高中数学 第一章 立体几何初步双基限时练16(含解析)北师大版必修2.doc

双基限时练(十六)

一、选择题

1．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．3πa 2

B ．6πa 2

C ．12πa 2

D ．24πa 2

解析 由题意得，2R ＝4a 2

＋a 2

＋a 2

＝6a ， ∴R＝

62

a ，∴球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2. 答案 B

2．已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π

解析 由三视图可知，该几何体为半径为1的半球体， ∴S 表＝πr 2

＋2πr 2

＝3πr 2

＝3π. 答案 B

3．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为( )

A ．1:2:3

B ．2:3:4

C ．3:2:4

D ．3:1:2

解析 V 圆柱＝2πR 3

，V 圆锥＝13πR 2·(2R)＝2π3R 3，

V 球＝43πR 3

.则体积之比为：2:23 :43即3:1:2.

答案 D

4．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )

A .6π

B ．43π

C ．46π

D ．63π

解析 如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则|OO 1|＝2，|O 1A|＝1，∴球的半径R ＝|OA|＝2＋1＝ 3.

∴球的体积V ＝43

πR 3

＝43π.故选B .

答案 B

5．如图，正四棱锥P —ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P —ABCD ＝16

3

，那么球O 的表面积是( )

A ．4π

B ．8π

C ．12π

D ．16π

解析 由题意，可得AB ＝2R ，PO ＝R ，又V P —ABCD ＝13(2R)2R ＝163，得R ＝2，∴S 表＝4πR

2

＝16π.

答案 D

6．64个直径都为a

4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲，一个直径为a

的球记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )

A ．V 甲>V 乙，S 甲>S 乙

B ．V 甲<V 乙，S 甲>S 乙

C ．V 甲＝V 乙，S 甲>S 乙

D ．V 甲＝V 乙，S 甲<S 乙

解析 V 甲＝64×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4×123＝16

πa 3

，

S 甲＝64×4π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 82＝4πa 2

，

V 乙＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16

πa 3

，

S 乙＝4π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 22＝πa 2

，

∴V 甲＝V 乙，S 甲>S 乙． 答案 C 二、填空题

7．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．

解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，则2r ＝3a ， ∴a＝233r ，∵43πr 3

＝43π，∴r＝3，∴a＝2.

∴S 表＝6a 2

＝24. 答案 24

8．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于该容器的水中，若取出两个小球，则容器的水面将下降________．

解析 由题意，得2×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝π×52

×h，得h ＝53.

答案 5

3

cm

9．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都是在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为________．

解析 球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫362

＝1， 故V 球＝43πR 3＝4

3π.

答案 4

3

π

三、解答题

10．已知某几何体的三视图如图所示，求它的体积和表面积．

解 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了1

8部分得到的几何体，∴其体积V

＝78V 球＝78×43π×13＝76π，S 表＝78×4π×12＋3×14π×12

＝174

π. 11．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，求这个圆锥的高与球的半径之比．

解 如图，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R ，圆锥的高为h.

∴V 锥＝13πR 2

h ，V 半球＝12·43πR 3.

∵V 锥＝V 半球，

∴h＝2R ，即h:R ＝2:1.

12．桌面上有三个半径均为r 的小球，它们两两相切，现有第四个半径为r 的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离．

解 如图所示，设桌面上三个小球的球心分别为O 1，O 2，O 3，第四个小球的球心为O 4.因每两个小球都相切，所以O 1，O 2，O 3，O 4构成一个棱长都为2r 且各面都全等的正三角形的三棱锥．

设O 4在平面O 1O 2O 3的正投影为O ，则O 4到桌面的距离为O 4O ＋r. 连接O 3O ，由于O 为正三角形△O 1O 2O 3的中心，

∴OO 3＝23×32×2r＝23

3r.

∴O 4O ＝

2r

2

－⎝

⎛⎭

⎪⎫233r 2＝26

3r. 因此，第四个小球的球心离桌面的距离为⎝

⎛⎭

⎪⎫

263＋1r. 思 维 探 究

13．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3

16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比

值为多少？

解 如图，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，由题意得πr 2＝316

×4πR 2

.