黑龙江省哈尔滨三中高三数学下学期第四次模拟试卷 文(

黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学四模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．无数
2．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为( )
A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
3．执行如图程序框图其输出结果是( )
A．29 B．31 C．33 D．35
4．已知平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为
( )
A．B．C．4 D．
6．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣
7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是( )
A．南岗校区B．群力校区
C．南岗、群力两个校区相等D．无法确定
8．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=( ) A．B．C．D．
9．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为( )
A．48πB．12πC．4πD．32π
10．若，则cosα+sinα的值为( )
A．B．C．D．
11．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为( )
A．2 B．C．4 D．
12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为( ) A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7=__________．
14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为__________．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=__________．
16．向量=（1，1），=（，），f（x）=•，函数f（x）的最大值为__________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．
18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；
（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD 与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．
20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，
点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．
（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．
三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=
上．
（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：
（2）求|PQ|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知正实数a，b满足：a+b=2．
（Ⅰ）求的最小值m；
（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．
黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学四模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．无数
考点：虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数的幂运算，化简求解即可．
解答：解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．
集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．
故选：A．
点评：本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．
2．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为( )
A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：由对称性可得f（2）=0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，讨论x+1≥1，x+1＜1，运用单调性，解不等式，最后求并集即可得到解集．
解答：解：由f（x）的图象关于x=1对称，f（0）=0，
可得f（2）=f（0）=0，
当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），
由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：
x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①
当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），
由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：
x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②
由①②，可得解集为（﹣1，1）．
故选：B．
点评：本题考查函数的单调性和对称性的运用：解不等式，主要考查单调性的定义的运用和不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
3．执行如图程序框图其输出结果是( )
A．29 B．31 C．33 D．35
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答：解：第一次执行循环体后，a=3，不满足输出条件，
再次执行循环体后，a=7，不满足输出条件，
再次执行循环体后，a=15，不满足输出条件，
再次执行循环体后，a=31，满足输出条件，
故输出结果为31，
故选：B．
点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4．已知平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立的( ) A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：利用面面垂直线面垂直判定和性质和充要条件的定义即可判断．
解答：解：由于α⊥β，α∩β=m，n⊂β，
若n⊥m，根据线面垂直的判断定理，则n⊥α，
若n⊥α，根据线面垂直的性质定理，则n⊥m，
故平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立充要条件．
故选：A．
点评：本题以线面垂直面面垂直为载体，考查了充分条件和必要的条件的判断，属于基础题．5．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为
( )
A．B．C．4 D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．
解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×2×2=2，
高h=2，
故几何体的体积V==，
故选：A．
点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
6．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．
解答：解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2 +a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．
又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，
故选：B．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是( )
A．南岗校区B．群力校区
C．南岗、群力两个校区相等 D．无法确定
考点：茎叶图；极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：根据茎叶图中的数据分布，即可得到两地浓度的方差的大小关系．
解答：解：根据茎叶图中的数据可知，南岗校区的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，
而群力校区的数据分布比较分散，不如南岗校区数据集中，
∴南岗校区的方差较小．
故选：A
点评：本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．
8．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=( )
A．B．C．D．
考点：等差数列的前n项和．
分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得，
故选D．
点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
9．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为( )
A．48πB．12πC．4πD．32π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．
解答：解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，
∴△BAB≌△PAC≈△PBC
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．
∵长方体的对角线长为=2，
∴球直径为2，半径R=，
因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=12π
故选：B．
点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．
10．若，则cosα+sinα的值为( )
A．B．C．D．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．
解答：解：
∵，
∴，
故选C
点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．
11．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为( )
A．2 B．C．4 D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4求得一交点坐标，代入双曲线方程求得λ，则双曲线C的实轴长可求．
解答：解：由题意可知，双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，
设等轴双曲线C的方程为y2﹣x2=λ，（1）
抛物线y2=4x，则2p=4，p=2，∴，
∴抛物线的准线方程为x=﹣1．
设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣1的两个交点A（﹣1，y），B（﹣1，﹣y）（y＞0），
则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．
将x=﹣1，y=2代入（1），得22﹣（﹣1）2=λ，∴λ=3，
∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=3，
即，
∴C的实轴长为．
故选：D．
点评：本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为( ) A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，
x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．
解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵当x≥0时，f（x）=，
∴当x≥0时，f（x）=，
得出x＜0时，f（x）=
画出图象得出：
如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，
根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，
x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，
故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，
故选：B
点评：本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7=．
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的通项公式即可得出．
解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=8，a4=a3•a5，
∴8q3=8q2•8q4，
化为（2q）3=1，
解得q=．
∴a7==．
故答案为：．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=4且y=2时z取得最大值10．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的四边形ABCD及其内部，其中
A（0，1），B（3，1），C（4，2），D（0，6）
设z=F（x，y）=2x+y，
将直线l：z=2x+y进行平移，观察l在y轴上的截距变化，
可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（4，2）=2×4+2=10
故答案为：10
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=30°．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．
解答：解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，
代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，
∴由余弦定理得：cosA===，
∵A为三角形的内角，
∴A=30°．
故答案为：30°
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
16．向量=（1，1），=（，），f（x）=•，函数f（x）的最大值为．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：f（x）=•==y，（﹣3≤x≤1），可得y2=4+，再利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：f（x）=•==y，（﹣3≤x≤1）
∴y2=4+≤4+2=6，当x=﹣1时取等号，
∴≤y，
∴函数f（x）的最大值为．
故答案为：．
点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得
，根据x的范围和正弦函数的极值性即可得解；
（Ⅱ）由三角函数图形变换规律可求g（x），由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴，由2x=k，（k∈Z）可得对称中心．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x=sin2x+1+cos2x，
∴，
∵，
∴，
∴f（x）的最大值为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）∵，将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平
移1个单位，得到函数g（x）图象，
∴g（x）=2cos2x+2，
∴由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴为直线，（k∈Z）
由2x=k，（k∈Z）可得对称中心为，（k∈Z）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数图形变换规律，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；
（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）先求出从5个球中随机抽取两个球的所有方法种数，再求出两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．
（Ⅱ）先求出有放回的从袋子中取出两个球的所有方法种数，再求出y＞|x﹣4|的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．
解答：解：（Ⅰ）从5个球中随机抽取两个球共有=10种不同的情况，
而且这些情况都是等可能发生的，
其中满足取出的小球编号之和大于5的情况有：
（1，5）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）
共6种，
故取出的小球编号之和大于5的概率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）有放回的从袋子中取出两个球共有5×5=25种不同的情况，
而且这些情况都是等可能发生的，
其中符合题意的情况有：x=1，y＞3，y=4，5，
x=2，y＞2，y=3，4，5，
x=3，5，y＞1，y=2，3，4，5
x=4，y＞0，y=1，2，3，4，5，
x=5，y＞1，y=2，3，4，5，
共18种情况，
故y＞|x﹣4|的概率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD 与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．
考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：
（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；
（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
解答：（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，
D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，
所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，
所以∠AB1B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，
因为BC⊂面BCD，
所以BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D （，0，0），
又因为=2，所以
所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），
则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，
设直线CO与平面ABC所成角为α，则sinα==．
点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，
点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）由tan∠F1PF2=4．可得cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，由|PF1|=7|PF2|，可得m=7n．
利用椭圆的定义及其余弦定理可得，解得即可得出．
（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由于△＞0，可得4k2+1＞m2，设D，E中点为M（x0，y0），利用
根与系数的关系可得：，利用k AM k=﹣1，得，代入△＞0解出即可．
解答：解：（I）∵tan∠F1PF2=4．∴cos∠F1PF2=．
设|PF1|=m，|PF2|=n，∵|PF1|=7|PF2|，∴m=7n．
联立，解得a=2，m=，n=．
∴b2=a2﹣c2=1，
故所求C的方程为．
（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），
将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，
得4k2+1＞m2，①
又，
设D，E中点为M（x0，y0），，
∵k AM k=﹣1，得②，
将②代入①得，
化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或
∴存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、余弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．
（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；
（2）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证
解答：解：（1）b=1时，函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，
则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣
因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．
①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；
②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；
则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．
综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；
（2）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，
则点P、Q的横坐标为，
C1点在P处的切线斜率为，
C2点Q处的切线斜率为
假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2
即，则
∴．
设，则①
令．
则
因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．
故r（t）＞r（1）=0
则．这与①矛盾，假设不成立．
故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行．
点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．
三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．
专题：选作题；推理和证明．
分析：（1）可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO，由切割线定理可得DN2=DT•DM，即可得证；
（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．
解答：（Ⅰ）证明：连接ON，∠OND=90°，，△OBN为等边三角形，则CN⊥OB，
可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO；
又DN2=DT•DM，则DT•DM=DO•DC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，且∠TDO=∠CDM，
所以△DTO与△DBM相似，则∠DOT=∠DMC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为，所以∠BMC=15°
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=
上．
（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：
（2）求|PQ|的最大值．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）利用消参法，可得P的轨迹方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线的直角坐标方；
（2）求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的最大值．
解答：解：（1）令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，π]，则点P的轨迹是上半圆：（x﹣1）2+y2=1（y≥0）．
曲线C：ρ=，即ρcosθ﹣ρsinθ=10，
∴曲线C的直角坐标方程：x﹣y=10…
（2）圆心到直线的距离为=，
∴|PQ|的最大值为+1．…
点评：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知正实数a，b满足：a+b=2．
（Ⅰ）求的最小值m；
（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（1）由题意可得=（）（a+b）=（2++），由基本不等式可得；
（2）由不等式的性质可得f（x）≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2，由基本不等式和不等式的性
质可得．
解答：解：（1）∵正实数a，b满足a+b=2．
∴=（）（a+b）
=（2++）≥（2+2）=2，
当且仅当=即a=b=1时取等号，
∴的最小值m=2；
（2）由不等式的性质可得f（x）=|x﹣t|+|x+|
≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2
当且仅当t=±1等号时成立，此时﹣1≤x≤1，
∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．
点评：本题考查基本不等式，属基础题．。