人教B版高中数学必修第一册第1章1-1-2集合的基本关系课件

所以 A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}． 所以 x2＝|x|，所以 x＝0(舍)或 x＝1 或 x＝－1. 当 x＝1 时，A＝B＝{1,1,0}，不满足元素的互异性，故 x≠1. 当 x＝－1 时，A＝B＝{－1,1,0}，满足题意．所以 x＝y＝－1 即 为所求．
A．6
B．7
C．8
D．9
B 集合 M 的真子集所含有的元素的个数可以有 0 个，1 个或 2 个，含有 0 个为∅，含有 1 个有 3 个真子集{1}，{2}，{3}，含有 2 个 元素有 3 个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有 7 个真子集，故选 B．
(2)若{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}，则集合 A 的个数是( )
②当 B＝∅时，由 m＋1＞2m－1，得 m＜2.
综上可得，m 的取值范围 m≤3.
(2)若 A⊆B，求实数 m 的取值范围． [解] 当 A⊆B 时，如图所示，此时 B≠∅.
2m－1＞m＋1，
∴m＋1≤－2， 2m－1≥5，
m＞2，
即m≤－3， m≥3，
∴m 不存在．
即不存在实数 m 使 A⊆B．
A．8
B．7
C．4
D．3
A 法一：(列举法)：满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合 A 有： {1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共 8 个．
法二：(计数法)：因为集合 A 满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}，所以， 集合 A 一定含有元素 1,2(可不考虑)，可能含有元素 3,4,5，故集合 A 的个数即集合{3,4,5}的子集个数，即 23＝8(个)．故选 A．]
[跟进训练] 3．已知集合 A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且 A＝B，求实 数 x 与 y 的值．
[解] 由已知 A＝B＝{0，|x|，y}，所以 0∈A．
若 x＝0，则 A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性； 若 xy＝0，即 y＝0，则 B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性． 所以只有 x－y＝0，即 y＝x.
角度 1 由集合相等求参数 【例 3】 已知集合 A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，且 A＝B， 求 x，y 的值．
[解] 因为 A＝B，所以集合 A 与集合 B 中的元素相同，所以
x＝2x， y＝y2
x＝y2， 或y＝2x，
解得xy＝ ＝00，
或xy＝ ＝01，
或xy＝ ＝2141， ，
知识点一 子集与真子集
1．子集与真子集的定义
概念
定义
符号表示 图形表示
子集 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B A⊆ B(或 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集 B⊇ A)
如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B
真子集 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A B(或
A 称为集合 B 的真子集
பைடு நூலகம்
4.若 M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y ＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中，具有相等关系的是________．
[答案] M 和 N
5.设 a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则 a＝________. [答案] －1
02
关键能力·合作探究释疑难
④若∅ A，则 A≠∅.
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若∅ A，则 A≠∅，故④正确．故选 B．]
3.下列图形中，表示 M⊆N 的是( )
类型 3 利用集合关系求参数的值或取值范围
1．集合 A＝{x|m≤x≤2m－1}，集合 A 一定是非空集合吗？ [提示]不一定．当 m≤2m－1，即 m≥1 时集合 A 非空；当 m＜1 时，A＝∅. 2．已知区间 A＝(－∞，2]和 B＝(－∞，a)，且 B⊆A，则实数 a 的取值范围是什么？ [提示] 借助数轴可知 a≤2.
∴x0∈B，则 A⊆B．同理可得，B⊆A． 由 A⊆B，B⊆A，得 A＝B．
法二：集合 A＝{…，－5，－3，－1,1,3,5,7，…}，集合 B＝{…， －7，－5，－3，－1,1,3,5，…}，根据规律可知集合 A 与 B 所含元素
相同，所以 A＝B．
类型 2 集合的子集、真子集的个数问题
【例 2】 (对接教材)(1)集合 M＝{1,2,3}的真子集个数是( )
[提示] (1)观察法：一一列举观察． (2)特征性质法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的 特征，再利用集合元素的特征判断集合间的关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图．
[跟进训练] 1．判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x 是 8 的约数}； [解] ∵A＝{1,2,4}，B＝{1,2,4,8}，如图，
A
B
C
D
C [由维恩图知，易选 C．]
知识点二 集合相等与子集的关系 1．一般地，如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，则称集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B ，读作“A 等于 B”． 2．由集合相等以及子集的定义可知：如果 A⊆B 且 B⊆A ，则
A＝B；反之，如果 A＝B，则 A⊆B 且 B⊆A ．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合 1.1.2 集合的基本关系
1.通过对集合之间包含关系与相等的
1.理解集合之间的包含与相等的含 含义以及子集、真子集概念的理解，培
义．(重点)
养数学抽象素养.
2.能识别给定集合的子集、真子集.
2.借助子集和真子集的求解，培养数学
3.会用数学符号和维恩图表示两个集 合间的关系.
∴A B(A⊆B 亦可，但 A B 更准确)．
(2)A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}； [解] ∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，用数轴表示如下：
∴A B．
(3)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}．
[解] 法一：任取 x0∈A，则 x0＝2k0＋1，k0∈Z. 又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，
运算及逻辑推理的数学素养.
3.利用维恩图培养直观想象数学素养.
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣
红马组成集合 A，草原上的所有马组成集合 B．
问题 (1)集合 A 中的元素与集合 B 中的元素的关系是怎样的？ (2)集合 A 与集合 B 又存在什么关系？
(2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x 是等边三角形}，B＝{x|x 是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解] ①集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数 对，故 A 与 B 之间无包含关系．
1．求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
2．与子集、真子集个数有关的 3 个结论 假设集合 A 中含有 n 个元素，则有： (1)A 的子集的个数为 2n 个． (2)A 的真子集的个数为 2n－1 个． (3)A 的非空真子集的个数为 2n－2 个．
[跟进训练]
2．(1)已知集合 A＝{－1,0,1}，则含有元素 0 的 A 的子集的个数
角度 2 由集合间包含关系求参数 【例 4】 已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－ 1}． (1)若 B A，求实数 m 的取值范围；
[解] ①当 B≠∅，如图所示．
m＋1≥－2，
∴2m－1＜5， 2m－1≥m＋1
m＋1＞－2，
或2m－1≤5， 2m－1≥m＋1，
解这两个不等式组，得 2≤m≤3.
(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
[提示] (1)不一定，如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个 集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 而“⊆”表示集合与集合之间的关系．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
[母题探究] 类似本题的设问，我们还可以得到下列的问题： (1)[变条件]若 A B，求实数 m 的取值范围；
m＋1≤－2，
[解] 若 A B，则集合 B 肯定不是空集，则有2m－1＞5， 或 2m－1＞m＋1
m＋1＜－2，
2m－1≥5， 2m－1＞m＋1，
无解，
∴m 不存在．
即不存在实数 m 使 A B．
验证得，当 x＝0，y＝0 时，A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相 矛盾，舍去．
所以 x，y 的取值为xy＝ ＝01， 或xy＝ ＝2141， .
由集合相等求参数的方法 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集 合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思 想方法呈现所有可能的对应情况即可．另外，需注意检验所求参数的值 是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三
角形，故 A B．
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 n∈N*，因 此集合 M 含有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故 N M.
法二：由列举法知 M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以 N M.
判断集合关系的方法有哪些？
为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [根据题意，含有元素 0 的 A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}， {－1,0,1}，共 4 个．]
(2)已知集合 A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，试写出 A 的所 有子集及真子集．
[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}， ∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}， ∴A 的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)， (2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． A 的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)， (2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
B A)
2．子集、真子集的性质
(1)任意集合 A 都是它自身的 子集 ，即 A⊆A． (2)空集是任意一个集合 A 的子集，即∅⊆A． (3)包含关系的传递性：对于集合 A，B，C．
①若 A⊆B，且 B⊆C，则 A⊆C； ②若 A B，B C，则 A C；
3．维恩图 如果用平面上一条 封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作 出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．
(1)任何集合至少有两个子集．
()
(2){0,1,2}⊆{2,0,1}．
()
(3)若 A⊆B，且 A≠B，则 A B．
()
(4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
类型1 类型2 类型3
类型 1 集合间关系的判断
【例 1】 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；
⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0} {0,1,2}；对于②， 实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任 何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素 0 的集合，空集不含任何 元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}；对于⑤，{0,1} 是含有两个元素 0 与 1 的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的 单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0 与{0}是“属于 与否”的关系，所以 0∈{0}．故②③是正确的，应选 B．]