1984年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

8. 若四面体的一条棱长是 x，其余棱长都是 1，体积是 F (x)，则函数 F (x) 在其
定义域上 A. 是增函数但无最大值
B. 是增函数且有最大值
()
C. 不是增函数且无最大值 解答
D. 不是增函数但有最大值
设四面体 ABCD 中，△ABC 和 △ABD 是边长
为 1 的正三角形，E 为 AB 的中点，CD = x.
√ 依题意知，AD =1 + x, BD = 1 − x, CD = 1 − x2，由于 AD, CD, BD 成
(1 − x)2 + 1 − x2 > (1 + x)2, x2 + 4x − 1 < 0,
等比数列，于是 (1 + x)2 + 1 − x2 > (1 − x)2
⇒ x2 − 4x − 1 < 0
⇒
2
−
√ 5
<
x
<
√ 5
−
2.
所以
x
∈
(2
−
√√ 5, 5
−
2).
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10. 方程 cos x = cos x 的通解是
，在 (0, 24π) 内不相同的解有
个.
4
解答
x
=
2kπ ± x ⇒
x=
8 kπ
或
8 kπ(k
∈
Z)
⇒
方程
cos x
=
cos x
的通解是
ß4
3
5™
4
x
x
=
8 kπ或x 3
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在 △A′EH 中，EH2 = m2 + n2 − 2mn cos θ
⇒ EF 2 = d2 + m2 + nF 2 = d2 + m2 + n2 + 2mn cos θ.
综上，有
EF
=
√ d2
+ m2
+
n2
±
2mn cos θ.
y = f (x), y = g(x), y = h(x) 的图像如图，
易求得 M
14 ,
,N
24 ,
⇒ max{f, g, h} ⩾ 4.
39
39
9
所以结论成立.
解析二：如上图，将 △ABC 等分为九个小三角形，当 P 位于线段 P2C 上时，
S△BP F
⩾
4 ；当 9
P
位于线段
BP1
上时，S△P CE
13. 如图，在 △ABC 中，P 为边 BC 上任意一点，
P E//BA, P F //CA. 若 S△ABC = 1，
证明：S△BP F 、S△P CE、S P EAF 中至少有一个
不小于
4 9
(SX
Y
···Z
表示多边形
XY
···Z
的面积).
解答
解析一：设 BP = x ⇒ CP = 1 − x ⇒ AE = xAC, AF = (1 − x)AB.
an 的前 20 项为 1, 5, 4, 0, 5, 1, 0, 4, 5, 5, 6, 0, 9, 5, 0, 6, 5, 9, 0, 0，其中 a20 = 0. 从而 an+20 = b1 + b2 + · · · + bn+20 的个位数字 = (b1 + b2 + · · · + b20) + (b21 + b22 + · · · + bn+20) 的个位数字 = b21 + b22 + · · · + bn+20 的个位数字 = b1 + b2 + · · · + bn 的个位数字 = an.
于是 △OT M ∼= △SE1E. 所以 S
P EAF
>
S△AF2E1
=
4. 9
综上，S△BP F 、S△P CE、S
P EAF
中至少有一个不小于
4. 9
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14. 设 an 是 12 + 22 + · · · + n2 的个位数字，n = 1, 2, 3, · · · ，试证：0.a1a2 · · · an · · ·
所以命题 (3) 错误.
12. 已知两条异面直线 a、b 所成的角为 θ，它们的公垂线 AA′ 的长度为 d. 在直
线 a、b 上分别取点 E、F ，设 A′E = m, AF = n，求 EF (A′ 在直线 a 上，A
在直线 b 上). 解答 如图，过 A′ 作 b′//b，作 F H//AA′，交 b′ 于 H. 连接 HE.
+
x2
⩾
2x1,
x22 x3
+
x3
⩾
2x2,
··
·
,
x2n x1
+
x1
⩾
2xn，以上各式相加，有
x21 x2
+
x22 x3
+
·
·
·
+
x2n−1 xn
+
x2n x1
+
x1
+
x2
+
·
··
+
xn
⩾
2(x1
+
x2
+
·
·
·
+
xn)
⇒
x21 x2
+
x22 x3
+
···
+
x2n−1 xn
+
x2n x1
⩾
x1
+
x2
A. F (−2 − x) = −2 − F (x)
B. F (−x) = F
1+x 1−x
()
C. F (x−1) = F (x)
D. F (F (x)) = −x
解答
设 t = 1 − x ⇒ x = 1 − t = −1 + 2 ⇒ F (x) = 1 − x = −1 + 2
1+x
1+t
1+t
解答
设
f (x)
=
1 ax −
1
+
1 2
⇒
f (−x)
=
1 a−x −
1
+
1 2
=
1
ax − ax
+
1 2
=
−1
+
1
1 − ax
+
1 2
=
1 −ax −
1
−
1 2
=
−f (x)
⇒
f (x)
是奇函数，
于是 G(x) = F (x) · f (x) 是偶函数，所以选 B.
6. 若 F 1 − x = x，则下列等式中正确的是 1+x
当 x > 1 时，logx(logx y2) > 0 ⇒ logx y2 > 1 ⇒ y2 > x. 所以选 D.
3.
对所有满足
1
⩽
n
⩽
m
⩽
5
的
m, n，极坐标方程
ρ
=
1 1 − Cmn cos θ
表示的不同
双曲线条数是
()
A. 15
B. 10
C. 7
D. 6
解答
圆锥曲线的极坐标方程为
ρ
=
1
ep − e cos θ
112π 共 20 个. 5
三、解答题 (本题满分 60 分，每小题 20 分)
11. 下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则给出反例.
( 1 ) 设 P 、Q 是直线 l 同侧的两个不同点，则存在两个不同的圆，通过 P 、Q
且与直线 l 相切；
( 2 ) 设 a > 0, b > 0，且 a ̸= 1, b ̸= 1，则 loga b + logb a ⩾ 2； ( 3 ) 设 A、B 是坐标平面上的两个点集，Cr = {(x, y)|x2 + y2 ⩽ r2}，若对任
是有理数. 解答
设 bn 为 n2 的个位数字，由于 (n + 10)2 = n2 + 20n + 100 = 10(2n + 10) + n2，
则 n2 与 (n + 10)2 的个位数字相同，即 bn+10 = bn. 又 an = 12 + 22 + · · · + n2 的个位数字 = b1 + b2 + · · · + bn 的个位数字，易求得
F (F (x)) = F
1−x 1+x
= x ̸= −x，选项 D 错误. 所以选 A.
7. 若动点 P (x, y) 以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动，则点 Q(−2xy, y2 − x2)
的运动方式是
()
A. 以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动
B. 以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动
C. 以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动
何 r ⩾ 0，都有 Cr A ⊆ Cr B，则必有 A ⊆ B. 解答 (1) 如图，设 P Q 的中垂线为 m，当 m 与以 P
为焦点，l 为准线的抛物线有两个交点时，满足
条件的圆有两个. 但如果 P Q//l 时，m ⊥ l，此 时 m 与抛物线的对称轴平行，m 与抛物线只有 一个交点. 所以命题 (1) 错误； (2) 当 loga b < 0 时，loga b + logb a ⩽ −2. 所以命题 (2) 错误； (3) 如果 0 ∈ A, 0 ∈/ B，其余点 A, B 相同，满足题意，此时 A ⊈ B.
1+x
1+x
⇒ F (−2 − x) = −1 + 2 = −2 + 1 − 2 = −2 − F (x)，选项 A 正确；
−1 − x
1+x
F 1 + x = −x ̸= F (−x)，选项 B 错误；
1−x
F (x−1)
=
−1
+
2 1 + x−1
=
−1 +
2x 1+x
̸=
F (x)，选项
C
错误；
=
8 kπ, k
5
∈
Z
.
位于区间 (0, 24π) 内的有
8π , 16π , 8π, 32π ，
33
3
40π , 16π, 56π , 64π , 8π , 16π , 24π , 32π , 48π , 56π , 64π , 72π , 88π , 96π , 104π ，
3
3 355 5 5 5 5 5 5 5 5 5
因此 0.a1a2 · · · an · · · 是循环节长为 20 的循环小数，从而它是有理数.
15. 设 x1, x2, · · · 解答
, xn
都是正数，求证：x21 x2
+ x22 x3
+ · · · + x2n−1 xn
+
x2n x1
⩾
x1 + x2 + · · · + xn.
x21 x2
3
12
从而当 x =
6 2
时，Vmax
=
1. 8
所以选
D.
二、填空题 (本题满分 54 分，每小题 9 分)
9. 如图，AB 是单位圆的直径，在 AB 上任取一点 D，
作 DC ⊥ AB，交圆周于 C. 若点 D 的坐标为 (x, 0)，
则当 x ∈
时，线段 AD、BD、CD 可以
构成锐角三角形.
解答
当 α ∈ [0, π] 时，arg(z2) = 2π − 2α；当 α ∈ (π, 2π) 时，arg(z2) = 4π − 2α，
所以选 D.
2. 下列四个图形的阴影部分 (不包括边界) 满足不等式 logx(logx y2) > 0 的是 ()
A
B
C
D
解答
当 0 < x < 1 时，logx(logx y2) > 0 ⇒ 0 < logx y2 < 1 ⇒ x < y2 < 1；
BC
CB
则
S△BP F S△ABC
= x2
⇒ S△BP F
= x2, S△P CE
= (1 − x)2, S
P EAF = 2x(1 − x).
记 f (x) = x2, g(x) = (1 − x)2, h(x) = 2x(1 − x), x ∈ (0, 1).
本题即证 max{f, g, h} ⩾ 4. 在同一坐标系中作出 9
则在
△DEC
中，cos θ
=
3 4
+ 3 − x2 4 3
2·
=
1−
2 x2， 3
√…
DO = DE sin θ =
3 ·
1−
4 1 − 2x2
2
=
√ 3
… · 4x2
−
4 x4
=
√ 3
√ · 3x2
−
x4
√2 √
3
23 9
3
1
⇒
VD−ABC
= √3
·
3 4·
3
·
√ 3x2
−
x4
=
1
√ 3x2
−
x4.
图像不再有交点，于是 y = sin x 与 y = lg x
的图像的交点个数为 3. 所以选 C.
5. 若 a > 0, a ̸= 1，F (x) 是一个奇函数，则 G(x) = F (x) ·
11 ax − 1 + 2
是(
)
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 不是奇函数也不是偶函数
D. 奇偶性与 a 的具体数值有关
1984 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、选择题 (本题满分 36 分，每小题 6 分)
1. 集合 S = {z2| arg z = α, α为常数} 在复平面上的图形是
A. 射线 arg z = 2α
B. 射线 arg z = −2α
()
C. 射线 arg z = α 解答
D. 上述答案都不对
设 z = r(cos α + i sin α) ⇒ z2 = r2(cos 2α − i sin 2α)，由于 arg z ∈ [0, 2π)，
+
···
+
xn.
D. 以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动
第2页 共6页
解 答
x = cos ωt,
X = −2xy = − sin 2ωt = cos
3π − 2ωt
,
y = sin ωt,
⇒ Y
= y2 − x2 = − cos 2ωt = sin
2 3π
− 2ωt
,
2
从而点 Q 以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动，所以选 C.
⩾
4； 9
当 P 位于线段 P1P2 上 (不包含端点) 时，N P = OM ⇒ SN = M P1 = F F2，