安徽省合肥一中2018-2019学年高一下学期期末数学试卷-Word版含解析

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2018-2019学年安徽省普通高中学业水平数学试题Word版含解析

数学试题一、选择题（本大题共18 小题，每小题 3 分，满分54 分．每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要求．）1．已知集合A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，则A∪B 等于（）A．{1，5} B．{1，3，5} C．{﹣1，3，5} D．{﹣1，1，3，5}2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台3．为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级1000 名学生进行编号，号码为0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为9的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法4．log2210=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣105．若函数y=f（x），x∈[﹣5，12]的图象如图所示，则函数f（x）的最大值为（）A．5 B．6 C．1 D．﹣16．不等式（x+2）（x﹣1）＞0 的解集为（）A．{x|x＜﹣2 或x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2}7．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径为（）A．1 B．√2 C．2 D．48．如图，在ABCD 中，点E 是AB 的中点，若（）A．D．9．点A（1，0）到直线x+y﹣2=0 的距离为（）A．B．C．1 D．210．下列函数中，是奇函数的是（）A．y=2x B．y=﹣3x2+1 C．y=x3﹣x D．y=3x2+111．sin72°cos63°+cos72°sin63°的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ． 2 212．若 A 与 B 互为对立事件，且 P （A ）=，则 P （B ）=（）A ．B ．C ．D ．13．点 P （x ，y ）在如图所示的平面区域（含边界）中，则目标函数 z=2x+y 的最大值（）A ．0B ．6C ．12D ．1814．直线经过点 A （3，4），斜率为﹣，则其方程为（）A ．3x+4y ﹣25=0B ．3x+4y+25=0C ．3x ﹣4y+7=0D ．4x+3y ﹣24=015．如图，在四面体 A-BCD 中，AB ⊥平面 BCD ，BC ⊥CD ，若 AB=BC=CD=1，则 AD=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．216．已知两个相关变量 x ，y 的回归方程是，下列说法正确的是（） A ．当 x 的值增加 1 时，y 的值一定减少 2B ．当 x 的值增加 1 时，y 的值大约增加 2C ．当 x=3 时，y 的准确值为 4D ．当 x=3 时，y 的估计值为 417．某企业 2 月份的产量与 1 月份相比增长率为 p ，3 月份的产量与 2 月份相比增长率为 q（p ＞0，q ＞0），若该企业这两个月产量的平均增长率为 x ，则下列关系中正确的是（）A ．xB ．xC ．x ＞D ．x ＜18．已知函数 f （x ）=sinx ﹣lnx （0＜x ＜2π）的零点为 x 0有 0＜a ＜b ＜c ＜2π 使 f （a ）f （b ） f （c ）＞0 则下列结论不可能成立的是（）A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＞cD ．x 0＜π二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上.）19．已知数列{a n }满足 a 1=2，a n1=3a n ﹣2，则 a 3= ．√ 2 2 √2 220．如图所示的程序框图，若输入的 a ，b 的值分别是 3 和 5，则输出的结果是．21．袋中装有质地、大小完全相同的 5 个球，其中红球 2 个，黑球 3 个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为．22．已知向量a →，b →满足（a →+2b →）•（a →﹣b →）=﹣6，且|a →|=1，|b →|=2，则a →与b →的夹角为．三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）23．△ABC 内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 cos （π﹣B ）．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a=4，c=2，求 b 和 A 的值．24．如图，正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥BD 1；（Ⅱ）证明：BD 1∥平面 ACE ．25．已知函数f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点A（4，8），数列{a n}满足：a1=1，a n=f （a n1）+g（n）（n≥2）．（Ⅰ）求a，b 的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：．2018-2019学年安徽省普通高中学业水平数学试题参考答案一、选择题（本大题共18 小题，每小题 3 分，满分54 分．每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要求．）1．（3 分）已知集合A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，则A∪B 等于（）A．{1，5} B．{1，3，5} C．{﹣1，3，5} D．{﹣1，1，3，5}【分析】由 A 与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，∴A∪B={﹣1，1，3，5}．故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3．（3 分）为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级1000 名学生进行编号，号码为0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为9 的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵抽取所有编号末位数字为9 的学生的考试成绩进行分析，∴样本间距相同，则满足系统抽样的定义，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的判断，比较基础．4．（3 分）log2210=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10【分析】根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：log2210=10log22=10，故选：C．【点评】本题主要考查了对数的运算法则，属于基础题．5．（3 分）若函数y=f（x），x∈[﹣5，12]的图象如图所示，则函数f（x）的最大值为（）A．5 B．6 C．1 D．﹣1【分析】直接运用函数最值的几何意义及图象可求．【解答】解：由所给函数的图象及最值的几何意义可知，函数的最大值为6，故选：B．【点评】该题考查函数的最值及其几何意义，属基础题．6．（3 分）不等式（x+2）（x﹣1）＞0 的解集为（）A．{x|x＜﹣2 或x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】求解一元二次不等式的步骤为：（1）研究一元二次不等式对应的方程根的情况；（2）画出对应的一元二次函数的图象；（3）结合图象得不等式的解集．【解答】解：因为（x+2）（x﹣1）=0 的两根为﹣2 和1，所以y=（x+2）（x﹣1）的图象为开口方向向上，与x 轴的交点为（﹣2，0）和（1，0）的二次函数，因此满足（x+2）（x﹣1）＞0 的部分为x 轴上方的，即所求不等式的解集为：{x|x＜﹣2 或x＞1}，故选：A．【点评】本题考察一元二次不等式的解法，掌握上述步骤，注意数形结合，一元二次不等式的求解在集合的关系与运算和函数性质的研究中经常出现．7．（3 分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径为（）A．1 B．√2 C．2 D．4【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 的半径r=．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径：r=．故选：C．【点评】本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．（3 分）如图，在ABCD 中，点E 是AB 的中点，若（）→→→→A．B．C．D．【分析】根据向量的加法及共线向量基本定理，相等向量即可表示出E →C ．→【解答】解：由已知条件得：；故选：B ．【点评】考查向量的加法，共线向量基本定理及相等向量．9．（3分）点 A （1，0）到直线 x+y ﹣2=0 的距离为（） √2A ．B ．C ．1D ．22 【分析】利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：点 A （1，0）到直线 x+y ﹣2=0 的距离：d=．故选：B ．【点评】本题考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，是基础题．10．（3 分）下列函数中，是奇函数的是（）A ．y=2xB ．y=﹣3x 2+1C ．y=x 3﹣xD ．y=3x 2+1【分析】函数奇偶性的判定必须首先要求定义域，如果关于原点对称，再利用等于判定．【解答】解：观察四个选项，函数的定义域都是 R ，其中对于 A ，是非奇非偶的函数，对于 B ，D 都满足 f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，对于 C ，f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数；故选：C ．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，在定义域关于原点对称的情况下，利用 f （﹣x ）与 f （x ）的关系判断奇偶性．11．（3 分）sin72°cos63°+cos72°sin63°的值为（）2 21 1 √2√2A．﹣B．C．﹣D．【分析】由两角和的正弦公式易得答案．【解答】解：sin72°cos63°+cos72°sin63°63°）故选：D．【点评】本题考查基础题．12．（3 分）若A 与B 互为对立事件，且P（A）=，则P（B）=（）A．B．C．D．【分析】对立事件的概率之和为1．【解答】解：∵A 与 B 互为对立事件，∴P（A）+P（B）=1，又∵P（A）=，∴P（B）=．故选：B．【点评】本题考查了概率为基本性质，属于基础题．13．（3 分）点P（x，y）在如图所示的平面区域（含边界）中，则目标函数z=2x+y的最大值（）A．0 B．6 C．12 D．18【分析】利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：由z=2x+y 得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点（6，0）时，直线y=﹣2x+z 的截距最大，此时z 最大．代入目标函数z=2x+y 得z=2×6+0=12．即目标函数z=2x+y的最大值为12．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．314．（3 分）直线经过点A（3，4），斜率为﹣，则其方程为（）4A．3x+4y﹣25=0B．3x+4y+25=0 C．3x﹣4y+7=0 D．4x+3y﹣24=0【分析】利用点斜式即可得出．【解答】解：由点斜式可得：y﹣（x﹣3），化为3x+4y﹣25=0．故选：A．【点评】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题．15．（3 分）如图，在四面体A﹣BCD 中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）A．1 B．√2 C．√3 D．2【分析】利用线面垂直的性质得到AB⊥CD，结合CD⊥BC 利用线面垂直的判定得到CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，通过各过各的了可求AD．【解答】解：∵AB⊥平面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，又CD⊥BC，∴CD⊥面ABC，∴CD⊥AC，又AB=BC=CD=1，∴AD2=AC2+CD2=AB2+BC2+CD2=3，∴AD=√3．故选：C．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用；要证线面垂直，只要证明线线垂直．16．（3 分）已知两个相关变量x，y 的回归方程是，下列说法正确的是（）A．当x 的值增加1 时，y 的值一定减少2B．当x 的值增加1 时，y 的值大约增加2C．当x=3 时，y 的准确值为4D．当x=3 时，y的估计值为4【分析】根据所给的线性回归方程，把x 的值代入线性回归方程，得到对应的y 的值，这里所得的y 的值是一个估计值．【解答】解：当x=3 时，，即当x=3 时，y 的估计值为4．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报y 的值，17．（3 分）某企业2 月份的产量与1 月份相比增长率为p，3 月份的产量与2 月份相比增长率为q（p＞0，q＞0），若该企业这两个月产量的平均增长率为x，则下列关系中正确的是（）C+C C+CA．x B．x C．x＞D．x＜2 2【分析】由题意可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，，，当且仅当p=q 时取等号．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（3 分）已知函数f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）的零点为x0 有0＜a＜b＜c＜2π 使f（a）f（b）f（c）＞0 则下列结论不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＞c D．x0＜π【分析】由题意判断f（x）的正负，进而求出零点可能的范围．【解答】解：由右图可知，函数f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）先正后负，则由有0＜a＜b＜c＜2π 使f（a）f（b）f（c）＞0 可知，f（a）＞0，f（b）＜0，f（c）＜0 或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，则x0＜a 不可能；故选：A．【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分16 分，把答案填在题中的横线上.）19．（4 分）已知数列{a n}满足a1=2，a n1=3a n﹣2，则a3= 10 ．【分析】由数列的首项和递推式直接代值计算．【解答】解：∵a1=2，a n1=3a n﹣2，∴a2=3a1﹣2=4，∴a3=3a2﹣2=10，故答案为：10．【点评】本题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的计算能力．20．（4 分）如图所示的程序框图，若输入的a，b 的值分别是3 和5，则输出的结果是5 ．【分析】输入的a，b 的值分别是 3 和5，由程序框图选择结构的分析不难得出结论．【解答】解：由程序框图知∵a=3，b=5，5＞3，即此时a＞b 不成立，∴y=5，从而输出y 的值为5故答案为：5．【点评】本题主要考察程序框图中选择结构的应用，属于基础题．21．（4 分）袋中装有质地、大小完全相同的5 个球，其中红球2 个，黑球3 个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为．【分析】列出的所有的基本事件即可．【解答】解：所有的基本事件有红1，红2，黑1，黑2，黑3，共 5 种，取出黑球的基本事件有 3 种，3故概率为．53故答案为．5【点评】本题考查了用列举法概率的方法，属于基础题．→→→→22．（4分）已知向量满足（，且| 为．→ 的夹角【分析】由条件可得求得 a → ⋅ b →=1，再由两个向量的夹角公式求出，再由 θ 的范围求出 θ 的值．→→→→【解答】解：设的夹角为 θ，∵向量满足（）•（，且→|，∴a →2+a →⋅ b →﹣2b →2=1+a →⋅ b →﹣8=﹣6，∴a →⋅ b →=1．，再由 θ 的范围为[0，π]，可得，故答案为．3【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求出，是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共 3 小题，满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.） 23．（10 分）△ABC 内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 cos （π﹣B ）=﹣ ．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a=4，c=2，求 b 和 A 的值．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式，即可求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a=4，c=2，利用余弦定理求 b ，由正弦定理可得 A 的值．【解答】解：（I ），又0＜C ＜C ，∴ …4 分（II ）由余弦定理得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB=16+4﹣8=12，解得C = 2√3…7 分由正弦定理可得，故…10 分【点评】本题考查诱导公式，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（10 分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为DD1的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BD1；（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．【分析】（I）证明AC⊥BD，且AC⊥DD1，即可证明AC⊥平面BDD1，从而证明AC⊥BD1；（II）如图所示，证明OE∥BD1，即可证明BD1∥平面ACE．【解答】解：（I）证明：在正方体ABCD 中，连结BD，∴AC⊥BD，又∵DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，又BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1；又∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；如图所示；（II）证明：设BD∩AC=O，连结OE，在△BDD1中，O、E 分别为BD、DD1的中点，∴OE∥BD1；又∵OE⊂平面ACE，且BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．【点评】本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目．25．（10 分）已知函数f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点A（4，8），数列{a n}满足：a1=1，a n=f（a n1）+g（n）（n≥2）．（Ⅰ）求a，b 的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：．【分析】（Ⅰ）由题意列出方程即可求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a n=f（a n1）+g（n）=2a n1+2n﹣1，即a n=2a n1+2n﹣1，两边同除以，即可得出结论；（Ⅲ）当n=1 时，，当n≥2 时，利用不等式放缩可得．2【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点A（4，8），解得a=2，b=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，∴a n=f（a n1）+g（n）=2a n1+2n﹣1，即a n=2a n1+2n ﹣1，两边同除以，又，∴数列是首项和公差都为1 的等差数列．=n，a n=n2n﹣1．（Ⅲ）①当 n=1 时，，111 1②当 n≥2时，C，综上所述对一切正整数 n 都成立．【点评】本题主要考查n等差数列的定义及利用方程思想、不等式放缩思想解决问题的方法，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属难题．】。

合肥市重点名校2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题含解析

合肥市重点名校2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：k=1，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，此时p=3 考点：程序框图2．在Rt ABC ∆中，2,CA CB M N ==，是斜边AB 上的两个动点，且2MN =CM CN ⋅的取值范围为（）A ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]12，D ．[)2+，∞ 【答案】A 【解析】【分析】可借助直线方程和平面直角坐标系，代换出,M N 之间的关系，再结合向量的数量积公式进行求解即可【详解】如图所示：设直线方程为：221x y+=，()(),2,,2M a a N b b --，()02,02a b ≤≤≤≤，由2MN =得()21a b -=，可设a b >，则1a b -=，1a b =+，01b ≤≤()(),2,,2CM a a CN b b =-=-，()()()22224CM CN ab a b ab a b ⋅=+--=-++()221321=2+24b b b ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01b ≤≤时，21332+,2242b ⎛⎫⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故3,22CM CN ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量法在几何中的应用，属于中档题 3．直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，如图所示，则（）A ．321k k k <<B ．231k k k <<C ．123k k k <<D ．213k k k <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得出直线1l ，2l ，3l 的倾斜角满足132090180ααα︒︒︒<<<<<，由倾斜角与斜率的关系得出结果. 【详解】解：设三条直线的倾斜角为123ααα、、，根据三条直线的图形可得132090180ααα︒︒︒<<<<<，因为tan ,[,)(,)k 09090180αα︒︒︒=∈，当[,)090α︒∈时，tan k 0α=>，当(,)90180α︒︒∈时，tan k α=单调递增，且tan 0α<，故tan tan tan 3210ααα<<<，即321k k 0k <<< 故选A. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性. 4．用[]x 表示不超过的x 最大整数（如[]2.12=，[]3.54-=-）.数列{}n a 满足*114,1(1),()3n n n a a a a n N +=-=-∈，若12111n nS a a a =+++，则[]n S 的所有可能值的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】数列{}n a 取倒数，利用累加法得到n S 通项公式，再判断[]n S 的所有可能值. 【详解】()111n n n a a a +-=-两边取倒数：()11111111111111n n n n n n n na a a a a a a a ++==-⇒-=-----利用累加法：1111113111n n n S a a a ++=-=---- ()21110n n n n n a a a a a ++-=-≥⇒≥⇒{}n a 为递增数列. 123441313313477,,,39816561a a a a ====计算：134S = ，整数部分为027552S =，整数部分为13656136916S =- ，整数部分为211331n n S a +=-<-[]n S 的所有可能值的个数为0,1,2答案选C 【点睛】本题考查了累加法求数列和，综合性强，意在考查学生对于新知识的阅读理解能力，解决问题的能力，和计算能力. 5．把直线3y x =绕原点逆时针转动，使它与圆2223230x y x y ++-+=相切，则直线转动的最小正角度（）． A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】【分析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角。

2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（） A ．B ．C ．D ．评卷人得分二、填空题13、已知，且，则__________。

2018-2019学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一下学期期末联考数学试题扫描含答案

合肥一中、合肥六中2018—2019学年第二学期高一期末联考数学试题参考答案12601.【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选D．2.【答案】A【解析】在中，，，，即，由正弦定理得，，解得故选A．3.【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图如下，时，，时，，时，，时，，满足循环终止条件，此时，则输出的n值是9．故选C．4.【答案】B【解析】由图1得样本容量为，抽取贫困户的户数为人，则抽取C村贫困户的户数为人．故选B．5.【答案】A【解析】，故A正确；，故B不正确；是递减函数，又，所以，故D不正确．故选A．6.【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选B．7.【答案】D【解析】，，，，当且仅当，取等号，故选D．8.【答案】C【解析】在中，，,，．，，代入，，解得．的形状是等边三角形．故选C．9.（合肥六中学生做）【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为，设圆锥的底面半径是r，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是2，圆锥的表面积为．故选B．（合肥一中学生做）【答案】B【解析】向量、的夹角为，，，则．故选B．10.（合肥六中学生做）【答案】A【解析】作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积，四棱锥的体积，由三视图可知两个四棱锥大小相等，．故选A．（合肥一中学生做）【答案】A【解析】是定义在R上的奇函数，且，，，的周期为4，时，，，，时，，．故选A．11.（合肥六中学生做）【答案】C【解析】当，即．当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此满足题意，应舍去；当，即时．关于x的不等式的解集为空集，，解得．综上可得：a的取值范围是．故选C．（合肥一中学生做）【答案】C【解析】函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数的图象，若，则，；解得，；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为T的整数倍，且．故选C．12.【答案】B【解析】因为，所以，所以．又时，，，所以最大值为1，最小值为．若对任意，都有，则且，所以，所以实数p的取值范围是．故选B．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13.【答案】【解析】经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：．故答案为．14.（合肥六中学生做）【答案】【解析】，，，且的面积是，，，，，由余弦定理可得，，故答案为．（合肥一中学生做）【答案】【解析】若，，则，，可得，求得，故答案为．15.【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为1010．16.【答案】【解析】由题意可得：，解得：，设，则：，可得：，当且仅当时x取得最大值，，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）（合肥六中学生做）【解析】根据相似性可得：，解得：；……分设该正四棱柱的表面积为则有关系式因为，所以当时，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48……10分（合肥一中学生做）【解析】依题意，，，，故，将点的坐标代入函数的解析式可得，则，又，故，故函数解析式为……5分当时，，则，，所以函数的值域为……10分18.（本题满分12分）（合肥六中学生做）【解析】设数列的公差为d，由题意知：，解得，．所以．……5分由，，则有．则．所以，．……12分（合肥一中学生做）【解析】当时，，为R上的奇函数证明如下：，其定义域为R，则，故函数为奇函数；……5分当时，函数在R上单调递减，证明如下：，设，则，又由，则，则有，即函数为R上的减函数．……12分19.（本题满分12分）【解析】由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；……6分由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：概率．AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为．……12分20.（本题满分12分）【解析】由及正弦定理，可得，即，由可得，所以，因为，，所以．……6分由得，又因为，所以的面积，把，带入得，所以，解得．……12分21.（本题满分12分）【解析】Ⅰ，，，，，以上个式子相加得：时，时，，符合上式，；……6分Ⅱ得 (12)分22.（本题满分12分）【解析】Ⅰ，说明理由可以是：离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，个数据点与回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，个数据点更加贴近回归直线l，个数据点与回归直线更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；……4分Ⅱ令，代入，故估计B同学的物理分数大约是81分；……7分Ⅲ由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为，物理标准分为，，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．……12分。

2018-2019学年安徽省普通高中学业水平数学试题Word版含解析

2018-2019学年安徽省普通高中学业水平数学试题W o r d版含解析(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2018-2019学年安徽省普通高中学业水平数学试题一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分．每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要求．）1．已知集合 A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，则A∪B 等于（）A．{1，5} B．{1，3，5} C．{﹣1，3，5} D．{﹣1，1，3，5}2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台3．为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级 1000 名学生进行编号，号码为 0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为9 的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法4．log2210=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣105．若函数 y=f（x），x∈[﹣5，12]的图象如图所示，则函数 f（x）的最大值为（）A．5 B．6 C．1 D．﹣16．不等式（x+2）（x﹣1）＞0 的解集为（）A．{x|x＜﹣2 或 x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或 x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2}7．圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径为（）A．1 B．√2 C．2 D．48．如图，在 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，若（）A．D．9．点 A（1，0）到直线 x+y﹣2=0 的距离为（）A．B． C．1 D．210．下列函数中，是奇函数的是（）A．y=2x B．y=﹣3x2+1 C．y=x3﹣x D．y=3x2+111．sin72°cos63°+cos72°sin63°的值为（）A．﹣1 B ．1 C ．﹣ D ． 2 212．若 A 与 B 互为对立事件，且 P （A ）=，则 P （B ）=（）A ．B ．C ．D ．13．点 P （x ，y ）在如图所示的平面区域（含边界）中，则目标函数 z=2x+y 的最大值（）A ．0B ．6C ．12D ．1814．直线经过点 A （3，4），斜率为﹣，则其方程为（）A ．3x+4y ﹣25=0B ．3x+4y+25=0C ．3x ﹣4y+7=0D ．4x+3y ﹣24=015．如图，在四面体 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD ，BC⊥CD，若 AB=BC=CD=1，则 AD=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．216．已知两个相关变量 x ，y 的回归方程是，下列说法正确的是（）A ．当 x 的值增加 1 时，y 的值一定减少 2B ．当 x 的值增加 1 时，y 的值大约增加 2C ．当 x=3 时，y 的准确值为 4D ．当 x=3 时，y 的估计值为 417．某企业 2 月份的产量与 1 月份相比增长率为 p ，3 月份的产量与 2 月份相比增长率为 q （p ＞0，q ＞0），若该企业这两个月产量的平均增长率为 x ，则下列关系中正确的是（）A ．xB ．xC ．x ＞D ．x ＜ 18．已知函数 f （x ）=sinx ﹣lnx （0＜x ＜2π）的零点为 x 0有 0＜a ＜b ＜c ＜2π 使 f （a ）f （b ） f （c ）＞0 则下列结论不可能成立的是（）A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＞cD ．x 0＜π二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上.）19．已知数列{a n }满足 a 1=2，a n1=3a n ﹣2，则 a 3= ．√ 22 √ 2220．如图所示的程序框图，若输入的 a ，b 的值分别是 3 和 5，则输出的结果是．21．袋中装有质地、大小完全相同的 5 个球，其中红球 2 个，黑球 3 个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为．22．已知向量a →，b →满足（a →+2b →）•（a →﹣b →）=﹣6，且|a →|=1，|b →|=2，则a →与b →的夹角为．三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）23．△ABC 内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 cos （π﹣B ）．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a=4，c=2，求 b 和 A 的值．24．如图，正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BD 1；（Ⅱ）证明：BD 1∥平面 ACE ．25．已知函数 f （x ）=ax ，g （x ）=b •2x 的图象都经过点 A （4，8），数列{a n }满足：a 1=1，a n =f（a n1）+g（n）（n≥2）．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：．2018-2019学年安徽省普通高中学业水平数学试题参考答案一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分．每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要求．）1．（3 分）已知集合 A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，则A∪B 等于（）A．{1，5} B．{1，3，5} C．{﹣1，3，5} D．{﹣1，1，3，5}【分析】由 A 与 B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，∴A∪B={﹣1，1，3，5}．故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3．（3 分）为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级 1000 名学生进行编号，号码为 0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为 9 的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵抽取所有编号末位数字为 9 的学生的考试成绩进行分析，∴样本间距相同，则满足系统抽样的定义，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的判断，比较基础．4．（3 分）log2210=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10【分析】根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：log2210=10log22=10，故选：C．【点评】本题主要考查了对数的运算法则，属于基础题．5．（3 分）若函数 y=f（x），x∈[﹣5，12]的图象如图所示，则函数 f（x）的最大值为（）A．5 B．6 C．1 D．﹣1【分析】直接运用函数最值的几何意义及图象可求．【解答】解：由所给函数的图象及最值的几何意义可知，函数的最大值为 6，故选：B．【点评】该题考查函数的最值及其几何意义，属基础题．6．（3 分）不等式（x+2）（x﹣1）＞0 的解集为（）A．{x|x＜﹣2 或 x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或 x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】求解一元二次不等式的步骤为：（1）研究一元二次不等式对应的方程根的情况；（2）画出对应的一元二次函数的图象；（3）结合图象得不等式的解集．【解答】解：因为（x+2）（x﹣1）=0 的两根为﹣2 和 1，所以 y=（x+2）（x﹣1）的图象为开口方向向上，与 x 轴的交点为（﹣2，0）和（1，0）的二次函数，因此满足（x+2）（x﹣1）＞0 的部分为 x 轴上方的，即所求不等式的解集为：{x|x＜﹣2 或 x＞1}，故选：A．【点评】本题考察一元二次不等式的解法，掌握上述步骤，注意数形结合，一元二次不等式的求解在集合的关系与运算和函数性质的研究中经常出现．7．（3 分）圆 x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0 的半径为（）A ．1B ．√2C ．2D ．4【分析】圆 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 的半径 r=．【解答】解：圆 x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0 的半径：r=．故选：C ．【点评】本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．（3 分）如图，在 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，若（）→→→→ A ． B ． C ． D．【分析】根据向量的加法及共线向量基本定理，相等向量即可表示出E →C．→【解答】解：由已知条件得：；故选：B ．【点评】考查向量的加法，共线向量基本定理及相等向量．9．（3 分）点 A （1，0）到直线 x+y ﹣2=0 的距离为（）√2A ．B ．C ．1D ．22【分析】利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：点 A （1，0）到直线 x+y ﹣2=0 的距离： d=．故选：B ．【点评】本题考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，是基础题．10．（3 分）下列函数中，是奇函数的是（）A．y=2x B．y=﹣3x2+1 C．y=x3﹣x D．y=3x2+1【分析】函数奇偶性的判定必须首先要求定义域，如果关于原点对称，再利用等于判定．【解答】解：观察四个选项，函数的定义域都是 R，其中对于 A，是非奇非偶的函数，对于 B，D 都满足 f（﹣x）=f（x），是偶函数，对于C，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数；故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，在定义域关于原点对称的情况下，利用 f（﹣x）与f（x）的关系判断奇偶性．11．（3 分）sin72°cos63°+cos72°sin63°的值为（）2 21 1 √2√2A．﹣ B．C．﹣D．【分析】由两角和的正弦公式易得答案．【解答】解：sin72°cos63°+cos72°sin63°63°）故选：D．【点评】本题考查基础题．12．（3 分）若 A 与 B 互为对立事件，且 P（A）=，则 P（B）=（）A． B． C． D．【分析】对立事件的概率之和为 1．【解答】解：∵A 与 B 互为对立事件，∴P（A）+P（B）=1，又∵P（A）=，∴P（B）=．故选：B．【点评】本题考查了概率为基本性质，属于基础题．13．（3 分）点 P（x，y）在如图所示的平面区域（含边界）中，则目标函数 z=2x+y的最大值（）A．0 B．6 C．12 D．18【分析】利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点（6，0）时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大，此时 z 最大．代入目标函数 z=2x+y 得z=2×6+0=12．即目标函数z=2x+y 的最大值为 12．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．314．（3 分）直线经过点 A（3，4），斜率为﹣，则其方程为（）4A．3x+4y﹣25=0B．3x+4y+25=0 C．3x﹣4y+7=0 D．4x+3y﹣24=0【分析】利用点斜式即可得出．【解答】解：由点斜式可得：y﹣（x﹣3），化为 3x+4y﹣25=0．故选：A．【点评】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题．15．（3 分）如图，在四面体 A﹣BCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，若 AB=BC=CD=1，则 AD=（）A．1 B．√2 C．√3 D．2【分析】利用线面垂直的性质得到AB⊥CD，结合CD⊥BC 利用线面垂直的判定得到CD⊥平面 ABC，所以CD⊥AC，通过各过各的了可求 AD．【解答】解：∵AB⊥平面 BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，又CD⊥BC，∴CD⊥面 ABC，∴CD⊥AC，又 AB=BC=CD=1，∴AD2=AC2+CD2=AB2+BC2+CD2=3，∴AD=√3．故选：C．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用；要证线面垂直，只要证明线线垂直．16．（3 分）已知两个相关变量 x，y 的回归方程是，下列说法正确的是（）A．当 x 的值增加 1 时，y 的值一定减少 2B．当 x 的值增加 1 时，y 的值大约增加 2C．当 x=3 时，y 的准确值为 4D．当 x=3时，y 的估计值为 4【分析】根据所给的线性回归方程，把 x 的值代入线性回归方程，得到对应的 y 的值，这里所得的 y 的值是一个估计值．【解答】解：当 x=3 时，，即当 x=3 时，y 的估计值为 4．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报 y 的值，17．（3 分）某企业 2 月份的产量与 1 月份相比增长率为 p，3 月份的产量与 2 月份相比增长率为 q（p＞0，q＞0），若该企业这两个月产量的平均增长率为 x，则下列关系中正确的是（）C+C C+CA．x B．x C．x＞ D．x＜2 2【分析】由题意可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，，，当且仅当 p=q 时取等号．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（3 分）已知函数 f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）的零点为 x有 0＜a＜b＜c＜2π 使 f（a）f（b）f（c）＞0 则下列结论不可能成立的是（）A．x0＜a B．x＞b C．x＞c D．x＜π【分析】由题意判断 f（x）的正负，进而求出零点可能的范围．【解答】解：由右图可知，函数 f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）先正后负，则由有 0＜a＜b＜c＜2π 使 f（a）f（b）f（c）＞0 可知，f（a）＞0，f（b）＜0，f（c）＜0 或 f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，则 x＜a 不可能；故选：A．【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上.）19．（4 分）已知数列{an }满足 a1=2，an1=3an﹣2，则 a3= 10 ．【分析】由数列的首项和递推式直接代值计算．【解答】解：∵a1=2，an1=3an﹣2，∴a2=3a1﹣2=4，∴a3=3a2﹣2=10，故答案为：10．【点评】本题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的计算能力．20．（4 分）如图所示的程序框图，若输入的 a，b 的值分别是 3 和 5，则输出的结果是5 ．【分析】输入的 a，b 的值分别是 3 和 5，由程序框图选择结构的分析不难得出结论．【解答】解：由程序框图知∵a=3，b=5，5＞3，即此时 a＞b 不成立，∴y=5，从而输出 y 的值为 5故答案为：5．【点评】本题主要考察程序框图中选择结构的应用，属于基础题．21．（4 分）袋中装有质地、大小完全相同的 5 个球，其中红球 2 个，黑球 3 个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为．【分析】列出的所有的基本事件即可．【解答】解：所有的基本事件有红 1，红 2，黑 1，黑 2，黑 3，共 5 种，取出黑球的基本事件有 3 种，3故概率为．53故答案为．5【点评】本题考查了用列举法概率的方法，属于基础题．→→→→22．（4分）已知向量满足（，且| 为．→ 的夹角【分析】由条件可得求得 a → ⋅ b →=1，再由两个向量的夹角公式求出，再由 θ 的范围求出 θ 的值．→→→→【解答】解：设的夹角为 θ，∵向量满足（）•（，且→|，∴a →2+a →⋅ b →﹣2b →2=1+a →⋅ b →﹣8=﹣6，∴a →⋅ b →=1．，再由 θ 的范围为[0，π]，可得，故答案为．3【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求出，是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共 3 小题，满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.） 23．（10 分）△ABC 内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 cos （π﹣B ）=﹣ ．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a=4，c=2，求 b 和 A 的值．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式，即可求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a=4，c=2，利用余弦定理求 b ，由正弦定理可得 A 的值．【解答】解：（I ），又0＜B ＜π，∴ (4)分（II ）由余弦定理得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB=16+4﹣8=12，解得b = 2√3…7 分由正弦定理可得，故…10 分【点评】本题考查诱导公式，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（10 分）如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为 DD1的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BD1；（Ⅱ）证明：BD1∥平面 ACE．【分析】（I）证明 AC⊥BD，且 AC⊥DD1，即可证明 AC⊥平面 BDD1，从而证明AC⊥BD1；（ II）如图所示，证明 OE∥BD1，即可证明 BD1∥平面 ACE．【解答】解：（I）证明：在正方体 ABCD 中，连结 BD，∴AC⊥BD，又∵DD1⊥平面 ABCD，且 AC⊂平面 ABCD，∴AC⊥DD1，又 BD∩DD1=D，∴AC⊥平面 BDD1；又∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；如图所示；（ II）证明：设 BD∩AC=O，连结 OE，在△BDD1中，O、E 分别为 BD、DD1的中点，∴OE∥BD1；又∵OE⊂平面 ACE，且 BD1⊄平面 ACE，∴BD1∥平面 ACE．【点评】本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目．25．（10 分）已知函数 f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点 A（4，8），数列{an }满足：a1=1，an=f（an1）+g（n）（n≥2）．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）求证：．【分析】（Ⅰ）由题意列出方程即可求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得 an =f（an1）+g（n）=2an1+2n﹣1，即 an=2an1+2n﹣1，两边同除以，即可得出结论；（Ⅲ）当 n=1 时，，当 n≥2 时，利用不等式放缩可得．2【解答】解：（Ⅰ）∵函数 f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点 A（4，8），解得 a=2，b=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，∴an =f（an1）+g（n）=2an1+2n﹣1，即 an=2an1+2n﹣1，两边同除以，又，∴数列是首项和公差都为 1 的等差数列．=n，an=n2n﹣1．（Ⅲ）①当 n=1 时，，1 1 1 1②当 n≥2 时，n，综上所述对一切正整数 n 都成立．【点评】本题主要考查n等差数列的定义及利用方程思想、不等式放缩思想解决问题的方法，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属难题．。

2018-2019学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一下学期期末联考数学试题Word版含解析

2018-2019学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（） A ．522 B ．324C ．535D ．578【答案】D【解析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578 则第6个编号为578 本题正确选项：D 【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键． 2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算A 、B 两点的距离为（）A ．100mB ．C ．D ．200m【答案】A【解析】计算出ABC ∆三个角的值，然后利用正弦定理可计算出AB 的值. 【详解】在ABC ∆中，AC =，45ACB ∠=，105CAB ∠=，即30ABC ∠=，由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，sin 45sin 30AB ∴=o o，解得100AB = ，故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.4．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调査，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A ．100，20B ．100，10C ．200，20D ．200，10【答案】B【解析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以10%得出样本容量，在C 村人口户数乘以10%，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数. 【详解】由图1得样本容量为()35020045010%100010%100++⨯=⨯=，抽取贫困户的户数为20010%20⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为200.510⨯=户．故选：B. 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题.5．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >【答案】A【解析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确；对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<Q ，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误；对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选：A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.6．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ．14B ．316C ．38D ．716【答案】B【解析】设正方形的边长为2，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为42=，对应每个小等腰三角形的面积112224S =⨯=，则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ．【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 7．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】0x >，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】由圆锥展开图为半径为4的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积. 【详解】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为12442l ππ=⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π，设圆锥的底面半径是r ，则得到24r ππ=，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为242212S πππ=⋅⋅+⋅=．故选：B ．【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题.10．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -=（）A ．BC ．D【答案】B【解析】利用平面向量数量积和定义计算出a b -==r r得出结果. 【详解】向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -====r r B ．【点睛】本题考查利用平面向量的数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将模进行平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查计算能力，属于中等题.11．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A【解析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】先利用定义推导出函数()y f x =的周期，由奇函数的性质得出()00f =，可解出m 的值，然后利用周期性和奇函数的性质计算出()2019f 的值. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x ∴+=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()y f x =的周期为4，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()010f m =-=，得1m =.所以，当01x ≤≤时，()21xf x =-.()()()()()120194505111211f f f f ∴=⨯-=-=-=--=-，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，在涉及函数多种对称性时，可利用定义推导出函数的周期性，利用函数的周期来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞【答案】C【解析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或240a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选：C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 【答案】C【解析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值，由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】011111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立，当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤ 当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤ 故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果二、填空题16．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98.【解析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【答案】2【解析】利用同角三角函数计算出sin A 的值，利用三角形的面积公式和条件23b c =可求出b 、c 的值，再利用余弦定理求出a 的值. 【详解】1cos3A =Q ，sin 3A ∴==，23b c =Q ，且ABC ∆，1sin2ABC S bc A ∆∴=，1223c c =⨯，c ∴=b =由余弦定理得2229192cos 22232a b c bc A =+-=+-=，a ∴=故答案为：2．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-，则()sin αβ+=___________. 【答案】2425【解析】将等式62sin 3c 5os αβ-=-和等式12cos 3s 5in αβ-=-都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出()sin αβ+的值. 【详解】若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-，将上述两等式平方得22364sin 9cos 12sin cos 25αβαβ+-=，① 2214cos 9sin 12cos sin 25αβαβ+-=，②， ①＋②可得()374912sin 25αβ+-+=，求得()24sin 25αβ+=，故答案为：2425．【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，35S a =，2019m a =，则m =________【答案】1010【解析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m 的值即可. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 公差为d ，则()32133S a a d ==+，又由11a =，35S a =，则()3114d d +=+，2d =，则()11212019m a a m d m =+-=-=，解可得1010m =；故答案为：1010．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．20．在ABC ∆中，150ABC ∠=o ，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=，若ABC ∆的BD 取到最大值时，AC =___________.【答案】【解析】由三角形的面积公式得出ac =，设BD x =，由ABC BCD ABD S S S ∆∆∆=+可得出x =，利用基本不等式可求出x 的值，利用等号成立可得出a 、c 的值，再利用余弦利用可得出AC 的值. 【详解】由题意可得11sin15024ABC S ac ac ∆===o ac =设BD x =，则144ABC BCD ABD S S S ax cx ∆∆∆=+=+=x =，由基本不等式可得1x =≤===，当且仅当a =时，x 取得最大值1，a ∴=2c =，由余弦定理得(2222222cos 22228AC b a c ac ABC ⎛==+-∠=+-⨯⨯= ⎝⎭，解得AC =．【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．底面半径为3，高为底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x ，试将棱柱的高h 表示成x 的函数；（2）当x 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．【答案】(1) 2(0h x x =<;(2) 正四棱柱的底面边长为的表面积最大值为48.【解析】试题分析：（1）根据比例关系式求出h 关于x 的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y ，得到关系式224y x xh =+，根据二次函数的性质求出y 的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=，解得：(20h x x =<<；（2）设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x =+=+=-+=--+，因为0x <<x =48max y =，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求53x x -+-的最小值，那么可以看成是数轴上的点到5x =和3x =的距离之和，易知最小值为2、求导法等.22．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】(1) ()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2) 2⎡⎤⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）依题意， 2,,A T π==则2ω=，将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得()26k k Z πϕπ=-∈，故=6πϕ-，函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由题意可得22363x πππ-≤-≤，结合三角函数的性质可得函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.试题解析：（1）依题意， 22,4,2312A T ππππωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，故()()22f x sin x ϕ=+. 将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得213sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()26k k Z πϕπ=-∈， πϕ<又，故=6πϕ-，故函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 22363x πππ-≤-≤ ，则2126sin x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 2226sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.点睛：求函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)在区间[a ，b ]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin (ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos (ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin (ωx ＋φ)(或cos (ωx ＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+．（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【答案】（1）21n a n =+；（2）见解析【解析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+．则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭34<．【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.24．已知函数()()2221xxm f x m R --=∈+. （1）当3m =时，判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）当1m >时，判断并证明函数()f x 在R 上的单调性. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）将3m =代入函数()y f x =的解析式，利用函数的奇偶性定义来证明出函数()y f x =的奇偶性；（2）将函数()y f x =的解析式化为()1121xm f x -=-+，然后利用函数单调性的定义证明出函数()y f x =在R 上的单调性. 【详解】（1）当3m =时，()1221xx f x -=+，函数()y f x =为R 上的奇函数.证明如下：()1221xx f x -=+，其定义域为R ，则()()()()12212212121212x xx x xx x xf x f x -----⋅---====-+++⋅，故函数()y f x =为奇函数；（2）当1m >时，函数()y f x =在R 上单调递减.证明如下：()22112121x xx m m f x ---==-++，任取12x x <，则()()()()()()2212111212121221111111121112222x x x x xx x x m m m m m f x f x ------⎛⎫⎛⎫-=---=-=- ⎪ ⎪++⎭+⎝+⎝⎭++，又由12x x <，则12220x x -<，则有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 因此，函数()y f x =为R 上的减函数．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判定与证明，在利用定义证明函数的单调性与奇偶性时，要熟悉定义法证明函数奇偶性与单调性的基本步骤，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.25．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：,,A B C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）在选取的样本中，从,A D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．【答案】（I ）n 50,0.004,0.018x y ===，910；（II ）914.【解析】试题分析：(I)根据频率直方图的相关概率易求n 50,0.004,0.018x y ===，依据样本估计总体的思想可得该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，求事件A 对立事件A 的的概率，可得()()109112814P A P A =-=-=. 试题解析：（I ）由题意可知，样本容量6250,0.0040.012105010n x ====⨯⨯10.040.10.120.560.01810y ----==因为成绩是合格等级人数为：()10.15045-⨯=人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910（II ）由茎叶图知，A 等级的学生共有3人，D 等级学生共有0.1505⨯=人，记A 等级的学生为123,,A A A ，D 等级学生为12345,,,,D D D D D ，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：121311,,,A A A A A D1213141523212223242531323334351213,,,,,,,,,,,,,,,,,A D A D A D A D A A A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D D D D D1415232425343545,,,,,,,D D D D D D D D D D D D D D D D 共28个基本事件记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，则事件A 的可能结果为1213,,D D D D 14152324,,,,D D D D D D D D 25343545,,,D D D D D D D D 共10种因此()()109112814P A P A =-=-= 【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型.26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，14BD =，求c 边的长. 【答案】（1）23B π=；（2）5c =. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）利用余弦定理得出2239b c c =++，由三角形的面积公式1sin 2ABC S ac B ∆==12b BD ⋅，代入数据得出75b c =，将该等式代入等式2239b c c =++可解出c 边的长.【详解】（1）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，由A B C π++=可得()()sin sin sin B C A A π+=-=，所以()sin 2cos 10A B +=，因为0A π<<，sin 0A >，所以1cos 2B =-，0B π<<，23B π∴=；（2）由于23B π=，由余弦定理得2222222cos 39b a c ac B a c c c c a =+==++++-，又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积11sin 22ABC S ac B b BD ∆==⋅，把3a =，23B π=，BD =75b c =，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了余弦定理和三角形面积公式来解三角形，解题时要根据题中相关条件列方程组进行求解，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.27．设数列{n a }满足12a =，12n n n a a +-=；数列{b n }的前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-．（Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝n n a b ，求数列{n c }的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）2,32n n n a b n ==-；（Ⅱ）110(35)2n n T n +=+-⋅【解析】（Ⅰ）根据数列递推式，利用累加法可得n a ，验证n=1也符合，可求出数列{n a }的通项公式；将已知()2132n S n n =-中的n 换为n-1，得到()(211[31)12n S n n -⎤=---⎦，作差可得32n b n =-，验证n=1也符合即可. （Ⅱ）由()32?2nn c n =-，利用错位相减法求和即可. 【详解】（Ⅰ）由已知，当n 2≥时，()()()()1112211222n n n n n n n a a a a a a a a ----⎡⎤=-+-+⋯+-+=++⋯+⎣⎦+2=2n ，又因为12a =，所以数列{n a }的通项公式为2n n a =．因为()2132n S n n =-，所以()(211[31)1n 22n S n n -⎤=---≥⎦（），两式作差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，因此所求通项公式为32n b n =-.（Ⅱ）由2,32n n n a b n ==-，可得()32?2nn c n =-， ∴()123124272322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ()()23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()()23123222322n n n T n +-=+⋅++⋅⋅⋅+--⋅ =()11422332212n n n ++-+⋅--⋅-，整理得()110352n n T n +=+-⋅.【点睛】本题数列递推式的应用，考查数列的通项的求法，考查了错位相减法求和，属于中档题. 28．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将,A B 两同学的成绩（对应于图中,A B 两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x与物理成绩()y 的相关系数为0.8222γ=，回归直线l （如图所示）的方程为0.500618.68y x =+.（1）若不剔除,A B 两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0γ，回归直线为0l ，试分析0γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线0l 的大致位置；（2）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式i i X X Z s-=统一化成标准分再进行比较，其中i X 为学科原始分，X 为学科平均分，s 为学科标准差）．【答案】（1）0γγ<，理由见解析（2）81（3）C【解析】（1）不剔除,A B 两同学的数据，44个数据会使回归效果变差，从而得到0γγ<，描出回归直线即可；（2）将x=125代入回归直线方程，即可得到答案；（3）利用题目给出的标准分计算公式进行计算即可得到结论.【详解】(1)0γγ<，说明理由可以是：①离群点A,B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线0l 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线0l 更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线0l 斜率须大于0且小于l 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由. （2）令125x =，代入0.500618.680.500612518.68y x =+=⨯+ 得62.57518.6881y =+≈所以，估计B 同学的物理分数大约为81分.（3）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为16161122110.511.50.6318.3618.36x x Z s --===≈ 物理标准分为16162827480.7211.1811.18y y Z s --===≈ 0.720.63>，故C 同学物理成绩比数学成绩要好一些.【点睛】本题考查散点图和线性回归方程的简单应用，考查数据处理与数学应用能力.。

合肥一中-2018—2019-学年第一学期高一年级段一考试数学试卷

合肥一中-2018—2019-学年第一学期高一年级段一考试数学试卷-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1x a÷ 合肥一中 2018—2019 学年第一学期高一年级段一考试数学试卷时长：120 分钟分值：150 分命题人：洪雨沛审题人：沐方华一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一项是正确的） 1、下列关于集合描述错误的是（） A. 00,1,2B.1,21,2,3C. {1,2}!{1,3} =1D. {1,2,3} = {3,2,1}2、若集合 A ={x | -2 ≤ x ≤ 3}， B = {x | x < -1或x > 4}，则 A ! B = （）A. (-∞,3]![4,+∞]B. (-1,3]C. [3,4)D. [-2,-1)3、设集合 A ={x |0 ≤ x ≤ 2}， B ={y |0 ≤ y ≤ 2}，则下列图象可以作为从 A 到 B 的函数图象的有（）个.A. 0B.1C. 2D. 34、下列各组函数中，是相等函数的是（）.A. f (x ) = x ， g (x ) =B. f ( x ) = x ， g ( x ) = (x )C. f (x ) = ， ( ) =D.( ) = - ， g ( x ) = x - 41 g x xf xx 2x + 25、已知函数 f ( x ) =x 1+ x 2，则 f (a ) + f ⎛ 1 ⎫的值为（）.⎝ ⎭A. 0B. 126、函数 f ( x ) =x + 2， x ∈[0,1)的值域为（）.x - 2C.1D. 2A. [-3, -1]B. (-3，-1)C. [-3，-1)D. (-3，-1]2x +1 ⎩7、函数 f ( x )的定义域为[-2,1]，函数 g ( x ) =f ( x -1)，则 g (x )的定义域为（）.A. ⎛ - 1 ⎤B. (-1, +∞)C. ⎛ -1 ⎫! (0, 2)D. ⎛ - 1 ⎫2 ,2⎥ 2 ,0 ÷ 2,2 ÷⎝ ⎦⎝ ⎭⎝ ⎭8、已知函数 f ( x ) = ⎧⎪(2 - a ) x - 4a , x < 1为单调递增函数，则 a 的取值范围是（）.⎨ax , x ≥ 1A. ⎛ 0, 1 ⎫B. ⎡1 ⎫C. (-1, 0)D. (-1, 2) 3 ÷ ⎢⎣3 ,2 ÷ ⎝ ⎭ 9、函数 f (x ) = (x -1)⎭ 是（）.A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数10、函数 f ( x ) =xx +1，关于 f ( x )的性质，以下四个推断正确的个数是（）. ① f ( x )定义域是 R ；② f ( x )值域是⎡- 1 , 1 ⎤；③ f ( x )是奇函数；④ f ( x )在(0, 2)上增.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦A.1B. 2C. 3D. 411、若集合 A = {x | ax + 3x + 2 = 0}中至多有1 个元素，则 a 的取值范围是（）.A.⎡9 , +∞⎫! {0}B. ⎡0,9 ⎤C. ⎛ -∞,9 ⎤D. ⎛ -∞,9 ⎫⎢8 ÷ ⎢ 8 ⎥ 8 ⎥ 8 ÷ ⎣ ⎭⎣ ⎦⎝ ⎦⎝ ⎭12、某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）.A.①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B.①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C.②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D.④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）1+ x1- x⎨-x - 3, x ≥ 1 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、函数 f ( x ) = ⎧2x +1, x < 1，则 f ( f (2)) 的值为.⎩14、已知集合 A = {1, a }， B = {a , -1}，若 A ! B = {-1, a ,1}，则 a = . 15、已知函数 f (x ) = 4x - kx -8在[2, 4]上具有单调性，则 k 的取值范围是.16、定义在 R 上的函数 f ( x )满足对任意的 x , y ∈ R ，有 f (x + y ) = f (x )+ f ( y ) - 2 成立，且 x > 0时 f ( x ) > 2，则不等式 f (m - 3m )+ f (2) < 4的解集为.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。

2018_2019学年安徽合肥高一下学期期末数学试卷(六校联盟)-学生用卷

2018~2019学年安徽合肥高一下学期期末数学试卷（六校联盟）-学生用卷一、选择题（本大题共12题，每小题4分，共计48分。

）1、演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）．A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差2、已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项一定正确的是（）．A. ca2>ac2B. ac>bcC. ab2>cb2D. ab>ac3、某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋅⋅⋅，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验．若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）．A. 16B. 226C. 616D. 8564、在等差数列{a n}中，a5，a10是方程x2−10x−6=0的两个根，则{a n}的前14项和为（）．A. 55B. 60C. 65D. 705、在△ABC中，C=60°，AC=√2，AB=√3，则A=（）．A. 15°B. 45°C. 75°D. 105°6、已知等比数列{a n}的公比q=12，该数列前9项的乘积为1，则a1=（）．A. 8 B. 16 C. 32 D. 647、设实数x，y满足约束条件{3x+y⩾5x−4y⩾−7x⩽2，则z=x+4y的最大值为（）．A. −2B. 9C. 11D. 4148、从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（）．A. 至少一个黑球与至少一个红球B. 至少一个黑球与都是黑球C. 至少一个黑球与都是红球D. 恰有一个黑球与恰有两个黑球9、已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sin Csin B<cos⁡A，则△ABC的形状为（）．A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形10、若正实数x，y满足1x +4y=1，且x+y4⩾a2−3a恒成立，则实数a的取值范围为（）．A. [−1,4]B. (−1,4)C. [−4,1]D. (−4,1)11、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S8<S10<S9，则满足S n>0的正整数n的最大值为（）．A. 16B. 17C. 18D. 1912、如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=3AF=6，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）．A. 37B. √217C. 413D. 2√1313二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。

安徽省合肥一中2018-2019学年高一下学期期末数学试卷-Word版含解析

安徽省合肥一中2018-2019学年高一下学期期末数学试卷-W o r d版含解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12018-2019学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．2．某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样法3．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣5 D．﹣64．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A．2 B．3 C．4 D．55．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．16．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n，那么公比q的取值范围是+1（）A．q＞1 B．0＜q＜1 C．q＜0 D．q＜19．函数y=的图象大致为（）A． B． C．D．10．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）A．B．C．D．11．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣3，S5，S10成等差数列，则S15﹣S10的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1212．设2cosx﹣2x+π+4=0，y+siny•cosy﹣1=0，则sin（x﹣2y）的值为（）A．1 B．C． D．二、填空题13．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=．14．若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为．15．已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是．16．已知f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（msinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：519．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的周长为5+，面积为，求c．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=2，f（b n+1）=，（n∈N*），若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里请予证明．22．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．2018-2019学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A2．某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样法【考点】分层抽样方法．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：400=5：4，所抽取的比例也是5：4．故选D3．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣5 D．﹣6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知当直线过A（﹣1，﹣2）时z有最小值为﹣1+2×（﹣2）=﹣5．故选：C．4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】茎叶图．【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分87，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，=91，∴635+x=91×7=637，∴x=2，故选A．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】循环结构．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．8．在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n，那么公比q的取值范围是+1（）A．q＞1 B．0＜q＜1 C．q＜0 D．q＜1【考点】等比数列的性质．【分析】根据a n＜a n，判断出a n＜a n q即a n（1﹣q）＜0，且q＞0．进而根据a1＜0，q＞+10推知则a n＜0，1﹣q＞0，最后可得q的范围．【解答】解：在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n，则a n＜a n q+1即a n（1﹣q）＜0若q＜0，则数列{a n}为正负交错数列，上式显然不成立；若q＞0，则a n＜0，故1﹣q＞0，因此0＜q＜19．函数y=的图象大致为（）A． B． C．D．【考点】余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．【分析】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解答】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．10．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．【分析】将矩形放在坐标系中，设P（x，y）利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），则A（0，0），C（2，1），则•≥1等价为2x+y≥1，作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，当y=0时，x=，即E（，0），则△ADE的面积S==，则五边形DCBE的面积S=2﹣=，则•≥1的概率P==，故选：D．11．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣3，S5，S10成等差数列，则S15﹣S10的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．12【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得S10﹣2S5=3，结合等比数列的性质得到（S10﹣S5）2=S5（S15﹣S10），把S15﹣S10转化为含有S5的代数式，然后利用基本不等式求得答案．【解答】解：由题意得2S5=﹣3+S10，∴S10﹣2S5=3．由数列{a n}为等比数列可知，S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，∴（S10﹣S5）2=S5（S15﹣S10），即S15﹣S10==+S5+6≥2+6=12，当且仅当S5=3时上式“=”成立．即有S15﹣S10的最小值为12．故选D．12．设2cosx﹣2x+π+4=0，y+siny•cosy﹣1=0，则sin（x﹣2y）的值为（）A．1 B．C． D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由y+sinycosy﹣1=0，得y+sin2y﹣1=0，令2y=x﹣，代入方程上述方程整理满足已知条件．即可得出．【解答】解：由y+sinycosy﹣1=0，得y+sin2y﹣1=0，令2y=x﹣，代入方程上述方程可得：﹣+sin﹣1=0，整理得：2cosy﹣2y+π+4=0，满足已知条件．∴x﹣2y=，则sin（2x﹣y）=sin=1．故选：A．二、填空题13．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6．【考点】等比数列的性质．【分析】由公差d的值为2，根据等差数列的通项公式分别表示出a3和a4，由a1，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质列出关于首项a1的值，再由公差d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a2的值．【解答】解：由等差数列{a n}的公差为2，得到a3=a1+4，a4=a1+6，又a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1•（a1+6），解得：a1=﹣8，则a2=a1+d=﹣8+2=﹣6．故答案为：﹣614．若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为16．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且，∴x+3y==10+≥10+6=16，当且仅当x+3y=1，即=y取等号．因此x+3y的最小值为16．故答案为16．15．已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解答】解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．16．已知f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（msinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】全称命题．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=，x∈R，∴f（﹣x）==﹣==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在（﹣∞，+∞）是为增函数，由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0，得f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1），则msinθ＞m﹣1，即（1﹣sinθ）m＜1，当θ=时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，∴m＜，∵0＜sinθ＜1，∴﹣1＜﹣sinθ＜0，0＜1﹣sinθ＜1，则＞1，则m≤1，故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（共70分）17．设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．【考点】平面向量的综合题．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得，f（x）==m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x，由f（）=2可求m（Ⅱ）由（Ⅰ）得，结合正弦函数的性质可求【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x由已知，∴2m=2即m=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当=﹣1时，f（x）的最小值为此时2x+=即{x|，k∈Z}18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的周长为5+，面积为，求c．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合C的范围可得sinC≠0，可求cosC=，即可得解C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可求ab，利用余弦定理可得（a+b）2﹣18=c2，结合a+b+c=5+，即可解得c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵2cosC（acosB+bcosA）=c，∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，∴2cosCsin （A +B ）=sinC ，可得：2cosCsinC=sinC ， ∵0＜C ＜π，sinC ≠0， ∴cosC=，可得：C=．（Ⅱ）由题意可得：S=absinC=，∴解得：ab=6，又∵a 2+b 2﹣2abcos=c 2，可得：（a +b ）2﹣3ab=c 2，可得：（a +b ）2﹣18=c 2，又a +b +c=5+，∴（5+﹣c ）2﹣18=c 2， ∴解得：c=．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n ﹣2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设函数f （x ）=（）x ，数列{b n }满足条件b 1=2，f （b n +1）=，（n ∈N *），若c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由当n=1，a 1=2，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1，可知a n =2a n ﹣1，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =2n ；（Ⅱ）f （b n +1）=，（n ∈N *），代入即可求得b n +1=b n +3，b 1=f （﹣1）=2，数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，c n ==，利用“错位相减法”即可求得，数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n=1，a 1=2a 1﹣2，即a 1=2，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2）=2a n ﹣2a n ﹣1， ∴a n =2a n ﹣1，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2×2n ﹣1=2n ，数列{a n }的通项公式a n =2n ；（Ⅱ∵）f （x ）=（）x ，f （b n +1）=，（n ∈N *），∴=，=b n+3，∴=，即b n+1﹣b n=3，∴b n+1b1=f（﹣1）=2，∴数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴b n=3n﹣1，c n==，∴T n=+++…++，T n=+++…++，两式相减得： T n=1++++…+﹣，=1+×﹣，=1+（1﹣）﹣，∴T n=2+3（1﹣）﹣，=2+3•﹣，∴T n=5•．21．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里请予证明．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形的实际应用．【分析】（1）先根据S△ADE =S△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系．（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DE∥BC，且DE=．进而可得函数f（x）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．【解答】解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2﹣x•AE，①又S△ADE =S△ABC==x•AE•sin60°⇒x•AE=2．②②代入①得y2=x2+﹣2（y＞0），∴y=（1≤x≤2）；（2）如果DE是水管y=≥，当且仅当x2=，即x=时“=”成立，故DE∥BC，且DE=．如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故f（x）max=f（1）=f（2）=5．∴y max=．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．22．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之；（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决．【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0解得，因为，故舍去，所以．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0解得由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以或．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）=0得，所以k≤﹣1；由f（x2）=0得，所以；故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1=0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0即，因为x2＜2，所以．。