第九章 9.2 第4课时 总体离散程度的估计

解析：样本1 x1,1 x2,1 x3,,1 xn 的平均数是 10，方差为 2，则数据 x1, x2 , x3,, xn 的平 均数是 9，方差是 2；所以样本 2 2x1, 2 2x2 , 2 2x3,, 2 2xn 的平均数是2 2 9 20 ,方 差为 222 8 .故选 D.
越大；标准差 越小 ，数据的离散程度越小.
思考 方差、标准差有什么区别？
答案 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但解决实际问题中，
一般多采用标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标 准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是 一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
(2)哪种玉米苗长得齐？
解 s甲2 ＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋ (19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2， 同理可计算得 s乙2 ＝128.8， ∴s甲2 <s2乙，即甲种玉米苗长得齐.
标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分).
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)， 平均数为 x 乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)， 方差为 s乙2 ＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80 －81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
4.在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差.
(√)
一、方差、标准差的计算与应用
例1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝
1 N
k
fi(Yi－
Y
)2
i＝1
.
3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 y，则称s2＝
1 n
n
(yi－
y)2Biblioteka i＝1为样本方差，s＝
s2 为样本标准差.
4.标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ，标准差 越大 ，数据的离散程度
第九章 9.2 用样本估计总体
第4课时 总体离散程度的估计
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差. 2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
知识点 方差、标准差
x1＋x2＋…＋xn
1.假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数 x ＝
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计 总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差。在随机抽样中，样本 标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.( √ ) 2.数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.( × ) 3.数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.( √ )
标准差为 s 乙＝ s2乙＝ 75.25≈8.67(分).
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)， 因此乙组的成绩较稳定. 从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
反思 感悟
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了 数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度 越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定.
二、分层随机抽样的方差
例2 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队 体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么 甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
n
，方差
1 n
n
(xi－
x
)2
为s2＝ i＝1
，标准差s＝
1 n
n
xi－
x
2
i＝1
.
2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 Y，则称S2
1 N
N
(Yi－
Y
)2
＝ i＝1
为总体方差，S＝
S2 为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，
跟踪训练1
1、若样本1 x1,1 x2 ,1 x3, ,1 xn 的平均数是 10，方差为 2，则对于样本
2 2x1, 2 2x2 , 2 2x3, , 2 2xn ，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为 20，方差为 4
B．平均数为 11，方差为 4
C．平均数为 21，方差为 8
D．平均数为 20，方差为 8
解 甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均数为 x 甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s甲2 ＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋ (80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
跟踪训练1 从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 求：(1)哪种玉米苗长得高？
解 x 甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， 同理可计算得 x 乙＝31， ∴ x 甲< x 乙，即乙种玉米苗长得高.