湖南省衡阳市八中2006届高三数学第一次月考试题 理

衡阳市八中2006届高三第一次月考数学试题卷（理科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、口袋中有5只球，编号为1、
2、
3、
4、5，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则=ξE （ ） A. 4 B. 5 C. 4.5 D. 4.75 2、设函数f(x)=e 2x
－2x,则
1
)
(/0
l i m
-→x x e x f 的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4
3、设f(x)在(a,b)内可导，且任意x ∈(a,b) f /
(x)>0，已知f(x)的定义域为[ a,b]时且f(a)<0 ，则f(x) 在(a,b) 上( ) A ．单调递增且f(b)>0 B ．单调递减且f(b)>0 C ．单调递减且f(b)<0 D ．单调递增且f(b)的正负不确定
4、已知二面角α—l —β为60°，若平面α内有一点A 到平面β
那么A 在平面β内的射影B 到平面α的距离为（ ） A
．
5、如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的，数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，……，记其第n 项为a n ，则a 19等于（C ）A ．11 B ．12 C ．55 D ．78
6、如图, 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, P 是侧面BB 1C 1C 内一动点, 若点P 到直线BC 的距离是点P 到直线C 1D 1距离的2倍, 则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线
7、 设函数⎩
⎨
⎧><-=则下列结论不正确的是,)0()
0)(lg()(x x x x x f
A. 1)(lim 10
=-→x f x B. 0)(lim 0
=-→x f x C. 0)(lim 1
=--→x f x D. 2)(lim 2
=+
→x f x 8、lim ∞→n )52515251525
1(212432n
n ++++++
- ＝ A.14 B.12 C.24
7 D. 1
3 9、已知函数)(x f y =
则)(x f y =的图象可能是（D ）
10、已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在1±=x 处的切线斜率
均为－1，给出以下结论：①)(x f 的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且仅有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、已知函数f(x)=12-ax ，且f ‘
（1）=2，则a 的值为_____________.
12、已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调, 则字母,,a b c 应满足的条件是------------------------。

13、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为4， 在底面ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°， 则异面直线CB 与AB 1所成的角是__________
14、某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，可得收益60000元，如出海后天气变坏将损失80000元，若不出海无论天气好坏将损失10000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气概率为40%，该公司如何决策 （出海或不出海）
15、关于函数⎪⎩⎪
⎨⎧<≥=)
0(2)0(21)(x ax
x ax
x f (a 是常数且a ≠0)，给出下列命题：①它是一个奇函数；
②它在每一点都连续；③它在每一点都可导；④它是一个增函数；⑤它有反函数．其中不正确．．．
的命题序号是 ．
三. 解答题(本大题共6小题,16、17题为12分，18、19、20、21题为14分，共80分)
16、A 、 B 两点之间有 6 条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 4. 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 . （ I ）设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ，当 x ≥ 6 时，则保证信息畅通 . 求线路信息畅通的概率；（ II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望 .
17、函数为实数并且是常数a x x a x f ()(
)(9+=)（1）已知)(x f 的展开式中3x 的系数为4
9，求常数.a （2）是否存在a 的值，使x 在定义域中取任意值时，27)(≥x f 恒成立？如存在，求出a 的值，如不存在，说明理由
.
18、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ， CB=3，AB=4，∠A 1AB=60°.（Ⅰ）求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1-所成角的正切值；（Ⅲ）求点C 1到平面A 1CB 的距离.
19、用总长14.8m 的钢条制做一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积的最大?并求出他的最大容积.
A C
B
A 1 1 C 1
20、已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f .（1）若)(x f 的单调减区间为（0，4），求k 的值；（2）当k x >时，求证x
x 132->.
21、函数bx
a x f 211
)(⋅+=的定义域为R ，且*)(0)(lim N n n f n ∈=-∞→（1）求证：a >0,b<0；（2）
若]1,0[)(,5
4
)1(在且x f f =
上的最小值为21，试求f (x )的解析式；
（3）在（2）的条件下记),)(()2()1(N n n f f f S n ∈+++= 试比较 )(2
1
211
N n n S n n ∈+
+
+与的大小并证明你的结论.
衡阳市八中2006届高三第一次月考数学参考答案（理科）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 2.12. 0,3a c b ==≤.13. 出海. 15. ①③④. 三. 解答题(本大题共6小题,16、17题为12分，18、19、20、21题为14分，共80分)
16、解：（I ）41
1)6(,63214113
6
1
212=⋅+==∴=++=++C C C x P
)
6(4
3
1012034141)6()4(10
1
202)9(,943220
3
)8(,842243141
205)7(,7322421分分=
+++=≥∴=
==∴=++=
=∴=++=++==
=∴=++=++x P x P x P x P
（II ）)8(20
3)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++=
==++x P x P ∴线路通过信息量的数学期望
5.610
1
9203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
= （11分） 答：（I ）线路信息畅通的概率是4
3
. （II ）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）
17、解（1）T r+1=C 9239999
)()(---=r
r r r r r
x a C x x
a
由3923=-r 解得8=r ……3分
49
8
989=
-a C 4
1=∴a ……6分 （2）),0()()(9
+∞∈∴+=x x x a x f 要使（27)9
≥+
x x
a
只需31
3≥+x x
a
……8分
10
当0>
a 时，设x a x g +=)( 3
2
21
2)2(0
1)(a x x ax x g ==+-='--
9
434
3
)2()
2()(3
13
13
3
23
2min ≥
∴≥=
+=
∴a a a a a x g ……10分 20当0=a 时，不成立 30
当1-<a 时，不成立 故当27)(9
4≥≥x f a 时……12分
另解法 34322)(a x x x a x x a x g ≥++=+= 只需9
4,34331
3≥≥⋅a a 即
18、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ， CB=3，AB=4，∠A 1AB=60°. （Ⅰ）求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； （Ⅲ）求点C 1到平面A 1CB 的距离. 解：（Ⅰ）∵四边形BCB 1C 1是矩形， ∴BC ⊥BB 1， 又∵BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面A 1ABB 1， ∴平面CA 1B ⊥平面AA 1BB 1， （Ⅱ）过A 1作A 1D ⊥BB 1于D ，连接DC ，
∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面C 1B 1BC ， ∠A 1CD 为直线A 1C 与平面C 1B 1BC 所成的角，
∴.1339
213
32tan 11===
∠CD D A CD A （Ⅲ）由棱柱定义知B 1C 1//BC ，∴B 1C 1//平面A 1BC ，
∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离，
∵四边形A 1ABB 1是菱形，连AB 1交A 1B 于O ，∴B 1O ⊥A 1B ， ∵平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ， ∴B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离.
又已知AB=4，∠A 1AB=60°，∴在菱形A 1ABB 1中， B 1O=32，∴C 1到平面A 1BC 的距离为32.
19、解:设容器底面积短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为
4
)
5.0(448.14+--x x =3.2-2x.
由 3.2-2x>0和x>0得0<x<1.6,设容器的容积为vm 3
,则有V=x(x+0.5)(3.2-2x) (0<x<1.6)即:V=-2x 3
+2.2x 2
+1.6x.∴V /
=-6x 2
+4.4x+1.6.令V /
=0得-6x 2
+4.4x+1.6=0 即x 1=1,x 2=-15
4
(舍去).∴在(0,1.6)内只有x=1处使V /
=0.由题意,若x 过小(接近0)或过大(接近1.6)时,V 很小(接近0),因此,当x=1时y 取得最大值. y 大=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为3.2-2×1＝1.2
答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为1.8m 3
.
A C
B A 1 B 1
C 1
20、已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f .（1）若)(x f 的单调减区间为（0，4），求k 的值；（2）当k x >时，求证x
x 1
32-
>. 解（1）0)1(63)(2<+-='x k kx x f 的解集为（0，4），0、4是3kx 2
-6(k+1)x=o 的两根，
所以
1,4)
1(2=∴=+k k
k （2）要证x
x 1
32-
>，只要证)1()13(423>->x x x 令=--=23)13(4)(x x x g 16942
3
-+-x x x ，
则当1>x 时，0)1)(12(6)132(6)(3
>--=+-='x x x x x g
),1()(+∞∴在x g 上递增，0)1()(=>∴g x g 即0)(>x g 成立，原不等式得证
21、函数bx a x f 2
11
)(⋅+=
的定义域为R ，且*)(0)(lim N n n f n ∈=-∞→ （1）求证：a >0,b<0； （2）若]1,0[)(,5
4
)1(在且x f f =
上的最小值为21，试求f (x )的解析式；
（3）在（2）的条件下记),)(()2()1(N n n f f f S n ∈+++= 试比较 )(2
1
211
N n n S n n ∈+
+
+与的大小并证明你的结论. 解（1）∵f (x )定义域为R ，,0.0,2,021=≥∴∈-≠≠+∴-a a R x a a bx bx 若而即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><><>∴=+<<=
⋅+=-∴>∴=-=-----∞→∞
→∞
→)
12(0.0,0,012)12(11
)120(1211
lim
)(lim ,0,0)(lim 1)(b
b b b bx
n n n b a b a
a n f a n f x f 故即矛盾与
（2）由（1）知f (x )在[0，1]上为增函数，==∴=+=
∴)1(,1,2
1
11,21)0(f a a f 即
21
2
1,*,2121)()3()2()1(,1411
1)(:
,21
21,*)3(.
4111414211)(,2,412,542111112+
+<∈∴>++<++++∴<--=++<∈+-=+=+=∴-=∴=∴=⋅++++-n n n k n n x
x x x b
b n S N k n n n
n f f f f k f n S N k x f b a 时而证明如下时当。