2016届高三数学一轮总复习课件：第五章 数列5-1

(4)an＝01
n为奇数， n为偶数，
或 an＝1＋2－1n，或 an＝1＋c2osnπ(n
∈N*)．
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考点二
an 与 Sn 的关系及应用
【例 2】 (1)设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 a8 的值为( )
A．15
B．16
C．49
D．64
(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝
(4)形如an＋1＝
Aan Ban＋C
(A，B，C为常数)的数列，可通过两边
同时取倒数的方法构造新数列求解．
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问题3 高考对an与Sn关系的考查有哪些方面？ 高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度： (1)利用an与Sn的关系求通项公式an； (2)利用an与Sn的关系求Sn. 但(1)考查偏多，特别注意不要漏掉对n＝1时，a1＝S1的讨 论，否则造成不必要的失分．
第五章 数列
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第一节 数列的概念与简单表示法
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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高考明方向 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式)． 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
知识点一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数列的有关概念
1.数列的定义： ①数列：按照 一定顺序 排列的一列数． ②数列的项：数列中的 每一个数 ．
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2．数列的分类：
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3.数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
答案 －1
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知识点三 数列的通项公式an与前n项和Sn 的关系
6.已知数列{an}，Sn为{an}的前n项和，且有Sn＝2an－1，则an ＝________.
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解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1. 因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1， 所以Sn－Sn－1＝2an－2an－1， 即an＝2an－2an－1，an＝2an－1. 所以{an}是以a1＝1，公比q＝2的等比数列， 所以an＝2n－1，n∈N*. 答案 2n－1，n∈N*
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方法二：因为 Sn＝2an＋1，所以 Sn－1＝2an(n≥2)， 两式相减得：an＝2an＋1－2an，所以aan＋n 1＝32. 所以数列{an}从第 2 项起为等比数列． 又因 n＝1 时，S1＝2a2，所以 a2＝12. 所以 Sn＝a1＋121－1－3232n－1
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问题2 由递推关系求数列通项公式有哪些常用方法？
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；
(2)已知a1且aan－n 1＝f(n)，可用“累乘法”求an；
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待 定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列；
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解析 方法1：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得 该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….
由此可得a100＝－1. 方法2：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1， 两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an. ∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.
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对点自测
知识点一
数列的有关概念
1.判一判
(1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达．( )
(2) 根 据 数 列 的 前 几 项 归 纳 出 数 列 的 通 项 公 式 可 能 不 止 一
个．( )
(3) 数 列 ： 1,0,1,0,1,0 ， … ， 通 项 公 式 只 能 是 an ＝ 1＋－1n＋1
2an an＋2
(n∈N*)，则a5等于
()
A.25
B.13
2
1
C.3
D.2
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解析 由a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，得a2＝23，a3＝12，a4＝25，a5＝ 1 3.
答案 B
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5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则 a100等于________．
看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n(n＋2)，即an＝n2nn＋＋12.
此题也可用排除法求解，只需验证当n＝1时，A选项为
1 3
，B
选项为32，C选项为34，均不为1，故排除A、B、C，从而选D.
答案 D
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3．已知数列{an}的通项公式是an＝
2n 3n＋1
【规律方法】 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观 察分析，抓住以下几个方面的特征：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③拆项后的特征：把数列的项分成变化的 部分和不变的部分；④各项符号特征．若关系不明显时，应将部 分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．
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()
A．2n－1
B.32n－1
C.23n－1
1 D.2n－1
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听 课 记 录 (1)a8＝S8－S7＝64－49＝15. (2)方法一：因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由 Sn＝2an＋1 得，Sn＝2(Sn ＋1－Sn)，整理得 3Sn＝2Sn＋1，所以SSn＋n 1＝32，所以数列{Sn}是以 S1 ＝a1＝1 为首项，q＝32为公比的等比数列，所以 Sn＝32n－1，故选 B.
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＝1－1－32n－1＝32n－1. 答案 (1)A (2)B
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【规律方法】 已知 Sn 求 an 的三个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1. (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则 应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
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R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题1 由数列的前n项归纳通项公式的具体策略是什么？ (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归 纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化 特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化 异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分 子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理．
，那么这个数列是
() A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
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解析 方法1：∵an＋1－an＝32n＋n＋11＋ 1－3n2＋n 1 ＝[3n＋1＋21]3n＋1＞0， ∴an＋1＞an，数列{an}为递增数列． 方法2：研究函数f(x)＝3x2＋x 1(x＞0)的单调性． f(x)＝2x3＋x＋23－1 23＝2333x＋x＋11－23
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知识点二
数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项an 与它的 前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么
这个公式叫数列的递推公式．
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知识点三 数列的通项公式an与前n项和Sn的关系 an＝SS1n－Snn－＝1 1n≥2，n∈N*
变式思考 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通 项公式：
(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (4)0,1,0,1，….
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解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对 值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通 项公式为
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变式思考 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{Sn}的前 n 项 和为 Tn，满足 Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求 a1 的值； (2)求数列{an}的通项公式．
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备考知考情 本部分内容在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an， 或者利用递推数列构造等差或等比数列求通项an，若只涉及通项 公式，则以选择、填空题为主，较为简单，若涉及递推公式，则 常为解答题，属较难题目.
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J 基础回扣·自主学习
an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴ an＝891－110n.
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(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的分子
分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－2 3，至此原数列已化为－ 212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
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＝23－33x2＋1. ∴f(x)＝3x2＋x 1在(0，＋∞)上单调递增． ∴f(n＋1)＞f(n)，故an＋1＞an，数列{an}为递增数列． 答案 A
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知识点二
数列的递推公式
4.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
2 .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)×
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2．数列1，85，175，294，…的一个通项公式是( )
A．an＝2nn＋2 1
B．an＝nnn＋＋12
C．an＝n2＋n1＋2－ 1 1
D．an＝n2nn＋＋12
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解析 ∵1可以写成33，∴分母为3,5,7,9，即2n＋1，分子可以
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高频考点 考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 【例 1】 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，…. 【思维启迪】 观察各项的特点求解．
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听 课 记 录 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，…， 所以 an＝2n2－n 1. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成 的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项为 2＋1，所以 an＝(－1)n·2＋n－1n.
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也可写为 an＝－ 3n，1n， n为n为 正正 偶奇 数数 . ， (4)将数列各项改写为：93，939，9939，9 9399，…， 分母都是 3，而分子分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以 an＝13(10n－1)．
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