【5套打包】武汉市初三九年级数学上期中考试单元测试(含答案解析)

新九年级上学期期中考试数学试题及答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1
C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝109
3．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)
A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)
4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D)
A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6
C．y＝x2＋6 D．y＝x2
5．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，
12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）
A．10月份的售价为50(1＋10%)元
B．11月份的售价为50(1＋10%)元
C．50(1＋x)2＝64.8
D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.8
6．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）
A．6 B．3 C．－3 D．0
7．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C 顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )
A.7 B．2 2 C．3 D．2 3
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：
①abc<0；
②9a ＋3b ＋c>0；
③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2；
④－35<a<－25.
其中正确结论有( D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x ＝2.
第11题图 第15题图 第18题图
12．一元二次方程(x ＋3)2－x ＝2(x 2＋3)化成一般形式为x 2－5x －3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．
13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．
14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A 关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y ＝－3x .
15．(原创)如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，
2)，不等于x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜ 1或x ＞ 3.
16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m ，当铅球运行的水平距离是6 m 时达到最大高度4 m ，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m .
17．已知方程(p －2)x 2－x ＋p 2－3p ＋2＝0的一个根为0，则实数p 的值是1.
18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕点A 顺时针
方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B
三、解答题(本大题共7小题，共66分)
19．(8分)(1)解方程3x 2－x －1＝0；
解：∵a ＝3，b ＝－1，c ＝－1
∴b 2－4ac ＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞ 0，
∴x ＝－（－1）±132× 3＝1±136，
∴x 1＝1＋136，x 2＝1－136
；
(2)通过配方，写出抛物线y ＝1＋6x －x 2的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y ＝1＋6x －x 2＝－(x －3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是(3，10)．
20．(8分)如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP ＝5，则PP ′的长是多少？
解：由旋转易知AP′＝AP ＝5，∠BAP ＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP ＋∠CAP′＝∠CAP ＋∠BAP ＝90°，则在Rt △PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP 2＋AP′2＝5 2.
21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；
(2)平移△ABC ，若A 的对应点A 2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A 2B 2C 2；
(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标． 解：(1)如图；
(2)如图；
(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．
22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax
2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．
新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A ．（2，﹣3）
B ．（﹣3，﹣3）
C ．（2，3）
D ．（﹣4，6） 2．如图，△ABC 中，D
E ∥BC ，
＝，AE ＝2cm ，则AC 的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4．右面的三视图对应的物体是（）
A．B．
C．D．
5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54
7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共12分，每小题3分）
11．方程x2＝x的根是．
12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC 于N，则MN＝．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是．
二、解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．
17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．
20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．
请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．
21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？
22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；
23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．
（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？
（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．
24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）
【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，
符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵，AE＝2cm，
∴＝，
∴AC＝6（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
4．右面的三视图对应的物体是（）
A．B．
C．D．
【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．
解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，
故选：D．
【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．
5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF 的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周
长为18厘米，即可求得△DEF的周长．
解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，
∵△ABC的周长为18厘米，
∴，
∴△DEF的周长为6厘米．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．
7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）
A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
解：根据题意得，＝，
解得，m＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∵E为BC中点，BC＝8，
∴BE＝4，
在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，
∴AF＝AE＝5，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．
解：图中相似三角形共有3对．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，
∵DE＝CE，FC＝BC，
∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，
∴AE：EF＝AD：DE，
即AD：AE＝DE：EF，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）
A．B．C．D．
【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．
解：∵CD＝BC＝1，
∴GD＝3﹣1＝2，
∵△ADK∽△FGK，
∴，
即，
∴DK＝DG，
∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，
∴KF＝，
∵△CHK∽△FGK，
∴，
∴，
∴CH＝．
方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题（共12分，每小题3分）
11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x（x﹣）＝0，
可得x＝0或x﹣＝0，
解得：x1＝0，x2＝．
故答案为：x1＝0，x2＝
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．
【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．
解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，
∴∠EAB＝30°，
设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，
由题意2a×a＝8，
∴a2＝，
∴k＝a2＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC 于N，则MN＝ 3 ．
【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．
解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，
∴△ACB∽△AMN，
∴AC：CB＝AM：MN，
在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；
又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，
∴＝，即MN＝3．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是3+．
【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；
解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ 的值最小．作Q″H⊥DA于H．
在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，
∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．
故答案为3+．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．
二、解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．
解法一：原式可以变形为，
，
，
∴，
∴，．
解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．
16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．
【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．
解：如图所示：
【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．
17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；
（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．
解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，
∴，
解得：k＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．
（1）证明：∵AF∥CD，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF＝CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝BD，
∴四边形AFCD是菱形．
（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．
∵四边形AFCD是菱形，
∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，
∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，
∴四边形FHCE是矩形，
∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，
在Rt△BHF中，BF＝＝．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．
请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．
【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．
解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝，∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝106（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝55（米），
答：舍利塔的高度AB为55米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．
解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）＝14，
解得：x1＝1，x2＝4．
因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，
x+3＝4．
答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），
∴点C（5，0），
∴点B（6，4）．
（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．
∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），
∴点D（，2）．
令y＝中y＝2，则x＝2，
∴点P（2，2），
∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，
∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．
23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．
（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？
（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．
【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；
（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．
解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；
（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，
故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机
拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；
（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；
证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，
∴∠B＝∠DAB，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，
∴△FAD∽△DAB，
∴＝，
∴AD2＝AF•AB．
（2）∵∠B＝∠DAB，
∴DA＝DB，
∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△CAD≌△EBD，
∴AC＝BE，
∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，
∴△EBD∽△CBA，
∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，
∴AD•BE＝DE•AB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．
（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．
（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．
解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；
（2）当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA ＝x ，PB ＝10﹣x ，
DP ＝，CP ＝．
DP 2+CP 2＝DC 2
16+x 2+16+（10﹣x ）2＝102
x 2﹣10x +16＝0 x ＝2或x ＝8．
故当AP ＝2或AP ＝8时，四边形PMEN 是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．
新九年级（上）数学期中考试题(含答案)
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1、圆内接四边形 A BCD 中，已知∠A ＝70°，则∠C ＝（ ） A ．20°
B ．30°
C ．70°
D ．110°
2、⊙O 的半径为 5c m ，点 A 到圆心 O 的距离 O A ＝3cm ，则点 A 与圆 O 的位置关系为（ ）
A ．点 A 在圆上
B ．点 A 在圆内
C ．点 A 在圆外
D ．无法确定
3、将抛物线 y ＝x 2+1 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A ．y ＝（x +2）2+4
B ．y ＝（x ﹣2）2﹣4
C ．y ＝（x ﹣2）2+4
D ．y ＝（x +2）2﹣4
4、若圆锥的母线长是 12，侧面展开图的圆心角是 120°，则它的底面圆的半径为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与 △CDE 对应边的比为 k ，则位似中心的坐标和 k 的值分别为（
）
A ．（0，0），2
B ．（2，2），
1
2
C ．（2，2），2
D ．（2，2），3 6、如图，在△ABC 中，点 D 是 A B 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，
AC ＝3，△ADC 的面积为 1，则△ABC 的面积为（ ） A ．9
B ．8
C ．3
D ．2
7、如图，若二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为 x ＝1，与 y 轴交于 点 C ，与 x 轴交于点 A 、点 B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a +b +c ②a ﹣b +c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当 y ＞0 时，﹣1＜x ＜3．其中正确的个数
是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、如图，在平行四边形A BCD 中，点E在C D 上，若D E：CE＝1：2，则△CEF 与△ABF 的周长
比为（）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：9
9、圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）
A．B．C．D．
10、对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上
界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）
A．m≤1
3
B．m
1
3
<C．
1
3
1
2
m
<≤D．m
1
2
≤
二、填空题（每题4分，共24 分）
11 如图，△ABC 中，点D、E 分别在边A B、BC 上，DE∥AC．若B D＝4，DA＝2，BE＝3，则E C＝．
12、在二次函数y=-x2 +2x+1的图像中，若y随x增大而增大，则x的取值范围是．
13、如图，⊙O 与△ABC 的边A B、AC、BC 分别相切于点D、E、F，如果A B＝4，AC＝5，AD＝1，那么B C
的长为．
第8题第11 题第13 题
14、高4m 的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时，旗杆旁教学楼的影长24m，则教学楼高m．
15、若关于x的一元二次方程x2 -2x-k = 0 （k 为常数）在- 2 <x <3范围
内有解，则k的取值范围是。

16、如图，正方形A BCD 的边长为6，点O是对角线A C、BD 的交点，点E 在C D
上，且D E＝2CE，过点C作C F⊥BE，垂足为F，连接O F，则O F的长为。