2016-2017年安徽省合肥一中高一下学期期末数学试卷及答案

2016-2017学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共计10个小题．在给出的四个选项中只有一个是正确选项）1．（5分）下列事件是随机事件的是（）①当x≥10时，lgx≥1②当x∈R，x2﹣1=0有解③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα＞sinβ时，α＞βA．①②B．②③C．③④D．①④2．（5分）设集合，集合B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．ϕB．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）3．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．4．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={4，8}现从集合A中任取一个数为a，从B中任取一个数为b，则b＞a的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．567．（5分）设方程2x+x=0，log2x+x=0，log2x﹣=0的实数根分别为a，b，c则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．（5分）△ABC三边a，b，c对应的角分别是A，B，C．若c2＜a2+b2+2abcos2C，则角C的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（） D．（，）10．（5分）若定义在[﹣2012，2012]上的函数满足：对任意x1，x2∈[﹣2012，2012]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，且x＞0时，有f（x）＞2011成立．令f（x）的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2011 B．2012 C．4022 D．4024二、填空题（每小题5分，共计5个小题．将正确的答案写在答题卡相应的横线上）11．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan2α=．12．（5分）已知x，y满足|x|+|y|≤4，则z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值是．13．（5分）已知||=5，||=3，||=7则向量与的夹角为．14．（5分）设数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），第三项及以后所有项和为S（3），…，第n项及以后所有项和为S（n）．若数列{S（n）}是首项为，公比为2的等比数列，则a n=．15．（5分）对任意x∈R，函数f（x）满足，设a n=[f （n）]2﹣f（n），数列{a n}的前15项的和为，则f（15）=．三、解答题（本大题共计6小题，共75分）16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA．17．（12分）在文理分科前，为了了解高一学生成绩情况，某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若成绩在110分以上（含110分）为优秀，试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？（3）在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内？请说明理由．18．（12分）某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+）倍，0＜x≤10，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．（1）若y=ax，其中a是满足的常数，用a来表示当售货金额最大时x 的值．（2）若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．19．（12分）已知数列1，1，2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到．求该数列的前n项和S n．20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R，a≠0）．（1）若a=1，b=﹣4，c=3，求f（x）＜0的解集．（2）若a＜0，c=﹣2，方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．求证：﹣4＜＜﹣1．（3）若函数f（x）的最小值为0，且a＜b，求的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立．定义数列{a n}和{b n}：a1=3，2a n=f（a n﹣1）+3（n=2，3，…），b n=，数列{b n}的前n项和S n．（I）求a、b的值；（II）求证：；（III ）求证：2016-2017学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计10个小题．在给出的四个选项中只有一个是正确选项）1．（5分）下列事件是随机事件的是（）①当x≥10时，lgx≥1②当x∈R，x2﹣1=0有解③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα＞sinβ时，α＞βA．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①当x≥10时，lgx≥1，属于确定事件，②当x∈R，x2﹣1=0有解，解得x=±1，属于确定事件③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解，需要根据a的值确定解得个数，属于随机事件，④当sinα＞sinβ时，α＞β，属于随机事件，故选：C．2．（5分）设集合，集合B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．ϕB．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）【解答】解：集合={x|x≥﹣1}；集合B={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B=（﹣1，+∞）∩[0，+∞）=[0，+∞）．故选：B．3．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．【解答】解：设此数列为{ a n}，则由题意可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选：C．4．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={4，8}现从集合A中任取一个数为a，从B中任取一个数为b，则b＞a的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：b=4时，a=1，3，b=8时，a=1，3，5，7，故满足条件的概率P===，故选：B．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：B．6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：==140．7．（5分）设方程2x+x=0，log2x+x=0，log2x﹣=0的实数根分别为a，b，c则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵当x＜0时，0＜2x＜1，则2x+x=0的实数根﹣1＜a＜0，当x＞0时，log2x∈R，当0＜x＜1时，log2x＜0，∴log2x+x=0的实数根0＜b＜1，当x＞1时，log2x＞0，∴log2x﹣=0的实数根分别为c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．8．（5分）△ABC三边a，b，c对应的角分别是A，B，C．若c2＜a2+b2+2abcos2C，则角C的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（） D．（，）【解答】解：∵c2=a2+b2﹣2abcosC，c2＜a2+b2+2abcos2C，∴﹣cosC＜cos2C，化为：（2cosC﹣1）（cosC+1）＞0，∴cosC，C∈（0，π），∴C∈．故选：B．10．（5分）若定义在[﹣2012，2012]上的函数满足：对任意x1，x2∈[﹣2012，2012]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，且x＞0时，有f（x）＞2011成立．令f（x）的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2011 B．2012 C．4022 D．4024【解答】解：∵对于任意x1，x2∈[﹣2012，2012]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，∴f（0）=2f（0）﹣2011，∴f（0）=2011，令x1=2012，x2=﹣2012，∴f（0）=f（2012﹣2012）=f（2012）+f（﹣2012）﹣2011，∴f（2012）+f（﹣2012）=4022．设x1＜x2∈[﹣2012，2012]，则x2﹣x1＞0，∵x＞0时，f（x）＞2011，∴f（x2﹣x1）＞2011，∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2011＞f（x1），∴函数f（x）在[﹣2012，2012]上单调递增，∴f（x）的最大值与最小值分别为M=f（2012）、N=f（﹣2012），则M+N=f（2012）+f（﹣2012）=4022．故选：C．二、填空题（每小题5分，共计5个小题．将正确的答案写在答题卡相应的横线上）11．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan2α=﹣．【解答】解：tan2α=tan（α+β+α﹣β）===﹣，故答案为：﹣12．（5分）已知x，y满足|x|+|y|≤4，则z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值是2．【解答】解：由题意，|x|+|y|≤4，表示以（0，0）为中心，边长为4的正方形内部就是所求区域，z=（x+3）2+（y﹣3）2的表示为（﹣3，3）为圆心，为半径，当正方形与圆只有一个点时（外接），圆心到原点的距离为：3．可得：=3﹣2∴z=2，即z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值为2．故答案为：213．（5分）已知||=5，||=3，||=7则向量与的夹角为120°．【解答】解：∵|﹣|=7，∴∴=，∴cos＜＞==∵∴与的夹角为120°．故答案为：120°14．（5分）设数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），第三项及以后所有项和为S（3），…，第n项及以后所有项和为S（n）．若数列{S（n）}是首项为，公比为2的等比数列，则a n=﹣．【解答】解：根据题意，知：当n＜m时，有m≥n+1；∵S（n）是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，∴S（n）==4﹣，S（n+1）=4﹣；∴a n=S（n）﹣S（n+1）=4﹣﹣4+=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）对任意x∈R，函数f（x）满足，设a n=[f（n）]2﹣f（n），数列{a n}的前15项的和为，则f（15）=．【解答】解：∵，∴，两边平方得，即，即数列{a n}任意相邻两项相加为常数，则，即，又由，可得．故答案为：．三、解答题（本大题共计6小题，共75分）16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=，所以当sin2x=﹣1时，函数f（x）的最大值为，它的最小正周期为：=π；（2）因为==﹣，所以，因为C为锐角，所以；因为在△ABC 中，cosB=，所以，所以=．17．（12分）在文理分科前，为了了解高一学生成绩情况，某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若成绩在110分以上（含110分）为优秀，试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？（3）在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内？请说明理由．【解答】解：（1）∵频率分布直方图从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，∴第二小组的频率是：=0.08，∵第二小组频数为12，∴样本容量是n==150．（2）∵成绩在110分以上（含110分）为优秀，∴估计该学校全体高一学生的优秀率为：（1﹣）×100%=88%．（3）∵[90，120）的频率为：=0.46，[120，130）的频率为：=0.3，∴在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在第四小组内．18．（12分）某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+）倍，0＜x≤10，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．（1）若y=ax，其中a是满足的常数，用a来表示当售货金额最大时x 的值．（2）若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．【解答】解：（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p（1+），n（1﹣），npz因而有：npz=p（1+）•n（1﹣），∴z=，在y=ax的条件下…（4分）z=，∵，∴10﹣ax＞0∴（10a+ax）（10﹣ax）≤，当且仅当10a+ax=10﹣ax，即x=时成立．即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=．…（8分）（2）由z=得0＜x＜5即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事（0，5）…（12分）19．（12分）已知数列1，1，2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到．求该数列的前n项和S n．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，数列{b n}的公差为d，依题意得0+a1=1，①，d+a1q=1，②，2d+a1q2=2，③．由①②③解得：d=﹣1，q=2，a1=1∴a n=2n﹣1，b n=1﹣n∴S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=（1+2+…+2n﹣1）﹣[0+1+…+（n﹣1）]=﹣=2n﹣1﹣（n2﹣n）．20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R，a≠0）．（1）若a=1，b=﹣4，c=3，求f（x）＜0的解集．（2）若a＜0，c=﹣2，方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．求证：﹣4＜＜﹣1．（3）若函数f（x）的最小值为0，且a＜b，求的最小值．【解答】（1）解：a=1，b=﹣4，c=3，f（x）=x2﹣4x+3，由f（x）＜0，化为（x ﹣1）（x﹣3）＜0．解得1＜x＜3，∴f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜3}．（2）证明：方程f（x）=x化为g（x）=ax2+（b﹣1）x﹣2=0，（a＜0），∵方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．∴，即，化为，如图所示阴影部分，P（﹣1，4）．k OP=﹣4，∴．（3）解：f（x）=，∵函数f（x）的最小值为0，且a＜b，∴0＜a＜b，b2=4ac．令，===+4≥2+4=8，当且仅当t=3即b=3a＞0时取等号．∴的最小值为8．21．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立．定义数列{a n}和{b n}：a1=3，2a n=f（a n﹣1）+3（n=2，3，…），b n=，数列{b n}的前n项和S n．（I ）求a 、b 的值； （II ）求证：；（III ）求证：【解答】解：（ I ）由|f （x ）|≤|2x 2+4x ﹣6|=2|（x +3）（x ﹣1）|得f （﹣3）=0，f （1）=0，故a=2，b=﹣3，∴f （x ）=x 2+2x ﹣3（II ）由2a n =f （a n ﹣1）+3=a n ﹣12+2a n ﹣1=a n ﹣1（a n ﹣1+2）（n ≥2）得，∴∴=∵2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1（n ≥2），∴2a n ﹣2a n ﹣1=a n ﹣12≥0（n ≥2）， ∴a n ≥a n ﹣1（n ≥2），从而a n ≥a n ﹣1≥≥a 2≥a 1=3＞0，即a n +1＞0，∴（III ）由2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1（n ≥2）得（a n ﹣1+1）2=2a n +1＜2（a n +1）（n ≥2）， 设a n +1=c n ，则c 1=4，且2c n ＞c n ﹣12（n ≥2）， 于是1+log 2c n ＞2log 2c n ﹣1（n ≥2），设d n =log 2c n ，则d 1=2，且1+d n ＞2d n ﹣1（n ≥2），∴d n ﹣1＞2（d n ﹣1﹣1）（n ≥2）， ∴d n ﹣1＞22（d n ﹣2﹣1）＞＞2n ﹣1（d 1﹣1）=2n ﹣1（n ≥2）， 从而n ≥2时， 当n=1时，，∴。