高二数学同步测试：圆锥曲线综合

圆锥曲线、简易逻辑综合
1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b
y a x 的离心率为 （ ）
2．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为______
3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 1
2
,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）
4．若过原点的直线与圆2
x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ） 5．椭圆13
122
2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|
的____倍
6．动点P （x , y
）满足|3410|x y =+-，且P 点的轨迹是椭圆，则a 的取值范围
是 ．
7．双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为5
9
=
x ,则双曲线方程为___________ 8．已知命题p ：若实数y x ,满足022=+y x ，则y x ,全为零。

命题q ：若b a >，则
b
a 1
1<，给出下列四个复合命题：①p 且q ②p 或q ③非p ④非q ，其中真命题是 。

9．设点P 是双曲线132
2
=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+2
1|PF |有最小值时，则点P 的坐标是______________________________．
10. 已知p ：| 2x －3 |＞1；q ：1
x 2+x －6>0，则┐p 是┐q 的_________条件
11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭
圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．
以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13
72
2=+y x 的公共点有 个.
13．设12,F F 分别是椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，若在其右准线存在点P ，使线段1PF 的
中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围__________________.
14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值
为 . 15．如图，F 1，F 2分别为椭圆122
22=+b y a x 的左、右焦点，
点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形， 则b 2的值是 。

16．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若
BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为______________
17已知命题p ：方程022
2=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式
2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
18、双曲线C 的中心在原点，右焦点为⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛0,332F ，渐近线方程为x y 3±=. （1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线l ：1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆
过原点
19. 已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，
1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．
20．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为2
3
，点A 、B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为5
5
6。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点E(3, 0)，设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求QP EP ⋅的取值范围。

参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．
127
362
2=+y x 12．3022<+<n m , 2 13． 14． 25
15. 16. x y 32=
17
]
22222:20(2)(1)021
021
1,1,||1||1,||1220.22480.02,""||10"""|100a x ax ax ax a x x a a x a a a
x ax a y x ax a x a a a p q a a P Q a a a a +-=+-=≠∴=-=
⎡∈-≤≤∴≥⎣++≤=++∴∆=-=∴=∴≥=∴-<<< 解由，得，
显然或故或“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或命题或为真命题"时或命题或为假命题
的取值范围为或}
{1< 18（Ⅰ）设双曲线的方程是()001-2222>>=b a b
y a x ，，则332=c ，b a =
又2222,1c a b b =+∴= ， 3
1
2
=
a ， 所以双曲线的方程是1322=-y x .
（Ⅱ）① 由2
2
1,
31,
y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()
02232
2
=---kx x k ，
由03,02≠->∆k 且，得,66<<-k 且 3±≠k . 设()11,y x A 、()22,y x B ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OB OA ⊥， 所以 12120x x y y +=. 又12223k x x k -+=
-，12
22
3
x x k =-， 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=， 所以
2
2
103
k +=-，解得1±=k . 19. [解析]：（1）当时，1=a ,2
x y =表示焦点为)0,4
1(的抛物线；（2）当10<<a 时，1
1)1(
)
1(2
2
22
2
=-+
---a a
y a
a a a
x ，表示
焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，
11
)
1()1(22
22
=-----
a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐
近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故
设双曲线C 的方程为12
2
22=-a
y a x ．
又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x . （2）由⎩⎨⎧=-+=1
12
2y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪
⎩⎪
⎨⎧>--<->∆0120120
22
m m m
且，解得21<<m ．又AB 中点为)11
,
1(2
2m
m m --， ∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=
x m m y ． 令x =0，得8)4(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,
1(∈m ，∴)1,22(8
17)4
1(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．
20．解：（1）由离心率e =
2
3=
a c ，得2112
=-=e a b ，所以a = 2b ① 因为原点O 到直线AB 的距离为556，所以55
622=
+b
a a
b ② 由①代入②得b 2
=9，所以a 2
=36，则椭圆C 的标准方程是
19
362
2=+y x （2）因为EP ⊥EQ ，所以⋅=0，所以2
)(=-⋅=⋅
设P(x , y )，则
193622=+y x ，即y 2
=9–4
2x 所以⋅=6)4(4
3)49(96)3(222
222+-=-++-=+-=x x x x y x
因为–6≤x ≤6，所以6≤2
)4(4
3-x +6≤81，所以QP EP ⋅的取值范围为[6，81]。