3-1数列

写出下面各数列的一个通项公式： 【例1】 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； ， ；
(3)－1， － ，
(5)3,33,333,3 333，…. ， 思维点拨：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式， 思维点拨：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式， 要注意项与项数的关系及项与前后项的关系． 要注意项与项数的关系及项与前后项的关系．
已知数列{a 的各项均为正数 的各项均为正数， 【例3】 已知数列 n}的各项均为正数，且Sn＝
求an.
解：当n＝1时，a1＝S1＝ ＝ ∵a1>0，∴a1＝1. ， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 时 － ∴Sn＝ 整理得， 整理得， ∴ ∴ 是以
，∴
＝1.
为首项， 的等差数列． ＝1为首项，公差为 的等差数列． 为首项 公差为1的等差数列
(5)将数列各项改写为 将数列各项改写为 分母都是3，而分子分别是 － 分母都是 ，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， ， 所以a 所以 n＝ (10n－1).
1. 对于形如 n＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项公式，只要 对于形如a ＋ 的递推公式求通项公式， 可求和， 的递推公式求通项公式 只要f(n)可求和，便可利用 可求和 累加的方法； 累加的方法； 2．对于形如 ． 的递推公式求通项公式， 可求积， ＝g(n)的递推公式求通项公式，只要 的递推公式求通项公式 只要g(n)可求积，便可利用 可求积
累积的方法或迭代的方法； 累积的方法或迭代的方法； 3．对于形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)的递推关系求通项公式时，可用迭代 ．对于形如 ＋ 的递推关系求通项公式时， ≠ 且 ≠ 的递推关系求通项公式时 法或构造等差或等比数列法． 法或构造等差或等比数列法．
根据下列条件，确定数列{ 的通项公式． 【例2】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； ， ＋ ； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an. ， ＋ ＋ 思维点拨： 构造等比数列 累乘法 累乘法． 思维点拨：(1)构造等比数列 (2)累乘法． (1)∵ ＋ 2， 1＝ 1)， 解：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ＋ ∴ 1}为等比数列 为等比数列， ＝3，∴数列{an＋1}为等比数列， ， 数列{
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ．在数列 中 ， ＋ A．1 ． B．－ ．－1 ．－ C．－ ．－ a3＝
则a100＝( D．－ ．－2 ．－ ＝－2， ＝－ ，
)
解析： 解析：a2＝－ a4＝－ 答案： 答案：A ＝1，a5＝－ ，
＝－ ，…，∴a100＝a1＝1.
3．已知数列{an}的通项公式是 n＝ ．已知数列 的通项公式是a 的通项公式是 A．递增数列 ． C．摆动数列 ． 解析： 解析：∵an＋1－an＝ ＋ ＝ >0， ， B．递减数列 ． D．常数列 ．
第1讲
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1. 理解数列的概念． 理解数列的概念．
数列的概念
2．了解数列通项公式的意义． ．了解数列通项公式的意义． 3．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列 ．了解递推公式是给出数列的一种方法， 的前几项. 的前几项
1. 数列的有关概念 (1)定义： 按一定次序排成 的一列数．数列中的每一个数都叫做这个数列 定义： 的一列数． 定义 的项， 项记作a 的项，第n项记作 n 项记作 项 (2)通项公式：数列{an}的 第n项an与n 之间的关系可以用一个公式来表示， 通项公式：数列 之间的关系可以用一个公式来表示， 通项公式 的 这个公式就叫做这个数列的通项公式． 递推公式 如果已知数列{a 的 递推公式： 这个公式就叫做这个数列的通项公式．,(3)递推公式：如果已知数列 n}的 或前几项)间 首项(或前几项 ， 任何一项a 与它的前一项a － 或前几项 首项 或前几项)，且任何一项 n与它的前一项 n－1(或前几项 间 的关系可 或前几项 以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
1.
an与Sn的关系式 n＝Sn－Sn－1的使用条件是 的关系式a 时切勿漏掉n＝ 的情 ， － 的使用条件是n≥2，求an时切勿漏掉 ＝1的情 况；
的关系可以消去S 得到关于a 2．利用an与Sn的关系可以消去 n得到关于 n与an－1的关系，也可以消去 n得到 n ．利用 － 的关系，也可以消去a 得到S 与Sn－1之间的关系，借助递推关系的特点构造等差或等比数列，前者可直接 － 之间的关系，借助递推关系的特点构造等差或等比数列， 求出通项a 后者求出S 后再利用a 的关系求a 即可． 求出通项 n，后者求出 n后再利用 n与Sn的关系求 n即可．
提示： 并不是每一个数列都有通项公式 并不是每一个数列都有通项公式， 提示：(1)并不是每一个数列都有通项公式，如每天的股市收盘价构 成的数列就不存在通项公式．(2)如果一个数列有通项公式，那么它 成的数列就不存在通项公式． 如果一个数列有通项公式， 如果一个数列有通项公式 的通项公式在形式上可以不止一个，如数列－ ，－ ，－1,1… 的通项公式在形式上可以不止一个，如数列－1,1，－ …的通项公 式可以写成a 也可以写成a 式可以写成 n＝(－1)n，也可以写成 n＝cos nπ，还可以写成 － ， an＝
3．数列的前n项和 ．数列的前 项和 (1)定义：对于数列{an}，我们把 1＋a2＋…＋an叫做数列 n}的前 项和，并记 定义：对于数列 的前n项和 定义 ，我们把a ＋ 叫做数列{a 的前 项和， 作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. ＋ (2)an与Sn的关系：an＝ 的关系： .
提示：在应用 的关系式时要分n＝ 和 ≥ 两种情况讨论 两种情况讨论， 提示：在应用an与Sn的关系式时要分 ＝1和n≥2两种情况讨论，最后检验 两 种情况能否合用一个式子表示，若不能，就用分段形式表示． 种情况能否合用一个式子表示，若不能，就用分段形式表示．
－ n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23n－1， 时 － － 因此，当b＝－ 时，a1＝2适合 n＝23n－1， 因此， ＝－1时 适合a ＝－ 适合 － ∴an＝23n－1. － ≠－1时 3＋ 不适合 不适合， 当b≠－1时，a1＝3＋b不适合，an＝23n－1，
(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值 偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子 － ＋ 偶数项为负 组成的数列，从第 项到第 项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则 项到第6项可见 组成， 组成的数列，从第3项到第 项可见，分母分别由奇数 组成 是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，原数列的第 、2两项可改写为 ，按照这样的规律，原数列的第1、 两项可改写为
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从 ．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着 从 特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的， 特殊到一般 的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检 的思想 验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 对于正负符号变化，可用 － － ＋ 来调整． 3．观察、分析数列的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与 ．观察、分析数列的特点是最重要的，观察要有目的， 项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列 如自然数 项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数 建立合理的联想、 列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决． 奇偶数列等 建立合理的联想 转换而使问题得到解决．
公比q＝ ， 公比 ＝3，又a1＋1＝2. ＝
－ － ∴an＋1＝23n－1，∴an＝23n－1－1. ＝
(2)∵an＋ห้องสมุดไป่ตู้＝(n＋1)an，∴ ∵ ＋ ＋ ∴ ＝n， ， ＝3， ， ＝n－1，… － ，
＝n＋1， ＋ ，
＝2，a1＝1， ， ，
累乘可得： 累乘可得：an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1. × － × － × × ×
1．数列－3,7，－ ．数列－ ，－ ，－11,15，…的一个通项公式是 的一个通项公式是( ， 的一个通项公式是 A．an＝4n－7 ． － C．an＝(－1)n(4n－1) ． － － 答案： 答案：C
)
B．an＝(－1)n(4n＋1) ． － ＋ D．an＝(－1)n＋1(4n－1) ． － ＋ －
，那么这个数列是( 那么这个数列是
)
数列{a 为递增数列 为递增数列． ∴an＋1>an，数列 n}为递增数列． ＋ 答案： 答案：A
4．已知数列{an}的前 项和 n＝3n－2，则数列的通项为 ．已知数列 的前n项和 的前 项和S ，则数列的通项为________． ． 解析： 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ， －
－ 知：an＝3n－2－3n－1＋2＝23n－1. － － ＝
当n＝1时，a1≠S1，∴an＝ ＝ 时 答案： 答案：an＝
1.
根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点， 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用 添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求． 添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求．
各项减去1 解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. 各项减去 后为正偶数， ＋ (2)每一项的分子比分母少 ，而分母组成数列 1,22,23,24，…， 每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2 每一项的分子比分母少 所以a 所以 n＝ (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 － 奇数项为负 分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 ， 分母组成数列 而各项绝对值的分子组成的数列中， 1，偶数项为3，即奇数项为 －1，偶数项为 ＋1， ，偶数项为 ，即奇数项为2－ ，偶数项为2＋ ， 所以a 所以 n＝(－1)n － 也可写为a 也可写为 n＝
2．数列的性质 ． (1)单调性：若 单调性： 单调性 若 an＋1<an ＋ an＋1>an ＋ 为递增数列． ，则{an}为递增数列． 为递增数列
为递减数列． ，则{an}为递减数列． 为递减数列
(2)周期性：若 ak＋n＝an (n∈N*，k为非零正整数 ，则{an}为周期数列， 周期性： 为非零正整数)， 为周期数列， 周期性 ∈ 为周期数列 ＋ k为{an}的一个周期． 的一个周期． 的一个周期 提示：数列的单调性的判断等价于函数单调性的判断， 提示：数列的单调性的判断等价于函数单调性的判断，但数列作为一类特 殊的函数具有本身的某些特点，可直接比较相邻两项 殊的函数具有本身的某些特点，可直接比较相邻两项an与an＋1的大小来确定 ＋ 单调性． 单调性．
拓展2：将本例(2)中的an＋1＝(n＋1)an改为an＋1＝an＋n＋1，求通项公式an. 拓展2 将本例(2)中的 ＋ ＋ 改为 ＋ ＋ ，求通项公式 (2)中的 解：∵an＋1＝an＋n＋1， ＋ ， ＋ ∴an＋1－an＝n＋1， ＋ ， ＋ ∴an－an－1＝n， ， － an－1－an－2＝n－1， － ， － － a3－a2＝3， ， a2－a1＝2， ， 以上n－1个式子相加得： 以上 － 个式子相加得： 个式子相加得 an＝1＋2＋3＋…＋n＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
＝1＋(n－1)1＝n. ＋ － ＝ ，又S1＝a1＝1，满足此式， ，满足此式，
∵an>0，∴Sn＝ ，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ ≥ 时 － ∵ ＝1＝a1，∴当n∈N*时，an＝ ＝ ∈
变式3 已知数列 的前n项和 的通项公式． 变式3：已知数列{an}的前 项和 n，若Sn＝3n＋b，求{an}的通项公式． 的前 项和S ， 的通项公式 解：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b， ＝ 时 ＋ ，