台州市名校2019-2020学年高二下学期期末2份数学质量检测试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出一个命题p ：若,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零，在用反证法证明p 时，应该假设（ ） A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数
C ．a ，b ，c ，d 全都大于或等于0
D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数
2．已知集合{}
|1,M y y x x R ==-∈，{}2|log (1)N x y x ==-，则M N =（ ）
A ．[1,1)-
B ．()1,1-
C ．[1,)-+∞
D ．(,1)-∞
3．已知函数()()22x
x f x me m e x =+--存在零点,则实数m 的取值范围是( )
A ．[
)1,+∞
B ．0,1
C ．
,0
D ．(],1-∞
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其
左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
13218
x y -=
B ．2211832x y -=
C ．221916
x y -=
D ．22
1169
x y -=
5．已知()f x '
是函数()f x 的导函数，且满足1(1)f e =，32
351
()()x
x x x f x f x e '-+-+=，若
2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(,0]-∞
B ．(,0)-∞
C ．[0,)+∞
D ．(0,)+∞
6．若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（） A ．79-
B ．13
-
C ．
13
D ．
79
7．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A ，B 分别位于y 轴的左、右两侧）
，2BF
AF
=，则cos α的值是（ ）
A ．
13
B ．
12 C ．
23
D
9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2
2π
πωϕ⎛⎫
>-
<<
⎪⎝
⎭
在区间,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上为单调函数，且636f f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()1
sin 2
3f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
B ．()sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
C ．()sin 2f x x =
D ．()1sin
2
f x x = 10．已知复数
2a i
i
--+是纯虚数i 是虚数单位)，则实数a 等于（ ） A ．-2
B ．2
C ．12
-
D ．
12
11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =（ ） A ．e -
B ．e
C ．2
D ．-2
12．已知复数1z i =-+的共轭复数为z ，则z
z
=（ ） A ．-1
B ．1
C ．i -
D ．i
二、填空题：本题共4小题
13．已知复数z 满足()1234i z i +=+，则z 等于______. 14．如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.
15．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =__________．
16．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为______cm.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，圆22:230T x y x ++-=与y 轴的一个交点为A ，圆T 的圆心为E ，AEF ∆为等边三角形. （1）求抛物线C 的方程
（2）设圆T 与抛物线C 交于U 、V 两点，点()00,P x y 为抛物线C 上介于U 、V 两点之间的一点，设抛物线C 在点P 处的切线与圆T 交于M 、N 两点，在圆T 上是否存在点Q ，使得直线QM 、QN 均为抛
物线C 的切线，若存在求Q 点坐标（用0x 、0y 表示）；若不存在，请说明理由.
18．2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3。

关注
不关注 合计 年轻人 30 中老年人 合计
50
50
100
（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄有关？
（2）现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，若再从这6人中选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“中国湖北（潜江）龙虾节”的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望。

附：参考公式2
2
(),()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++其中n a b c d =+++。

临界值表：
20()P k k ≥
0.05 0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
19．（6分）在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
对变量t 与y 进行相关性检验，得知t 与y 之间具有线性相关关系． （1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）预测该地区2016年的居民人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
ˆ()n
i
i i n
i
i t
t y y b
t
t ==--=-∑∑，ˆˆa
y bt =- 20．（6分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物
保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的A 处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶30m 后到达B 处，测得此塔顶在南偏东15︒的方向上，仰角为α，且15
sin 5
α=，若塔底C 与河面在同一水平面上，求此塔CD 的高度． 21．（6分）已知a b ，为实数，函数，函数()ln g x x =．
（1）当0a
b 时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；
（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图是一个二次函数y=f （x ）的图象 （1）写出这个二次函数的零点 （2）求这个二次函数的解析式
（3）当实数k 在何范围内变化时，函数g （x ）=f （x ）-kx 在区间[-2，2]上是单调函数？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由“a b c d ,,,
中至少一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”即可求解.
因为“a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零”的否定为“a b c d ,,,
全都大于等于0”, 所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a b c d ,,,
全都大于等于0”, 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题. 2．A 【解析】
分析：根据题意，求得集合,M N ，再利用集合的运算，即可求解．
详解：由题意{}
|1,{|1}M y y x x R x y ==-∈=≥-，{}2|log (1){|1
}N x y x x x ==-=<， 所以[1,1)M N ⋂=-，故选A ．
点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3．D 【解析】 【分析】
函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可． 【详解】 函数()()22x
x f x me
m e x =+--存在零点，
等价于方程()202x
x me m e x =+--有解，
即()22x
x x me
m e =+-有解，
令(0)x
t e t =>，则ln t x =，
方程等价于()2
2y mt m t =+-与ln y t =(0)t >有交点，
函数()2
2y mt m t =+-恒过定点（0,0），
当0m ≤时，()2
2y mt m t =+-与ln y t =(0)t >图象恒有交点，排除A ，B ，C 选项；
又当01m <≤时，恰好满足=1t 时，
()22mt m t +-≤ln t (0)t >，此时()22y mt m t =+-与ln y t =(0)t >图象恒有交点，符合题意；
故选：D.
本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题. 4．D 【解析】 【分析】
设12(,0),(,0)F c F c -，根据已知可得34
b
a ，由12PF PF ⊥，得到2221212PF PF F F +=，结合双曲线的定义，得出2122PF PF
b ⋅=，再由已知求出b ，即可求解.
【详解】
设c ，则由渐近线方程为34y x =
，3
4
b a
， 又12222
12122,,
PF PF a PF PF F F ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 所以2221212222
1224,4.
PF PF PF PF a PF PF c ⎧+-⋅=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减，得2
1224PF PF b ⋅=，
而1218PF PF ⋅=，所以2
9b =，
所以3b =，所以5c =，4a =，
故双曲线的方程为22
1169x y -
=. 故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题. 5．D 【解析】 【分析】
根据2
()x e f x m x -=进行参变分离，构造函数()()2
x g x e f x x =-，利用已知条件得到()g x '，并判断
()g x 单调性，因而求出m 范围
【详解】
若2
()x e f x m x -=有两个不同的零点，则()2
x m e f x x =-，
设()()2
x
g x e f x x =-，则y m =与y
g x 有两个交点，
()()()2x x g x e f x e f x x ''∴=+-
由题，32351()()x
x x x f x f x e
'-+-+=，()()32
351x x e f x e f x x x x '∴+=-+- ()()3
323311g x x x x x '∴=-+-=-
令0g x
，则1x =，故()g x 在(),1-∞递减，在1,
递增，
()()11110m g e f ∴>=-=，故选D
【点睛】
本题考查构造函数判断单调性，用参变分离的方法转化零点为交点问题，及利用单调性求参 6．A 【解析】 【分析】
根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得
2cos(
2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6
a π
=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(
2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a ππππ
π+=--+=--=-- 27
[12sin ()]69
a π=---=-，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．D 【解析】
:22a b p a b >⇔>；22
:q a b a b >⇔>，a b >与a b >没有包含关系，故为“既不充分也不必要
条件”. 8．D 【解析】 【分析】
设AF t =，则2BF t =，由抛物线的定义，得AC t =，2BD t =，进而可求BE 、AE ，最后由cos AE AB
α=可求解. 【详解】
设AF t =，则2BF t = A 、B 两点到准线2
p
y =-
的距离分别为AC 、BD ， 由抛物线的定义可知：
AC AF t ==，2BD BF t ==
过A 作AE BD ⊥，垂足为E.
2BE BD DE BD AC t t t ∴=-=-=-= ()
2
222322AE AB BE t t t ∴=-=
-=
2222
cos cos 33
AE t BAE AB t α=∠=
==
. 故选：D 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】
由函数在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，得周期23T π≥，66f f ππ⎛⎫⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，得出图像关于()0,0对称，可求出ϕ，63f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解. 【详解】
设()f x 的最小正周期为T ，()f x 在区间,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上具有单调性，
则
266T ππ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，即23T π≥，由66f f ππ⎛⎫⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
知， ()f x 有对称中心()0,0，所以0ϕ=. 由63f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且23T π≥
， 所以()f x 有对称轴12634
x πππ⎛⎫=
⨯+= ⎪⎝⎭. 故
04
4
4
T π
π
-=
=
.解得T π=，于是2π
πω=， 解得2ω=，所以()sin 2f x x =. 故选：C 【点睛】
本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】
化简复数，根据复数为纯虚数得到答案. 【详解】
()(2)21(2)212
2(2)(2)555
a i a i i a a i a a i i i i ------+----===+-+-+-- 知复数
2a i
i
--+是纯虚数 2105a --=且21
052
a a -≠⇒=- 故答案选C 【点睛】
本题考查了复数计算，属于简单题. 11．D 【解析】
试题分析：题中的条件()2(1)ln f x xf x +'=乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了．对()f x 进行求导：()f x '=，所以(1)f '=
，(1)f '=-1.
考点：本题考查导数的基本概念及求导公式．
点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数()f x 进行求导；②的导数不知道是什么．实
际上是一个常数，常数的导数是0.
12．C 【解析】 【分析】
根据共轭复数的概念，可得z ，然后利用复数的乘法、除法法则，可得结果. 【详解】
1z i =-+， 1z i ∴=--，
11z i
i i
z -+∴==---， 故选：C 【点睛】
本题考查复数的运算，注意细节，细心计算，属基础题. 二、填空题：本题共4小题 135【解析】 【分析】
先求出复数z,再求|z|. 【详解】 由题得2234(34)(12)112112
,()()512(12)(12)555
i i i i z z i i i ++--=
==∴=+-=++-. 5【点睛】
（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模22||z a b +14．4 【解析】
分析：按照循环体执行，直到跳出循环 详解：第一次循环后：S=7，n=6； 第二次循环后：S=13，n=5； 第三次循环后：S=18，n=4；
1818<不成立，结束循环
所以输出值为4
点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.
15．63
【解析】
2160063.1800
n n =∴= 16．13；
【解析】
【分析】
设球的半径为Rcm ，得到截面圆的半径为12cm ，球心距为(8)d R cm =-，再由222R r d =+，列出方程，即可求解.
【详解】
设球的半径为Rcm ，将球取出，留下空穴的直径为24cm ，深8cm ，
则截面圆的半径为12cm ，球心距为(8)d R cm =-，
又由222R r d =+，即222
12(8)R R =+-，化简得208160R -=，
解得13R =.
故答案为：13.
【点睛】
本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2:4C y x =； （2）存在圆上一点000032,11x y Q x x ⎛⎫--
⎪++⎝⎭
满足QM 、QN 均为为抛物线C 的切线，详见解析. 【解析】
【分析】 （1）将圆T 的方程表示为标准方程，得出其圆心E 的坐标，求出点A 的坐标，求出抛物线C 的焦点F 的坐标，然后由AEF ∆为等边三角形得出EF 为圆T 的半径可求出p 的值，进而求出抛物线C 的方程；
（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设切线QM 、
QN 的方程分别为()111x x t y y -=-和()222x x t y y -=-，并写出抛物线C 在点P 的切线方程，设002
y t =，并设过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，
利用0∆=可求出1t 、2t 的表达式，从而可用0y 表示直线QM 、QN ，然后求出点Q 的坐标，检验点Q 的坐标满足圆T 的方程，即可得出点Q 的存在性，并得出点Q 的坐标.
【详解】
（1）圆T 的标准方程为()2214x y ++=，则点()1,0E -，抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， AEF ∆为等边三角形，则2EF AE ==，即
122
p +=，解得2p =， 因此，抛物线2:4C y x =； （2）设()11,M x y 、()22,N x y .过点M 、N 作抛物线C 的两条切线（异于直线MN ）交于点Q ，并设切线()111:QM l x x t y y -=-，()222:QN l x x t y y -=-，
由替换法则，抛物线C 在点()00,P x y 处的切线方程为()002y y x x =+， 即00:2MN y l x y x =-，记002
y t =，① 设过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，
代入抛物线方程24y x =，得2114440y ty ty x -+-=，
()21116160t ty x ∴∆=--=，即2110t y t x -+=，011t t x ∴=，011t t y +=， 由①可得，0111022
y x t y y ==-，2101024y y x y ∴=+，②，同理可得，2202x t y =， ∴切线()11102:QM x l x x y y y -=
-，()22202:QN x l x x y y y -=-， 联立两式消去y 可得，12211212021000
222Q x x y y x x x x x y x x y y x -=⋅=⋅=-，③ 代入QM l 可得，2012200100
422122Q x y y y x y y y y y -+=-+=④ 代入②有，()
120Q x x y y +=， 联立00:2
MN y l x y x =-与圆T 可得，()()2222200000482430y x x y x x y ++++-=， ()222000001220004341244411
x y x x x x x y x x --∴⋅===-+++，
分别代入③、④可得0031
Q x x x -=+，0021Q y y x =-+， ()()()()()222222
00002002200002242216321141111Q Q x y x x x y x y x x x x -+-+⎛⎫⎛⎫-++=++-=== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 即切线QM 、QN 的交点Q 在圆T 上， 故存在圆上一点000032,11x y Q x x ⎛⎫--
⎪++⎝⎭
，满足QM 、QN 均为抛物线C 的切线. 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线方程，同时也考查了韦达定理，解题的关键就是直线与抛物线相切，得出切线斜率倒数之间的关系，考查计算能力，属于难题. 18．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先将列联表填写完整，根据公式计算2k ，再与临界值表作比较得到答案.
(2)首先计算关注人数的概率，再写出分布列，计算数学期望.
【详解】
解：
其中10,30,40,20a b c d ====代入公式的2k ≈16.67 6.635>，故有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”和年龄有关.
（2）抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，则ξ可能取的值有
123、、 34236
),1,2,3i i C C P i i C ξ-===（所以ξ的分布列为 1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=
【点睛】
本题考查了列联表的计算，分布列和数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.
19．（1）ˆ0.6 2.1y
x =+ （2）7.5千元
【解析】
【分析】
（1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a 的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．
（2）将2016年的年份代号t ＝9代入前面的回归方程，预测该地区2016年的居民人均纯收入．
【详解】
解：（1）由已知表格的数据，得123456747
t ++++++==， 2.7 3.6 3.3 4.6 5.4 5.7 6.2 4.57
y ++++++==， 7
1()()(3)( 1.8)(2)(0.9)(1)( 1.2)i i i t
t y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑ 00.110.92 1.23 1.7+⨯+⨯+⨯+⨯
16.8=，
7222222221()(3)(2)(1)012328i i t
t =-=-+-+-++++=∑， ∴16.8ˆ0.628
b ==． ∴ˆ 4.50.64 2.1a
=-⨯=． ∴y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1y
x =+． （2）由（1），知y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1y
x =+． 将2016年的年份代号9t =代入前面的回归方程，得ˆ0.69 2.17.5y
=⨯+=． 故预测该地区2016年的居民人均收入为7.5千元．
【点睛】
本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．
20．30CD m =
【解析】
【分析】
根据正弦定理求得BC ，然后在直角三角形中求得CD ，即可得到答案．
【详解】
由题意，在ABC 中，45,15BAC ABC ︒︒
∠=∠=，故120ACB ︒∠=
又30AB m =，故由正弦定理得：
sin 45sin120
AB BC ︒︒=，
解得BC =，
因为sin α=
，所以tan α=
，所以tan 30CD BC m α===． 【点睛】 本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中熟练应用正弦定理和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
21．（1）()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）当0a b 时，1()ln F x x x
=+，定义域为(0,)+∞，由()0F x '=得1x =．列表分析得()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：
1()()ln 11
G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞上恒成立．由于min ()G x 不易求，因此再进行转化：当(0,1)x ∈时，1()()ln 11
G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤，令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；同理当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11
G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥，令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可.
试题解析：（1）1()ln F x x x
=+， 21()x F x x '-=
，令()0F x '=，得1x =． 列表：
()F x ↘ 极小值 ↗
所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．
（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则1()(
)ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞上恒成立．
1）当(0,1)x ∈时，1()()ln 11
G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*）
则(1)0H =，1()ln 1b H x b x b x
'
-=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x
'+-=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-≤+-<⨯-=， 故()0Q x '
<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，
即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故
，所以（*） 成立，满足题意； ②当12b >时，22
1[(1)](1)1()b x b x b Q x x x '--+-==， 因为12
b >，所以111b -<，记1110,1I b =-⋂（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b -->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，
即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以
，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11
G x b x x =+≥-恒成立时，12b ≤； 2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11
G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**）
则(1)0H =，1()ln 1b H x b x b x
'
-=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x
'+-=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-≥⨯-=， 故()0Q x '
>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，
即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；
②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以
，此时（**）不成立； ⅱ）若102
b <<，则111b ->，所以当11,1x b ∈-（）时， 22
1[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x '--+-==<， 故函数()y Q x =在11,1x b
∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b
∈-（）时单调递减，所以，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+≥-恒成立时，12
b ≥； 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+≥-恒成立时，12
b =，从而实数b 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． 考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性
22．（1）零点是-3，1（2）y=-x 2-2x+3 （3）k≤-6或k≥2时，g （x ）在[-2，2]上是单调函数
【解析】
【分析】
(1)根据图象，找函数图象与横轴交点的横坐标即可求得函数的零点；(2)由顶点是
可设函数为
，再代入即可求得函数的解析式；(3)先化简函数
易知图象开口向下，对称轴为,因为是单调函数，利用对称轴在区间的两侧列不等式求解即可.
【详解】
（1）由图可知，此二次函数的零点是-3，1
（2）∵顶点是（-1，4）
∴设函数为：y=a （x+1）2+4，
∵（-3，0）在图象上
∴a=-1
∴函数为y=-x 2-2x+3
（3）∵g （x ）=-x 2-2x+3-kx=-x 2-（k+2）x+3
∴图象开口向下，对称轴为
当，即k≥2时，g（x）在[-2，2]上是减函数
当，即k≤-6时，g（x）在[-2，2]上是增函数
综上所述k≤-6或k≥2时，g（x）在[-2，2]上是单调函数
【点睛】
本题主要考查二次函数的零点、二次函数的解析式、二次函数的单调性，属于中档题. 二次函数的单调性问题，主要依据二次函数图象的开口方向、对称轴的位置进行分析讨论求解．
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用数学归纳法证明42
2
1232n n n ++++⋅⋅⋅+=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上（ ） A ．增加一项
B ．增加2k 项
C ．增加2k 项
D ．增加21k +项
2．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上三种情况都可能
3．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．若正项等比数列{}n a 满足313S =，241a a =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前20项和是( ) A ．25- B ．25 C ．150- D ．150
5．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
6．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．9 B ．647 C ．657 D ．667
8．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( )
A ．甲可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道自己的成绩
C ．甲､丙可以知道对方的成绩
D ．乙､丁可以知道自己的成绩 9．已知复，则复数的共轭复数（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．不等式213
x x -+＞0的解集是 A ．（12
，+∞） B ．（4，+∞） C ．（-∞，－3）∪（4，+∞） D ．（-∞，－3）∪（12
，+∞） 11．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
12．如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )
A ．x a =是函数()y f x =的极小值点
B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0
C ．函数()y f x =关于点()0,c 对称
D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___.
14．已知ABC ∆的外接圆半径为1，2AB =，点D 在线段AB 上，且CD AB ⊥，则ACD ∆面积的最大值为______.
15．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人.
16．不等式46n n C C >的解为n =______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2,.f x x a x a R =-++∈
（1）当1a =时，解不等式() 4.f x ≥；
（2）若[]0,1x ∈时，不等式()3f x x ≤+成立，求实数a 的取值范围。

18．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.
(参考公式：11222
11(),)ˆ()(n n
i i i i
i i n n i
i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-.)
19．（6
分）已知函数()2x
f x ax e =-. （1）当2
e a <时，求证：()
f x 在()0,∞+上是单调递减函数； （2）若函数()f x 有两个正零点1x 、()212x x x <，求a 的取值范围，并证明：124x x +>.
20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(2x y θθθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数．在以原点O 为极
点，为参数）．在以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
113sin 4cos ραα
=+． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设()2,1A ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求||||AM AN ⋅的值．
21．（6分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此10张奖券中任抽2张，求
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得奖品总价值为100元的概率.
22．（8分）已知函数l 2(1)().1nx f f x x x
'=-+． (Ⅰ)求函数()(1,(1))f x f 在点处的切线方程；
(Ⅱ)0,1x x >≠当且时，2l ()(2),1
nx f x a a a x >+---求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
明确从n k =变为1n k =+时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.
【详解】
当n k =时，等式左端为：2123k +++⋅⋅⋅+
当1n k =+时，等式左端为：()()()2
222123121k k k k +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++ ()22121k k k +-=+ ∴需增加21k +项
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
由于,αβ为三角形内角，故sin 0α>，所以cos 0β<，
即β为钝角，
三角形为钝角三角形，故选B .
3．A
【解析】
【分析】
设2()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
在第一象限.
【详解】
因为函数()y f x =的图象过原点，
所以可设2
()(0)f x ax bx a =+≠， ()'2f x ax b =+，
由图可知0,0a b <>,
22
40,0244b ac b b a a a
--->=>， 则函数2
()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限，故选A. 【点睛】
本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.
4．C
【解析】
【分析】
设正项等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,由已知列式求得首项与公比,可得数列{}n a 的通项公式，代入3log n n b a =求得数列{}n b 的通项公式,可得数列{}n b 是以2为首项,以1-为公差的等差数列,再由等差数列的前n 项和公式求解．
【详解】
设正项等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,
由313S =,241a a =,得: ()
2111221131a a q a q a q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩,解得11,93q a == 1133133193log log ,333n n n n n n n a a q b a n ----⎛⎫∴==⋅====- ⎪⎝⎭,
则数列{}n b 是以2为首项，以1-为公差的等差数列, 则202019(1)2021502
S ⨯⨯-=⨯+
=-. 故选:C.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查等差数列的求和公式,难度较易.
5．D
【解析】
1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
6．A
【解析】
【分析】
根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论．
【详解】
根据四个等高条形图可知：
图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果.
【详解】
因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面,
所以存在,p q 使得c pa qb =+.
所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，
所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩
， 解得331765,,32777
p q p q λ=
==-= . 故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.
8．B
【解析】
【分析】
根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案.
【详解】
由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好； 当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩；
当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩；
综上，只有B 选项符合.
故选：B.
【点睛】
本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.
9．C
【解析】
，选C
10．D
【解析】
分析：解分式不等式先移项将一侧化为0，通分整理，转化为乘法不等式。

详解：21102130x 332
x x x x ∞∞->⇔-+>⇒∈--⋃++（，）（，），故选D 。

点睛：解分式不等式的解法要，先移项将一侧化为0（本身一侧为0不需要移项），通分整理，转化为乘法不等式，但分母不能为0.
11．B
【解析】
试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
考点：排列、组合及简单计数问题．
12．D
【解析】
【分析】
由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．
【详解】
由函数f(x)的导函数图象可知，
当x ∈(−∞,−a),(−a ，b)时,f ′(x)<0，原函数为减函数；
当x ∈(b,+∞)时,f ′(x)＞0，原函数为增函数.
故x a =不是函数()y f x =的极值点，故A 错误；
当x a =-或x b =时,导函数()f x '的值为0，函数()f x 的值未知，故B 错误；
由图可知，导函数()f x '关于点()0,c 对称，但函数()y f x =在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点()0,c 对称，故C 错误；。