2016北大博雅计划数学试题详解(高三)
北大博雅计划笔试真题
北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
2016年高考北京卷文数试题解析(正式版)(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作绝密★启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2x xy-==在R上单调递减可知D符合题意，故选D.考点：函数单调性（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）925【答案】B 【解析】试题分析：从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P ==，故选B.考点： 古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8 【答案】C考点： 函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63a7560637270a −1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D ）9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B 【解析】试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年高考北京卷理数试题解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析学而思高考研究中心－成文波、邓杨、邓一维、高杨凯钰、韩晓东、哈茹雪、马佛青、问延炜、吴承峰、吴一炯、王睿瑶、武洪姣、杨连锋、张剑、赵铭雪1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =- .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.3. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b - 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b - 成立，则以a ，b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πs i n 2()s i n 23y x s x ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10-=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴∵222a c b +=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4A C +=cos A C +()A A A =+A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD ∵PA PD =∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =-，，，(210)CD =-- ，，设n为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅ 故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
北大博雅自主招生数学真题
辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。
2016年高考真题——理科数学(北京卷)解析(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|||2}A x x=<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B=（）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}- D.{1,0,1,2}-【答案】C考点：集合交集.2.若x，y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当yxz+=2经过点P时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.考点：线性规划.3.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4开始输入ak =0,b =aa =b 输出k结束k =k +111a a=-+否是【答案】B考点：算法与程序框图4.设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）xy OPA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积. 5.已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C考点： 函数性质6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16B.13C.12D.1【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.7.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6π B.32t =，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3π D.32t =，s 的最小值为3π【答案】A考点：三角函数图象平移8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.考点：概率统计分析.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.设a R∈，若复数(1)()++在复平面内对应的点位于实轴上，则i a ia=_______________.【答案】1-.【解析】试题分析：(1)()1(1)1++=-++∈⇒=-，故填：1-.i a i a a i R a考点：复数运算10.在6-的展开式中，2x的系数为__________________.（用数(12)x字作答）【答案】60.考点：二项式定理.11.在极坐标系中，直线cos3sin10ρθρθ-=与圆2cosρθ=交于A，B 两点，则||AB =______. 【答案】2 【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为310x y --=过圆22(1)1x y -+=圆心，因此2AB =，故填：2.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6 【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6． 考点：等差数列基本性质.13.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2考点：双曲线的性质14.设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】试题分析：如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15.（本小题13分） 在∆ABC 中，2222+=+a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（2）求2cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1.22cos cos()224A A A π=+=-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=时，2cos A C +取得最大值1.考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理. 16.（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为μ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3）10μμ<.3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P（3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<. 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数 17.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（23；（3）存在，14AMAP=【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面PAD ；根据线面垂直性质定理可知PD AB ⊥，再由线面垂直判定定理可知⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法可求出直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A ，P ，M 三点共线，设AP AM λ=，根据//BM 平面PCD ，即0=⋅n BM ，求λ的值，即可求出AM AP的值.试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB⊥，AB平面PAD，所以PD又因为PDPA⊥，所以⊥PD平面PAB；考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 18.（本小题13分） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值； （2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.考点：导数的应用. 19.（本小题14分） 已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）3，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据离心率为2，即2c a =，OAB ∆的面积为1，即112ab =，椭圆中222a b c =+列方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN ，||BM 的值，求其乘积为定值.228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.20.（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ； （3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何iim n k i a a a m k <≤<≤,1.从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .考点：数列、对新定义的理解.。
自主招生数学真题200道解析
0
(x )2n1(1 sin2n x)dx (x )2n1(1 sin2n x)dx 0
0
0
007（2016 年北京大学自主招生）
已知 x y z 2016, 1 1 1 1 ，则 (x 2016)( y 2016)(z 2016) ______ x y z 2016
A.-1
B.0
C.1
D.前三个答案都不对
（2016 年北大博雅 15）设 x3 3x2 y3 3y2 z3 3z2 m ，则 x, y, z 是关于 t3 3t2 m 的三个实数根，
其中 m 为常数，由韦达定理可以， x y z 3。
010（2016 年北京大学博雅计划）
2017 自主招生必刷真题 200 道——数学解析
已知 a b c 1，则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值与最小值乘积属于区间（ ）. A.[10,11) B.[11,12) C.[12,13) D.前三个答案都不对
自主招生数学真题 2 0 0 道
分类汇编
1/110
目录
（一）代数式变形 ............................................................................................................................................. 3 （二）复数、平面向量 ................................................................................................................................... 18 （三）函数与方程 ........................................................................................................................................... 24 （四）三角函数 ............................................................................................................................................... 44 （五）概率 ....................................................................................................................................................... 54 （六）平面几何与立体几何 ........................................................................................................................... 59 （七）解析几何 ............................................................................................................................................... 74 （八）数列 ....................................................................................................................................................... 84 （九）数论 ....................................................................................................................................................... 95 （十）排列、组合与二项式定理 ................................................................................................................. 100
2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
的值为
万方数据
（ ）
Ａ．
－
１ １６
Ｂ．
－
１ ３２
Ｃ．
－
１ ６４
Ｄ．前三个答案都不对
８．设 ａ，ｂ，ｃ 为实数，ａ，ｃ ≠ ０，方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝
∑ ０
的两个虚数根为
ｘ１ ，ｘ２
满足 ｘ２１ ｘ２
２０１５
为实数，则
ｋ＝０
æ ｘ１
ç
è ｘ２
ö
÷
ø
ｋ
等于
（ ）
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ． ３ ｉ Ｄ．前三个答案都不对
ＢＣ 的长为
（ ）
Ａ．１１ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．前三个答案都不对
１１．两个圆内切于 Ｋ， 大圆的弦 ＡＢ 与小圆切于
Ｌ，已知 ＡＫ ∶ ＢＫ ＝ ２ ∶ ５，ＡＬ ＝ １０，则 ＢＬ 的长为
（ ）
Ａ．２４ Ｂ．２５ Ｃ．２６ Ｄ．前三个答案都不对
１２．ｆ（ ｘ） 是 定 义 在 实 数 集 Ｒ 上 的 函 数， 满 足
理和勾股定理，可得
{２４·１８ ＝ ＡＥ·ＥＢ ＝ （ ｒ ＋ ＯＥ） （ ｒ － ＯＥ） ＝ ｒ２ － ＯＥ２ ， ２４２ ＝ ｒ２ ＋ ＯＥ２ ，
把它们相加后，可求得 ＯＥ ＝ ６ ２ ．
图 １ 图 ２
解法 ２ Ｃ．如图 ２ 所示，连结 ＣＦ，可得 △ＤＯＥ ∽ △ＤＦＣ，
所 以 ＤＯ ＤＦ
＝
ＤＥ， ＤＣ
ＤＯ ２４ ＋ １８
＝
２２Ｄ４Ｏ，ＤＯ２
＝
１２ · ４２，ＯＥ
＝
ＤＥ２ － ＯＤ２ ＝ ２４２ － １２·４２ ＝ ６ ２ ．
４．Ｄ．由 ｘ ∈ （０，１） 知，在 ｆ（ ｘ） 的解析式中可不妨设 ｐ，ｑ ∈ Ｎ∗ ，ｐ ＞ ｑ，（ ｐ，ｑ） ＝ １．
2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
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2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
6月11日下午，北大进行了为期6个小时的博雅计划笔试考试。
文理科全部考5门，试题全部为客观题。
博雅计划笔试考试形式
笔试时间：6月11日下午1点到7点
笔试科目：
文科——语文、数学、英语、历史、政治
理科——语文、数学、英语、物理、化学
笔试形式：上半场语文数学英语三科，中间休息20分钟下半场两科，每科1小时。
据其介绍，语数外考了三个半小时，休息半个小时后，再考两个小时专业课，理科考生考物理化学，文科考生考历史政治。
试卷结构：全部客观题
科目分数：每科100分，共计500分
博雅计划笔试题目
文科语文的作文为命题作文“网络中的我”，字数500字。
一位北京的理科考生认为，作文题目与高考不太一样，用比较少的字数说明自己的观点，有些难度，但他表示物理题目最难，很多都不会。
另一位考生也称，物理题超过了高考大纲考试形式，难度很大。
考察方向
北大招办相关负责人介绍，在“博雅计划”的测试中，北大的考核主要通过笔试和面试两种方式，笔试侧重考查学生的基础学业能力和学习潜质，面试侧重于考查学生的个人志趣、逻辑思考与批判性思维、领导力、人文情怀等。
2016年清华领军北大博雅计划名单(差浙江领军计划)
杨斯涵 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 洪毅凡 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 降 曹柠 10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 谢笑旸 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 张祎璇 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 王骏涵 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 孙殿咏 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 毕越芃 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 许鹤凡 降40分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 40 标准分 分以内，且同时达到当 :81分 降 丁馨 20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 于惠然 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 王睿筱 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 石沛艳 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 李柏瑶 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 陈心怡 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 降 蒋莹 20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 魏思迪 降60分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 60 标准分 分以内，且同时达到当 :93分 段星仪 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 降 邓祺 60分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 60 标准分 分以内，且同时达到当 :93分 毕晓宇 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 刘善韬 降50分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 50 标准分 分以内，且同时达到当 :87分 李东庭 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 李孝天 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 李瀚祎 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 吴士荀 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 何章恺 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 赵铂琛 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 蒋思聪 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 靳立晨 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 王世因 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 王玥洁 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 关艾 女 北京 北京市第四中学 降至当地同科类本科一批控制线录取 博雅人才培养计划 标准分:99分 张馨心 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 陈明如 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 傅涵浩钰 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 贾旺东 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第四中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 马思浩 降30分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 30 标准分 分以内，且同时达到当 :75分 桂思博 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 郭一苇 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 于晨昕 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 刘逸隽 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 孙宁远 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 降 吴悠 20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 男 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 张雨暄 降10分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 10 标准分 分以内，且同时达到当 :63分 张云燕 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我校在当地同科类模拟投档线分数下 女 北京 北京市第八中学 博雅人才培养计划 20 标准分 分以内，且同时达到当 :69分 杨涵崴 降20分录取（考生高考投档成绩须达到我�
北大博雅数学2016
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1. 直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D.前三个答案都不对2. 已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.前三个答案都不对3. 设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对4. 函数()1,,,,,()0q x p q p q N p p f x x Q *⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩==1，，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对5. 若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A. 13-B. 9-C. 5-D. 前三个答案都不对6. 已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对7. 210cos cos cos111111πππ的值为（ ） A. 116- B. 132- C.164- D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） A. 1 B. 0 D. 前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（ ）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D. 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）A.0B.12 C.13 D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A.1-B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c ++=（ ）A.[10,11)B. [11,12)C.[12,13)D. 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对 18.1!2!2016!+++除以100所得的余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解组数为（ ）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x x x +++=的所有实根的平方和等于（ ）A.0B. 2C.4D.前三个答案都不对。
2016年北京大学博雅计划试题
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1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 , , , , , , , , , , . 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 a = −c − 10, b = 3c − 3, ) C. − 1 64
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)
D. 前三个答案都不对
)
D. 前三个答案都不对
根据题意，有
(x2 − 3x − 1)(x2 + 3x − c) = x4 + ax2 + bx + c,
2016 年北京大学博雅计划试题
兰琦 2017 年 1 月 4 日
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题⺫要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得
1. 直线 y = −x + 2 与曲线 y = −ex+a 相切，则 a 的值为 ( A. −3 解析 A． B. −2
C. −1
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解得 f (0) = f (1) = f (−1) =
13. 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 ( A. 30 解析 A． B. 36 C. 42
// la nq i
D B ∠DKM = ∠BAK = ∠KLM, 2f (0) + f (−1) = 1, 2f (1) + f (0) = 1, 2f (−1) + f (0) = 1, 3×9+ 1×9 = 30. 3
10. 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， D, E 是线段 BC 上的点， F 是 CB 延长线上的点，已知 BF = 4 ， BD = 2 ， BE = 5 ， ∠BAD = ∠ACD ， ∠BAF = ∠CAE ，则 BC 的长为 ( B. 12 A．如图． A C. 13 )
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2016北大博雅计划数学试题详解(高三)
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她将使你的数学能力和数学思想方法锦上添花！（解答/艾书学）（责编：许兴华）恭喜您获得了1次抽奖机会！广告首先，本文非常感谢艾书学老师给出手写体的详解，同时也感谢兰琦和刘建老师提供试题！2016年北京大学博雅计划数学试题及详解选择题(共20小题，在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把正确选项填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分）1.直线y=-x+2与曲线相切，则a的值为（）A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边分别为a,b,c,有以下四个命题：存在，其中正确命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.前三个答案都不对3.设AB，CD是圆O的两条垂直直径，弦DF交AB 于点E，DE=24，EF=18，则OE=( )
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