(Q)n X C X,
W={u E V n H2(Q);n xVx u=0,x E d Q}C X.
首先，定义非线性项
B i(u,0)=u•V u+V p—0e3,
这里p满足
△p=V•(0e3—u•V u),
V p•n=(0e3—u•V u)•n,
No.1郭连红：关于Boussinesq方程组无粘极限的研究93
B2(u,0)=u-y
显然，B i(u,0)&X,B2(u,0)&X.
引理2.1I11］设s>0是一个整数,u G是一个向量值函数，那么
II训S<C(W X u||s—1+||V-u||s—1+|n-u|s_2+||训S—1),
(2.1) (2.1)式的特殊情形，对任意u G V有
|训1<C(||V x训).
容易验证，当u G W,v G V有
(—A u,v)=(V x u,V x v).
Stokes算子—△可延拓至W G V，延拓算子记为A,其定义域为D(A),显然W C D(A)c V.
弓I理设Stokes算子A=—△的定义域为D(A)=W c V是正闭双线性型的自伴扩张算子，则有
(Au,v)=a(u,v)=(V x u)-(V X v)d x,(2.2)
Jd
它的逆是紧的，且有可数多个特征值{A j}使得0<如<入2<…-X,相关的特征向量{e j}C W n C~(Q)在X里构成一个完备的正交基.
下面，对方程组(1.1)的一式关于u求旋度，对方程组(1.1)的二式关于0求梯度得
—v A3+u-V w—3-V u=V X(0e3),(2.3)
d t V0—k A V0+u-VV0+V u-V0=0.(2.4)为了得到H3中强解的存在性及相应收敛结果,需要满足以下两个命题条件•此外，在Navier-slip边界条件下，温度还需要满足一个更高阶的边界条件.
命题2.1假设0是Boussinesq方程组(1.1)-(1.2)的解，且满足d…0=n•V0=0及u•n=0,n X3=0,则n•A V0=0.
证对方程组(1.1)的第二式关于0求梯度，得
d t V0—k A V0+u•VV0+V u•V0=0,(2.5)由于
(u•VV0+V u•V0)•n=(V(u•V0))•n,(2.6)
03(u•V0)=03(如0<0)=03如0<0+u i0i d30.(2.7)利用边界条件u•n=0,n X3=0得^u j=0,(j=1,2),&3(u•V0)=0.因此
(u•V0+V u•V0)•n=0,(2.8)进而得到n•A V0=0.I 命题2.2若(u,0)G C^(Q)n W,(u,0)是Boussinesq方程组(1.1)-(1.2)的解，则边界条件n X△=(%0,—d i0,0)T=F(0)成立.
证对方程组(1.1)的第一式关于u求旋度，得
d(3—v A w+u•V3—3•V u=V X(0e3),(2.9)
94数学物理学报Vol.41A
依据旋度的定义以及条件(1.2)，在边界上对任意i,j=1,2,d i,s u j=0均成立，且
3
(u•V3—3•V u)i=、~^(如&31—Q j d j u i)
i=1
2
y^(u j d j(d2u3一。

3如)一3i d i u i)+他3。

331—33。

3切)=0,(2.10)
i=1
类似地
3
(u•V3—3•V u)2=〉^(如&32—如30洌2)=0.(2.11)
i=1
因此在边界上有
(u•V3—3•V u)j=0,j=1,2.(2.12)
V x(0e3)丁=(%0,—d i0,0)T,(2.13)
有
n x A3=(u•V3—3•V u—V x(0e3))T=020,—d i0,0)T=F(0).(2.14)命题2.2证毕.I 设非负光滑函数©(t),讽t),/(t),令t>0,则下列微分不等式成立.
引理2.3[8]假设给定光滑有界开集Q,1<p<+x,则存在C>0,使得
1-1 f加<C f b p 1 -P
引理2.4P3］设讽0)=如譬+W)<W(t))+f(t),其中t>0,当©>0时，g是非负 Lipschitz连续函数.当t G［0,T(如)时，讽t)<F(t;如，这里F(•;如是響=g(F(t))+f(t)初边值问题的解；F(0)=氏与［0,T(©o))是其连续的最大区间.如果g非负递减，则
讽丁)d r<戸(t;©o),
戸(t；©o)=©o+/[g(F(t;©o))+/(t)]d T.
丿0
3先验估计
命题3.1设(u o,0o)G W n H3(Q),则存在依赖于||(u o,O o)||0的T*使方程组(1.1)-(1.2)的强解u=u(v,k),0=0(v,k)满足一致估计
”u(・,t)||3+||0(.,t)||3+/||ut(s)|〔2d s+v/||u(s)||f d s+K/||0(s)||f d s<C,t G[0,T*],
7o7o7o
这里C〉0是不依赖于v与K的常数.
证零阶估计：方程组(1.1)的一式和二式分别乘以u和0并在Q上积分，利用边界条件(1.2)式得
刍||训2+阀2)+2(v||V x训2+k||V0||2)<C(||0||2+h u h2)-(3.1)
No.1郭连红：关于Boussinesq 方程组无粘极限的研究95
一阶估计：方程组(1.1)的一式关于u 求旋度，二式关于t 求梯度，则
d t ® — + u • V
e — 3 • V u = V x (0^3),d t V O — k ^V 0 + u • V 0 + V u • V 0 = 0.
(3.2)与(3.3)式分别乘以3与V 0并在Q 上积分，利用Holder, Young 不等式,可得
<<d t (|e |2 + |V 0lF ) + 2(v |V x 3|2 + k
|v 20|2)
((u • Ve — 3 • Vu — Vx (0e 3)),3)+ (V (u • V0), V0)
||3||2 ||Vx 3||2 + ||Vu||||V0||2 ||V 20||2
2IV x 3||2 + 庐||e||6 + 2||V 20||2 + -3(||Vu||4 + (||V0||2).< 2二阶估计：假设讥=—△u,伽=-由方程组(1.1)的一式和二式有
d 制u — v △讥—△(u • V u — 0
e 3)= 0,d t 伽—斤厶伽—△(u • V 0) = 0.
(3.5)式乘以叽(3.6)式乘以伽,类似上面的计算可得
£(叭||2 + ||伽||2) + 2(v ||V x 仇||2 + k
|v 0o II 2)
< (△(u • V u — 0e 3), 0u ) + (△(u • V 0),咖)+ v ( F (0)0u d s
丿d Q
< IWull 2 ||Vu||“ + iWullI 伽 I + IWullI 伽 I(l|V 0||“ + ||Vu||“) 十"叭唁1网)IV 0I H 2加
< I 如2 + 恢I 2 + 叭I (IV x 如 + ^△011)(11 如I + ||伽||) + v||如 ||V 20||
< C (H 0u||2 + ||伽||2) + 2ll V x 仇||2 + 2"▽△0『+ C (一，一)(H 0u||4 十 II 伽II 4).2 2 k v (3.2)
(3.3)(3.4)(3.5)
(3.6)(3.7)三阶估计：(3.5)与(3.6)式分别乘以-厶仇与-△伽并在Q 上积分，类似上面计算方 法可得
舟(IV x 如|2 + / 必(0)d s + ||V 伽||2) + 2(v||△如|2 + k ||△伽||2) d t JdQ
< (△(u • V u — 0e 3), — △^u ) + (△(u • V 0), 一△伽)+ ［认d t F (0)d s
JdQ
< < ((V x )3(u • V u — 0^3), V x 讥)+ / △(u • V u — 0e 3)F (0)d s I JdQ
+ < (V ^(u • V 0), V ^0) + 0u (k A V 0 + V (u •I JdQ
|I 1| + |I 2|,(3.8)
这里
|I 1| = |u|3 + ||0||3 + ||训2 + ||(Vx )3u|H _ 1 (腮)||V0||H 1 (腮)||u||“(d ⑵
+ H u |H 2(d Q) II ▽训L 3(d Q) II V 0|L 6(d
Q)
96数学物理学报Vol.41A 和
|I2|=|0|3ll u|3+||A V0|h-2(d d)1叭11日1(阿+11卩』1乙2(曲)||伽||乙2(曲)||u|L^(d Q) +|叭||乙2(阿||Vu||L3(d d)||V0|L6(d d).
综合上述估计可得
¥(|V x如|2+[仇F(0)d s+||V伽||2)+2(v||△如|2+k||△伽||2)
d t Jdd
<|训3+I|0||3||训3+||训3||0||3+||0||3||训3
<C|u||3+||训2+1|0||3+||训3+1|0||3,(3.9)由引理2.3存在T*>0,对任意t G[0,T*]有
|u(,t)||3+||0(,t)||3+/|u t(s)||2d s+v/||u(s)||4d s+k[||0(s)||2d s<C.
丿0丿0丿0
这里C是独立于v和K的常数.命题3.1证毕.I 利用命题3.1中的先验估计，结合文献[24],应用标准Garlerkin逼近方法，可建立强解的局部存在唯一性.
4粘性消失极限
本节研究v T0,K T0时，Boussinesq方程组的粘性消失极限.
定理4.1设(u o,0o)G W n H3(Q),存在T o>0,当T o<T*时，u=u(v,k),0=0(v,k)是方程组(1.1)-(1.2)的强解.当v,K-0时，(u,0)收敛于相同初始条件下理想Boussinesq 方程组的解(u o,0o),有
u(v,K),0(v,K)-(u o,0o)在L q(0,T o；H3(Q)),
u(v,K),0(v,K)-(u o,0o)在C(0,T o；H2(Q)),
其中1<q<x.
证由命题3.1可得，对任意v,k>0有
u(v,k),0(v,k)在C(0,T o；H3(Q))一致有界，
u，(v,k),0，(v,k)在L2(0,T o；W)一致有界.
依据标准紧性结果，存在关于v,K的序列v…,K n和向量函数(u o,0o),对任意1<q<X有(u(v”，K…),0(v…,K…))—(u°,0°)在L q(0,T；H3(Q)),
(u(v n,K n),0(v…,K…))-(u°,0°)在C(0,T；H2(Q)).
当v n,K n-0时取极限，则(u o,0。

)是如下极限方程组的解
d t u o+u o•V u o+V p o=0o e3,
d t0o +u o•V0o=0,
(4.1)
V•u o=0,
No.1郭连红：关于Boussinesq 方程组无粘极限的研究97(4.3)
(4.4)
满足边界条件
u o • n = 0, n x 3o = 0,
(4.2)
n • V 0o = 0,
这里p o 满足
A p o = V • (0o e 3 — u o • V u o ),V p o • n = (0o e 3 — u o • V u o ) • n.
类似上一节证明Boussinesq 方程组强解的唯一性，可以证明(u o ,0o )的唯一性，进而证明整 个序列的收敛性.
最后给出强解收敛率的估计.
定理4.2设(u o , 0o ) G W n H 3(Q), T o 满足定理4.1的条件，则
l|u (v, K )— u o h 2 + ||0(v, K )— 0o h 2 < C (T o )(v + K ).
证 记u = u (v, K )— u o ,帀=0(v, K )— 0o ,则讥=—A u,偏=—△帀满足方程组
d t 讥—A(B i (u, 0) — B i (u o , 0o )) = —v △吃 + v A 2u o ,
d t 偏—A(B 2(u, 0) — B 2(u o , 0o )) = —k △巧 + k A 20o ,
V • u = 0,边界条件为
u • n = 0,
n x A 3 = F (0), n • A V 0 = 0,这里(Vx u ) x n = 0, (Vx u o ) x n = 0,n • V 0 = 0.
方程组(4.3)的一式和二式分别与讥，偏在L 2作内积，分部积分计算得到
召(h 讥h 2 + h 偏h 2) — 2(A(B i (u, 0) — B i (u o , 0o )),偏)—2(A(B 2(u, 0)—场(汕,0o )),血)=v (A 2w,讥)+ k (A 2N 偏)+ v (A 2u o ,讥)+ k (A 20o ,血)， (4.5)由命题3.1的证明可得
—A(B 1(u, 0) — B 1(u o , 0o )) = —A[(u • V u — 0e 3) — (u o • V u o — 0o e 3)]
=—A[u • V u — u • V u o + u • V u o — u o • V u o — (0e 3 — 0o e 3)]
=—A[u • V u + u • V u o —苑3], (4.6)
类似有
—A(B 2(u, 0) — B 2(u o , 0o )) = —A[u • V 0 — u o • V 0o ]
=—A[u • V 0 — u o • V 0 + u o • V 0 — u o • V 0o ]
=—A[u • V 0 + u o •孔 (4.7)
又
2(A(B i (u, 0) —B i (u o , 0o )),讥)—2(A(B 2(u, 0)—艮(汕,0o )),偏)< C (T o )(||讥h 2 + h 偏h 2) (4.8)
98数学物理学报Vol.41A 和
("△2u o,讥)<v||(Vx)3u o||•||V x0u|<2||V x0u|2+Cv||(Vx)3u o||2,
(-△20o,偏)<-||(V)30o||•||V偏I<-||V偏||2+C k||(V)30o||2,(4.9)综合(4.6)-(4.9)式可得
d t(|讥I2+I偏I2)+2(v||V x讥I2+k||V偏||2)<C((||0u I2+I偏I2)+Cv+C k).
上述估计关于v,K是一致的，因此
(|讥|2+|偏|2)<C(T o)(|讥|2+|偏|2+Cv+C k).
由巩0)=0,帀(0)=0,依据Gronwall's不等式可得
I讥I2+I妬I2<C(T o)(v+-).
定理4.2得证.I
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Research on the Inviscid Limit for Boussinesq Equations
Guo Lianhong
(Public Course Teaching Department,Guangzhou Panyu Polytechnic,Guangzhou511483)
Abstract:In this paper,we investigate the inviscid limit of the3D viscous Boussinesq equa­tions with slip boundary condition.We establish the local well-posedness of the strong solutions for initial boundary value problems for such systems.Furthermore,we establish the vanishing viscosity limit process and obtain a strong rate of convergence as the boundary of the domain is flat.In addition,the key observation is that the boundary term as0can be estimated by the part of high order of energy through the trace formula.
Key words:Boussinesq equations;Vanishing viscosity limit;Slip boundary conditions.
MR(2010)Subject Classification:35Q30;35B45;76D03。