2024学年云南省楚雄市古城中学高考数学四模试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223
F PF π
∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）
A ．2212
314e e += B ．
22
1241433
e e += C ．
22
12134e e += D ．2
2
1234e e +=
2．已知点(m ,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜c ＜b
3．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．3
()3x f x x =-
B ．e e ()x x
f x x --= C ．2()f x x x =-
D ．||
e ()x
f x x
=
5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*
,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，
n 等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
服务业
参加用户比
40% 40% 10% 10%
脱贫率
95% 95% 90% 90%
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．
27
28
倍 B ．
4735
倍 C ．
4835
倍 D ．
75
倍 7．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A ．12
B ．29
C ．70
D ．169
8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了
B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用了
9．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．设1,0(){
2,0
x
x x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）
A ．1-
B ．
14
C ．
12
D ．
32
11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．16
B ．48
C ．96
D ．128
12．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若
33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）
A ．9
B ．7
C ．
92
D ．
72
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． (x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.
14．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为
42
3
，则该半球的体积为__________.
15．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
16．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离
心率为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图,四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形.//.223AB CD AD DC ==
且PAD 与ABD 均为正三角形.E 为AD 的中点,G 为PAD 重心,AC 与BD 相交于点F .
(1)求证://GF 平面PDC ； (2)求三棱锥G PCD -的体积.
18．（12分）已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，23） （1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 19．（12分）n S 是数列{}n a 的前n 项和，且211
22
n n a S n n -=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若25n a
n n b a =-，求数列{}n b 中最小的项.
20．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男
女 10 55 合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. P (K 2≥k ) 0.05 0.01 k 3.841
6.635
21．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.
（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；
（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值. 22．（10分）已知函数()()ln 1,1
x a
f x x a R x -=++∈+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）函数2
2
()g x x x
=+
，若对于()[]121,,1,2x x ∀∈-+∞∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解题分析】
设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ，解得112
2
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()2
2
212121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅，化简求解. 【题目详解】
设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，
由椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ， 解得1122
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π
=∠=F F c F PF ，
在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()2
2
2
12121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，
即
22
12314e e +=. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2．B 【解题分析】
先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系. 【题目详解】
由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3，
∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增， ∵
2
3
m n =，1＜ln π＜3，n ＝3，
∴
m
ln n n
π＜＜， ∴a ＜b ＜c ， 故选：B . 【题目点拨】
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题. 3．C 【解题分析】
由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数. 【题目详解】
由三视图还原原几何体如图，
其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形. ∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3. 故选：C. 【题目点拨】
本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题. 4．A 【解题分析】
根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【题目详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x x
f x x
--=为偶函数，不符合题意，排除B ；
其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||
e ()x
f x x
=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除
D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2
()f x x x
=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ．
【题目点拨】
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 5．A 【解题分析】
先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令,1p n q ==，
可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得2
12n n S n =-，可求出n S 取最小值.
【题目详解】
解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的
*
11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由1
0,0n n a a +⎧⎨≥⎩解得1113
22n ，
则6n =.
解法二：由赋值法易求得212311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n S 取最小值.
故选：A 【题目点拨】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题. 6．B 【解题分析】
设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【题目详解】
设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a a
P a
⨯⨯+⨯⨯=
=， 所以00009447
7035
=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的47
35
倍. 故选：B 【题目点拨】
本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 7．C 【解题分析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【题目详解】
0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，
20
12a -=
=，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，
12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，
295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，
输出70b =. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题. 8．C 【解题分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【题目详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【题目点拨】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题. 9．C 【解题分析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.
【题目详解】
因为直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-；
所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 10．C 【解题分析】
试题分析：
()21224f --==
，()()111211422f f f ⎛⎫
∴-===-= ⎪⎝⎭
．故C 正确． 考点：复合函数求值． 11．B 【解题分析】
列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【题目详解】
第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：2
42(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3
162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 12．C 【解题分析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED
的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【题目详解】
设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.
因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥. 又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.
易知AE =
ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，
即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.
在Rt SED ∆中，SE ，ED =
=
.
所以12SED S SE ED ∆=
⋅=.
因为22108336x x +
≥=，
当且仅当x =2
y =
92SED S ∆≥=. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．40 【解题分析】
先求出5
(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.
【题目详解】
设5
(2)x y -的展开式的通项为555155(2)
()(1)2r r
r r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，
令r=3,则32323
454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23
2
3
2
358=80T C x y x y =，
所以展开式中含x 3y 3的项为233233
(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.
所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【题目点拨】
本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．
3
【解题分析】
由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果. 【题目详解】
设所给半球的半径为R ，则四棱锥的高h R =， 则2AB =BC =CD =DA=R ，由四棱锥的体积
(
)
2
421
2233
R
R R =⇒=，
半球的体积为：3342
3
2
R ππ=. 【方法点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 15．
【解题分析】 试题分析：当时，
，则
．又因为
为偶函数，所以
，所以
，
则
，所以切线方程为
，即
．
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数
，则当
时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数
为偶函数，则当时，函数的解析式为
；若
为奇函数，则函数的解析式为
．
16102
+ 【解题分析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或122F F PF =,进而利用两点间距离公式求解即可. 【题目详解】
由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点, 当122F F PF =时,()
2
222c a c b =
-+,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得
22430e e +-=,解得102
12
e =
<（舍）
；
当121F F PF =时,()
2
222c a c b =
++,由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得
22430e e --=,解得102
2
e +=
, 故答案为:
102
2
+ 【题目点拨】
本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析（2）3
2
【解题分析】
（1）第（1）问，连AG 交PD 于H ,连接CH .证明GF // HC ，即证//GF 平面PDC . (2)第(2)问，主要是利用体积变换，1
3
G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---∆===⨯⨯,求得三棱锥G PCD -的体积. 【题目详解】
（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .
由梯形ABCD ，||AB CD 且2AB DC =，知
2
1AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴
2
1
AG GH = 在AHC ∆中，
2
1
AG AF GH FC ==,故GF // HC . 又HC ⊆平面PCD , GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .
方法二：过G 作||GN AD 交PD 于N,过F 作FM||AD 交CD 于M,连接MN, G 为△PAD 的重心，
222
, 3.333
GN PG GN ED DE PE ==∴==
又ABCD 为梯形，AB||CD,
11
,.22
CD CF AB AF =∴= 12
,3,.33
MF MF GN FM AD ∴
=∴=∴= 又由所作GN||AD,FM||AD,得GN // FM ，所以GNMF 为平行四边形. 因为GF||MN,,,||.GF PCD MN PCD GF PCD 平面平面平面⊄⊆∴
（2） 方法一:由平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥， BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =
由（1）知GF //平面PDC ，∴1
3G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---∆===⨯⨯ 又由梯形ABCD ，AB||CD ，且223AB DC ==，知12
333
DF BD ==
又ABD ∆为正三角形，得60CDF ABD ∠==，∴13
sin 2CDF S CD DF BDC ∆=
⨯⨯⨯∠=
， 得13
3P CDF CDF V PE S -∆=
⨯⨯=
∴三棱锥G PCD -的体积为
3
2
. 方法二: 由平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥， BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE = 由23PG PE =
，∴2221
3333
G PCD E PCD P CDE CDE V V V PE S ---∆===⨯⨯⨯ 而又ABD ∆为正三角形，得120EDC ∠=，得133
sin 24
CDE S CD DE EDC ∆=
⨯⨯⨯∠=
. ∴212133333333P CDF CDF V PE S -∆=
⨯⨯⨯=⨯⨯=
， ∴三棱锥G PCD -3
18．（1）y 2＝4x ；；（2）直线NL 恒过定点（﹣3，0），理由见解析. 【解题分析】
（1）根据抛物线的方程，求得焦点F （
2
p
，0），利用FP =（2，
，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解. （2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=
+和ML 的方程y 02
02
4x y y y y +=+，因为
A （3，﹣2），
B （3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣
y 1124y y =+（x 21
4
y -），代入化简求解.
【题目详解】
（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p
，0），满足FP =（2，
）的P 的坐标为（22
p +，
，P 在抛物线上， 所以（
2＝2p （22
p
+
），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ； （2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，
直线MN 的斜率k MN
1010221010
104
4
y y y y y y x x y y --=
==
--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 20
4
y -），
即y 01
01
4x y y y y +=
+①，
同理可得直线ML 的方程整理可得y 02
02
4x y y y y +=
+②，
将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程
可得01010202122126y y y y y y y y +⎧
-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩
，消y 0可得y 1y 2＝12，
易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214
y -），
即y 124y y =
+x 1212y y y y ++，故y 12
4y y =+x 1212y y ++，
所以y 12
4
y y =
+（x +3），
因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）． 【题目点拨】
本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 19．（1）n a n =；（2）7-. 【解题分析】 （1）由21122n n a S n n -=
-可得出()()2
11111122
n n a S n n ++-=+-+，两式作差可求得数列{}n a 的通项公式； （2）求得25n
n b n =-，利用数列的单调性的定义判断数列{}n b 的单调性，由此可求得数列{}n b 的最小项的值.
【题目详解】
（1）对任意的n *∈N ，由21122n n a S n n -=-得()()2
11111122
n n a S n n ++-=+-+， 两式相减得n a n =，
因此，数列{}n a 的通项公式为n a n =；
（2）由（1）得25n
n b n =-，则()()
1
12
512525n n n
n n b b n n ++⎡⎤-=-+--=-⎣⎦
. 当2n ≤时，1
0n
n
b b ，即1n n b b +<，123b b b ∴>>；
当3n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +>，345b b b ∴<<<
.
所以，数列{}n b 的最小项为3
32537b =-⨯=-.
【题目点拨】 本题考查利用n
S 与
n
a 的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，
属于中等题. 20． (1)无关；(2) 34，916
. 【解题分析】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：
女 45 10 55 合计
75
25
100
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X ～B(3，)，从而X 的分布列为 X 0 1 2 3 P
E(X)＝np ＝
34
＝.D(X)＝np(1－p)＝916
21．（1）证明见解析；（2）154
. 【解题分析】
（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；
（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C
⋅=计
算即可. 【题目详解】
（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==， 所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =， 所以1B ABC A B ≌.
所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥.
又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .
又AB
平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .
（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=， 则1BCC 为正三角形，
取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.
以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系B xyz -，则
()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A ，()23,2,0C -，()
123,2,0C .
设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =， 且()
23,2,2AC =--，()10,4,0CC =.
由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23220,40,x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩
取(1,0,3n =.
由四边形11BCC B 为菱形，得11BC B C ⊥； 又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥； 又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以平面1ABC 的法向量为()
1=23,6,0B C -. 所以111231
cos ,4
432n B C n B C n B C
⋅=
=
=⨯.
故15sin 4
θ=
. 【题目点拨】
本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，
本题是一道中档题.
22．（1）当1a ≥-时，()f x 在()1,-+∞上增；当1a <-时，()f x 在()1,2a ---上减，在()2,a --+∞上增（2）
(],1a e ∈-∞--
【解题分析】
（1）求出导函数()f x '
，分类讨论确定()f x '
的正负，确定单调区间；
（2）题意说明()1min 2min ()f x g x ≥,利用导数求出()g x 的最小值，由（1）可得()f x 的最小值，从而得出结论． 【题目详解】
解：（1）定义域为()()
2
2
1,,()1x a f x x ++'-+∞=
+
当1a ≥-时，即21,()0,()a f x f x '--≤->∴在()1,-+∞上增；
当1a <-时，即21,()0a f x '-->->得2,()0x a f x '>--<得12x a -<<-- 综上所述，当1a ≥-时，()f x 在()1,-+∞上增；
当1a <-时，()f x 在()1,2a ---上减，在()2,a --+∞上增 （2）由题()1min 2min ()f x g x ≥
()3
2
22
2122(),'()2,'()0,()x g x x g x x g x g x x x x
-=+=-=≥在[]1,2上增 ()()()21min min 133g x g f x ∴==∴≥
由（1）当1a ≥-时，()f x 在()1,-+∞上增，所以此时()f x 无最小值； 当1a <-时，()f x 在()1,2a ---上减，在()2,a --+∞上增， 即()()()1min 22ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤-- 综上(],1a e ∈-∞-- 【题目点拨】
本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为()1min 2min ()f x g x ≥，求出两函数的最小值后可得结论．。