第二章内力与内力图

A点：x1 0 M1A 0；
2 C点：x1 a M1C 5 q a 6
2 C点：x 2 a , M 2C 5 q.a 6 2 D点：x 2 2a , M 2D 7 q.a 6
2 D点：x 3 a , M 3D 7 6 q a M 2D


B点：x 3 0, M 3B q a 2 M
(b) (c)
FN 1 F1 2.5kN
b)求BC段轴力。从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示
F
x
0 FN 2 F3 0
A (d)
FN 2 F3 1.5kN
3)图（d）为AB杆的轴力图
C
B
2.5kN (0 x a) FN 1.5kN (a x a b)
上式中略去高阶微量后，得：
dFQ ( x)
dx dM ( x) FQ ( x) dx d 2 M ( x) dFQ ( x) q ( x) 2 dx dx
q ( x)
剪力、弯矩微分方程
由剪力、弯矩的微分方程定积分，即得到剪力、弯矩方程。
d 2M(x ) dx 2

dFQ ( x ) dx
M x (kN .m)
A B
10
C
D
x
20
10
§2-4平面弯曲梁的内力与内力图
弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称 为平面弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 常见梁的力学模型 ☆简支梁
一、由轴力方程绘制轴力图
例 如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
解：1)由杆件静平衡计算外力 Fx 0 F2 4kN
2)由外力分段，每段内力计算： a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1 处截开，取左段如图(b)
(a)
F
x
0 FN 1 F1 0
解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；
FAY q a
5 6
1
2 3
FBY q a
1 6
FAy
FBy
2）1-1截面内力：(0≤x1 ≤ a)
FQ1 FAy 5 6 qa
M1 FAY x1 5 6 q a x1
3）2-2截面内力： (a≤x2<2a)
11 q a q x2 6 1 5 1 M 2 FAY x 2 - q (x 2 a) 2 q a x 2 - q (x 2 a) 2 2 6 2 FQ2 FAY q (x 2 a)

一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座
一端或两端伸出支座支外的简支梁 一端为固定端，另一端为自由端
☆外伸梁

☆悬臂梁

复习：梁内力的正负规定
梁的内力 剪力FQC 弯矩MC

梁内力的正负规定
内力方向

梁的变形
一、由内力方程绘制平面弯曲内力图
例1 简支梁如左图，已知a、q、 M=qa2；求梁的内力
Mx
其中：M x M
扭矩正负规定：右手螺旋法则，拇指离开截面为正， 指向截面为负。
四、基本变形---弯曲（平面）

载荷特点：在梁的对称截
面内，作用有力或力偶。
变形特点：梁的横截面绕

某轴转动一个角度。 中性轴（面）

内力：作用面垂直横截面的
一个力偶，简称弯矩M 内力沿截面方向（与轴向垂 直），简称 剪力 FQ
FS(x) M(x)
dFQ ( x)
dx dM ( x) FQ ( x) dx d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
q ( x)
dFQ ( x)
FQ(x)图为向负方向倾斜的直线.
M(x)图为向正方向凸的二次抛物线.
dx dM ( x) FQ ( x) dx d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
q ( x)
FS(x)
M(x)
O
x
2.梁上无荷载区段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线. 弯矩图为一水平直线或斜直线. 当 FQ(x)= 0 时,M水平直线. 当 FQ(x) > 0 时,M向正方向倾斜. 当 FQ(x) < 0 时,M向负方向倾斜.
M 2 FAy x G( x a ) Ga l (l x )
例1(续)
根据以上条件，画出剪力图、
弯矩图

最大剪力Qmax在AC(b>a)（或 CB,a>b）段
Qmax=Gb/l

最大弯矩在C截面处
Mmax=Gab/l

本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上 构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯 矩方程；即：
扭矩图 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，即 为扭矩图。
一、由扭矩方程绘制扭矩图
例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功 率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画 传动轴的扭矩图。
P n
解：1)计算外力偶 P 36 M A 9549 A 9549 1146 N .m n 300
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图
§2-4 平面弯曲梁的内力与内力图
§2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； 由静平衡条件确定内力大小。
例1（续）
4）3-3截面内力：(2a≤ x≤ 3a ) ，
此处：x3 3a x
FQ3 FBY 1 qa 6
1 M3 M FBY x 3 q a 2 q a x 3 6
例1续
1.当：0≤x1≤a 时
AC段 FQ1=5q.a/6
2.当：a≤x2≤2a 时,即CD段
弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。
（形象记忆：笑正哭负）
小结：基本变形产生的内力
变 形 产生内力名称 表示符号 ±规定 应力 FN σ 拉、压 轴力 拉＋ 压－ FQ τ 剪 切 剪力 无 Mx τ 右手螺旋法则 扭 转 扭矩 FQy FQz 顺＋ 逆－ τ 剪力 弯 曲 M z M y 笑＋ 哭－ σ 弯矩
q(x)
无外力时，q=0
FQ = q( x)dx C (常量) M= FQ ( x)dx D Cx D
外力为均匀分布载荷时，q为常量 FQ = q( x)dx qx C M= FQ ( x)dx D q( x)dxdx Cx D = qx
M x1
M x3
M x2 M x ( N.m)
B
446 C 700
A D
350 N .m ( BC段) M x 700 N .m(CA段 ) 446 N .m ( AD段 )
x
350
d)
二、由外力直接绘制扭矩图
外力 无外力偶 集中力偶 扭矩图 不变 突变。 方向：右手螺旋法则，四指指向外 力偶方向，拇指离开为正； 大小：集中力偶大小 me
二、由外力直接绘制轴力图
外力 无外力 集中力F 轴力图 不变 突变。 方向：拉正压负； 大小：集中力大小F 在分布力的起始和终止截面，轴力 没有突变。 以斜直线渐变。 方向：拉正压负； 大小：qL.
均匀分布力 q
L
轴力图例1
F1=500N
A F2=420N B 920 640 F3=280N F4=800N C D E
剪力弯矩图例2
已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉求x截面内力 a) 0<x<a
FQ1 FAy Gb l
b) a<x<l
M1 FAy x Gb l x
Ga FQ2 FAy G Gb G l l
FN ( N )
500 A B
C
D
E -160
x
轴力图例2
§2-3扭转圆轴的内力与内力图
扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 本课程主要研究圆截面轴
功率、转速和扭矩的关系
P M e 9549 n
其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min)

例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
F
x
0
FN FP
右半部分：
F
x
0
FP FN
左右两部分的力方向相反，但是同一内力，
因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2 P1 m P4 P2
P1
m
P3
m
(a) y m
P5
P3 (b)
m
y P2 P1 FR M P2 P1 m My FQy Mx
me
均匀分布力偶
mq
l
在分布力的起始和终止截面，扭矩 没有突变。 以斜直线渐变。 方向：右手螺旋法则，四指指向外 力偶方向，拇指离开为正； 大小：mq l
扭矩图例1
M x ( N.m)
B
446 C
A
x
D
350
700
扭矩图例2
10 kN 30kN .m 20kN .m
A
10kN .m
2m
B
C
D
FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）
3.当： 0≤x3≤a (起点在B点）
FQ3=-q.a/6
例1续

当：0≤x1≤a 时， M1=5q.a.x1/6为直线 当：a≤x2≤2a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方 向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.x3/6;
§2-2 轴向拉压杆件的内力与内力图
定义
以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为
轴向拉伸或压缩
内力的计算 截面法

如左图
内力的表示 轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况
为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴 表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴 力的大小，这样得到的图形称为轴力图
C
P3 z (c) m
x P3
z
FQz
Mz (d)
C m
FN
x
一、基本变形—(轴向)拉伸、压缩
载荷特点：受轴向力作用
变形特点：各横截面沿轴
向做平动
内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN
其中：FN P
轴力正负规定：拉正压负。
即拉伸变形为正，压缩变形为负。
二、基本变形---剪切

载荷特点：作用力与截面平 行（垂直于轴线）
M B M C 350N.m；M D 446N .m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段 轴的扭矩即为1-1、2-2、3-3截面上的 扭矩，如图a)、b)、c)，由 M x 0 M B M x1 0 M x1 350N.m M B MC M x 2 0 M x 2 700N.m M D M x3 0 M x3 446N.m 3)画扭矩图 d)
FQ=FQ(x) M=M(x)
M、FQ与q的微分关系

设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分 析剪力、弯矩与载荷集度的关系。
取x处一小段dx长度梁，受力分析如图， 由静平衡方程得：
F M
y c
0 0
FQ -(FQ +dFQ )+q(x)dx=0 M+dM-M-FQ dx-q(x)dx2 /2=0
（其中：C、D为积分常量。）
2
2
Cx D
公式的几何意义 （1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;
（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;
（3）根据q(x)＞0或q(x) ＜0来判断弯矩图的凹凸性.
q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0

变形特点：各横截面发生相
互错动

内力特点：内力沿截面方向 （与轴向垂直），简称 剪力FQ
剪力正负规定：左上右下正；或顺正逆负。
左上：指研究体的左截面（右半边物体）剪力向下
三、基本变形---扭转

载荷特点：受绕轴线方向力偶
作用（力偶作用面平行于横截 面）

变形特点：横截面绕轴线
转动

内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 Mx或T