激光原理及应用：第3章光学谐振腔与激光模式

2D 2 2 10-6 rad
L
（2）衍射损耗
衍射光斑的第一极小值： 1.22 0.61
2a
a
d
L a2 a2 L a2
2L
a
2L 0.61
aa
1.22
a2 / L
L
a2
d
d
L
a2
设： N a 2
L
得： d
1 N
N为腔的菲涅耳数：从一面镜子的中心看到另一面镜
子上可划分的菲涅耳半波带数。
要求φ为实 数
因此，要求
1 1 (A D) 1 2
1 1 {1 2L [ 2L (1 2L )(1 2L )]} 1
2
R2 R1
R1
R2
1 1 2L 2L 2L2 1
R1 R2 R1R2
0 2 2L 2L 2L2 2
R1 R2 R1R2
得：
0 1 L L L2 1 R1 R2 R1R2
其中
r：光线离轴线的距离
：光线与光轴的夹角
r
符号规则：出射方向在光轴上方取
出射方向在光轴下方取
r符号规则：在光轴上方取 在光轴下方取
一条近轴光线可以用列矩阵表示，为r ＃说明： 近轴满足 sin tg
2.光线变换矩阵
若一条入射光线r1 ,1 ，经过一个光学系统后，变成
出射光线r2
,
2
，则可用矩阵
L
满足方程的任意一个场分布函数v(x, y)就描述腔的一个 自再现模式（横模），函数v(x, y)称为本征函数，常数γ为本 征值。
3.5.4 自再现模积分方程的物理意义
由于
v
x,
y
S
K
x,
y,
x',
y'v
x' , y'
ds'
K x, y, x', y'
1 2L
2L(1 L )
T
R2 22
2L
R2
2L
2L
2L
[ R1 R2 (1 R1 )]
[ R1
(1 R1 )(1 R2 )]
A C
B D
若光线在腔内经n次往返，其参数的变换关系：
rnn ＝TTnT个TT r11 T n r11
由薛尔凡斯特定理可知
Tn
CA
B D
n
1
s in
（3）透射损耗
I1 I 0 r1r2 I 0e 2r
r
1 2
ln
r1r2
当r1≈1，r2≈1时
r
1 2
1
r1
1
r2
对于实际激光器而言，r1=1，r2=r≈1，即T<<1，所以
r
1 ln r 2
1 1 r
2
T 2
（4）吸收损耗
吸收系数：a dI Idz
I
z
I
e az
0
光在腔内往返一次： I1 I 0e 2al
S
其中的积分核为：
K x, y, x', y' ik eik 1 cos
4
L
1
当腔长L和镜线度a满足：L >> a，或曲面反射镜的曲率半 径R和镜线度a满足： R >> a时，有：
则初步简化后的自再现模方程为：
v x, y K x, y, x', y'v x', y' ds'
S
K x, y, x', y' i eik x,y,x,y
特点：非稳腔具有较高的几何损耗
c. 满足 g1g2 1或 g1g2 0的腔称为临界腔或介稳腔。
特点：临界腔的性质介于稳定腔和非稳腔之间
i. 平行平面腔 ——介稳腔
R1 R2 ，g1 g2 1，满足 g1g2 1
ii. 共心腔 ——介稳腔
R1
R2
L，满足
g1g2
1
R1 R2 R1
2 R2
0
1r22
1 0
r55
＝
2 R1
1r44
光线在腔内往返传播一次后：
r55
＝1
2 R1
0 1
1 L
1
0
1
2 R2
0 1
10
L 1
r11
1 2L
2L(1 L )
r55
R2
[
2 R1
2 R2
(1
2L )]
R1
[ 2L R1
R2 (1
2L R1
)(1
2L R2
)]r11
往返矩阵：
（2）不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但 不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率 的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易 从光斑图形来区分。
3.3 光学谐振腔的损耗
光腔损耗大小决定了激光振荡阈值，达到稳定振荡状态腔内光腔，以及 激光输出能量 3.3.1 光腔的损耗
第3章 光学谐振腔与激光模式
研究方法：
1. 几何光学分析方法； 2、矩阵光学分析方法； 3、波动光学分析方法
1. 几何光学分析方法；
出 发 点：将光看成光线用几何光学方法来处理 应用条件：几何损耗远大于衍射损耗 优 点：简便、直观 缺 点：得不到腔的衍射损耗；不能深入分析腔模特性
2、矩阵光学分析方法；
u
x, y
ik
4
u
S
x', y' eik
1
cos
ds'
各子波源发出 的球面波
倾斜因子
3、衍射积分方程在谐振腔的应用
u1x', y'
u2 x, y
x, y
P'
n
x', y'
M1
M2
u
2
x, y
ik
4
u1
S1
x', y' eik
1 cos ds'
经过j次渡越后所生成的场u j+1与u j之间也应满足类似的迭代关系：
1
R1 R2 R2
1
iii. 对称共焦腔 ——稳定腔
R1
R2
L，g1
g2
1
L R
0，满足
g1g2
0
3.5 光学谐振腔的衍射理论基础
3.5.1 自再现模
3.5.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分
1、惠更斯—菲涅耳原理
2、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式
功能：如果知道了光波场在其所达到
的任意空间曲面上的振幅和相位分布， 就可以求出该光波场在空间其他任意 位置处的振幅和相仿分布。
u
j 1
x, y
ik
4
S
uj
x', y' eik
1 cos ds'
3.5.3 自再现模积分方程
按照自再现理论，当渡越次数 j 足够大时，除了一个表示振幅
衰减和相位移动的复常数因子 以外，u j+1应该再现 u j，则：
u j1
1
u
j
u j2
1
u j1
当j足够大时
u
j
x,y
ik
4
uj
S
出 发 点：使用矩阵代数的方法研究光学问题，将几何光线和激光 束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写。
应用范围：推导出谐振腔的稳定性条件 优 点：处理问题简明、规范，易于用计算机求解
3、波动光学分析方法
出 发 点：波动光学的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分理论，建立一个描 述光学谐振腔模式特性的本征积分方程
1、损耗的种类
（1）几何损耗 （2）衍射损耗
选择性损耗 与模式有关
（3）射出腔镜的透射损耗 （4）非激活吸收损耗、散射损耗
非选择性损耗 与模式无关
2、平均单程损耗因子 I1
I0
I1 I 0e 2
δ为单程损耗因子：
1 ln I0 2 I1
如果是多因素引起的损耗： i 1 2 3
t
I t I0e R
I (t) n(t)h
n(t)
n0
exp(
t
R
)
dn(t) n0 exp( t )dt
R
R
t
1 n0
dn(t) t
t
1 n0
n0
0 R
exp( t
R
)dt t
R
3.3.3 无源腔的品质因数——Q值
Q 2
P
：储存在腔内的总能量； P：单位时间内损耗的能量
nhV
R
1 0
TR
2
1
R
符号规则：凹面镜R取 凸面镜R取
3）薄透镜的光线变换矩阵Tf
由
r2
2
r1
r1 f
1
可得薄透镜对傍轴光线的 变换矩阵为
1 0
Tf
1 f
1
符号规则：会聚 f 取 发散 f 取
3.光线在腔内往返传播的矩阵
r22
＝10
L 1
r11
r44
＝10
L 1
r33
r33 ＝1
-1 0
1
g1
（-1,-1）
对称共心腔
-1 对称共焦腔
看书的例题
a. 满足 0 g1g2 1的腔，腔内傍轴光线在腔内往返 无限多次而不会横向逸出腔外，这种谐振腔处于 稳定工作状态，称为稳 定 腔。
特点：稳定腔的几何损耗可以忽略
b. 满足 g1g2 1或 g1g2 0的腔，腔内任何近轴光束 在往返有限多次后，会横向逸出腔外，这种谐振 腔处于非稳定工作状态，称为非 稳 腔。
Asin n sin(n C sin n
1)
Bsinn Dsinn sin(n
1)
An Cn

Bn Dn
式中 arccos1 ( A D)
2
n次往返后光线的坐标参数为
rnn
An r0 Cn r0
Bn0 Dn0
3.4.2 共轴球面腔的稳定性条件
要近轴光线 不逸出腔外
要求Tn的各元 素取有限实数
x', y' eik
1 cos ds
u
j 1
x,y
ik
4
u j1
S
x', y' eik
1
cos ds'
设v( x, y )为不受衍射影响的稳态场分布函数
由
u
j
x,y
ik
4
uj
S
x', y' eik
1 cos ds
，得
v x, y K x, y, x', y'v x', y' ds'
P d
dt
t
n(t) n0 exp( R )
Q
2
R
2
L
c
腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。Q值大，表示光腔
的储能好，损耗小，腔内光子寿命长。
请看一个例题！
例题
一个激光器谐振腔长L=100cm，平均单程损耗δ=10-2， 激光频率ν=4.8×1014Hz，计算腔内的平均寿命及腔 的Q值。
3.4 光学谐振腔的稳定性条件
问题1：什么是稳定腔？ 光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外的
谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。
问题2：什么是非稳腔？ 光线在谐振腔内往返有限次即横向逸出腔外的谐振腔
称为非稳定谐振腔，简称非稳腔。
3.4.1 腔内光线往返传播的矩阵表示
1.光线矩阵
一条近轴光线可以用r、 两个参数表示：
A C
DB 描述光学系统对光线
的变换作用
r22
A C
B D
r11
即
r 22
Ar1 Cr1
B1 D1
r1
1
r1 r2
r2
光学系统
z1
z2
2 z
矩阵
A C
DB 就是该光学系统的光线变换矩阵,描述
入射光线经过光学系统后引起的坐标变化。
1) 均匀介质层的光线变换矩阵
设光线r11 传输距离L后，成为光线r22
0 (1 L )(1 L ) 1
R1
R2
——谐振腔稳定性条件
引入谐振腔的g 参数：
g1
1
L R1
g2
1
L R2
R的符号规则： 凹面镜向着腔内 R取 凸面镜向着腔内 R取
g参数表示的稳定性条件为： 0 g1g2 1
讨论
以g1 、 g2为轴可以画出稳区图
g2
0 g1g2 1
1
（1,1）平行平面腔
dL
L
z
dz
i
0
2 2L 2 2L 2 q
谐振波长： q
2L q
谐振频率：
vq
q
c 2L
q
c
2L
3.2.2 纵模
q通常非常大（纵模的序数）
两个相邻纵模频率差：
vq
vq1
vq
c 2L
c
2L
Δvq与q无关，对一定的腔为一常数
看P36例题
3.2.3 横模
总结：
（1）纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只 有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布；
单程损耗因子： 吸 al
3.3.2 光子在腔内的平均寿命
I1 I0e2 m次往返
m次往返所需时间t： t 2mL c
t
I t I0e R
I m I0e2m
m
t 2L
c
其中： R
L
c
当t=τR时， I t I0e1
τR为光子在腔内的平均寿命
那么问题来了，在腔中是不是这 样的？
设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时 刻光子数密度
腔与模的关系：
腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决 定 1）不同的腔，模式不同；
2）腔给定，模式确定
3.2.1 驻波与谐振频率
形成稳定振荡条件：入射光与反射光满足相长干涉 2q q为整数
两束光的相位差： 2 2L L L
有多种介质 L
i Li
非均匀分布的介质 L
i
I1 I0e21 e22 e23 I0e2
3、损耗举例 （1）腔镜倾斜引起的几何损耗
L 2 L 6 L 22m 1 D
2L1 3 2m 1 D
m D
2L
1 2m
L
2D
例：
对于一个口径 D 1cm, 腔长L 1m的平平腔 , 若要
求失调损耗 1%, 则两个镜面的倾斜角
则有
r2
r1 L1 2 1
光线变换矩阵为
1 L
TL
0
1
(r1,1) 1
r1
L
(r2 ,2 ) 2
r2
2) 球面反射镜的光线变换矩阵TR
设光线r11
经过球面反射镜反射后的光线为r22
则有
r2 r1
入射角 反射角
1 2
（r1,1)
1
2
（r2,2 )
2
2
1
2
r1 R
1
应用范围：求任意光腔的模式，得到场的振幅、相位分布，谐振频率 以及衍射损耗等腔模特性
优 点：是一种比较普遍和严格的理论