2018年北京大学博雅计划试题和解析
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
(完整)北京大学2018年博雅人才培养计划试题
北京大学2018年博雅人才培养计划试题一、选择题1．以下带点的汉字读音相同的一组是（）A．薄．田薄．地B．干劲．劲．旅C．不胜．枚举胜．利D．溃．烂溃．脓2．下列各组词语中加点的字读音相同的一组是（ )A．中．药大黄山中．大王B．埋．怨埋．藏C．伐木丁丁．．丁丁．．漏水夜何长D．曝．晒曝．光3．下列词语中用字正确的一组是（）A．自暴自弃针贬时弊比比皆是寥若晨星B．含辛茹苦拭目以待穿流不息绿树成荫C．书画精萃浮想联翩迥然不同跌宕起伏D．英雄气概美轮美奂变本加厉眼花缭乱4．以下有三个错别字的一组词是（）A．编篡床第之私沉湎渲泄B．灸手可热饮鸩止渴世外桃源大拇指C．趋之若骛追溯额手称庆发韧D．磬竹难书青睐痉挛一幅对联5．以下句子中,没有错别字的是( ）A．西亚国家以色列开源截流，技术用水，使水资源得以充分合理地利用，其经验值得各国借鉴。
B．他执着地追求自己的理想，不为世俗嘲笑所动，将伤痕变成自己的勋章,将旁观者的垢骂作为自己的踏脚石，一步步地向梦想进发。
C．而斯巴达却完全相反，那是一个贫瘠而且了无生趣的国家.D．那些人正虎视耽耽地积极搜寻这批“宝藏”。
6．以下繁简对应不正确的一组是( ）A．简体：干细胞繁体：乾細胞B．简体：姜太公繁体：姜太公C．简体：瞭望繁体:瞭望D．简体：肤色繁体：膚色7．以下各组中带点的字在繁体字中没有共同偏旁的一组是（）A．喜欢．参观．权．力灌．溉鹳．鸟B．挑拣．练．习锤炼．楝．树阑．干C．遥远．花园．猿．猴轩辕．袁．氏D．了．解明了．瞭．望官僚．了．结8．以下对“陈留,天下之衝"中“衝”字解析有误的是（）A．“衝"是形声字B．“衝”的意符是彳C．“衝”的本义为交通要道D．“衝"字简化后写作“冲”9．以下四个字按笔画多少排列的一组是（）A．谀象鼎溪B．象谀溪鼎C．谀鼎象溪D．溪鼎谀象10．以下各组汉字，按字形结构“象形→指事→会意→形声"排列的是（）A．虎、夕、朝、大B．眉、中、取、遘C．鼎、亦、伐、莫D．车、问、甘、和二、阅读下文，回答下列问题孔子的洒脱周国平我喜欢读闲书,即使是正经书，（1）当闲书读.譬如说《论语》，林语堂把它当作孔子的闲谈读,读出了许多幽默，这种读法就很对我的胃口。
2018北京大学自主招生试题(含语文数学英语)
北京大学【注意事项】本试卷分为语文、数学、英语三部分。
【考试时间】3 个小时语文部分【注意事项】本试卷语文部分分为基础知识题和阅读题两部分．一共 50 道选择题。
第Ⅰ卷（基础知识题）1．【真题】对下面一首诗的赏析，不恰当的一项是（）海臧克家从碧澄澄的天空，摸着潮湿的衣角，看到了你的颜色：触到了你的体温；从一阵阵的清风，深夜醒来，嗅到了你的气息：耳边传来了你有力的呼吸。
（1956 年）A．诗人用平实的语言．分别从视觉、嗅觉、触觉、听觉四个方面写出了他对大海的感受。
B．这首诗反映了诗人对大自然壮观的惊喜，也反映了他的人生哲学，表现了一定的人生哲理。
C．由远而近、从白天到夜晚，大海给诗人的感觉不尽相同，这些形成了全诗的发展层次。
D．诗人将自己的感觉加以升华，使大海人格化、生命化、向我们展示出大海的整体形象。
4．【真题】下列各句中使用，全部正确的一项是（）①在称雄之前，刘备成功地把自己装扮成一个胸无大志的庸才，这一韬光养晦的做法让他得以与强大的曹操和孙权一起称雄三国时代。
②“手如柔荑，肤如凝脂”，《诗经·硕人》通过对齐女庄姜的细腻描绘，刻画了一个珠圆玉润、亮丽动人的古典美人。
③自 8 月 1 日滴滴收购优步中国的消息正式宣布后，网上盛传商务部反垄断局已两次约谈滴滴并依法进行调查，滴滴对此讳莫如深。
④由于缺少有效监督，《公共场所控烟条例》在许多地方沦为一纸空文，只有真正令行禁止，才能达到公共场所“无烟化”的目标。
⑤城市规划大师卡罗琳·博斯在做主题演讲时说，城市环境和建筑休戚相关，所以要改善城市环境不能忽视城市建筑的整体规划。
⑥他此时正心事重重，尽管窗外鸟语花香，一片春意盎然，他也目不窥园，无心欣赏，还时不时的叹上一口气。
A．①②⑤B．①③④C．②⑤⑥D．③④⑥5．【真题】下图是两副吟咏郑成功的对联，请依文意与对联组成原则，选出最适合填入甲、乙、丙、丁处的内容（）四镇多贰心，两岛屯师。
（丙）南天留祠宇，雄图虽渺。
北京大学2018年博雅计划数学真题
二3牛日刚叼北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1.设〃为正整数，C：=,“，为组合数,则30*8 + 50^+...+ 4037黑等于( )k\(n-K)\A. 2018-22018B. 2018!C. C：黑D.前三个答案都不对【答案】D解析：2k + 1)C：= 2，kC： + £c：= 2±nC^ += 2n±C^ +，k=0Jt=0 k=0Jt=l £=0 Jt=l £=02018 201S 2018「•+ 3c短 + 5c短 + …+ 4037C；黑=£(2八1)C*§ = 2 x 2018 x £ C/ + £ C机A=0 £=1 jt=0=4036x22017 + 22018 = 2019x22O1S,故选Do2.设o, b, c为非负实数，满足o+b+c=3,则。
+ob+obc的最大值为( )A. 3B.4C. 372D.前三个答案都不对【答案】B解析：a + ab + abc = a(l + b(l + c))<a[ 1+ + c) =。
i + __—,对其求导得至= 2时取I 4 J I 4 J最大值为4。
3. 一个正整数〃称为具有3-因数积性质若〃的所有正因数的乘积等于/,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为()A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C解析：设〃的所有正因数的乘积为八即T = 〃、〃显然符合题意；下面证明当〃之2时，正整数〃的质因数的个数最多为2：假设〃的质因数的个数大于或等于3,即〃的全部质因数为P]，P”...，P A.伏之3),并设〃= pfpj...p『，则〃的所有正因数的乘积中，p：(i = L2,…公至少在,p：p],有p?,,p：p,T,p；，p：p k,p：p2...p k这些因子中出现，即R%出现的次数大于或等于4,这样7"之(p;p/...pf*)4=〃>这与题意r = 〃3 矛盾，所以假设不成立，即〃的质因数的个数最多为2。
2018北京大学博雅计划真题解析版 w - 数学
数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对 【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对 【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对 【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法？A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】 设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】 在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】 方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】 在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。
(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题
北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。
2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。
1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。
博雅计划试题
博雅计划试题博雅计划试题 "博雅计划”是北京⼤学2015年推出的⾼考⾃主招⽣改⾰计划，很多⼈都会需要试题，这是⼩编找的试题，希望能对你有所帮助。
博雅计划试题 选择题共20⼩题.在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对 2.已知三⾓形ABC的三边长分别为a，b，c，则下⾯四个结论中正确的个数为（） （1）以a，b，c为边长的三⾓形⼀定存在 （2）以a2，b2，c2为边长的三⾓形⼀定存在 （3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三⾓形⼀定存在 （4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三⾓形⼀定存在A.2B.3C.4D.前三个答案都不对 3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（）A.46B.53C.62D.前三个答案都不对 4.函数 f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素， 0，若x为⽆理数， 则满⾜x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对 5.若⽅程x2-3x-1=0的根也是⽅程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（）A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对 6.已知k≠1，则等⽐数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公⽐为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对 7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（）A.-116B.-132C.-164D.前三个答案都不对 8.设a，b，c为实数，a，c≠0，⽅程ax2+bx+c=0的'两个虚数根为x1，x2满⾜x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（）A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对 9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对 10.设A是以BC为直径的圆上的⼀点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对 11.两个圆内切于K，⼤圆的弦AB与⼩圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对 12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满⾜2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（）A.0B.12C.13D.前三个答案都不对 13.从⼀个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是⼀个等腰三⾓形的三个顶点的⽅法是（）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对 14.已知正整数a，b，c，d满⾜ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对 15.三个不同的实数x，y，z满⾜x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（）A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对 16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最⼤值与最⼩值的乘积属于区间（）A.[10，11）B. [11，12）C. [12，13）D.前三个答案都不对 17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的⾯积等于（）A.83B.93C.123D.前三个答案都不对 18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（）A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对 19.⽅程组x+y2=z3， x2+y3=z4， x3+y4=z5，的实数解组数为（）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对 20.⽅程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平⽅和等于（） A.0B.2C.4D.前三个答案都不对 参考答案 1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.⼜切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a 上，可得2-x0=-ex0+a. 再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.⼜切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进⽽可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3. 2.B.可不妨设0c. 结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c. 结论（2）错误：2，3，4是⼀个三⾓形的三边长，但22，32，42不会是某个三⾓形的三边长. 结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2. 结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1， |b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1， 所以|a-b|+1≤|c-a|+1， |b-c|+1≤|c-a|+1， （|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1. 3.解法1C.如图1所⽰，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得 24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2， 242=r2+OE2， 把它们相加后，可求得OE=62. 4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1. 由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进⽽可得 x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56 所以满⾜题设的x的个数为11. 5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得⽅程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是⽅程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13. 解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.⼜注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c. 8.B.因为实系数⼀元⼆次⽅程的两个虚数根是⼀对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）. 得x21x2=r（cos3θ+isin3θ）， 因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得 x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1 x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016 =cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1， 所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0. 9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为 C412C48C443！=5775. 10.A.如图3所⽰，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°. ⼜因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得 DE·DF=AD2=BD·DC， （5-2）（4+2）=2DC， DC=9， BC=BD+DC=2+9=11. 图3图411.B.如图4所⽰，设BK与⼩圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线. 由弦切⾓定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM. ⼜因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL. 再由三⾓形⾓平分线性质，可得ALBL=AKBK， 可求得BL=25. 12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1， 得2f（0）+f（-1）=1， 2f（1）+f（0）=1， 2f（-1）+f（0）=1， 可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13. 再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f（-2）=13. 图513.A.在图5所⽰的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶⾓的顶点的等腰三⾓形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三⾓形. 所以所求答案是3·9+93=30. 14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可. ⽽101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42）， 所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B. 15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的⼀元三次⽅程t3-3t2-m=0的三个实数根. 由韦达定理，得x+y+z=3. 16.解法1C.设f（x）=4x+1，得 f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，。
北京大学自主招生北大自招数学2018+解析
2018年北京大学自主招生数学试卷选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 把实数2018)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（ C ） A.0 B. 9 C. 27 D. 前三个答案都不对解答：记2018(5b =−，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.由二项式展开，容易知道20182018*(5(5a b N +=++−∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9. 答案C.2. 已知b a ≠，1)()(22=+=+c a b c b a ，则abc b a c −+)(2的值为（ A ）A. 2B. 1C. 0D. 前三个答案都不对解法一：由22()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒−+−+=⇒−++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔−=⇒=−，2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+−=+−=−−=−=。
解法二:记()21ab c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b −+−=⇔−++=⎡⎤⎣⎦，由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=−+，从而原式=22()2c a b abc +=−.另一方面，由21b c a +=……③，21a c b+=……④，④-③有 222211a b a b a b b a −=−⇒=+，与()ab c a b =−+比较可知道11c abc ab=−⇒=−， 从而原式=22()22c a b abc +=−=. 答案A. 3. 设1,0≠>a a ，函数14)(2−−=x xa ax f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（ C ）A. 221≥=a a 或 B. 210≥<<a a 或 C .2210≥<<a a 或 D. 前三个答案都不对解答：()22()4125x x x f x a a a =−−=−−，则()22xa −在[]1,2x ∈−时的最小值为0，即当[]1,2x ∈−时，xa 的取值范围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫−−≤⇔−≥ ⎪⎝⎭， 考虑到0a >，可得2210≥<<a a 或. 答案C. 4. 设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（ D ）A. -25B. -36C. -48D. 前三个答案都不对 解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =−，则 ()21110(202)36n nS n n n n n =−=−⋅⋅−，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49. 答案D.5. 以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB 、CD 都相切，则 |AB|+|CD|-|BC|的值（ D ）A. 为正B. 为负C. 可正可负D. 前三个答案都不对 解答：当ABCD 特别接近矩形时，12AB CD BC r ===，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）； 另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正. 答案D.6. 在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 前三个答案都不对 解答： 根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然. 答案C.7. 满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（ B ）A. 1B. 2C.无穷多D. 前三个答案都不对解答： 容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =. 事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅ 有2k k = ，从而0,1k =. 答案B.8. 设函数t t t f 2)(2+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（ B ）A. 4πB. 2πC. πD. 前三个答案都不对解答：平面区域问题()()()()22222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤；()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔−++≥；如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形， 并且扇形半径为2.所以区域面积为2π. 答案B.9. 不等式122>+yx 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（ D ） A. 3B. 4C. 6D. 前三个答案都不对解答：本质上是不定方程问题:()()()22120224xy x y x y x y+>⇒−+<⇒−−<, 所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y −−=，所以正整数解),(y x 的个数是5. 答案D. 10. 设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2，则2018a 的值为（ C ）A.20191B.20181 C. 10091D. 前三个答案都不对解答：n S =n a n 2，1n S +=()211n n a ++，作差可得()()22111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=−=+−⇒+=，()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+==⋅⋅=⋅，所以2018220191.201820191009a ⋅==⋅ 答案C.11. 在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（ D ）A. 2B. 3C. 5D. 前三个答案都不对解答：根据AD 垂直BC 于D,且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12， 则三角形ABD 的内切圆半径为5121322+−=，三角形ACD 的内切圆半径为1291532+−=，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为d ==答案D.12. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =−，则BAtan tan 等于（ A ） A. 2B. 1C.21D. 前三个答案都不对 解答：根据正弦定理 ()11sin cos sin cos sin sin 33A B B A C A B −==+展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan AA B B A B=⇒=. 13. 设实数y x ,满足1422=+y x ，则1243−+y x 的取值范围为（ B ）A. [)+∞,0B. []13212132-12+， C. []13212,0+ D. 前三个答案都不对 解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则()34126cos 4sin 121212x y θθθϕ⎡+−=+−=+−∈−+⎣，答案B.14. 过椭圆14922=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，过切点的直线与坐标轴交于Q P ,两点，O为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（ B ）A.21 B.32 C.43 D. 前三个答案都不对解答：记()220000,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，000012222POQS x y x y ∆==，另一方面2200001943x y x y =+≥=，所有0022.3POQ S x y ∆=≤ 答案B.15. 设正实数b a ,满足1=+b a ，则3271ba +的最小值为（ A ） A.2131347+ B. 2131555+ C. 218D. 前三个答案都不对解答：记1a b =−，3127,1u b b =+− 则()241811du db b b =−−，令()2418101du db bb =−=−，根据 10,0a b b =−>>，则()29912b b b −+=−⇒=（舍负），代入可得3271ba +的最小值为 2131347+. 答案A.16. 在正方体1111D C B A ABCD −中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠,则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（ A ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线一支的一部分D. 前三个答案都不对 解答：1145DD M DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.17. 已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且321π=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ D ）A. 32B. 3C.331D. 前三个答案都不对解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论：122212tancot33F PF S b b ππ∆==，于是22213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和1211e e +==12111e e +=≤= 答案D.18. 设三个实数c b a ,,组成等比数列，c b a c 320+≤>且，则实数acb 2−的取值范围是（ B ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞161-，B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞81-， D. 前三个答案都不对解答：由2,0b ac c =>，可知0a > ，则()()223231233110b ca b c q q q q a a≤+⇒≤+=+⇒−+≥， 所以13q ≥或1q ≤− . 进一步， 222max2111111222483489b c q q q a −⎛⎫⎛⎫=−=−−+=−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以实数a c b 2−的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，. 答案B. 19. 设实函数0,)(2≠++=a c bx ax x f ，定义)2))((()(),()(11≥==−n x f f x f x f x f n n ，已知方程x x f =)(1无实根，则方程x x f =)(2018的实根个数是（ A ）A. 0B. 2018C. 4036D. 前三个答案都不对解答：方程x x f =)(1无实根，则1()f x x >恒成立或1()f x x <恒成立，进而()11()()f f x f x x >>或()11()()f f x f x x <<恒成立，依次类推，()20172017()()f f x f x x >>>或()20172017()()f f x f x x <<<恒成立，从而方程x x f =)(2018没有实根. 答案A.20. 三棱锥ABC P −中，底面ABC 是以A ∠为直角的直角三角形，PA 垂直于底面ABC ，且AC AB PA +=，则三个角CPA BPC APB ∠∠∠与,的和是（ C ）A. 60°B. 75°C. 90°D. 前三个答案都不对解答：记,,APB BPC CPA αγβ∠=∠=∠=，则tan tan 1αβ+=；所以()sin cos sin cos 1sin cos cos cos cos αββααβαβαβ+=⇒+=，另一方面，对二面角B PA C −−用二面角余弦定理可知，cos cos cos cos 0sin sin 2λαβπαβ−==，从而cos cos cos λαβ=，所以()sin cos αβγ+=，又因为,,αβγ都是锐角，所以2παβγ+=−，所以答案C.。
(完整版)北京大学2018年“博雅计划”物理试题
f北京大学2018年“博雅计划”试题1.一定能量的光子在靠近原子核时可以变成一个电子和一个正电子，假如某光子通过原子核时放出的两个粒子在B =0.05T 的磁场中运动半径为50mm ，则该光子的能量为MeV ( )A. 0.75 B. 1.5C. 2.7D. 2.92.在水下50米处，温度为，一体积为的气泡上升至水面，水的温度为C ︒436-101m ⨯时，气泡体积为( )C ︒17A. B. -636.310m ⨯-632.810m ⨯C. D. -639.810m ⨯-6312.610m ⨯3.如图杨氏双缝干涉模型，若光源S 下移一下段距离，那么光屏上的条纹将如何变化( )A.条纹距离变大，条纹整体下移B.条纹间距不变，条纹整体下移C.条纹间距变小，条纹整体上移D.条纹间距不变，条纹整体上移4.如图A 、B 为两个带正电的点电荷，另有一个不带电导体球壳将电荷B 包围，那么以下说法正确的是( )A. 将点电荷B 与导体球壳接触，点电荷A 受力变小B. 将导体球壳接地，点电荷A 受力变小C. 在球壳内，移动点电荷B 至任意位置，点电荷A 受力不变D. 将点电荷B 移走，点电荷A 受力不变5.车辆在弯道上行驶，已知弯道半径为R ，倾角为，若车辆不受沿地面方向的力，规定θ行驶速度为V ，则；若路面结冰，且已知行驶速度，=θtan h km u /40=，，则车辆与冰面摩擦因数至少为 .m 200=R h V km 60=μ6.一质量为M 的物块两侧由两个劲度系数都为k 的弹簧相连，另一端连在墙上，则物块微扰后简谐周期=；若在物块下加两个质量为m 的轮，此时(1T 2T 1T )=<>//7.在一边长为a 正六边形的六个顶点各有+q 的点电荷，六边形的中心有—2q 的点电荷，则对任意顶点，则对任一正点电荷，其他点电荷对其产生的静电能为 ，整个系统静电能为 .8.一均匀带电的圆环，半径为R ，总带电量为+Q ，则其中心O 点的电场强度为；在对称轴上距O 为x 的A 处有一+q 的点电荷，则该点电荷受力为.9.一封闭导热气缸内有一质量为m 的活塞将同种气体分成左右体积均为的两部分，且0V 压强均为，已知气缸截面积为S .试求活塞发生微扰后的振动周期，假设过程为等温.P10.三个相同的理想凸透镜共轴放置，焦距为，两两间距为.已知对任意左侧进入的f f λ光线，出射方向均与入射方向平行.(1)画出可能的光路图；(2)试求可能取值.λ11.电子枪的加速电压为，电子被加速后从端沿射出，经匀强磁场偏转后V U 500=P PA 经过M 点.已知，.cm PM d 5==60=ϕ(1)若磁场垂直三点确定的平面，求其磁感应强度；M A P 、、(2)若磁场平行方向，求其磁感应强度.PM 12.质量为的小船在湖面上，一根轻绳连在船上通过岸上的定滑轮，自由端水平，岸上m 有恒力作用在绳子的自由端.开始时空中绳长为，与水平夹角，船速为.当夹角F 0l 0θ0v 为时，）（0θθθ>(1)求小船的速度以及加速度；v a (2)求此时的功率.F北京大学2018年“博雅计划”试题解析1.【答案】B【考点】光子的性质【解析】正、负电子在磁场中的动量为，则光子的动量，光子能量eBR p e =e y p p 2=.c p E y y =2.【答案】A 【考点】等温变化【解析】对气泡中的理想气体哟，其中222111T V P T V P =.631112261102771290P atm V m T K P atm T K -≈=⨯===，，，，3.【答案】D【考点】杨氏双缝干涉【解析】由条纹间距公式条纹间距只与双缝间距和双缝 - 光屏距有关，光源上下移动不改变条纹间距；考虑0级条纹，光源发出的两束光分别经过上下缝会聚在光屏上的等光程点，为了保证等光程，当光源下移，0级条纹必须上移才能保证这一点.4.【答案】C【考点】静电场的性质【解析】有静电屏蔽知识，导体球壳内的点电荷对外界不产生电场，具体而言，球壳内表面感应出的负电荷与点电荷的电场抵消，则点电荷受力取决于球壳外边面的剩余电B A 荷；而将导体球壳接地后，球壳电势为零，然而不确定初始的球壳与点电荷之间的电场A 电势关系，因此并不能判断点电荷的受力大小变化.A 5.【答案】20.077V Rg；【考点】圆周运动【解析】转弯时，小车在平行斜面方向受力平衡，即得θθsin cos 2mg RV m =n Ah i nt hRgV 2tan =θ速度偏小，摩擦力向外，则在斜面方向受力平衡⇒++=)sin cos (cos sin 22θθμθθRu m mg R u m mg RgV u Rg u V R u g R u g 222222tan tan +-=+-=θθμ6.【答案】2>【考点】简谐运动【解析】物块两端都有劲度系数为的弹簧，等效于一个劲度系数为的弹簧，则振k k 2动周期为；物块质量增大，周期变长，kMT 221π=12T T >7.【答案】221922Kq Kq a a ⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎭；【考点】静电场的能量【解析】一个正电荷由其他点电荷产生的静电能为2222212222Kq Kq Kq Kq E a a a a⎫=++-=⎪⎭A 计算系统电势能，注意点电荷间的电势能只能计算一次222229663622s Kq Kq Kq Kq E a a a a ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭A A A 8.【答案】()32220KQqxx R +；【考点】电场强度的计算【解析】根据电场强度的定义，考虑对称性，分析可得：带电圆环在环心处的场强为0.根据对称性分析可得，对于距离环心为x 的位置，该点的电场强度沿着轴线方向可以写出该点所在位置的电场强度E 为：， 其中2k q xE r r ∆=∑rrb 由此可以写出E 为：223/2()kQx E x R =+所以电场力为：223/2()kQqx F qE x R ==+9.【答案】2T π=【考点】简谐运动【解析】当活塞偏离平衡位置(假设往左)距离时，左侧气体压强增大，右侧气体压x ∆强减小，由玻意耳定律，，()()x S V P x S V P V P R L ∆+=∆-=0000得，000000,P xS V V P P x S V V P R L ∆+=∆-=则活塞两侧气体压强差给活塞提供回复力，()x V P S S P x S V x S V S P x S V V x S V V S P P F L R ∆≈∆-∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆+=-=0020220000002)(2则振动周期为.020002222P S mV V P S mT π==10.【答案】见解析【考点】凸透镜成像【解析】考虑左侧任意进入的光线可分为若干束平行光，一束平行光经过透镜组后出射仍是原方向的平行光，且平行光经凸透镜汇聚成一点，说明整个系统光路存在中心对称性，对称中心是第二个透镜中心.dAl l为了保证对称性，系统成像过程应该为：平行光经过第一个透镜汇聚一点，经过第二个透镜成像到对称点，再经过第三个透镜变成平行光.因此，第一个透镜与汇聚点的距离为，第二次成像是的成像，像点与第三个透镜距离时.光路图如下，即f f f 22-f 3=λ11.【答案】见解析【考点】带电粒子在磁场中的运动【解析】(1)电子经过一段圆弧轨道经过点，几何关系易知，偏转半径为M ，cm d R 35sin /2==ϕ又，mvR mv eB==e mU R B 21=电子经过等距螺旋线经过点，沿方向速度为M PM ，meUm eU v 2cos 2'==ϕ则有，2'mn v d eBπ=A得.B n =12.【答案】见解析【考点】相对运动【解析】(1)()220000sin cos 12sin F a m v v F l l v m θθθ⎛⎫=-=-⇒= ⎪⎝⎭，(2)cos v P F θ==A 本文档由华夏园教育提供。
北京大学2018年博雅计划数学真题版
北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D解析： 111111(21)222nnnnn nnkk k k k k knnnn nn n k k k k k k k k C kC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 2018201820180122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k C C C Ck C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。
2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。
1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。
2018 北大博雅 物理
2018 物理博雅计划1.如图,岸高h,一质量为m 的小船节点和定滑轮的长为l0 ,绳子和水平面夹角为θ0 ,此时船速为v0 .当) ,小船节点和定滑轮的长为l.船可视为质点,忽人用恒力F 拉小船靠岸时,某一时刻夹角为θ (θ>θ略所有摩擦力.(1)此时,船速v 和加速度a;(2)此时F 的功率.2.如图,一个质量为m,面积为S 的活塞将汽缸分为体积均为V0 的两部分,两部分内气体压强均为P0,将活塞轻微偏离平衡位置,假设整个过程中温度不变,求活塞运动的周期.3.电子经500V 电压加速后沿QA 方向出射.M 点在Q 点右下方,QM 与QA 成60°,Q 与M 距离d＝5cm,要使电子打中M 点(1)若施加匀强,B 垂直于MQ 与A 点所决定的平面,求B 大小.(2)若匀强B∥QM,求B 大小.4.三个完全相同的凸透镜如图等距排列,距离为λf,焦距为f.从左侧入射的任何光线最终都能右侧平行焦距f 方向射出,(1)请画出所有可能的光路图;(2)求出λ的所有可能值.5.均匀分布电荷量的圆环半径为R,总电荷量为Q,(1)圆环中心O 点电场强度;(2)过O 垂直于圆环的直线上,电荷量为q 的试探电荷只能在直线上运动,当试探电视距O 为x 的距离时,试探电荷所受电场力.6.边长为a 的正六边形,六个顶点处各有一个+q 电荷,正中心O 点有一个-2q 的点电荷,顶点处电荷由于静电力作用而具有的电势能W1= 整体W2=7.火车的转弯轨道总有一定的坡度,当火车经过以R 为半径的圆弧道路时,车道倾斜角为θ.当车在道路速度为V 时,恰好无摩擦力.(v=60km/h,u=40km/h,R=200m)(1)求此时倾角tan(2)已知u＜V,求u 最小值使火车行驶过程中不打滑.8.高能光子经过原子核附近时会产生电子和正电子对,现有一光子产生的电子对,,两者在磁感应强度为0.05T 的磁场中,做曲率半径为90mm 的曲线运动,求原光子的能量MevA.1.35B.1.45C.2.7D.2.99.有两个原长为l o 劲度系数均k 的弹簧和质量为m 的木板(地面光滑)的两端相连,现对木板施加一个微小的扰动,系统做振动.该系统的振动周期为T1= ,若在木板下加两个均为M 的圆柱体(做纯滚动),则新系统T2T1(填“＞”“＝”或“＜”)10.在杨氏双缝干涉实验中,如果将光源S 移动到S＇位置则：CA.中心条纹O 上移,条纹宽度变宽B.中心条纹O 上移,条纹宽度变细C.中心条纹O 上移,条纹宽度不变D.中心条纹O 下移,条纹宽度不变11.在湖面下50.0m 深处(温度为4.0℃),有一个体积为1.0×10-5m3 的空气泡升到湖面上来,若湖面的温度为17.0℃,求气泡到达湖面的体积.(取大气压强为p0=1.013×105Pa.)6.1112.一上端开有小孔的绝缘球壳,内部有一带正电的金属小球B,在球壳外部有一带负电的试探电前A 从远处靠近该球壳,下列说法正确的是()①若金属小球B 与球壳相接触,则试探电荷A 受斥力作用②金属小球B 与球壳不接触,金属小球B 从球壳拿出,对试探电荷A 作用力减小③ 先把金属小球B 撤走,试探电荷A 从远处靠近球壳,试探电荷A 受吸引力④ 若金属球壳接地,B 与球壳不接触,则 A 受引力作用⑤若金属球壳接地,B 与球壳不接触,则A 不受引力作用A.①③B.③④C.④⑤D.②⑤。
北大2018博雅试题及答案
2018北大博雅试题与答案(2018北大博雅)1、如图，河岸高h ，人用恒力F 通过滑轮和绳子拉一质量为m 的小船。
当绳子和水平面夹角为0θ时，船速为v 0 。
船可视为质点，忽略所有摩擦力。
某一时刻夹角为θ，求此时船速v 、加速度a 、恒力F 的功率(2018北大博雅)2、如图，一个质量为m ，面积为 S 的活塞将汽缸分为体积均为V 0 的两部分，两部分内气体压强均为P 0，将活塞轻微偏离平衡位置，假设整个过程中温度不变，求活塞运动的周期。
解：小量振动均为简谐运动 02SP x V (2018北大博雅)3、电子经 500V 电压加速后以 v 沿 QA 方向出射。
M 点在 Q 点右下方，QM 与QA 成 60°，Q 与M 距离d ＝5cm ，要使电子打中M 点（1）、若施加匀强B ，垂直于MQ 与A 点所决定的平面，求B 大小。
（2）、若匀强B ∥QM ，求B 大小。
扩展：如图所示，被U=1000V的电势差加速的电子从电子枪中发射出来，初速沿直线60方向，距离枪口、磁场垂直于由直线a 和点答案： 33.710B T -=⨯ 6.710B n T =⨯1d mv,2,3(2018北大博雅)4、三个完全相同的凸透镜如图等距排列，距离为f ，焦距为 f 。
从左侧入射的任何光线最终都能右侧平行焦距f 方向射出，（1）、请画出所有可能的光路图； （2）、求出λ的所有可能值。
(2018北大博雅)5、均匀分布电荷量的圆环半径为R ，总电荷量为Q ， （1）、圆环中心O 点电场强度（2）、过O 垂直于圆环的直线上，电荷量为q 的试探电荷只能在直线上运动，当试探电荷距O 为x 的距离时，试探电荷所受电场力。
()半径R的圆环均匀带电，电荷量为Q，圆环轴线上与环心O的距离为x的P点的电场(2018北大博雅)6、边长为a的正六边形，六个顶点处各有一个+q 电荷，正中心O点有一个-2q的点电荷，顶点处电荷由于静电力作用而具有的电势能W1=_____，整体具有的电势能W=_____123456W W W W W W W =+++++(2018北大博雅)7、火车的转弯轨道总有一定的坡度，当火车经过以R 为半径的圆弧道路时，车道倾斜角为 θ。
2018年北大博雅计划试卷-语文试卷及参考答案解析附答题卡
绝密★ 启用前 北京大学博雅计划模拟考试 语 文 (满分：100分) 注意事项：11.本试卷共4道题； 2.答卷前，考生请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的 密封线内相应位置； 3.所有答案都应写在答题卡相应位置，答在试卷上的无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文根据语境填空(10题，共20分) 中国文化中极其夺目的一个部位可称之为“ 1 ”。
随之而来，许多文化遗迹也就是贬官 行迹。
贬官失了宠，摔了跤，孤零零的，悲剧意识也就爬上了心头；贬到了外头，这里走走，那里 看看，只好与山水亲热。
这一来，文章有了，诗词也有了，而且往往写得不坏。
过了一个时候， 或过了一个朝代，事过境迁，连朝廷也觉得此人不错，恢复名誉。
于是，人品和文品双全，传之 史册，诵之后人。
他们亲热过的山水亭阁，也便成了遗迹。
地因人传，人因地传，两相帮衬，俱 著声名。
例子太多了。
这次去洞庭湖， 一见岳阳楼，心头便想；又是它了。
1046年，范仲淹倡导变 革被贬，恰逢另一位贬在岳阳的朋友股子京重修岳阳楼罢，要他写一篇楼记，他便借楼写湖，凭 湖抒怀，写出了那篇著名的《岳阳楼记》。
直到今天，大多数游客都是先从这篇文章中知道有这 么一个楼的。
文章中“ 2 。
”这句话，已成为一般中国人都能随口吐出的熟语。
不知哪年哪月，此景此楼，已被这篇文章重新构建。
文章开头曾称颂此楼“北通巫峡，南极 潇湘”,于是，人们在楼的南北两方各立一个门坊，上刻这两句话。
进得楼内，巨幅木刻中堂，即 是这篇文章，书法厚重畅丽，洒以绿粉，古色古香。
其他后人题咏，心思全围着这篇文章。
这也算是个有趣的奇事：先是景观被写入文章，再是文章化作了景观。
借之现代用语，或 许可说，是 3 的互相生成罢。
在这里，中国文学的力量倒显得特别强大。
学校班级姓名密封线内不要答题准考证号范仲淹确实是文章好手，他用与洞庭湖波涛差不多的节奏，把写景的文势张扬得滚滚滔滔。
(完整版)北京大学2018年“博雅计划”物理试题
北京大学2018年“博雅计划”试题1. 一定能量的光子在靠近原子核时可以变成一个电子和一个正电子，假如某光子通过原子核时放出的两个粒子在B =0.05T 的磁场中运动半径为50mm ，则该光子的能量为 MeV ( ) A. 0.75 B. 1.5 C.2.7D. 2.92. 在水下50米处，温度为C ︒4，一体积为36-101m ⨯的气泡上升至水面，水的温度为C ︒17时，气泡体积为( ) A. -636.310m ⨯ B. -632.810m ⨯ C. -639.810m ⨯D. -6312.610m ⨯3. 如图杨氏双缝干涉模型，若光源S 下移一下段距离，那么光屏上的条纹将如何变化( )A. 条纹距离变大，条纹整体下移B. 条纹间距不变，条纹整体下移C. 条纹间距变小，条纹整体上移D. 条纹间距不变，条纹整体上移4. 如图A 、B 为两个带正电的点电荷，另有一个不带电导体球壳将电荷B 包围，那么以下说法正确的是( )A. 将点电荷B 与导体球壳接触，点电荷A 受力变小B. 将导体球壳接地，点电荷A 受力变小C. 在球壳内，移动点电荷B 至任意位置，点电荷A 受力不变D. 将点电荷B 移走，点电荷A 受力不变5. 车辆在弯道上行驶，已知弯道半径为R ，倾角为θ，若车辆不受沿地面方向的力，规定行驶速度为V ，则=θtan ；若路面结冰，且已知行驶速度h km u /40=，m 200=R ，h V km 60=，则车辆与冰面摩擦因数μ至少为 .6. 一质量为M 的物块两侧由两个劲度系数都为k 的弹簧相连，另一端连在墙上，则物块微扰后简谐周期1T = ；若在物块下加两个质量为m 的轮，此时2T1T (=<>//)7. 在一边长为a 正六边形的六个顶点各有+q 的点电荷，六边形的中心有—2q 的点电荷，则对任意顶点，则对任一正点电荷，其他点电荷对其产生的静电能为 ，整个系统静电能为 .8. 一均匀带电的圆环，半径为R ，总带电量为+Q ，则其中心O 点的电场强度为 ；在对称轴上距O 为x 的A 处有一+q 的点电荷，则该点电荷受力为 .9. 一封闭导热气缸内有一质量为m 的活塞将同种气体分成左右体积均为0V 的两部分，且压强均为0P ，已知气缸截面积为S .试求活塞发生微扰后的振动周期，假设过程为等温.10.三个相同的理想凸透镜共轴放置，焦距为f ，两两间距为f λ.已知对任意左侧进入的光线，出射方向均与入射方向平行. (1) 画出可能的光路图； (2) 试求λ可能取值.11.电子枪的加速电压为V U 500=，电子被加速后从P 端沿PA 射出，经匀强磁场偏转后经过M 点.已知cm PM d 5==，60=ϕ.(1) 若磁场垂直M A P 、、三点确定的平面，求其磁感应强度； (2) 若磁场平行PM 方向，求其磁感应强度.12.质量为m 的小船在湖面上，一根轻绳连在船上通过岸上的定滑轮，自由端水平，岸上有恒力F 作用在绳子的自由端.开始时空中绳长为0l ，与水平夹角0θ，船速为0v .当夹角为）（0θθθ>时，(1) 求小船的速度v 以及加速度a ； (2) 求F 此时的功率.北京大学2018年“博雅计划”试题解析1. 【答案】B【考点】光子的性质【解析】正、负电子在磁场中的动量为eBR p e =，则光子的动量e y p p 2=，光子能量c p E y y =.2. 【答案】A 【考点】等温变化【解析】对气泡中的理想气体哟222111T V P T V P =，其中 631112261102771290P atm V m T K P atm T K -≈=⨯===，，，，.3. 【答案】D【考点】杨氏双缝干涉【解析】由条纹间距公式条纹间距只与双缝间距和双缝 - 光屏距有关，光源上下移动不改变条纹间距；考虑0级条纹，光源发出的两束光分别经过上下缝会聚在光屏上的等光程点，为了保证等光程，当光源下移，0级条纹必须上移才能保证这一点. 4. 【答案】C【考点】静电场的性质【解析】有静电屏蔽知识，导体球壳内的点电荷对外界不产生电场，具体而言，球壳内表面感应出的负电荷与点电荷B 的电场抵消，则点电荷A 受力取决于球壳外边面的剩余电荷；而将导体球壳接地后，球壳电势为零，然而不确定初始的球壳与点电荷A 之间的电场电势关系，因此并不能判断点电荷A 的受力大小变化.5. 【答案】20.077V Rg； 【考点】圆周运动【解析】转弯时，小车在平行斜面方向受力平衡，即θθsin cos 2mg RV m =得Rg V 2tan =θ速度偏小，摩擦力向外，则在斜面方向受力平衡⇒++=)sin cos (cos sin 22θθμθθRu m mg R u m mgRgV u Rg u V R u g R u g 222222tan tan +-=+-=θθμ6. 【答案】22Mk>； 【考点】简谐运动【解析】物块两端都有劲度系数为k 的弹簧，等效于一个劲度系数为k 2的弹簧，则振动周期为kMT 221π=；物块质量增大，周期变长，12T T > 7. 【答案】221923223Kq Kq a a ⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎭； 【考点】静电场的能量【解析】一个正电荷由其他点电荷产生的静电能为2222221222233Kq Kq Kq Kq Kq E a a a a a ⎫=++-=+⎪⎭计算系统电势能，注意点电荷间的电势能只能计算一次2222229663623223s Kq Kq Kq Kq Kq E a a a a a ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭8. 【答案】()32220KQqxxR+；【考点】电场强度的计算【解析】根据电场强度的定义，考虑对称性，分析可得：带电圆环在环心处的场强为0. 根据对称性分析可得，对于距离环心为x 的位置，该点的电场强度沿着轴线方向 可以写出该点所在位置的电场强度E 为：2k q xE r r ∆=∑， 其中22r x R =+由此可以写出E 为：223/2()kQxE x R =+所以电场力为：223/2()kQqxF qE x R ==+ 9. 【答案】0222mV T S P π= 【考点】简谐运动【解析】当活塞偏离平衡位置(假设往左)x ∆距离时，左侧气体压强增大，右侧气体压强减小，由玻意耳定律，()()x S V P x S V P V P R L ∆+=∆-=0000， 得000000,P xS V V P P x S V V P R L ∆+=∆-=，则活塞两侧气体压强差给活塞提供回复力()x V P S S P x S V x S V S P x S V V x S V V S P P F L R ∆≈∆-∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆+=-=0020220000002)(2，则振动周期为020002222P S mV V P S mT π==. 10.【答案】见解析 【考点】凸透镜成像【解析】考虑左侧任意进入的光线可分为若干束平行光，一束平行光经过透镜组后出射仍是原方向的平行光，且平行光经凸透镜汇聚成一点，说明整个系统光路存在中心对称性，对称中心是第二个透镜中心.为了保证对称性，系统成像过程应该为：平行光经过第一个透镜汇聚一点，经过第二个透镜成像到对称点，再经过第三个透镜变成平行光.因此，第一个透镜与汇聚点的距离为f ，第二次成像是f f 22-的成像，像点与第三个透镜距离时f .光路图如下，即3=λ 11.【答案】见解析【考点】带电粒子在磁场中的运动【解析】(1)电子经过一段圆弧轨道经过M 点，几何关系易知，偏转半径为cm d R 35sin /2==ϕ， 又2mvR mv mUe eB==，e mU R B 21=， 电子经过等距螺旋线经过M 点，沿PM 方向速度为m eUm eU v 2cos 2'==ϕ， 则有2'mnv d eBπ=， 得2mUB nd eπ=. 12.【答案】见解析 【考点】相对运动 【解析】 (1)()2220000000sin 2sin cos 112sin sin Fl F a m v v F l l v v m m θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)20002sin 1cos cos sin Fl v FP Fv m θθθθ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭本文档由华夏园教育提供。