霍邱一中2018—2019学年第一学期高一周测含答案

霍邱一中2018—2019学年第一学期高一周测数学试题满分150分 时间120分钟第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是( )A.－1B.0C.1D.1或－1 2.若函数f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)等于( )A.0B.1C.2D.3 3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A.y ＝x ＋1B.y ＝－x 3C.y ＝1xD.y ＝x |x |4.函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )5.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g [f (－7)]＝( )A. 3B.－3C.2D.－2 6.已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a7.已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A.[－1,1]B.[12，2] C.[1,2] D.[2，4]8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A.[－1,2]B.[0,2]C.[1，＋∞)D.[0，＋∞)9.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数： f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则是“同形”函数的是( )A.f 2(x )与f 4(x )B.f 1(x )与f 3(x )C.f 1(x )与f 4(x )D.f 3(x )与f 4(x )10.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( )A.0B.1C.2D.311.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)12.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设全集U ＝R ，A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x <1}.则图中阴影部分表示的集合为____________________.14.函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值 为________.15.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________．三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）化简求值：(1)23-×92÷105；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求(3log -xy .18.（本小题满分12分）设集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2，x ∈R }.(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝3x －2－x3x ＋2－x.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )在区间[-1,1]的最大值与最小值.20.（本小题满分12分）函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值.21.（本小题满分12分）已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在(－∞，－12)上为增函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0). (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.霍邱一中2018—2019学年第一学期高一周测数学参考答案1答案 A解析 由M ∩N ＝N 得N ⊆M . 当a ＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a ＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a ＝－1时，N ＝{－1,1}，符合题意. 2答案 A解析 ∵f (2x ＋1)＝x 2－2x ，∴f (2·2＋1)＝22－2·2，即f (3)＝0. 3答案 D 4答案 A解析 由函数解析式可知f (x )＝f (－x )，即函数为偶函数，排除C ；由函数过(0,0)点，排除B 、D. 5. 答案 D解析 f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3，g [f (－7)]＝g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝－log 2 (3＋1)＝－2 6答案 B解析 ∵y ＝log 0.6x 在(0，＋∞)上为减函数.∴log 0.60.6<log 0.60.5，即a >1. 同理，ln 0.5<ln 1＝0，即b <0. 0<0.60.5<0.60，即0<c <1. ∴a >c >b . 7答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]，即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8答案 D解析 f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，解得0≤x ≤1或x >1.∴x 的取值范围是[0，＋∞).9答案 A解析 因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”函数的定义，f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数.f 3(x )＝log 2x 2＝2log 2|x |与f 1(x )＝2log 2(x ＋1)不“同形”，故选A. 10答案 B解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错.故选B. 11答案 B解析 a >1时，当0<x ≤12时，log a x <0，不合题意.0<a <1时，只需124<log a 12，即log a a 2<log a 12，解得a >22，又a ∈(0,1)，∴a ∈⎝⎛⎭⎫22，1. 12 答案 B解析 设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200，∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝（lg 2＋lg 10）－（lg 1.3＋lg 10）lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元. 13答案 {x |1≤x <2}解析 图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )，因为∁U B ＝{x |x ≥1}，画出数轴，如图所示， 所以A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}.14答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时，x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23.15 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，且 f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜116答案 (－∞，16]解析 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0， ∴a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16，即a 的取值范围是(－∞，16]．17. 解(1)原式＝922352332221010-⎛⎫⎛⎫⨯÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2－1×103×5210-＝2－1×1210＝102.(2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(x y )＋1＝0. ∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴xy＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log (3－22)13－22＝－1.18. 解 (1)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1，∴⎩⎨⎧a ≤2，a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤－12，∴a ＝2或a ≤－12. ∴a 的取值范围为{a |a ＝2或a ≤－12}.(2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ，有三种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1，解得a ≤－3；②⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4，解得a＝2；③B ＝∅，则2a >a ＋2，解得a >2. ∴a 的取值范围为{a |a ≤－3或a ≥2}.19.解 (1)因为f (x )＝3x －2－x 3x ＋2－x ＝2x ·3x －12x ·3x ＋1＝6x －16x ＋1，所以f (－x )＝6－x －16－x ＋1＝1－6x1＋6x ＝－f (x )，x ∈R ，所以f (x )是奇函数. (2)因为f (x )＝6x －16x ＋1＝(6x ＋1)－26x ＋1＝1－26x ＋1在[-1,1]上是增函数，所以f (x )max＝f (1)=75，f (x )min ＝f (-1)=75- 20. 解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数. ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2. 由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去.③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10. 综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.21.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，∴12log (x 2＋x ＋1)≤12log 34＝2－log 23，∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].y ＝x 2＋x ＋1在(－∞，－12]上递减，在[－12，＋∞)上递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上递减，∴f (x )的增区间为(－∞，－12]，减区间为[－12，＋∞).(2)令u ＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a24－a ，∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u 为单调减函数，∴u 在(－∞，－12)上为单调减函数，且u ＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立.⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0，解得－1≤a ≤12.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 22. 解 (1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝a －x －1.∵f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0). ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1(x ≥0)，－a －x ＋1(x <0). (2)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1<0，－1<－a －x ＋1＋1<4或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，－1<a x －1－1<4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1<0，－3<a －x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，0<a x －1<5.当a >1时，有⎩⎨⎧ x <1.x >1－log a 2或⎩⎨⎧x ≥1.x <1＋log a 5，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5).同理，可得当0<a <1时，不等式的解集为R .综上所述，当a >1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)；当0<a <1时，不等式的解集为R .。